Embed Size (px)
Citation preview
Comportamento e Dimensionamento de Cantoneiras de Aço
com Abas Compactas Submetidas a Compressão
Virgílio Figueiredo Costa Preto
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Orientadores
Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim
Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis
Júri
Presidente: Professor Luís Manuel Coelho Guerreiro
Orientador: Professor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis Vogais: Professor Luís Manuel Calado de Oliveira Martins
Junho 2016
ii
i
Agradecimentos
A elaboração desta dissertação é fruto de muito esforço durante um período, que se veio a
demonstrar bastante decisivo da minha vida. A sua realização não seria possível sem a contribuição,
direta e indireta, de diversas pessoas às quais pretendo deixar os meus sinceros agradecimentos.
Em primeiro lugar, agradeço aos meus orientadores, o Professor Pedro Borges Dinis e o
Professor Dinar Camotim pela sua disponibilidade no decorrer da elaboração deste trabalho. Por
toda a compreensão e preocupação, por todo o tempo disponibilizado para a correção e orientação
de todo o trabalho, o meu muito obrigado.
Quero agradecer também a todos os meus amigos, por toda a compreensão e amizade, e
especialmente por todo o apoio e confiança nos momentos mais difíceis.
Um agradecimento muito especial também à minha família, por toda a paciência, tolerância
e força durante a elaboração deste trabalho. Por todo o apoio que me deram e que me permitiu
chegar a esta fase da minha vida. Sem eles nada teria sido possível.
ii
iii
Resumo
A presente dissertação apresenta um estudo sobre o comportamento e dimensionamento
de cantoneiras compactas de abas iguais de aço laminado a quente submetidas a compressão
concêntrica.
Começam-se por rever o trabalho realizado por alguns investigadores no domínio da
estabilidade, pós-encurvadura e resistência última de cantoneiras finas e compactas. Faz-se ainda
referência ao dimensionamento de colunas pelo Método da Resistência Directa (MRD) e a curvas
alternativas propostas por outros autores. É também mencionado os estudos realizados por alguns
investigadores sobre o efeito das tensões residuais na resistência ultima de cantoneiras em aço.
Apresenta-se uma análise linear de estabilidade, para diferentes características geométricas
da secção transversal, com o objectivo de recuperar os resultados obtidos por outros autores em
estudos semelhantes e estudar os modos e tensões críticas associadas à instabilidade das colunas
estudadas. Avalia-se também, através de trajectórias de equilíbrio, deslocamentos, distribuições de
tensões e deformações plásticas e deformadas da secção, o comportamento física e
geometricamente não-linear de colunas bi-encastradas com imperfeições geométricas iniciais
correspondentes à configuração deformada do modo crítico. Ao longo das análises, é discutida a
influência das tensões residuais no comportamento e resistência das cantoneiras.
Finalmente, comparam-se valores obtidos para a resistência última (através do programa
ABAQUS) de colunas bi-encastradas com as resistências estimadas através do Método da
Resistência Directa.
Palavras-Chave: Cantoneiras laminadas a quente, Tensões Residuais, Resistência Ultima e
Dimensionamento, Método Resistência Directa.
iv
Abstract
This master’s thesis presents a study on the behaviour and design of concentrically
compressed Hot-Rolled Steel Angle Columns.
This work starts off with the research work of several authors on the stability, post-buckling
and resisting capacity of plain and lipped steel angles. References are made to the design of columns
by the Direct Strength Method (DSM) and alternative expressions proposed by other authors. It’s also
mention the investigation done by some authors of the effect of residual stresses in resisting capacity
of steel angles
A linear stability analysis on columns with different boundary conditions and cross-section
properties are presented with the goal of observing some already known results and assessing critical
modes and stresses associated with the buckling of those members. Equilibrium paths,
displacements, stress and plastic strain distributions are also used to evaluate the physical and
geometrically non-linear behaviour of fixed-ended columns with critical mode based imperfections.
Throughout the mentioned analysis, the influence of the residual stresses on the behaviour and
resistance of angles is discussed.
Finally, ultimate stresses (obtained through ABAQUS) of fixed-ended columns are compared
to the estimates provided by the Direct Strength Method.
Key Words: Hot-Rolled Steel Angle Columns, Residual Stresses, Ultimante Resistance and Design,
Direct Strenght Method
v
Índice
Agradecimentos ................................................................................................................................... i
Resumo ................................................................................................................................................iii
1. Introdução ................................................................................................................................... 1
1.1 Enquadramento Geral ......................................................................................................... 1
1.2 Objetivos e Metodologia ..................................................................................................... 3
1.3 Organização da Dissertação ................................................................................................ 4
2 Revisão de Literatura .................................................................................................................. 7
2.1 Introdução ........................................................................................................................... 7
2.2 Comportamento de Estabilidade ........................................................................................ 7
2.3 Comportamento de Pós-Encurvadura Elástico ................................................................. 10
2.4 Comportamento de Pós-Encurvadura Elásto-Plástico ...................................................... 16
2.5 Nova Proposta de Dimensionamento Baseada no MRD ................................................... 18
2.6 Cantoneiras de Seção Compacta ....................................................................................... 21
2.7 Efeito das Tensões Residuais ............................................................................................. 25
3. Comportamento de Estabilidade .............................................................................................. 31
3.1 Introdução ......................................................................................................................... 31
3.2 Teoria Generalizada de Vigas ............................................................................................ 31
3.3 Análise Linear de Estabilidade e Seleção dos Perfis .......................................................... 32
3.4 Evolução e Influência do Modo de Flexão na Maior Inércia ............................................. 37
3.5 Escolha dos Perfis .............................................................................................................. 42
4. Comportamento de Pós-Encurvadura ....................................................................................... 45
4.1 Introdução ......................................................................................................................... 45
4.2 Análise de Elementos Finitos ............................................................................................ 45
4.3 Análises de Pós Encurvadura em Regime Elástico ............................................................ 48
4.4 Análises de Pós Encurvadura em Regime Elasto-Plástico ................................................. 54
4.5 Efeito das Tensões Residuais ............................................................................................. 58
5. Resistência Última e Dimensionamento ................................................................................... 65
5.1 Introdução ......................................................................................................................... 65
5.2 Proposta de Dimensionamento ........................................................................................ 65
vi
5.3 Resistência Última de Cantoneiras Compactas ................................................................. 70
5.4 Avaliação da Proposta de Dimensionamento para Cantoneiras Compactas ................................ 71
5.5 Índice de Fiabilidade.......................................................................................................... 73
6. Conclusões................................................................................................................................. 75
6.1 Propostas de Investigação Futura ..................................................................................... 77
7. Referências ................................................................................................................................ 79
8 Anexos ....................................................................................................................................... 81
vii
Índice de Figuras Figura 1. 1 – Elementos de aço com secção em L (cantoneiras) 1
Figura 1. 2 – Processo de laminação a quente de um elemento em aço 2
Figura 1. 3 – Torre de telecomunicações com cantoneiras em aço como elemento estrutural 2
Figura 2. 1 – Modos de deformação de uma secção em cantoneira. 8
Figura 2. 2 – Comportamento de encurvadura (a) Pcr vs L, (b) diagrama com a participação dos modos. 8
Figura 2. 3 – Comportamento de encurvadura de colunas F, PC e PS (a) Pcr vs L, (b) diagrama de participação
modal. 9
Figura 2. 4 – Trajectória P/Pcr vs β de coluna em cantoneira para variados comprimentos. 10
Figura 2. 5 – Coluna F9: (a) trajetória P/Pcr vs β, (b) evolução da configuração da deformada. 10
Figura 2. 6 – Evolução das tensões na secção transversal com o aumento da carga. 11
Figura 2. 7 – Trajetória P/Pcr vs β das colunas FR, F e L. 12
Figura 2. 8 – Distribuição de tensões longitudinais das colunas FR3 a ½ e ¼ de vão. 12
Figura 2. 9 – Trajetórias (a) P/Pcr vs dM, (b) P/Pcr vs dm das colunas F3, F6 e F9. 13
Figura 2. 10 – Trajectórias (a) dM /t, (b) dm /t perfis de longitudinais das colunas F3, F6 e F9. 13
Figura 2. 11 – Trajetórias (a) P/Pcr vs β, (b) P/Pcr vs dM, (c) P/Pcr vs dm de colunas PC. 15
Figura 2. 12 – Trajetórias (a) dM /t, (b) dm /t perfis de longitudinais das colunas PC3 e PC6. 15
Figura 2. 13 – Distribuição de tensões a ½ vão das colunas PC3 e PC6. 15
Figura 2. 14 – (a) Trajetória P/Pcr vs β para as relações fy/fcr=1.3, 2.5, 5.0 e ∞, (b) mecanismo plástico
fy/fcr=2.5. 17
Figura 2. 15 – (a) Trajetória P/Pcr vs β para as relações fy/fcr=1.3, 2.5, 5.0 e ∞, (b) deformação da coluna
aquando o colapso para fy/fcr=2.5. 17
Figura 2. 16 – (a) Trajetória P/Pcr vs β para as relações fy/fcr=1.3, 2.5, 5.0 e ∞, (b) mecanismo plástico
fy/fcr=2.5. 18
Figura 2. 17 – Curva Fcr,ft vs L para colunas com condições de apoio encastradas (a) 70x70x1, (b) 50x50x1, (c)
30x30x1, (d) 15x15x1. 22
Figura 2. 18 – Evolução do comprimento de transição com a mudança para (a) t constante, (b) b constante.
23
Figura 2. 19 – Evolução da relação fu/fnfte em função da esbelteza flexo-torsional. 24
Figura 2. 20 – Evolução da relação fu/fnfte em função da esbelteza flexo-torsional. 25
Figura 2. 21 – Proposta do Eurocódigo de dimensionamento para cantoneiras. 26
Figura 2. 22 – Resultados obtidos para diferentes valores de tensões residuais. 26
Figura 2. 23 – Resultados de tensões residuais obtidos experimentalmente. 27
Figura 2. 24 – Relação entre as tensões residuais e b/t. 28
Figura 2. 25 – Tensões residuais medidas em ambas as faces da cantoneira para dois perfis diferentes. 29
Figura 2. 26 – Média de tensões residuais entre face exterior e interior. 29
Figura 2. 27 – Modelo de 3 e 4 pontos de distribuição de tensões residuais. 30
Figura 2. 28 – Comparação dos resultados obtidos analiticamente para distribuição de 3 e 4 pontos com as
curvas de dimensionamento propostas pelo Eurocódigo. 30
Figura 3. 1 – Comportamento de estabilidade típico de uma coluna com secção em cantoneira. 32
Figura 3. 2 – Curva σcr vs L com comprimento de aba constante (a) 50, (b) 70, (c) 90mm. 33
Figura 3. 3 – Curva σcr vs L para cantoneiras com igual espessura. 35
Figura 3. 4 – Curva σcr vs L para cantoneiras com relação b/t (a) 25, (b) 20, (c) 15, (d) 10, (e) 7.5. 36
viii
Figura 3. 5 – Diagrama de participação modal associada a cantoneiras com b/t= (a) 25, (b) 20, (c) 15, (d) 10,
(e) 7.5. 39
Figura 3. 6 – Diagrama de participação modal associada a cantoneiras com b/t= 15. 39
Figura 3. 7 – Evolução do modo 2 ao longo do patamar flexão –torção para perfis com (a) b/t variavel, (b) b/t
constante. 40
Figura 3. 8 – Comparação da evolução Pcr com Pcrt para a secção 70x70x4.5. 41
Figura 3. 9 – Relação fcr.LT vs b/t de cantoneiras laminadas a quente. 43
Figura 4. 1 – Ficheiro INP. 46
Figura 4. 2 – Linhas de código do ficheiro INP (introdução da imperfeição geométrica). 47
Figura 4. 3 – Trajetória de equilibrio P/Pcr vs β da coluna 70x4.67 para L/LT=0.25, 0.5, 0.75, 1. 48
Figura 4. 4 – Trajectória de equilibrio pós encurvadurda da colunas com secção (a) 70x70x3.5, (b) 70x70x4.5,
(c) 70x70x5.6. 49
Figura 4. 5 – Evolução da deformada da secção transversal a ¼ e ½ de vao da coluna com secçaõ 70x70x4.5.
