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Combinao

1.(Uerj 2013) Um sistema luminoso, constitudo de oito mdulos idnticos, foi montado paraemitir mensagens em cdigo. Cada mdulo possui trs lmpadas de cores diferentes vermelha, amarela e verde. Observe a figura:

Considere as seguintes informaes:

cada mdulo pode acender apenas uma lmpada por vez;qualquer mensagem configurada pelo acendimento simultneo de trs lmpadas

vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois mdulos com as trs lmpadasapagadas;

duas mensagens so diferentes quando pelo menos uma das posies dessas cores acesas

diferente.

Calcule o nmero de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.

2.(Unesp 2013) Quantos so os nmeros naturais que podem ser decompostos em umproduto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejammenores que 30?

3.(G1 - ifsp 2013) Dispe-se de cinco cores para colorir o retngulo que est dividido emquatro outros retngulos menores, R1, R2, R3e R4, de maneira que retngulos com um ladocomum no devem ser coloridos com a mesma cor. O nmero de modos diferentes de coloriros quatro retngulos com apenas duas cores

R1 R2

R3 R4

a) 8.b) 12.c) 15.d) 18.e) 20.
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4.(Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, sero instaladas trs barracas: I, II e III.Nelas, sero alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira quefiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NOdeve ficar na barraca III, ento onmero de maneiras distintas de distribu-los igual aa) 560

b) 1120c) 1680d) 2240

5.(Ufsm 2013) As doenas cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas demorte no Brasil. As cirurgias cardacas so alternativas bastante eficazes no tratamento dessasdoenas.Supe-se que um hospital dispe de 5 mdicos cardiologistas, 2 mdicos anestesistas e 6instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgiascardacas.Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4instrumentadores?a) 200.

b) 300.c) 600.d) 720.e) 1.200.

6.(Pucrj 2013) Em uma sorveteria h sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme eflocos.De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria?a) 10 maneirasb) 9 maneirasc) 8 maneirasd) 7 maneirase) 6 maneiras

7.(Ibmecrj 2013) Uma tradicional competio entre 24 times sempre foi organizada em trsfases. Na primeira fase, os times so divididos em seis grupos de quatro times, em que cadatime joga uma vez contra cada time do mesmo grupo. O ltimo colocado de cada grupo eliminado. Os times restantes vo para a segunda fase, na qual no h diviso em grupos etodos os times se enfrentam, cada par uma nica vez. Os dois times com maior pontuao nasegunda fase se enfrentam, na terceira fase, em uma partida final que define o campeo. Noprximo ano, os times passaro a ser divididos em quatro grupos de seis times e os doisltimos colocados de cada grupo sero eliminados ao final da primeira fase. O restante dacompetio continuar como antes. Nessa nova organizao,a) o nmero de partidas da primeira fase diminuir.b) o nmero de partidas da segunda fase aumentar.c) o nmero total de partidas da competio diminuir.

d) o nmero de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeo aumentar.e) o nmero de times eliminados na primeira fase diminuir.

8.(Pucrj 2013) Em uma sorveteria, h sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme eflocos.De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessasorveteria?a) 6 maneirasb) 7 maneirasc) 8 maneirasd) 9 maneirase) 10 maneiras


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9.(Pucrs 2013) Para a escolha de um jri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidentede uma determinada Comarca dispe de uma listagem com nomes de trinta homens e de vintemulheres. O nmero de possibilidades de formar um jri popular composto por exatamente 15homens

a) 15 630 20C C

b) 15 630 20A A

c) 15 630 20C C

d) 15 630 20A A

e) 2150C

10.(Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, trs pessoas pretendem fazerintercmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duaspara uma entrevista que sortear bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duaspessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercmbio no Chile a) 1/5

b) 1/15c) 1/45d) 3/10e) 3/7

11.(Udesc 2013) Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que28% dos alunos desta turma so mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3homens e 3 mulheres. Assim, o nmero de possibilidades para esta escolha :a) 28560b) 851c) 13800d) 1028160e) 5106

12.(Insper 2012) A tabela da Copa do Mundo de 2014, divulgada em outubro ltimo, definiu asquantidades de jogos que sero realizados em cada uma das 12 cidades sedes, informadasparcialmente a seguir.

Cidade Nmero de jogosBelo Horizonte ???

Braslia 7

Cuiab 4

Curitiba 4

Fortaleza 6

Manaus 4

Natal 4Porto Alegre 5

Recife 5

Rio de Janeiro 7

Salvador 6

So Paulo ???

Na 1 fase, haver oito grupos com quatro selees em cada um, devendo cada seleoenfrentar uma nica vez todos os integrantes do seu grupo. Na fase de oitavas de final, cadauma das 16 equipes classificadas jogar uma nica vez, o mesmo ocorrendo nas quartas definal com as oito equipes classificadas. Depois disso, restaro ainda quatro jogos (semifinais,disputa de 3 lugar e final) para definir o campeo mundial. Sabendo que So Paulo e BeloHorizonte abrigaro o mesmo nmero de jogos, conclui-se que haver, em cada uma dessas

duas cidades, um total dea) 4 jogos.b) 5 jogos.


