Comparação de volumes - Guia do Professor

Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

Cilindro = cone + esfera⁄2?

Objetivos da unidadeFazer a comparação de volumes de três sólidos: cone, esfera 1. e cilindro;Obter as relações que fornecem o volume do cone e da esfera 2. a partir do volume do cilindro.

Guia do professor

SinopseReunidos em grupos, os alunos construirão, usando massa de modelar, um cone e um cilindro de alturas iguais ao raio de sua base e uma semiesfera de mesmo raio. Depois, mergulharão os sólidos individualmente num recipiente com água e anotarão a altura que ela atingiu. Fazendo isso, pode-se perceber que a altura que a água sobe para o cone, semiesfera e cilindro são proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente. Dessa forma serão obtidas as relações de volume do cone e esfera a partir do volume do cilindro.

ConteúdoGeometria Espacial, Volumes.

ObjetivosFazer a comparação de volumes de três sólidos: cone, esfera e cilindro;1. Obter as relações que fornecem o volume do cone e da esfera a partir 2. do volume do cilindro.

DuraçãoUma aula dupla.

Cilindro =

cone + es 2fera ?

Cilindro = cone + esfera⁄²? Guia do professor 2 / 9

Introdução

O tema Geometria e Medidas envolve não somente conteúdos de geometria, como também estabelece uma forte conexão com números. Em particular, este experimento vem nos mostrar uma relação numérica entre os volumes de alguns sólidos de revolução: a esfera, o cone e o cilindro. Sabemos que chegar a uma expressão algébrica que representa o volume de uma esfera não é simples, especialmente no Ensino Médio. Contudo, podemos usar outros volumes conhecidos para obtê-la, por exemplo, o volume do cone é a terça parte do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura. Mas de que maneira o aluno pode obter essa relação? É muito comum o aluno ser apresentado a diversas fórmulas prontas, que são de fácil uso, mas também de fácil esquecimento. No experimento, propomos uma vivência do desenvolvimento do assunto relacionado para que a aprendizagem seja mais rica e efetiva. Em geral, nos experimentos, a manipulação, a visualização, os resultados obtidos e as conjecturas propiciam momentos instigantes para o aluno, tornando-o mais atento, mais interessado – no caso em particular, muito mais significativo do que meras aplicações de fórmulas matemáticas. Ressaltamos que conclusões obtidas experimentalmente devem ser demonstradas através de teorias matemáticas. O desafio do experimento consiste em determinar quantas vezes o espaço contido em um cone cabe em um cilindro que tem a mesma base e a mesma altura que o cone e, além disso, verificar qual é a relação do cone e do cilindro com a semiesfera.

Motivação

Arquimedes é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Nasceu na cidade grega de Siracusa, situada na ilha de Sicília, no ano 287 a.C. e morreu aos 75 anos, assassinado por um soldado quando Siracusa foi conquistada pelo exército romano durante a Segunda Guerra Púnica. Conta-se que o rei Herão lhe pediu para emitir juízo final sobre se uma coroa tinha sido feita de ouro puro ou se o ourives o tinha enganado, mis-turando prata ao ouro. Certo dia, quando Arquimedes se encontrava em banhos públicos, lugares não só para higiene, como para lazer e reuniões de negócios, notou a subida do nível da água quando entrou na banheira e encontrou a solução do problema: ele deduziu que, sendo o ouro mais denso que a prata, um dado peso de ouro ocuparia um volume menor que um peso igual de prata e, portanto, deslocaria uma menor quantidade de água. Na sua euforia devido à descoberta, esqueceu-se de se vestir e saiu nu pelas ruas da cidade, correndo até sua casa gritando “Eureka, eureka!”, que significa “Achei, achei!”. Ele verificou que a nova coroa de Herão deslocava mais água que um peso igual de ouro, assim provando a fraude do ourives. Dentre os muitos trabalhos de Arquimedes destaca-se “O Método”, no qual é explorado um modo mecânico, através de equilíbrio de pesos em uma alavanca, para investigar problemas de matemática, como a relação entre os volumes da esfera, do cilindro e do cone. Ele também salienta a importância de uma demonstração posterior dos resultados obtidos. Uma referência sobre como Arquimedes obteve o volume de uma esfera segundo “O Método” encontra-se em [Ávila].