50
Figura 4. 6 – Evolução das tensões na secção ½ vão nas colunas com secção 70x4.67 com comprimento (a)
L/LT=0.25, (b) 0.75. 50
Figura 4. 7 – Trajetórias P/Pcr vs dM/t para colunas com L/LT=0.25, 0.75. 52
Figura 4. 8 – Trajetórias P/Pcr vs dm/t para colunas com L/LT=0.5, 0.75. 52
Figura 4. 9 – Perfis longitudinais dM/t e dm/t da cantoneira 70x4.67 para comprimentos (a) L/LT=0.25, (b)
L/LT=0.75. 52
Figura 4. 10 – Material linear (a) elástico, (b) elástico - perfeitamente plástico. 54
Figura 4. 11 – Trajetória de equilibrio elasto-plástico para a fy/cr=1.0, 1.8, 2.5. 55
Figura 4. 12 – Evolução das deformações plásticas na coluna 70x4.67 com fy/fcr=1.8. 55
Figura 4. 13 – Trajetória de equilibrio elasto-plástico da coluna em cantoneira 70x4.67 com fy/fcr=1.0, 1.8,
2.5. 56
Figura 4. 14 – Evolução das deformações plásticas da coluna 70x4.67 com comprimento L/LT=0.75 para
fy/fcr=1.0. 57
Figura 4. 15 – Evolução das deformações plasticas para a coluna 70x4.67 com comprimento L/LT=0.75 e
fy/fcr=2.5. 57
Figura 4. 16 – Distribuição linear de três pontos. 58
Figura 4. 17 – Distribuição linear de 4 pontos. 58
Figura 4. 18 – Ficheiro de FORTRAN. 59
Figura 4. 19 – Ficheiro INP do abaqus com tensões iniciais. 59
Figura 4. 20 – Distribuição de tensões iniciais para o diagrama de 3 pontos e 4 pontos respectivamente. 60
Figura 4. 21 – Interface do programa ABAQUS aquando a introdução de tensões iniciais. 60
Figura 4. 22 – Comparação com e sem tensões da coluna 70x4.67 com o comprimento L/LT (a) 0.25, (b) 0.5,
(c) 0.75, (d) 1. 61
Figura 4. 23 – Evolução das deformações plásticas da coluna 70x4.67 com comprimento L/LT=0.5 e fy=500
MPa , distribuição de 3 pontos . 61
Figura 4. 24 – Efeito das tensões iniciais: relação vs λft. 62
Figura 4. 25 – Efeito das tensões iniciais: relação vs L/LT. 63
Figura 4. 26 – Efeito das tensões iniciais: relação vs b/t. 63
Figura 5. 1 – Valores das relações de tensão última de flexão-torção fu/fy vs λft 67
Figura 5. 2 – Curvas fnte propostas para Δf=0.16, 1.80 e 7.20 69
ix
Figura 5. 3 – Relação fu/fyvs. 𝜆fte para as metodologias de propostas por Dinis & Camotim 72
Figura 5. 4 – Relação fu/fnfte vs. 𝜆fte para as metodologias de propostas por (a) Dinis & Camotim, [5] e (b)
Justiniano [5] 72
Índice de Tabelas
Tabela 1 – Principais características geométricas dos perfis selecionados ...................................................... 38
Tabela 2 – Participação do modo 2 no modo de instabilidade 2+4 para colunas com comprimento LT .......... 40
Tabela 3 – valores f.GBTUL e f.a ....................................................................................................................... 42
Tabela 4 – Propriedades das colunas em estudo (dimensões em mm, tensões em MPa) ................................ 44
Tabela 5 - Propriedades das colunas em estudo (dimensões em mm, tensões em MPa) ................................ 44
Tabela 6 – Média, desvio padrão, valor maximo e minimo .............................................................................. 70
Tabela 7 – Factor de Resistencia LRFD para o método DSM-F ......................................................................... 70
Tabela 8 – Média , Desvio Padrão, Máximo e Minimo ..................................................................................... 73
Tabela 9 – Indice de Fiabilidade LRFD, 𝝓 ......................................................................................................... 74
x
Índice de Símbolos
b - Comprimento da aba da cantoneira
t - Espessura da aba da cantoneira
fbt - Tensão crítica torsional
fcre- Tensão crítica de Euler
fcrft - Tensão crítica flexo - torsional
fnfte - Tensão de dimensionamento de cantoneiras com modo de instabilidade flexo torsional.
F- Colunas encastradas
PC - Colunas de apoio cilíndrico com a flexão em torno da menor inércia libertado
Pcr – Carga critica
dm- Deslocamentos no eixo da maior inércia
dM - Deslocamento no eixo de menor inércia
fy – Tensão de cedência
fcr – Tensão critica
Δf - Variável adimensional que traduz a % de participação do modo de deformação de flexão em
torno da maior inércia no modo de instabilidade flexo-torsional
β - Variável adimensional que traduz o efeito da alteração do centroide efectivo da seção na
resistência última de cantoneiras rotuladas
fu – Tensão última obtida através de análises numéricas
β1 - Fator da tensão residual de compressão nos cantos exteriores
β2 - Fator de tensão residual de tração a meio da aba
β3 - Fator de tensão residual de compressão no canto interior
ϕ - Fator de fiabilidade referente ao LRFD
1
Figura 1. 1 – Elementos de aço com secção em L (cantoneiras).
1. Introdução
1.1 Enquadramento Geral
Esta dissertação, no âmbito do Mestrado Integrado em Engenharia Civil do Instituto Superior
Técnico, tem por objetivo estudar o comportamento e o dimensionamento de cantoneiras compactas
quando submetidas a compressão centrada.
A cantoneira é um perfil metálico de secção em L, composto por duas abas formando um
ângulo de 90 graus entre si. As abas das cantoneiras podem possuir comprimentos iguais ou não.
As cantoneiras de aço (ver figura 1.1) podem ser obtidas recorrendo a dois processos de
fabrico diferentes: laminadas a quente ou enformadas a frio. Nesta dissertação estuda-se o
comportamento de cantoneiras obtidas através do primeiro destes processos, as quais exibem
habitualmente abas de dimensões (comprimento b e espessura t) superiores às das cantoneiras
enformadas a frio. As abas das primeiras são por isso classificadas/designadas por compactas
(b/t<20) e as segundas por esbeltas (b/t20).
O processo de fabrico das cantoneiras laminadas a quente consiste na laminação de metais
e ligas, o qual acontece acima da temperatura de recristalização do material (50% do ponto de
fusão). A placa ou chapa ao ser laminada é reaquecida em fornos. Em seguida, passa através de
grandes cilindros, que a comprimem de modo a diminuir sua espessura e a obter a forma pretendida
(ver figura 1.2). Durante a fase de arrefecimento do elemento, devido ao facto de o abaixamento da
2
Figura 1. 2 – Processo de laminação a quente de um elemento em aço.
temperatura não ser uniforme ao longo da secção, é criado uma distribuição de tensões iniciais auto-
equilibradas, habitualmente designadas por tensões residuais.
A utilização das cantoneiras em torres de transmissão de energia elétrica e de
telecomunicações consiste numa das suas aplicações mais correntes em estruturas metálicas (ver
figura 1.3), devendo-se essa utilização sobretudo (i) à sua elevada eficiência estrutural (relação
resistência/peso) e (ii) à grande facilidade de ligar elementos em planos perpendiculares (e.g.,
através do aparafusamento), resultando numa solução estrutural simples e barata.
Figura 1. 3 – Torre de telecomunicações com cantoneiras em aço como elemento estrutural.
3
Contudo, devido à geometria da secção, as cantoneiras não possuem rigidez de torção
associada ao empenamento primário e são, por isso, muito suscetíveis a fenómenos de encurvadura
que envolvem deformações por torção. No entanto, a dificuldade na distinção entre deformações
locais e de torção neste tipo de perfis tem dado origem a que se confunda a instabilidade local das
abas com instabilidade global por torção. Esta diferenciação é importante pois os dois fenómenos
de instabilidade exibem comportamentos de pós-encurvadura distintos, com resistências claramente
significativa em termos locais e diminuta em termos globais.
O comportamento das cantoneiras de aço de comprimento curto-a-intermédio foi estudado
por inúmeros investigadores ao longo das últimas décadas. No entanto, apesar da sua geometria
simples, o comportamento destes perfis nunca foi totalmente clarificado (muito pelas dificuldades
referidas anteriormente), não sendo consensual as regras para o seu dimensionamento. Esta
afirmação pode ser confirmada, pelo facto de as cantoneiras não poderem actualmente ser
dimensionados de acordo com um método recentemente desenvolvido para o dimensionamento de
perfis de aço enformados a frio, o Método da Resistência Direta (MRD − Direct Strength Method, na
designação anglo-saxónica [1]), o qual está desde 2004 incluído na regulamentação Norte Americana
de Estruturas de Aço Enformadas a Frio (actualmente este método também já foi incluído na
regulamentação australiana e brasileira). De facto, devido às singularidades/complexidades do
comportamento das cantoneiras, esta regulamentação exclui claramente a possibilidade destes
perfis serem dimensionados com recurso às actuais curvas de dimensionamento incluídas nesse
regulamento. Desde o início desta década, este assunto tem sido objecto de investigação no Instituto
Superior Técnico (IST), tendo sido alcançados resultados importantes quanto à compreensão do
comportamento das cantoneiras quando submetidas a compressão centrada, os quais permitiram
desenvolver curvas de dimensionamento específicas para estes perfis.