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c) 6 jogos.d) 7 jogos.e) 8 jogos.

13.(Ufpe 2012) As pedras de um domin usual so compostas por dois quadrados, com 7possveis marcas (de zero pontos at 6 pontos). Quantas pedras ter um domin se cada

quadrado puder ter at 9 pontos? Veja no desenho abaixo um exemplo de uma nova pedra dodomin.

14.(Fgvrj 2012) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel beira da estrada. Hdois quartos disponveis, um com duas camas e outro com trs. De quantas maneiras elespodem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com trs, para se hospedar no

hotel?a) 80b) 40c) 20d) 10e) 5

15.(Mackenzie 2012) Um juiz dispe de 10 pessoas, das quais somente 4 so advogados,para formar um nico jri com 7 jurados. O nmero de formas de compor o jri, com pelomenos um advogado a) 70

b) 47 c) 120

d) 74 e) 140

16.(Fuvest 2012) a) Dez meninas e seis meninos participaro de um torneio de tnis infantil.De quantas maneiras distintas essas 16 crianas podem ser separadas nos grupos A, B, C eD, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C sero formados apenaspor meninas e o grupo B, apenas por meninos?

b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal ter os jogos entre Maria e Joo e entreMarta e Jos. Os vencedores de cada um dos jogos faro a final. Dado que a probabilidade

de um menino ganhar de uma menina 3 5 , calcule a probabilidade de uma menina vencer

o torneio.

17.(Uftm 2012) Os seis nmeros naturais positivos marcados nas faces de um dado so taisque:

I. no existem faces com nmeros repetidos;II. a soma dos nmeros em faces opostas sempre 20;III. existem 4 faces com nmeros mpares e 2 faces com nmeros pares.

O total de conjuntos distintos com os seis nmeros que podem compor as faces de um dadocomo o descrito a) 20.b) 28.c) 36.d) 38.

e) 40.


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18.(Fgv 2012) Oito garotas chegam de frias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente esto disponveis dois quartos triplos e um quarto duplo.

a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel?b)As ruas da cidade interceptam-se em ngulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas

decidem almoar no nico restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem

escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para oleste. A figura indica um possvel caminho.

19.(Uern 2012) Uma famlia do interior, composta por 10 pessoas, necessita fazer umaviagem de retorno cidade de origem aps passar frias no litoral. A viagem ser feita denibus, no domingo, e apenas dois horrios esto disponveis. De quantas maneiras poderoviajar essas pessoas de forma que a metade da famlia viaje num nibus e a outra metade nooutro?a) 45b) 252c) 136d) 90

20.(Unioeste 2012) Um professor disse que j preparou questes para a prova bimestral, ecom estas questes, pode fazer 255 provas diferentes. Quantas questes ele preparou?a) 4.b) 7.

c) 18.d) 14.e) 8.


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Gabarito:

Resposta da questo 1:1 Soluo:

O nmero de mensagens distintas que o sistema pode emitir dado por

8 5 3 8! 5! 3!

3! 5! 2! 3! 1! 2!3 2 1

8 7 6 5 43

3 2 2

1680.

2 Soluo:

O nmero de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao nmero depermutaes de 8 lmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja,

(3, 2, 2)8

8!P

3 ! 2 ! 2 !

8 7 6 5 4

2 2

1680.

Resposta da questo 2:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (dez primos positivos menores que 30)

A quantidade de nmeros naturais, formados por 4 desses fatores, ser obtida atravs de uma

combinao simples de 10 elementos tomados 4 a 4.

10,4

10! 10 9 8 7C 210.

4!.6! 24

Resposta da questo 3:[E]

Existem apenas duas maneiras de colorir os retngulos usando as cores A e B:

Escolhendo duas entre as 5 cotes disponveis. 5,25!

C 102!.3!

Nmero de maneiras para se pintar os retngulos: 2 10 20


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Resposta da questo 4:[B]

1 caso: Soldados A e B na barraca I

Barraca I: C8,2 = 28

Barraca II: C6,3 = 20Barraca III: C3,3= 1Total(1) = 28 20 1 = 560.

2 caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II

Barraca I: C8,3= 56Baraca II CC5,2 =10Barraca III: C3,3= 1Total(2) = 56 10 1 = 560.

Ento, o nmero de maneiras distintas de distribu-los igual a 560 + 560 = 1120.

Resposta da questo 5:

[B]

O resultado pedido dado por

5 2 6 5! 6!2

3! 2! 4! 2!3 1 4

20 15

300.

Resposta da questo 6:[A]

O nmero de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas bolas corresponde aonmero de combinaes completas de 4 sabores tomados 2 a 2, isto ,

2 2

4 4 2 1

5 5! 5 4CR C 10.

2! 3! 22

Resposta da questo 7:[C]

Na 1 fase, cada grupo de24

46

times ter4 4!

62 2 ! 2 !

jogos. Logo, sero disputadas

6 6 36 partidas nessa fase. Se um time eliminado de cada grupo, a 2 fase ter

24 6 18 equipes. Desse modo, sero disputados18 18!

1532 16! 2!

jogos na 2 fase.