Etapa 2 Comparação dos volumes

Os alunos mergulharão cada sólido construído separadamente em um recipiente cilíndrico contendo água. A escolha do recipiente é de funda-mental importância. Se o sólido tiver um raio muito menor que o raio do recipiente, a altura da água após a imersão poderá ficar muito próxima à altura inicial e as relações algébricas desejadas ficarão muito difíceis de ser obtidas. É importante também ter cuidado com as medições, que devem ser orientadas pelo professor. Cada grupo de alunos pode construir tabelas do tipo:

Observação: Entende-se por altura da água deslocada a diferença entre o nível da água após o objeto ser mergulhado no recipiente e o nível inicial da água neste recipiente. O volume de cada sólido será igual ao volume da água deslocada em cada caso.

Esperamos que as razões Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone e Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone obtidas sejam, respectivamente, próximas a Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone e Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone, e que os alunos percebam que o deslocamento que a semiesfera produz no nível da água equivale ao dobro

O experimento

Comentários iniciaisEste experimento contém três etapas principais. Na primeira, os alunos reunidos em grupos construirão os sólidos que serão comparados. Esta parte, além de trabalhar conceitos geométricos, como figuras planas e espaciais, envolve concentração, atenção, visua-lização, manipulação e desenho, que são importantes habilidades na formação do aluno. Na segunda etapa, com a utilização das figuras construídas, é feita a comparação: o aluno irá obter, de maneira experimental, as relações numéricas entre os volumes dos três sólidos de revolução. Na terceira etapa, os alunos serão induzidos a encontrar uma relação entre o volume de um cilindro e de um cone, ambos com mesmo raio e altura, para posterior obtenção dos volumes desses sólidos.

Etapa 1 Construção dos sólidos

Nesta etapa cada grupo de alunos construirá moldes em papelão de um cilindro circular reto, de um cone circular reto, ambos com mesmo raio e altura, e também de uma semiesfera com mesmo raio que os anteriores. Na construção desses moldes, os raios devem ser diferentes para cada grupo. O professor deve sugerir as medidas dos raios, levando em conta o raio do recipiente cilíndrico que será usado na etapa seguinte. Finalmente, os moldes devem ser preenchidos com as massas para a obtenção dos respectivos sólidos. Atente para o fato de que a tarefa de construir os sólidos com a massa de modelar é interessante, porém requer certa habilidade.

Altura da água deslocada

Hcone Hsemiesfera Hcilindro Vcone/Vcilindro Vsemiesfera/Vcilindro



Razão entre os volumes



tabela 1

tabela 2


Fechamento

O Fechamento é uma importante ferramenta para o professor concluir os resultados, avaliar o método de aula e a fixação da aprendizagem do aluno. O professor pode iniciar o Fechamento expondo na lousa uma tabela como a que segue para socializar os resultados de todos os grupos.

Em seguida, proponha também uma reflexão sobre o que foi obtido, chegando à conclusão de que experimentalmente foram obtidas as razões entre os volumes como sendo Vcone/Vcilindro = 1/3 Vsemiesfera/Vcilindro = 2/3 e Vcone/Vcilindro = 1/3 Vsemiesfera/Vcilindro = 2/3, aproximadamente. Isso deve ser então verificado com o uso de resultados teóricos da matemática. Sabendo que o volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base pela a altura, e o volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela a altura, vamos obter as expressões do volume do cilindro e do volume do cone utilizando o Princípio de Cavalieri.

Sejam dados dois sólidos e um plano. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área, então esses sólidos têm o mesmo volume.

do deslocamento produzido pelo cone quando cada objeto é mergulhado separadamente. A partir disso, os alunos podem notar que o volume da semiesfera é o dobro do volume do cone. Sendo Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone e Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone os volumes do cone e da semiesfera, respectivamente, então Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone, aproximada-mente. Da mesma forma, esperamos que os alunos observem que, quando colocamos o cone e o cilindro, um de cada vez, no recipiente, o nível da água sobe três vezes mais quando o cilindro é mergulhado em comparação com a submersão do cone. Portanto, o volume do cilindro é três vezes o volume do cone. Sendo Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone o volume do cilindro, então

Hcone/Hcilindro Hsemiesfera/Hcilindro 1/3 2/3 Vcone Vsemiesfera Vsemiesfera = 2Vcone Vcilindro = 3Vcone.