1.2 Objetivos e Metodologia
Esta dissertação insere-se na investigação iniciada no IST para cantoneiras de aço
enformadas a frio, de abas iguais e comprimentos curtos-a-intermédios, a qual permitiu (i), com base
na Teoria Generalizada de Vigas (GBT – Generalised Beam Theory, na designação anglo-saxónica),
distinguir claramente a instabilidade local da instabilidade global, (ii) identificar a importância no
comportamento destes perfis da interação entre dois modos de instabilidade globais (flexão-torção e
flexão na menor inércia), e, finalmente, (iii) desenvolver uma metodologia racional de dimensionamento
baseadas no Método de Resistência Direta para cantoneiras enformadas a frio [2-4].
4
Tendo sido estudado o comportamento e dimensionamento de cantoneiras de aço
enformadas a frio submetidas a compressão centrada, procede-se nesta dissertação ao alargamento
deste estudo a cantoneiras compactas laminadas a quente. O objetivo final do estudo consiste na
criação de uma metodologia de dimensionamento global para cantoneiras independentemente das
características geométricas ou processo de fabrico.
Assim, os objetivos desta dissertação envolvem: (i) o estudo do comportamento das
cantoneiras compactas (cantoneiras de abas com relações b/t < 20, onde b e t correspondem,
respectivamente, ao comprimento e à espessura da aba), quando submetidas a compressão
centrada, e (ii) o dimensionamento destes perfis recorrendo ao Método da Resistência Direta.
Ao nível do comportamento mecânico das cantoneiras submetidas a compressão centrada
pretende-se:
i- Compreender o efeito da redução da relação b/t no comportamento de estabilidade em
cantoneiras encastradas.
ii- Analisar se existe alteração do comportamento de instabilidade, e as consequências no
comportamento de pós-encurvadura elástico e elásto-plástico da relação b/t, tendo
nomeadamente em conta o efeito das tensões residuais na resistência última destes perfis.
Em termos do dimensionamento das cantoneiras laminadas a quente submetidas a
compressão centrada pretende-se:
i- Determinar um conjunto significativo de cargas de colapso de perfis com diferentes
geometrias e relações entre as tensões críticas e de cedência.
ii- Avaliar a adequabilidade das curvas de dimensionamento do Método da Resistência Direta
(MRD), proposta por Dinis & Camotim [4] e Justiniano [5], para estimar a capacidade
resistente destes elementos estruturais.
1.3 Organização da Dissertação
A presente dissertação está organizada em 6 capítulos, os quais são apresentados
resumidamente em seguida.
O Capítulo 1 é referente à introdução, onde se enquadra o trabalho desenvolvido no âmbito
da dissertação, bem como de questões sobre as quais a dissertação incide.
5
No Capitulo 2 apresenta-se uma revisão da literatura disponível sobre cantoneiras de abas
iguais, nomeadamente os estudos realizados no IST. Este capítulo serve essencialmente para
clarificar os fenómenos ligados à instabilidade de cantoneiras submetidas a compressão centrada,
os seus efeitos no comportamento destes perfis e a sua inclusão no método de dimensionamento
proposto. Apresentam-se ainda estudos existentes sobre o efeito das tensões residuais na
resistência última de cantoneiras laminadas a quente.
O terceiro capítulo apresenta os resultados do estudo do comportamento de estabilidade de
cantoneiras compactas com condições de apoio encastradas, quando submetidas a compressão
centrada. Este estudo é efectuado com recurso ao programa GBTUL, o qual foi desenvolvido no IST
e tem por base a Teoria Generalizada de Vigas. O estudo efectuado permite também seleccionar a
geometria (dimensão da secção transversal e do comprimento) do conjunto de perfis a analisar nos
capítulos seguintes.
No quarto capítulo procede-se à análise de pós-encurvadura das cantoneiras seleccionadas
quando submetidas à compressão. Inicia com o estudo do comportamento de pós-encurvadura
elástico e elásto-plástico, sendo as análises efectuadas com recurso ao programa ABAQUS. Neste
capítulo faz-se ainda uma análise do efeito das tensões residuais no comportamento elasto-plástico
e na resistência última das cantoneiras.
No Capitulo 5 apresentam-se os resultados de um estudo paramétrico visando a obtenção
de uma base de dados significativa de cargas de colapso de cantoneiras compactas com tensões
residuais, quando submetidas a compressão centrada. Os resultados desse estudo são
posteriormente utilizados para avaliar a adequabilidade das curvas de dimensionamento do MRD,
proposta por Dinis & Camotim [4] e Justiniano [5], para estimar a capacidade resistente destes
elementos estruturais.
O sexto capítulo expõe as conclusões retiradas deste estudo e apresenta um conjunto de
possibilidades para futuros desenvolvimentos no âmbito do estudo de cantoneiras.
Por fim, refira-se que o trabalho desenvolvido deu origem a um artigo que será apresentado
numa conferência internacional a decorrer no decurso do presente ano [6].
6
7
2 Revisão de Literatura
2.1 Introdução
A cantoneira é um perfil com a geometria mais simples possível, correspondendo à junção de
duas placas unidas numa das extremidades. Como é sabido, as secções abertas com todas as
paredes unidas num único ponto apresentam uma constante de empenamento primário nula, o que
torna estes perfis muito suscetíveis a fenómenos de instabilidade por torção.
O comportamento e o dimensionamento de cantoneiras submetidas à compressão foi
estudado por inúmeros investigadores, entre os quais Kitipornchai [7,8], Popovic [9,10], Trahair
[11,12], Mohan et al. [13], Young [14], Ellobody & Young [15] e Rasmussen [16,17], Muitos dos
trabalhos visaram o dimensionamento destes perfis, tendo os autores recorrido sobretudo a
conceitos baseados na instabilidade local (a distinção entre deformações locais e torsionais não é
fácil neste tipo de perfis). Mais recentemente, Dinis et al [2] estudaram o comportamento de
estabilidade de colunas com secções em L, T e cruciforme (secções abertas com todas as paredes
unidas num ponto), com base na Teoria Generalizada das Vigas (GBT), tendo obtido resultados
inovadores. Os resultados desse estudo referentes a cantoneiras vão ser descritos neste capítulo,
sendo também referidos detalhadamente os trabalhos destes autores sobre o comportamento de
pós-encurvadura em cantoneiras (de abas) finas (com b/t > 20) quando submetidas a compressão
centrada [3]. Finalmente, apresenta-se a proposta de dimensionamento para cantoneiras finas
baseada no Método da Resistência Directa formulada por Dinis & Camotim [4] e a calibração
proposta por Justiniano para cantoneiras compactas [5].
A presente dissertação de mestrado pretende investigar o comportamento de resistência
última de cantoneiras compactas submetidas a compressão centrada, tendo em conta o efeito
provocado pelas tensões iniciais. Assim, apresenta-se também neste capítulo estudos realizados
recentemente sobre a distribuição de tensões residuais em cantoneiras laminadas a quente, bem
como os efeitos das mesmas na resistência última dessas colunas.
2.2 Comportamento de Estabilidade
Dinis et al. [2] iniciaram em 2010 um estudo sobre o comportamento de estabilidade de
colunas com secção em L de parede fina, sendo que os resultados obtidos com recurso a Teoria
Generalizada das Vigas (GBT). Esta teoria tem a grande vantagem de permitir caracterizar o
comportamento dos perfis com base em modos de deformação da secção transversal (possibilita a
8
decomposição da deformada do elemento numa combinação linear de modos de deformação),
representando-se na figura 2.1 seis modos de deformação de uma secção em cantoneira. Os modos
de deformação 1 a 4 correspondem a deformação devido a compressão axial (não representado),
flexão em torno do eixo de maior inércia, flexão em torno do eixo de menor inércia e torção,
respetivamente. Os restantes modos de deformação são locais.
Figura 2. 1 – Modos de deformação de uma secção em cantoneira.
Estas características permitiram distinguir os modos de encurvadura locais e/ou globais das
cantoneiras analisadas, mostrando-se na figura 2.2a a evolução da carga critica com o o
comprimento da coluna para a cantoneira com a secção 70x70x1.2 (mm). Por sua vez, na figura 2.2b
representa-se a evolução com o comprimento da participação de cada modo de deformação na carga
critica.
Da análise desta figura os autores concluíram que o modo de deformação dominante para
colunas curtas-a-intermédias é o modo de torção. Além disso, constataram que as deformações
locais têm uma contribuição bastante reduzida na encurvadura da coluna (só são importantes para
colunas muito curtas).
Figura 2. 2 – Comportamento de encurvadura (a) Pcr vs L, (b) diagrama com a participação dos modos.
(a)
Fig
ura
5.
2 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
(b)
Fig
ura
5.
1 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
9
Dinis et al. [3] estudaram o comportamento de estabilidade para as condições de apoio
encastrado (F), cilíndrico (PC flexão em torno do eixo de menor inércia livre) e esférica (PS flexão
em torno dos dois eixos livre). A figura 2.3 mostra a evolução da carga crítica e os modos de
deformação presentes na carga critica para os vários comprimentos de coluna.
Dos resultados obtidos os autores concluíram que:
i- Para as várias condições de apoio, a instabilidade dos vários comprimentos de coluna são
cobertos pelos modos de deformação 2,3,4 e 6.
ii- Por a secção exibir apenas simetria em relação ao um eixo (o de maior inércia) todas as
colunas com comprimentos curto-a-intermédio instabilizam em flexão-torção (flexão em
torno do eixo de maior inércia), sendo a carga crítica praticamente constante (diagrama Pcr
vs. L com um patamar).
iii- Para as condições de apoio esférica e cilíndrica as colunas revelam comportamentos
semelhantes para comprimentos curtos: a deformação provocada pela torção continua a
ter um papel muito importante na instabilidade até comprimentos longos, para os quais a
instabilidade por flexão em torno do eixo de menor inércia passa a ser preponderante.
iv- Comparando as condições de apoio de uma coluna encastrada com uma coluna com as
condições de apoio cilíndrica e esférica, estas apenas diferem na parte final do “plateau”.
Isto sucede pois o modo de instabilidade 3 entra em ação para comprimentos mais longos
em colunas com apoio bi-encastrado do que as colunas com apoios simples. Assim, para
uma cantoneira com esta secção, os comportamentos são absolutamente iguais,
independentemente das condições de apoio, para L<420 cm.
Figura 2. 3 – Comportamento de encurvadura de colunas F, PC e PS (a) Pcr vs L, (b) diagrama de participação modal.
(a)
Fig
ura
5.
4 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
(b)
Fig
ura
5.
3 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
10
2.3 Comportamento de Pós-Encurvadura Elástico
Dinis et al. [3] analisaram o comportamento pós-encurvadura elástica de colunas com
secção em cantoneira para as condições de apoio, bi-encastrada e apoio cilíndrico.