Como apenas dois times vo para a 3 fase, segue que o nmero total de partidas igual a

36 153 1 190.

No outro formato, cada grupo de24

64

times ter6 6!

152 4 ! 2!

jogos. Logo, sero

disputadas 4 15 60 partidas nessa fase. Se dois times so eliminados de cada grupo, a 2


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fase ter 24 4 2 16 equipes. Desse modo, sero disputados16 16!

1202 14! 2!

jogos na

2 fase, o que perfaz um total de 60 120 1 181 jogos (contando com a final).

Finalmente, como 181 190, segue-se que o nmero total de partidas da competio

diminuir.


O nmero de maneiras possveis de montar uma casquinha, com dois sabores distintos,sabendo que existem quatro sabores disponveis, dado por

4 4!6.

2 2 ! 2 !


[A]

Como o jri formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas so homens, segue-

se que o nmero de mulheres nesse jri igual a 21 15 6. Portanto, o resultado dado por

30 20.

15 6


Existem3

3

2

modos de escolher duas pessoas dentre aquelas que pretendem fazer

intercmbio no Chile, e10 10!

452! 8!2

maneiras de escolher duas pessoas quaisquer.

Logo, a probabilidade pedida 3 1

.45 15


Como a turma constituda de 0,28 25 7 mulheres e 25 7 18 homens, existem

7 18 7! 18!

3 3 3! 4! 3! 15!

7 6 5 18 17 16

3 2 3 2

35 3 1 7 1 6

28560

modos de escolher 6 representantes, sendo 3 homens e 3 mulheres.


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Jogos na primeira fase: 4,28.C 8.6 48

Jogos nas oitavas de final: 8Jogos nas quartas de final: 4

Jogos nas semifinais: 2Disputa do terceiro lugar: 1Final: 1Total de jogos: 64

Considerando x como o nmero de jogos em Belo Horizonte e So Paulo, temos:x + 7 + 4 + 4 + 6 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 6 + x = 642x + 52 = 642x = 12x = 6

Resposta da questo 13:55.

1 Soluo:

Como cada quadrado pode ter at 9 pontos, existem 10 pedras com pontos iguais e

10 10!45

2 ! 8 !2

pedras com pontos diferentes. Portanto, um domin de 9 pontos possui

10 45 55 pedras.

2 Soluo:

O nmero de pedras de um domin de 9 pontos dado pelo nmero de combinaes

completas de10

objetos tomados2

a 2, ou seja,

2 210 10 2 1

11 11!CR C 55.

2 2 ! 9 !

3 soluo:

Existem 10 escolhas para o 1 nmero e 9 para o 2. Como a ordem dessas escolhas

indiferente, temos10 9

452

pedras com nmeros diferentes. Alm disso, temos 10 pedras

com nmeros iguais.

Portanto, um domin de 9 pontos possui 45 10 55 pedras.

Resposta da questo 14:[D]

Escolhendo dois estudantes para o primeiro quarto sobram sempre trs estudantes para osegundo quarto.

5,2 5,3

5!C C 10

2!.3!


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Qualquer jri composto por sete jurados sempre ter um advogado, j que o nmero de juradosque no so advogados apenas 6.Portanto, o nmero de jris com pelo menos um advogado ser dado por:

10,7

10!C 120.

7!.3!

Resposta da questo 16:a) Observe:

10,4 6,4 6,4 4,4

Grupos : A (meninas) B (meninos) C (meninas) e D (meninos e meninas)

C 210 C 15 C 15 C 1

Total 210 15 15 1 47250

b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer:2 2 20

15 5 125

.

Final Maria e Jos e uma Maria vencer:2 3 2 12

5 5 5 125 .

Final marta e Joo e uma Marta vencer:2 3 2 12

5 5 5 125 .

Probabilidade pedida20 12 12 44

125 125 125 125 .


[E]

De acordo com as informaes, temos que os nmeros que iro figurar nas faces opostas dodado constituem os seguintes pares:

(1,19),(2,18), (3,17), (4,16), (5,15),(6,14),(7,13), (8,12) e (9,11).

Assim, para compor o dado, temos5 5!

102 2! 3!

modos de escolher dois pares com

nmeros mpares e 4 maneiras de selecionar o outro par. Portanto, o resultado pedido

10 4 40.


a) 3 pessoas para o primeiro quarto: 8,38 7 6

c 56.3!

3 pessoas para o segundo quarto: 5,35 4 3

c 10.3!

2 pessoas para o terceiro quarto 2,2c 1.

Portanto 56 10 1 = 560.

b) Escolhendo 4 caminhos para norte, num total de 10, temos:

10,4

10 9 8.7c 210.

4.3.2.1
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O resultado pedido dado por

10 5 10! 10 9 8 7 6252.

5 5 5! 5! 5 4 3 2

Resposta da questo 20:[E]

Admitindo que as provas sejam diferentes apenas pela natureza das questes, isto a ordem

das questes no diferencia provas. A prova pode ter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... , (n - 1), ou n

questes.

nn n n n n n... 2 1

1 2 3 n 2 n 1 n

n n n 82 1 255 2 256 2 2 n 8

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