Finalmente, podemos escrever

Vsemiesfera =2

3Vcilindro

Vcone

1=

Vsemiesfera

2=

Vcilindro

3

e

Vsemiesfera =2

3Vcilindro

Vcone

1=

Vsemiesfera

2=

Vcilindro

3.

Assim, os alunos intuitivamente poderão perceber que o volume do cone é igual à terça parte do volume do cilindro e o volume da semiesfera é igual a dois terços do volume do cilindro (este resultado será justificado no fechamento deste Guia).

Etapa 3 Generalização do volume do cone

O objetivo desta etapa é obter, de modo geral, uma relação entre o volume de um cone e de um cilindro de mesmo raio r h da base e mesma altura r h. O procedimento é similar ao que foi desenvolvido nas etapas 1 e 2.

Hcone Hsemiesfera Hcilindro Vcone/Vcilindro Vsemiesfera/VcilindroHcone Hsemiesfera Hcilindro Vcone/Vcilindro Vsemiesfera/Vcilindro

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

…

tabela 3

Princípio de Cavalieri


Concluímos que:

O volume de um cilindro circular reto com raio r h da base e altura r h é dado por πr2h.

O volume do cone circular retoConsideremos um cone com altura r h e base com área S S’ α α’ A e uma pirâmide também com altura r h e base com área S S’ α α’ A, tais que suas bases estejam contidas num mesmo plano.

Na figura temos dois sólidos S S’ α α’ A e S S’ α α’ A e o plano S S’ α α’ A. Qualquer plano S S’ α α’ A, paralelo a S S’ α α’ A, corta os sólidos segundo secções de mesma área S S’ α α’ A. O Princípio de Cavalieri afirma que o volume de S S’ α α’ A é igual ao volume de S S’ α α’ A.

O volume do cilindroO procedimento é tomar um cilindro circular reto e um paralelepípedo, ambos com alturas e áreas de base iguais, e assentá-los em um mesmo plano. Toda secção do cilindro, que é paralela à base, é congruente a ela e, portanto, tem a mesma área. Ocorre o mesmo com o paralelepípedo. Logo, as áreas A’ A’’ e A’ A’’ são iguais. Pelo Princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo volume, que é igual ao produto da área S S’ α α’ A da base pela sua altura r h.

S S’ α α’ A

S S’ α α’ A

S S’ α α’ A S S’ α α’ A

S S’ α α’ A A’ A’’

fig. 1

fig. 3

fig. 2

r h

r h

r h

S S’ α α’ AA’ A’’

S S’ α α’ A

A’ A’’

S S’ α α’ AA’ A’’

A’ A’’

S S’ α α’ A

S S’ α α’ AS S’ α α’ A

A1 A2 (A1/A) = (h1/h)2 = (A2/A) A1 =A2A1 A2 (A1/A) = (h1/h)2 = (A2/A) A1 =A2

h1


Um plano paralelo a S S’ α α’ A que dista E 2r d π(r2−d2) do centro da esfera a intersecciona segundo um círculo de área E 2r d π(r2−d2). A secção do sólido S S’ α α’ A por esse mesmo plano é a coroa circular limitada pelas circunferências de raio r h e E 2r d π(r2−d2), como mostra a figura, e sua área também é E 2r d π(r2−d2). Logo, pelo Princípio de Cavalieri, o volume da esfera de raio r h é dado por

πr2 ·2r−2 ·1

3

πr2 · r=

4

3

πr3

Assim, temos:

O volume de uma esfera de raio r h é dado por (4/3)πr3.