Colunas bi- encastradas
Para o estudo do comportamento de colunas com as condições de apoio encastradas,
analisaram a evolução da trajetória P/Pcr vs β, sendo β a rotação devido a torção, para colunas com
vários comprimentos (ver figura 2.4). Estudaram também a evolução da deformada da secção a ½
vão da coluna F3 e a ¼ e ½ vão da coluna F9 (figura 2.5). A figura 2.6 mostra a evolução das tensões
longitudinais na secção a meio vão da coluna F3 e F9.
Figura 2. 4 – Trajectória P/Pcr vs β de coluna em cantoneira para variados comprimentos.
Figura 2. 5 – Coluna F9: (a) trajetória P/Pcr vs β, (b) evolução da configuração da deformada.
(a)
Fig
ura
5.
6 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
(b)
Fig
ura
5.
5 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
11
Dinis et al [3] concluíram que:
i- À medida que o comprimento da coluna aumenta, as trajetórias tornam-se
progressivamente mais flexíveis, mudando drasticamente o comportamento para
comprimentos mais longos. O comportamento pós encurvadura das colunas F1 a F7 é
estável, enquanto o das colunas F8 a F10 é instável. As colunas F8 e F9 têm uma
inversão na rotação da torção. A trajetória da coluna F10 não tem inversão da rotação de
torção.
ii- Nas colunas F8 e F9 a inversão da rotação ocorre logo após a carga máxima ser atingida.
Esta inversão da rotação torsional ocorre gradualmente para βs menores com o aumento
do comprimento. Esta inversão de rotação é visível na figura 2.5.
iii- A tensão na linha média mantem-se uniforme até P/Pcr=0.8. À medida que se aumenta a
carga, as tensões deixam de ser uniformes. No entanto, as tensões são lineares em ambas
as abas. A distribuição de tensões é simétrica para colunas curtas e assimétrica para
colunas de comprimentos intermédios (ver figura 7).
iv- Era esperado que as tensões ao longo da secção seguissem uma distribuição quadrática,
de acordo com a convicção geral, nomeadamente Rasmussen [15]. No entanto, isso não
se verifica.
No sentido de esclarecer esta inesperada característica dos diagramas, Dinis et al [3]
realizaram análises ao comportamento pós encurvadura e identificaram a evolução da distribuição
de tensões longitudinais na secção das mesmas colunas com os deslocamentos do canto interno
restringidos (FR1-FR10). Foi-se também analisar placas isoladas com os deslocamentos de um dos
cantos restringidos (L1-L10). A figura 2.7 mostra então a evolução da trajetória P/Pcr vs β das colunas
FR e F e das placas L.
Figura 2. 6 – Evolução das tensões na secção transversal com o aumento da carga.
12
Figura 2. 7 – Trajetória P/Pcr vs β das colunas FR, F e L.
Figura 2. 8 – Distribuição de tensões longitudinais das colunas FR3 a ½ e ¼ de vão.
Deste estudo, Dinis et al [3] retiraram as seguintes conclusões:
i- As colunas do tipo FP e FR tem exatamente os mesmas tensões críticas.
ii- Restringir os deslocamentos do canto interior da cantoneira (FR1-FR10) afecta
significativamente o comportamento pós-encurvadura, particularmente para colunas
longas. O comportamento passa a ser claramente estável para qualquer comprimento.
iii- A restrição dos deslocamentos do canto interior tem um forte impacto na distribuição de
tensões ao longo da linha média da secção. A distribuição de tensões nas colunas FR é
semelhante a placas apoiadas ou colunas cruciformes.
13
iv- Pode-se também verificar que que a distribuição de tensões da secção varia mais a ¼ de
vao do que a ½ vão. Este fenómeno foi explicado por Stowell [18], e advém da extensão
axial provocada pela variação rotacional
De forma a analisar a influência dos deslocamentos do canto interior no comportamento pós-
encurvadura de cantoneiras com os deslocamentos do canto interior livre, Dinis et al [3] analisaram
os deslocamentos desse canto para as colunas F3, F6 e F9. Na figura 2.10 mostra-se a evolução
dos deslocamentos no eixo de menor inércia dM e no eixo de maior inércia dm ao longo do
comprimento dos perfis.
Figura 2. 10 – Trajectórias (a) dM /t, (b) dm /t perfis de longitudinais das colunas F3, F6 e F9.
Figura 2. 9 – Trajetórias (a) P/Pcr vs dM, (b) P/Pcr vs dm das colunas F3, F6 e F9.
14
Da análise dos deslocamentos do canto Dinis et al [3] observaram que:
i- Sendo que a flexão em torno do eixo de maior inércia faz parte do modo de deformação é
normal que com o aumentar da carga o dM aumente também. Nota-se ainda que a
deformada longitudinal apresenta a forma natural da deformada de uma coluna encastrada.
ii- Para as colunas curtas e intermédias, os deslocamentos evoluem monotonamente e os
valores dM mantêm-se pequenos (apesar de aumentarem bastante com o aumento do
comprimento). O mesmo não acontece para colunas longas (coluna F9) em que o
deslocamento evolui constantemente até de repente se dá uma inversão no dM. (os
deslocamentos são muito maiores que os das colunas F3 e F6). Esta inversão coincide
com o aumento abrupto dos deslocamentos dm
iii- Conforme os comprimentos vão aumentando as cargas necessárias para que a rotura se
dê por flexão em torno do menor eixo vai-se aproximando da carga crítica do modo de
flexão-torção
iv- Para as colunas F3 e F6 a deformada é composta por três meias ondas e dois quartos de
ondes e o dm e sempre positivo, mesmo na zona convexa.
v- Na coluna F9 começa com 3 meias ondas e, após a carga máxima P/Pcr=1.05, evolui para
uma deformada com uma única onda.
vi- A ocorrência de deslocamentos no eixo de maior e menor inércia, juntamente com os
subsequentes momentos provocados pelas condições de fronteira, explicam praticamente
a distribuição linear de tensões longitudinais. Alem disso, a pequena (F3) ou grande (F9)
assimetria da distribuição de tensões reflete a pequena quantidade de flexão em torno do
eixo de maior inercia e a combinação significante de momento em torno do maior e menor
eixo respetivamente
Colunas apoiadas
Dinis et al. [3] estudaram também os efeitos de retirar a restrição aos momentos nas
extremidades da coluna. As colunas em estudo tem apoios cilíndricos, rotação em torno do eixo de
menor inércia livre e prevenido de empenar (colunas PC)
Para a análise destas, analisou-se a relação P/Pcr vs β, P/Pcr vs dM e P/Pcr vs dm para vários
comprimentos (figura 11). Alem disso, tal como para as colunas F analisou-se os perfis longitudinais
de dM/t e dm/t das colunas PC3 e PC6 (figura 12).Por fim, investigou-se as tensões normais ao longo
da linha média da secção das mesmas colunas.
15
Da observação destes resultados foi possível retirar as seguintes conclusões:
i- Tal como para as colunas F, a resistência pós encurvadura das colunas PC diminui com o
aumento do comprimento. Como se pode ver na figura 2.10(a) as colunas PC1 e PC2 são
Figura 2. 11 – Trajetórias (a) P/Pcr vs β, (b) P/Pcr vs dM, (c) P/Pcr vs dm de colunas PC.
Figura 2. 12 – Trajetórias (a) dM /t, (b) dm /t perfis de longitudinais das colunas PC3 e PC6.
Figura 2. 13 – Distribuição de tensões a ½ vão das colunas PC3 e PC6.
16
claramente estáveis, exibem deslocamentos dM quase desprezáveis e dm pequenos a meio
vão. As colunas PC3 a PC7 são instáveis tendo deslocamentos dm muito maiores a ½ vão
e exibem pontos limite que, ou são abruptos e seguidos por uma inversão da rotação de
torção (PC3 e PC4), ou suaves e sem inversão da rotação torsional (PC5 a PC7).
ii- As trajetórias de equilíbrio das colunas PC exibem algumas semelhanças com as colunas
F. Por exemplo, existem inversões de rotação (colunas PC3 e PC4), devido a mudanças
da rotação torsional, mudando o perfil longitudinal de uma para 3 semi-ondas.
iii- As tensões normais na linha média da secção são uma vez mais completamente diferentes
das formas parabólicas “esperadas”. De facto, a distribuição de tensões das colunas são
ambas lineares mas são bastante diferentes sendo ou simétricas (PC6) ou assimétricas
(PC3).
iv- No entanto, também há diferenças que separam o comportamento pós-encurvadura das
colunas com apoios cilíndricos (PC1 a PC7) em relação às colunas com encastramento em
ambas as extremidades (F1 a F10). De facto: (iv1) a forma longitudinal de dm/t agora exibe
uma única semi-onda; (iv2) a diferença de valores entre dm e dM são muito maiores
independentemente do nível de cargas, enquanto nas colunas F a magnitude de dm e dM
são semelhantes até aparecer flexão em torno do eixo de menor inércia.
v- Olhando com maior atenção as formas longitudinais de dm verificamos que existe uma
região central plana que diminui com o aumento da carga. Esta região central plana
corresponde à combinação de uma dominante forma longitudinal de uma semi-onda e uma
menos relevante forma longitudinal de 3 semi-ondas. Na coluna PC6 este patamar é quase
impercetível porque a segunda componente é quase desprezável.
2.4 Comportamento de Pós-Encurvadura Elásto-Plástico
Dinis et al [3] analisaram também o comportamento elasto-plástico de colunas F e P. Os
resultados foram obtidos para 4 tipos de relação entre a tensão de cedência, fy, e a tensão de critica,
fcr, fy/fcr=1.3,2.5,5.0 e ∞ (comportamento elástico).
A figura 2.14 representa uma trajetória de equilíbrio elasto-plástico típica de cantoneira curta.
A figura mostra a trajetória P/Pcr vs β para as relações tensão de cedência e tensão critica de 1.3,
2.5 e 5. Alem disso mostra ainda as deformações plásticas no colapso para fy/fcr=2.5. Por sua vez, a
figura 2.15 diz respeito ao comportamento pós-encurvadura elasto-plástico para uma cantoneira
longa. Tal como na figura 2.14, apresenta-se a trajetória P/Pcr vs β para as mesmas relações de
tensões. Mostra-se a distribuição de tensões aquando o colapso, para a relação fy/fcr=2.5.
17
A observação dos resultados permite retirar as seguintes conclusões:
i- Enquanto as colunas F3 com fy/fcr=1.3 e 2.5 colapsam quando é a atingida a carga de rutura,
as colunas com fy/fcr=5.0 mostram uma pequena reserva de resistência elasto-plástica. A
coluna F3 a carga última aumenta significativamente com o aumento do fy.
ii- A deformada A mostra que o colapso acontece a ¼ e ¾ do vão
iii- A carga última da cantoneira longa é praticamente insensível à variação do fy. De facto,
para fy/fcr=2.5, 5.0 a coluna mantem-se elástica até ao colapso, já que o começo da plastificação
apenas acontece bem dentro do ramo decrescente da trajetória de equilíbrio.
Figura 2. 14 – (a) Trajetória P/Pcr vs β para as relações fy/fcr=1.3,2.5,5.0 e ∞, (b) mecanismo plástico fy/fcr=2.5.
Figura 2. 15 – (a) Trajetória P/Pcr vs β para as relações fy/fcr=1.3,2.5,5.0 e ∞, (b) deformação da coluna aquando o colapso para fy/fcr=2.5.
(a)
Fig
ura
5.
8 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
tini
an
o
[5](
a)
(b)
Fig
ura
5.
7 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
tini
an
o
[5](
a)
(a)
Fig
ura
5.
10
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
(b)
Fig
ura
5.
9 -
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
18
Figura 2. 16 – (a) Trajetória P/Pcr vs β para as relações fy/fcr=1.3,2.5,5.0 e ∞, (b) mecanismo plástico fy/fcr=2.5.
O mesmo tipo de estudo foi realizado para colunas com apoios cilíndricos. A figura 2.16 mostra a
trajetória de equilíbrio P/Pcr vs β da coluna P2 para a, fy/fcr, de 1.3, 2.5, 5.0, bem como a distribuição de
tensões da coluna P2 imediatamente antes do colapso, quando é utilizada a relação fy/fcr= 2.5.
Após a análise dos resultados obtidos os autores retiraram as seguintes conclusões:
i- Não existe nenhuma reserva de força elasto-plástica ou ductilidade, após o nível de
cedência ser atingido. A plastificação começa a meio da aba vertical da secção transversal
a ¼ e ¾ de vão, e começa o colapso
ii- Existe uma variação muito pequena da carga última com a variação da tensão de cedência.
Alem disso, não se justifica aumentar a tensão de cedência mais de 5 vezes, já que para
fy/fcr=5 o colapso ocorre abruptamente, na trajetória elástica
2.5 Nova Proposta de Dimensionamento Baseada no MRD
Tendo analisado os comportamentos de encurvadura e pós encurvadura das cantoneiras de
abas esbeltas submetidas a compressão centrada, Dinis & Camotim [4] propuseram uma nova
metodologia baseada no Método da Resistência Direta (MRD) para o dimensionamento destes perfis.
As actuais curvas de dimensionamento do MRD para colunas de aço enformadas a frio são
definidas por expressões do tipo Winter. Estas curvas foram calibradas para uma grande quantidade
de resultados numéricos e/ou experimentais e fornecem estimativas seguras e precisas da carga
ultima associada ao colapso por deformação local, distorcional, global e com interação local-global
(a)
Fig
ura
5.
12
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
tini
(b)
Fig
ura
5.
11
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
19
apenas com base na tensão crítica elástica (fcrl, fcrd, fcre) e na tensão de cedência do aço (fy) as
expressões correspondentes a colapsos com interação local-global são obtidas substituindo a tensão
de cedência pela resistência global . Em contexto das colunas com secção em cantoneira, as tensões
nominais, fnl, fne e fnle, são dadas por:
𝑓𝑛𝑙 = {
𝑓𝑦 , 𝜆𝑙 < 0.776
𝑓𝑦 (𝑓𝑐𝑟𝑙
𝑓𝑦)0.4
[1 − 0.15 (𝑓𝑐𝑟𝑙
𝑓𝑦)0.4
] , 𝜆𝑙 > 0.776 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝜆𝑙 = √𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟𝑙
𝑓𝑛𝑒 =
{
𝑓𝑦 (0.658𝜆𝑐2) , 𝜆𝑐 < 1.5
𝑓𝑦 (0.877
𝜆𝑐2 ) , 𝜆𝑐 > 1.5 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝜆𝑐 = √
𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟𝑒
𝑓𝑛𝑙𝑒 = {
𝑓𝑛𝑒 , 𝜆𝑙𝑒 < 0.776
𝑓𝑛𝑒 (𝑓𝑐𝑟𝑙𝑓𝑛𝑒
)0.4
[1 − 0.15 (𝑓𝑐𝑟𝑙𝑓𝑛𝑒
)0.4
] , 𝜆𝑙𝑒 > 0.776 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝜆𝑙𝑒 = √𝑓𝑛𝑒𝑓𝑐𝑟𝑙
Uma vez que as deformações locais são semelhantes às deformações por torção nas
cantoneiras, as duas são muitas vezes confundidas neste tipo de colunas. De facto, as expressões
fnle são usadas por vários autores para estimar a carga de colapso por deformação local-global, não
tendo em conta que estas colunas instabilizam por flexão-torção. Além disso, as características do
modo de flexão-torção variam consideravelmente ao longo do patamar horizontal das curvas Pcr vsL.
Dinis & Camotim [4] desenvolveram uma abordagem de dimensionamento com base no
MRD com fundamentação racional do ponto de vista estrutural que corrigisse as falhas conceptuais
referidas no parágrafo anterior.
Como foi mostrado anteriormente a carga última de ambas as colunas F e P, está fortemente
condicionada pela “localização” do comprimento da coluna dentro do patamar Pcr (L). As colunas
mais curtas, localizadas no lado esquerdo do patamar, exibem (i) um comportamento pós-
encurvadura estável, (ii) muito pouca flexão em torno do menor eixo e (iii) participação da flexão em
torno do eixo de maior inércia quase impercetíveis. Inversamente, as colunas mais longas,
localizadas no lado direito do patamar, exibem (i) uma resistência pós encurvadura quase nula, (ii)
flexão em torno do menor eixo considerável e (iii) valores da flexão em torno do eixo de maior inércia
(2.1)
(2.2)
(2.3)
20
visíveis. Assim, pode-se concluir que a carga de colapso da coluna diminui com o aumento do
comprimento devido a uma combinação da diminuição da resistência pós encurvadura e pelos maiores
efeitos de interação entre dois modos de instabilidade globais: flexão-torção e flexão na menor inércia.
Sendo que nas colunas P o efeito da interação é acentuado devido à inexistência dos momentos nos
encastramentos para contraírem o efeito da alteração do centróide efetivo da seção.
Assim, Dinis & Camotim [4] desenvolveram curvas de resistência baseadas no MRD para
colunas P e F que refletissem os comportamentos estudados anteriormente e definidos em Dinis et
al [2, 3]. Para que isto aconteça as curvas exibem as seguintes características:
i- Dado que que as colunas com secção em cantoneira colapsam maioritariamente pela
interação dos modos de deformação de flexão em torno do menor eixo e flexão-torção
(flexão em torno do eixo de maior inercia), as curvas envolvidas devem ser a curva MRD
de resistência global e as curvas de resistência de flexão-torção, que tem de ser
desenvolvidas para substituir a curva de resistência local utilizada no dimensionamento
MRD atual para colapso por interação local-global.
ii- Várias curvas de flexão-torção devem ser desenvolvidas de modo a detetar a redução
progressiva da resistência pós-encurvadura com o aumento do comprimento
iii- O efeito da alteração do centróide efetivo da seção, que influencia fortemente a carga de
colapso das colunas P, deve ser incorporado no dimensionamento através de um
procedimento ou parâmetro, que apenas é utilizado para as colunas P.
Dinis & Camotim [4] propuseram, então, um dimensionamento unificado baseado no MRD
para colunas encastradas e apoiadas que pode ser calculado com base nas seguintes fórmulas:
𝑓𝑛𝑓𝑡𝑒 =
{
𝛽 × 𝑓𝑛𝑒 , 𝜆𝑓𝑡𝑒 ≤ (0.5 + √0.25 − 𝑏)12𝑎
𝛽 × 𝑓𝑛𝑒 (𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑛𝑒)
𝑎
[1 − 𝑏 (𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑛𝑒)
𝑎
] , 𝜆𝑓𝑡𝑒 > (0.5 + √0.25 − 𝑏)12𝑎
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜆𝑓𝑡𝑒 = √𝑓𝑛𝑒
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑎 = {0.001𝛥𝑓
3 − 0.032𝛥𝑓2 + 0.250𝛥𝑓 + 0.400, 𝛥𝑓 ≤ 5.0
0.001𝛥𝑓 + 0.970, 𝛥𝑓 > 5.0
(2.4)
(2.6)
(2.5)
21
𝑏 = {0.014𝛥𝑓 + 0.150, 𝛥𝑓 ≤ 7.0
0.248, 𝛥𝑓 > 7.0
𝛽 = {
1, 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 𝐹0.68
(𝜆𝑓𝑡𝑒 − 𝑐)𝑑, 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 𝑃
𝑐 = {
−300𝛥𝑓3 − 110.0𝛥𝑓
2 + 12.8𝛥𝑓 + 1.0, 𝛥𝑓 ≤ 0.2
−0.002𝛥𝑓2 + 0.200𝛥𝑓 + 0.480, 0.2 < 𝛥𝑓 < 5
−0.001𝛥𝑓 + 0.565, 𝛥𝑓 ≥ 5.0
𝑑 = {
380.0𝛥𝑓3 − 140.0𝛥𝑓
2 + 15.2𝛥𝑓 + 0.25, 𝛥𝑓 ≤ 0.2
−0.008𝛥𝑓2 + 0.094𝛥𝑓 + 0.712, 0.2 < 𝛥𝑓 < 5
−0.001𝛥𝑓 + 0.997, 𝛥𝑓 ≥ 5.0
onde
𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝛥𝑓 =𝑓𝑏𝑡 − 𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑏𝑡 = 𝐺𝑡2
𝑏2+ 𝜋2
𝐸𝑡2
12(𝐿2)2
𝑓𝑐𝑟𝑡 =45(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓 −√(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓)
2− 2.5𝑓𝑏𝑡𝑓𝑏𝑓)
𝑓𝑏𝑓 = 𝜋2 𝐸𝑏
2
6(𝐿2)2
2.6 Cantoneiras de Seção Compacta
Após ter sido estudado o comportamento elástico, elasto-plástico e o dimensionamento de
cantineiras com secções de abas esbeltas submetidas à compressão, Justiniano [5] analisou o
comportamento elástico e de resistência últimas de colunas com secção compacta (b/t <25). Refira-
(2.7)
(2.8)
(2.9)
22
se que o autor avaliou também a metodologia de dimensionamento proposta por Dinis & Camotim
[4] para colunas com secção em cantoneira compacta (b/t <25), mas sem ter em conta o efeito das
tensões residuais.
Análise Elástica
O autor começou-se por analisar colunas com perfis com b/t reduzido e compará-las com
colunas com perfis com b/t elevados (figura 2.17) para condições de apoio encastradas.