Chegamos então, a partir desses resultados, às relações obtidas experi-mentalmente:

Vcone

Vcilindro=

1

3

Vsemiesfera

Vcilindro=

2

3Vcone +Vsemiesfera = Vcilindro

Vcone

1=

Vsemiesfera

2=

Vcilindro

3 e

Vcone

Vcilindro=

1

3

Vsemiesfera

Vcilindro=

2


Vcone

1=

Vsemiesfera

2=

Vcilindro

3

Consequentemente,

Vcone

Vcilindro=

1

3

Vsemiesfera

Vcilindro=

2


Vcone

1=

Vsemiesfera

2=

Vcilindro

3

e

Vcone

Vcilindro=

1

3

Vsemiesfera

Vcilindro=

2


Vcone

1=

Vsemiesfera

2=

Vcilindro

3

SugestõesDepois de obtido o volume da esfera, poderá ser apresentada a área da 1. superfície esférica. Ver [Lima, 2000, p. 269-270].O volume de uma cunha esférica e a área de um fuso esférico também 2. podem ser obtidos, respectivamente, do volume e da área da esfera através da observação de que ambos são proporcionais ao ângulo diedro correspondente.

Com argumentos geométricos envolvendo semelhança e área de triângulos, podemos mostrar que qualquer plano paralelo ao plano das bases, distando h1 dos vértices, secciona ambos os sólidos segundo regiões de áreas A1 A2 (A1/A) = (h1/h)2 = (A2/A) A1 =A2 e A1 A2 (A1/A) = (h1/h)2 = (A2/A) A1 =A2, temos

A1 A2 (A1/A) = (h1/h)2 = (A2/A) A1 =A2, ou seja, A1 A2 (A1/A) = (h1/h)2 = (A2/A) A1 =A2.

Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cone e a pirâmide têm volumes iguais. E, sabendo que o volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura, concluímos que:

O volume de um cone circular com raio r h da base e altura r h é dado por (1/3)πr2h.

O volume da esferaConsideremos uma esfera E 2r d π(r2−d2) de raio r h.

Chamemos de S S’ α α’ A o sólido que restar no cilindro de raio r h e altura E 2r d π(r2−d2), ao serem retirados dele, a partir de suas bases, dois cones congruentes, de raio r h e altura r h, como na figura. Assim, consideremos apoiados sobre um plano horizontal S S’ α α’ A a esfera e o sólido S S’ α α’ A. Vamos agora comparar esses dois sólidos.

fig. 4

E 2r d π(r2−d2)E 2r d π(r2−d2)

E 2r d π(r2−d2)E 2r d π(r2−d2)

E 2r d π(r2−d2)

E 2r d π(r2−d2)

S S’ α α’ A


Os alunos devem observar que a reflexão dessa parte do cone, em relação ao espelho, é, visualmente, a outra parte do cone.

Mais formalmente, consideremos um cone circular reto e um plano S S’ α α’ A contendo o eixo deste cone. Lembramos que o eixo de um cone circular reto é a reta perpendicular à sua base passando por seu centro. Esse plano divide o cone em duas partes iguais. A reflexão em relação ao plano α de cada uma das partes do cone coincide com a outra parte. Dizemos que o cone tem simetria de reflexão em relação ao plano S S’ α α’ A. Dizemos também que o plano S S’ α α’ A é um plano de simetria do cone. De modo análogo, podemos também explorar algumas simetrias em relação ao plano do cilindro, da esfera e da semiesfera. Também podemos dizer, de um modo geral, que uma figura é simétrica em relação a um determinado plano se sua reflexão em relação a esse plano coincide com ela.

Variações

Os sólidos construídos na etapa 1 deste experimento podem ser utilizados para abordar alguns conceitos de simetria do cone, cilindro, esfera e semies-fera. A seguir apresentamos uma sugestão relativa a essa abordagem.

Simetrias do conePara uma introdução ao estudo sobre algumas simetrias do cone, inicial-mente solicite aos alunos que dividam o cone construído na etapa 1 através de sua secção meridiana em duas partes iguais e que coloquem uma dessas partes junto a um espelho, como na figura.

fig. 5

fig. 6

espelho

eixo do cone


Bibliografia

Ávila, Geraldo. Arquimedes, a esfera e o cilindro. Revista do Professor da Matemática. São Paulo, nº 10, p. 11-20, 1987.

Eves, Howard. Introdução à História da Matemática. 4ª ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Vol 2, Coleção do Professor de Matemática, (3ª Edição). Rio de Janeiro: sbm, 2000.

Lima, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria, Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: sbm, 1991.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorasClaudina Izepe Rodrigues, Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira

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