Justiniano [5] verificou que, com a alteração da relação b/t existiriam grandes alterações no
patamar correspondente a instabilidade por flexão-torção, nomeadamente na redução abrupta do
comprimento de transição, (comprimento onde se dá a mudança de flexão-torção para flexão em
torno do eixo de menor inercia), Lt. O autor verificou que este comprimento depende dos valores de
b e t, podendo ser determinado a partir da seguinte expressão:
Lt.F =√2.1362 x b (3b−4t)2
2t
Figura 2. 17 – Curva Fcr,ft vs L para colunas com condições de apoio encastradas (a) 70x70x1, (b) 50x50x1, (c) 30x30x1, (d) 15x15x1.
(2.10)
(a)
Fig
ura
5.
14
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
(b)
Fig
ura
5.
13
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
(c)
Fig
ura
5.
16
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
(d)
Fig
ura
5.
15
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
23
Depois da análise dos resultados obtidos por esta expressão o autor verificou que a
alteração da espessura, t, e do comprimento, b, da secção transversal tem efeitos diferentes na
evolução do comprimento de transição. A figura 2.18 mostra a evolução do comprimento de transição
com a mudança, respectivamente, do t e do b.
Justiniano [5] concluiu que (i) a variação da espessura tem uma relação não linear com o
comprimento de transição, enquanto (ii) a variação do comprimento da aba tem uma relação linear
com o Lt. Notou, no entanto, que o comprimento de transição não depende unicamente da relação
b/t, uma vez que para perfis com relação iguais (ex: 140/2 e 70/1) se obtêm comprimentos de
transição diferentes.
Do mesmo modo, obteve uma expressão que relaciona o comprimento e a espessura da aba,
b e t, com o comprimento de transição para colunas com apoios cilíndrico.
Lt.PC =b x √4,3793 x b2 − 34.18 x t2
2
2t
Com recurso às expressões [2.10] e [2.11] o autor concluiu que a relação dos comprimentos
de transição entre colunas com condições de apoio cilíndrico e encastrado, (Lt.PC/Lt.F) não se altera
independentemente da relação b/t da secção transversal.
Figura 2. 18 – Evolução do comprimento de transição com a mudança para (a) t constante, (b) b constante.
(2.11)
(a)
Fig
ura
5.
18
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
(b)
Fig
ura
5.
17
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
24
Figura 2. 19 – Evolução da relação fu/fnfte em função da esbelteza flexo-torsional.
Dimensionamento de cantoneiras compactas de acordo com a nova metodologia
Justiniano investigou a aplicabilidade das curvas de dimensionamento propostas por Dinis &
Camotim [4] para o dimensionamento de colunas com cantoneiras compactas.
O autor realizou então ensaios numéricos cobrindo uma vasta gama de secções e de
esbelteza normalizada (λft=(fy/fcr.ft)0.5). Na figura 2.19 apresenta-se a evolução da relação fu/fnfte em
função da esbelteza flexo-torsional. A figura apresenta também a comparação dos resultados obtidos com
os resultados esperados pelo método de dimensionamento proposto por Dinis & Camotim [4].
Da observação dos resultados verifica-se que o dimensionamento proposto é demasiado
conservativo, pelo que o autor propôs uma nova calibração para os parâmetros a e b em função de
Δ e da esbelteza, sendo obtidas as seguintes expressões:
𝑎 = {−0.0029 + 0.0249𝛥𝑓
2 − 0.0049𝛥𝑓 + 0.4, 𝛥𝑓 < 5.8
−0.0004𝛥𝑓2 + 0.0072𝛥𝑓 + 0.615, 𝛥𝑓 ≥ 5.8
𝑏 = −0.0004𝛥𝑓2 + 0.0072𝛥𝑓 + 0.15
Após a calibração das curvas flexo-torsionais compararam-se os novos valores fu/fnfte obtidos
empiricamente por Justiniano [5], com os ensaios numéricos realizados. Na figura 2.20 mostra a
comparação entre os dois resultados, sendo evidente a melhoria obtida relativamente aos resultados
da figura 2.20.
(2.13)
(2.12)
25
Figura 2. 20 – Evolução da relação fu/fnfte em função da esbelteza flexo-torsional.
2.7 Efeito das Tensões Residuais
A resistência das colunas de aço depende da relação tensão-deformação do material,
nomeadamente no que diz respeito ao valor da tensão de cedência do aço, mas também da
magnitude e distribuição de tensões residuais que resultam do processo de fabrico dos perfis, as
quais dependem também da tensão de cedência do aço (as tensões residuais são formadas num
elemento estrutural como resultado de deformações plásticas).
Em perfis laminados a quente estas deformações ocorrem sempre durante o processo de
arrefecimento da temperatura de laminagem para a temperatura ambiente. As tensões iniciais devem-se
ao facto de algumas zonas da secção arreferem muito mais rapidamente que outras zonas.
No caso das cantoneiras em particular, os cantos exteriores e interiores da cantoneira
arrefecem rapidamente enquanto o meio vão das abas arrefecem mais devagar. As tendências de
contração das zonas de arrefecimento lento (½ vão das abas) são restringidas pelas partes de
arrefecimento rápido (cantos da cantoneira) criando tensões residuais. O valor e distribuição das
tensões residuais dependem da diferença de temperaturas criada na secção durante o processo de
arrefecimento da temperatura de enfornamento para a temperatura atmosférica.
Seguidamente, apresenta-se de forma resumida quatro trabalhos recentes sobre o efeito
das tensões residuais em cantoneiras laminadas a quente.
Shi et al [19]
Shi et al [19] estudaram o efeito das tensões residuais na carga última de colunas com secção
em cantoneira e apoios esféricos. Este estudo foi efectuado com recurso a um programa
computacional de elementos finitos. Utilizou-se a distribuição de 3 pontos, usada atualmente no
Eurocódigo, que se encontra representada na figura 2.21, sendo que os valores negativos (“-“)
26
Figura 2. 21 – Proposta do Eurocódigo de dimensionamento para cantoneiras.
corresponde a tensões de compressão e os valores positivos (“+”) a tensões de tração. O valor β é
um coeficiente que relaciona a tensão de cedência do aço com a tensão residual máxima.
Foram testados 5 secções diferentes, L125x8, L140x10, L160x10,L180x12 e L200x14, tendo
sido realizadas análises para um coeficiente β de 0.20, 0.25 e 0.30. A tabela da página seguinte
mostra os valores das cargas últimas, onde F1, F2 e F3 corresponde aos valores para colunas com
β de 0.20, 0.25 e 0.30, respetivamente.
Da análise dos resultados Shi et al [19] concluíram que a variação das tensões residuais na
secção tem pouca influência na carga última das mesmas.
Figura 2. 22 – Resultados obtidos para diferentes valores de tensões residuais.
Shi et al [20]
Dado que a proposta apresentada pelos códigos europeu, chines e americano para a
distribuição de tensões residuais tem por base ensaios experimentais realizados antes da existência
de aços de alta resistência, bem como da atual tecnologia metalúrgica moderna, Shi et al [20]
investigaram a distribuição de tensões residuais em cantoneiras laminadas a quente com seções de
27
grandes dimensões. Shi et al [20] ensaiaram experimentalmente 5 secções 125x8, 140x10, 160x10,
180x12 e 200x14, tendo sido realizados 3 ensaios para cada secção. A figura 2.23 mostra a
distribuição e magnitude das tensões residuais medida pelos autores. As medições foram obtidas de
ambas as superfícies das abas das cantoneiras, sendo apresentada na figura a média dos valores
obtidos. No canto da secção só a face exterior foi medida devido a problemas de medição. Os valores
positivos significam tração e os negativos compressão.
Dos resultados obtidos os autores concluíram que as tensões residuais nos cantos são
compressões e que nas regiões intermédias são tração, o que é análogo com os modelos de
distribuição atualmente usados (figura 2.23). As tensões no canto interior são maioritariamente de
tração. No entanto os valores obtidos não são fiáveis porque os valores foram apenas retirados da
superfície exterior. Para além disso as tensões medidas nos cantos exteriores foram ligeiramente
inferiores às das regiões intermédias.
De acordo com o código europeu, chines e americano existem 3 valores importantes na
distribuição de tensões residuais numa cantoneira:
i- β1 - Fator da tensão residual de compressão nos cantos exteriores
ii- β2 - Fator de tensão residual de tração a meio da aba
iii- β3 - Fator de tensão residual de compressão no canto interior
Shi et al [19] apresentaram uma proposta para os coeficientes β1e β2, pois os resultados
obtidos experimentalmente foram mais consistentes. Para o β3 decidiram adotar um valor igual ao
β1, tal como é feito no código europeu, americano e chines.
Figura 2. 23 – Resultados de tensões residuais obtidos experimentalmente.
28
Figura 2. 24 – Relação entre as tensões residuais e b/t.
A figura seguinte mostra os resultados obtidos experimentalmente e a reta formada a partir
dos mesmos. A figura mostra também os valores definidos pelos códigos em vigor.
Comparando os valores obtidos com os valores definidos pelo código europeu, americano e
chines, os autores verificaram que os valores definidos experimentalmente são significativamente
menores. Com base nos resultados obtidos foi apresentada as seguintes fórmulas de cálculo do β1
e β2 sendo que ambas são relativamente conservativas para os resultados obtidos.
𝛽1 = {0.04
𝑏
𝑡− 0.5, 11 ≤ 𝑏/𝑡 ≤ 13.25
−0.02,𝑏
𝑡> 13.25
𝛽2 = {−0.03
𝑏
𝑡− 0.55, 11 ≤ 𝑏/𝑡 ≤ 14
0.06, 𝑏
𝑡> 14
Može et al [21]
Može et al [21] realizaram também um programa experimental para medir a magnitude das
tensões residuais e a respetiva distribuição em cantoneiras com geometrias grandes. Foram
realizados ensaios com perfis com várias secções, tendo sido medidas as tensões residuais nas
(2.15)
(2.14)
29
Figura 2. 26 – Média de tensões residuais entre face exterior e interior.
Figura 2. 25 – Tensões residuais medidas em ambas as faces da cantoneira para dois perfis diferentes.
faces exterior e interior das cantoneiras. A figura seguinte mostra os resultados obtidos de dois dos perfis,
onde a linha a azul representa as tensões na face exterior e a vermelha a tensões na face interior.
Os resultados obtidos da face interior e exteriores bem como a média têm uma grande
dispersão de valores, no entanto, com a exceção de alguns casos pontuais a média de valores não
ultrapassa 0.2fy.
Com base nos resultados obtidos Može et al [21] estudaram dois modelos de distribuições
de tensões residuais: o modelo de 3 pontos (proposto atualmenteº- no Eurocódigo) e o modelo de 4
pontos, o qual foi definido com base nos resultados obtidos na investigação (em alguns casos o
padrão é mais pronunciado que em outros). A figura 2.26 mostra a média das tensões exteriores e
interiores obtidas em todos os perfis em análise. Por sua vez, a figura 2.27 mostra as distribuições
de tensões de 3 e 4 pontos.
Neste trabalho os autores chamam a atenção para o facto de o modelo de 3 pontos ser mais
severo para a flexão em torno do eixo de menor inercia do que o modelo de 4 pontos. A distribuição
simétrica e preenche a requisição de ser autoequilibrada. Para tal requerimento ser cumprido na
distribuição de 4 pontos tiveram de ser feitos alguns ajustes.
30
Figura 2. 27 – Modelo de 3 e 4 pontos de distribuição de tensões residuais.
Com base nos resultados experimentais obtidos, Može et al [21] realizaram também análises
numéricas, com o objectivo de identificar as diferenças resultantes da consideração nas análises de
distribuições de tensões residuais com 3 ou 4 pontos. A tensão residual de pico considerada foi
sempre de 70 MPa.
Figura 2. 28 – Comparação dos resultados obtidos analiticamente para distribuição de 3 e 4 pontos com as curvas de dimensionamento propostas pelo Eurocódigo.
Da análise de resultados verifica-se que não existe grande diferença entre os dois modelos,
sendo que em comparação com os dados experimentais existentes parece que tanto a distribuição de 3
como a de 4 pontos são conservativas, sendo que a primeira é a mais conservativa.
31
3. Comportamento de Estabilidade
3.1 Introdução
No presente capítulo apresenta-se uma análise pormenorizada do comportamento de
estabilidade de cantoneiras bi-encastradas com secção compacta (7.5 <b/t <25) quando submetidas
a compressão centrada. As análises são realizadas com recurso ao programa GBTUL desenvolvido
pelo IST, programa cujas características se apresentam previamente.
Numa fase inicial do capítulo procurou-se, principalmente, definir o comportamento de
estabilidade de uma coluna de seção compacta e verificar os efeitos da variação da geometria da
mesma (foi efectuado um estudo com uma vasta gama de geometrias).
Posteriormente analisou-se um número reduzido de geometrias, consideradas
representativas da gama b/t em estudo, para as quais se estudou pormenorizadamente os modos
de deformação presentes no comportamento de estabilidade destas colunas e se observou a
evolução/influência dos mesmos. Este estudo permitiu também selecionar a geometria dos perfis,
cujos comportamentos de pós-encurvadura e de resistência última vão ser analisados nos capítulos
seguintes.
3.2 Teoria Generalizada de Vigas
A Teoria Generalizada de Vigas (GBT) tem características únicas pois decompõe a
deformação de um perfil numa combinação linear de modos de deformação da secção transversal,
característica que clarifica bastante a interpretação dos resultados obtidos. A análise de instabilidade
através da GBT engloba dois tipos de análises: a análise da secção transversal e a análise do
elemento. Na primeira, é onde são identificados os modos de deformação da secção transversal e
as propriedades modais associadas. Na análise do elemento, é onde são resolvidas as equações
diferenciais de equilíbrio do problema em análise.
O programa GBTUL foi expressamente desenvolvido no sentido de efectuar análises linear
de estabilidade, permitindo ter em conta elementos sujeitos a forças axiais uniformes e não
uniformes. O programa permite a definição da geometria da secção, das condições de fronteira e do
tipo de carga aplicada, fornecendo o valor da carga/tensão crítica dos perfis cujo comprimento foi
selecionado pelo utilizador e identificando os correspondentes modos de deformação.
32
P
L
2+4
3
Figura 3. 1 – Comportamento de estabilidade típico de uma coluna com secção em cantoneira.
Se o número de comprimentos selecionados for suficientemente variado, é possível obter
uma curva que descreve a evolução da relação Pcr vs L de forma detalhada. Associados a estes
resultados o programa apresenta também um diagrama de participações modal, o qual fornece a
natureza do modo instabilidade para as colunas com os comprimentos selecionados. Além disso, o
programa permite também visualizar a deformada a nível da secção transversal e do elemento. Por
último, os resultados obtidos durante a análise podem ser gravados num ficheiro de texto, permitindo
assim a sua utilização com recurso ao programa Excel.
3.3 Análise Linear de Estabilidade e Seleção dos Perfis
A facilidade de introdução de dados e rapidez de análise dos mesmos no programa GBTUL,
permitiu realizar uma análise exaustiva de secções transversais que se encontravam no intervalo b/t
definido (b/t entre 7.5 e 20).
Contudo, antes de apresentar os resultados obtidos, convém começar por ilustrar o tipo de
resultados obtidos para cantoneiras encastradas de abas iguais. Assim, a figura 3.1 representa o
andamento “normal” da curva Pcr vs L destes tipo de cantoneiras, na qual se observa que a coluna
inicialmente instabiliza por flexão-torção (modos 2+4), exibindo a curva um patamar para colunas de
comprimentos intermédios. Para comprimentos superiores a LT (comprimento de transição), a
instabilidade da coluna ocorre por flexão em torno do eixo de menor inércia (modo 3).
As cantoneiras selecionadas exibem abas com os mesmos comprimentos das consideradas nos
estudos realizados por Dinis et al. [2-4], i.e., 50, 70 e 90 mm. A figura seguinte mostra as curvas σcr
vs L das secções em cantoneira com os comprimentos de aba (i) 50 (b/t= 20, 16.67, 14.3, 12.5, 11.1,
33
10, 9.1, 8.33 e 7.5), (ii) 70 (b/t= 25, 20, 17.5, 15.5, 14, 12.7, 11.7, 10, 8.75, 7.5) e (iii) 90 (b/t= 25, 18,
15, 12.9, 11.25, 10, 9, 8.8 e 7.5).
Figura 3. 2 – Curva σcr vs L com comprimento de aba constante (a) 50, (b) 70, (c) 90mm.
0
1000
2000
3000
10 100 1000
σ(M
Pa)
L (cm)
L50x2.5
L50x3.0
L50x3.5
L50x4.0
L50x4.5
L50x5.0
L50x5.5
L50x6.0
L50x6.67
0
1000
2000
3000
10 100 1000
σ(M
Pa)
L (cm)
L70x2.8
L70x3.5
L70x4.0
L70x4.5
L70x5.0
L70x5.5
L70x6.0
L70x7.0
L70x8.0
L70x9.333
0
1000
2000
3000
10 100 1000
σ(M
Pa)
L (cm)
L90x3.6
L90x5.0
L90x6.0
L90x7.0
L90x8.0
L90x9.0
L90x10.0
L90x11.0
(a)
(b)
(c)
34
Numa primeira análise dos resultados obtidos conclui-se que:
i - A tensão critica, σcr, e por consequência a carga critica, Pcr, decresce com o aumento do
comprimento das colunas.
ii - Quanto menor a relação b/t, (i1) menor e menos horizontal é o patamar correspondente
a instabilidade por flexão-torção (modos 2+4), (i2) maior é a tensão de transição para a
instabilidade por flexão na menor inércia, (i3) maior peso tem o modo 2 e por
consequência menor influencia tem o modo 4.
iii - As características descritas anteriormente devem-se ao facto de a variação da
espessura ter um impacto reduzido na variação da menor inercia por comparação com
o aumento da constante de empenamento secundário. De facto, pode-se verificar que
as curvas correspondentes a instabilidade por flexão em torno do eixo de menor inercia
são praticamente coincidentes, independentemente da espessura. Por outro lado, verifica-
se um salto no patamar análogo à instabilidade por flexão-torção.
iv - A tensão crítica de instabilidade por flexão-torção pode ser calculada analiticamente,
através das fórmulas definidas por Dinis et al [2] para colunas com condições de apoio
encastradas e apoiadas (Anexo 3.1).
𝑓𝑐𝑟𝑡 =45(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓 −√(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓)
2− 2.5𝑓𝑏𝑡𝑓𝑏𝑓)
𝑓𝑏𝑓 = 𝜋2 𝐸𝑏2
6 (𝐿2)
2
𝑓𝑏𝑡 = 𝐺𝑡2
𝑏2+ 𝜋2
𝐸𝑡2
12(𝐿2)2
Após analisar o efeito da variação da espessura, estudou-se as consequências na evolução
da tensão critica com a variação do comprimento de aba. A figura seguinte mostra a evolução de σcr
com a variação do comprimento de aba para uma espessura constante de 4.5 mm.
(3.1)
35
Figura 3. 3 – Curva σcr vs L para cantoneiras com igual espessura.
Da observação dos resultados obtidos, conclui-se que, quanto maior é a dimensão da aba,
i - Maior e mais horizontal é o patamar.
ii - Maior é a influência da flexão-torção no comportamento de estabilidade da coluna. De
facto, verifica-se quanto maior a aba, maior é o valor da inércia mais fraca, tal como
esperado. Tal facto é confirmado com o deslocamento da curva correspondente à flexão
em torno do eixo de menor inercia para direita. Por outro lado, o aumento da aba
aumenta também a resistência da flexão em torno do eixo de maior inércia, pelo que a
queda do patamar, correspondente a instabilidade por flexão-torção, se deve à redução
da constante de empenamento secundário.
iii - Menor a tensão de cedência da cantoneira quando a instabilidade se dá por flexão-
torção e maior é a mesma quando a instabilidade acontece por flexão em torno do eixo
de maior inércia.
No âmbito do estudo do comportamento de estabilidade considerou-se igualmente relevante
analisar as diferenças existentes entre perfis com relação geométrica b/t semelhante. A figura 3.4
mostra a evolução da carga critica com o aumento do comprimento da coluna para 5 diferentes
relações b/t: 25, 20, 15, 10 e 7.5.
0
200
400
600
800
1000
1200
10 100 1000
σ(M
Pa)
L (cm)
L90x4.5
L80x4.5
L70x4.5
L60x4.5
L50x4.5
36
0
500
1000
1500
2000
10 100 1000
σ(M
Pa)
L (cm)
L50x2.0
L70x2.8
L90x3.6
0
500
1000
1500
2000
10 100 1000
σ(M
Pa)
L (cm)
L50x2.5
L70x3.5
L90x4.5
0
500
1000
1500
2000
10 100 1000
σ (
MP
a)
L (cm)
L50x3.33
L70x4.67
L90x6
0
500
1000
1500
2000
10 100 1000
σ (
MP
a)
L (cm)
50*4
70*5.6
90*7.15
0
500
1000
1500
2000
10 100 1000
σ (
MP
a)
L (cm)
L50x6.67
L70x9.33
L90x12.0
Da análise destes resultados pode concluiu-se que:
i - Com o aumentar das dimensões da secção, a curva correspondente à instabilidade
flexão no eixo de menor inércia desloca-se para a direita.
ii - Para relações de b/t iguais, a transição da instabilidade por flexão-torção para flexão na
menor inércia dá-se para valores de tensão semelhantes.
iii - Como foi concluído nas análises anteriores, o aumento da espessura da secção, t,
aumenta a resistência à flexão-torção.
iv - Por outro lado, verifica-se que o aumento do comprimento das abas, b, provoca uma
redução da resistência à flexão-torção. De facto, verifica-se que no caso de se aumentar
Figura 3. 4 – Curva σcr vs L para cantoneiras com relação b/t (a) 25, (b) 20, (c) 15, (d) 10, (e) 7.5.
(a)
Fig
ura
5.
20
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
tini
an
(b)
Fig
ura
5.
19
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
Ca
mo
tim
[5]
e
(b)
Jus
tini
an
(e)
Fig
ura
5.
23
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
(d)
Fig
ura
5.
21
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
&
(c)
Fig
ura
5.
22
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
po
sta
s
por
(a)
Din
is
37
as dimensões da secção mantendo a relação b/t, a resistência à flexão-torção aumenta
ligeiramente.
v - Observa-se também que se se aumentar as dimensões da secção proporcionalmente,
o efeito do aumento da constante de empenamento secundário devido ao incremento
da espessura combinado com o aumento da inercia maior devido a variação de
comprimento da aba, se sobrepõem à diminuição de resistência à flexão-torção
provocado pela redução da constante de empenamento secundário devido ao aumento
da aba.
vi - Com o aumento do comprimento e da espessura, para b/t iguais, o patamar torna-se
mais longo e horizontal
vii - O comprimento do patamar de flexão-torção decresce visivelmente com o b/t, sendo que
para b/t<10 o plateau é praticamente inexistente.
O ponto no qual se dá a transição do tipo de instabilidade, Lt acontece quando a tensão de
instabilidade por flexão-torção tem exatamente o mesmo valor que a flexão na maior inercia, fcr,LT.
Esta tensão está unicamente dependente das propriedades do aço e das propriedades geométricas
da secção (b e t). Assim após se igualar a expressão derivada 4.1 com a expressão da tensão de
instabilidade por flexão da menor inércia, obteve-se uma expressão que permite calcular a tensão
de transição, fcr,LT.
fcr, LT =𝐸𝐾
𝑓𝑏𝑓 = 𝑏√𝐾𝜋2
6
𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐾 = (1 + 𝜈)[2.25 (𝑏𝑡)2
− 4.0]
3.4 Evolução e Influência do Modo de Flexão na Maior Inércia
Para uma análise mais pormenorizada do comportamento de estabilidade das cantoneiras
compactas optou-se por estudar um número de perfis mais reduzidos, mas que cobrissem e
permitissem uma análise rigorosa do comportamento de colunas com secção transversal em
cantoneira compacta. Para o efeito, optou-se pelo estudo de cinco perfis de diferentes geometrias:
70x70x3.5, 70x70x4.5, 70x70x5.6, 50x50x3.2 e 90x90x5.8. Na seleção destes perfis foram
considerados os seguintes critérios:
(3.2)
(3.3)
38
i - Utilização de comprimentos de aba semelhantes aos estudados por Dinis et al [2];
ii - Um perfil em cada limite do intervalo da relação b/t em estudo e três com uma relação
b/t intermédia;
iii - Três perfis com relação b/t igual, mas com geometrias diferentes.
No quadro seguinte encontram-se definidas as principais características geométricas dos
perfis em análise.
Tabela 1 – Principais características geométricas dos perfis selecionados
Secção Transversal
b/t Area
(mm2) IM
(mm4) Im
(mm4) I0
(mm6)
50x50x3,33 15,0 333 138919 33457 256431
70x70x2,8 25,0 392 320274 80174 418308
70x70x3,5 20 490 400442 100317 817007
70x70x4,67 15,0 653,8 534590 134137 1940762
70x70x7,0 10 980 802532 202282 6536056
70x70x9,33 7,5 1306,2 1071936 271889 15476279
90x90x6 15,0 1080 1459780 366280 8748000
O estudo do comportamento de estabilidade destes perfis vai ser apresentado subdividindo-
o em duas investigações separadas, nomeadamente considerando (i) os perfis com relação b/t
diferente e (ii) os perfis com igual b/t.
Para análise da influência e evolução do modo de flexão na maior inércia (modo de
deformação 2 da GBT) estudou-se a participação modal nas cinco secções em estudo. As figuras
3.5 e 3.6 mostram o diagrama de participação modal no modo de instabilidade de cantoneiras de
secções com b/t variável e constante respectivamente. Por sua vez, a figura 3.7 mostra, para as
mesmas secções, a evolução do modo 2 no patamar correspondente à instabilidade por flexão-
torção. Apresenta-se ainda uma tabela com influência do modo 2 para colunas de comprimento igual
ao da transição da natureza do modo de instabilidade crítico, i.e., da transição da instabilidade por
flexão-torção (modo 2+4) para flexão na menor inércia (modo 3).
39
Figura 3. 5 – Diagrama de participação modal associada a cantoneiras com b/t= (a) 25, (b) 20, (c) 15, (d) 10, (e) 7.5.
Figura 3. 6 – Diagrama de participação modal associada a cantoneiras com b/t= 15.
0
0,5
1
10 100 1000
0
0,5
1
10 100 1000
0
0,5
1
10 100 1000
0
0,5
1
10 100 1000
0
0,5
1
10 100 1000
6
4
2
3
0
0,5
1
10 100 1000
0
0,5
1
10 100 1000
4 2
6
3 4
6
2
3 2
3
4
6
2
3
4
6
0
0,5
1
10 100 1000
5
5
4 4
4
6 6
6
2 2
2
3 3
3
(a) (b)
(c)
(c)
(a) (b)
(d)
(e)
pi
pi
pi
pi
pi
40
0
2
4
6
8
10
12
0 0,5 1
% d
o m
od
o 2
x/Li
L70x2.80
L70x3.50
L70x4.67
L70x7.00
L70x9.33
0
2
4
6
8
10
12
0 0,5 1
% d
o m
od
o 2
x/Li
L50x3.33
L70x4.67
L90x6.00
Figura 3. 7 – Evolução do modo 2 ao longo do patamar flexão –torção para perfis com (a) b/t variavel, (b) b/t constante.
Secção Transversal
%max Lt
50x50x3,33 10,4 163
70x70x2,8 10,5 383
70x70x3,5 10,5 321
70x70x4,67 10,4 228
70x70x7,0 10,4 151
70x70x9,33 10,3 112
90x90x6 10,5 294
Da observação destas figuras e da tabela 2 pode retirar-se as seguintes conclusões:
i - A instabilidade das colunas envolve apenas quatro modos de deformação (2,3,4,6), com
o modo 4 a ter uma participação altamente dominante no modo de instabilidade crítica,
expeto para colunas longas.
Tabela 2 – Participação do modo 2 no modo de instabilidade 2+4 para colunas com comprimento LT
(a)
(b)
41
0
200
400
600
800
10 100 1000
P (
kN)
L (cm)
Pcr
Pcrt
ii - O modo de instabilidade muda abruptamente de flexão-torção (2+4), para flexão na
menor inércia (3), dependendo o comprimento de transição, Lt, da geometria da secção
(b e t).
iii - A evolução do modo de flexão na maior inércia ao longo do patamar, correspondente a
instabilidade por flexão-torção, não se altera com a variação da espessura ou do
comprimento da secção. De facto, como se pode ver pelas figuras 3.5, 3.6 e 3.7 a
influência da flexão na maior inércia (modo 2) é inicialmente muito reduzida, sendo que
aumenta visivelmente com a variação do comprimento.
iv - A influência máxima, que ocorre imediatamente antes da mudança do modo crítico de
2+4 para 3, do modo 2 não se altera com a variação da espessura ou do comprimento
da aba. De facto, como se pode verificar pelos resultados indicados na tabela 2, a
percentagem máxima de influência do modo 2 aquando a instabilidade acontece por
flexão-torção, não se altera independentemente da geometria da secção.
v - Finalmente, nota-se uma pequena contribuição do modo local simétrico 5 no modo de
instabilidade de flexão na menor inércia para colunas com relação b/t <10. Esta
participação tem um valor máximo aquando o comprimento de transição, Lt, e tende a
decrescer com o aumentar do comprimento da coluna. A influência do modo 5 é maior
para secções mais compactas.
Para confirmar que a evolução da participação do modo 2 no modo de instabilidade por
flexão-torção está relacionada com a diferença entre a tensão crítica de instabilidade por flexão-
torção, fcrft, e por torção pura, fbt, comparou-se os resultados obtidos com o programa GBTUL e às
fórmulas desenvolvidas analiticamente por Dinis et al [3]. Esta comparação é obtida com recurso ao
parâmetro f=[(fbt fcrft) /fcrft]×100, apresentando-se na tabela 3 os valores deste parâmetro e os
obtidos com recurso aos resultados adquiridos no GBTUL, f.GBTUL , analiticamente, f.a, para o
comprimento de transição das varias geometrias. Foi ainda calculado analiticamente a evolução do
parametro f, ao longo do patamar. Estes resultados encontram-se no anexo 3.3.
Figura 3. 8 – Comparação da evolução Pcr com Pcrt para a secção 70x70x4.5.
42
Tabela 3 – valores f.GBTUL e f.a.
Secção Lt fcrft,GBTUL fbt,GBTUL f.GBTUL fcrft,a fbt,a f.a
70x70x2,8 383 115,3 129,7 12,5 115,2 129,6 12,5
70x70x3,5 306 180,6 203,1 12,5 180,4 202,8 12,5
70x70x4,67 229 322,5 363,3 12,7 322,2 362,4 12,5
70x70x7,0 151 737,0 827,4 12,3 732,6 822,5 12,3
70x70x9,3 112 1336,2 1498,2 12,1 1322,0 1482,8 12,2
70x50x3,33 163 323,2 362,1 12,0 321,5 361,1 12,3
90x90x6 294 322,8 362,8 12,4 321,9 361,9 12,4
Da analise dos valores indicados na tabela pode concluir-se que, tal como esperado, a
mudança da geometria da secção não provoca qualquer alteração nos valores de f. Salienta-se
ainda que a relação f não é igual pois o ponto em que a relação é feita não corresponde ao
comprimento exato de transição do modo 2+4 para o modo 3.
3.5 Escolha dos Perfis
As geometrias das colunas em cantoneira laminadas a quente que vão ser utilizadas nos
próximos capítulos para ilustrar os comportamentos de pós-encurvadura e de resistência última de
cantoneiras de abas compactas foram retiradas do catálogo da empresa ArcelorMittlal [19] e tiveram
como principais critérios de escolha que:
i - A instabilidade ocorra predominantemente em modos de torção, ou seja, que L≤LT
ii - Que a tensão crítica de cedência para L=LT (fcr.LT) não exceda os 700 MPa. Optou-se
por esta tensão, já que as classes das tensões de cedência dos perfis oferecidos por
ArcelorMittal [22] não excede os 450 MPa, e o colapso de colunas que tenham tensões
críticas acima deste valor são claramente governadas pela plasticidade (colunas pouco
esbeltas).
A figura 3.9 mostra a relação entre fcr.LT vs b/t para todo o conjunto de secção transversais
existentes em [22].
43
Figura 3. 9 – Relação fcr.LT vs b/t de cantoneiras laminadas a quente.
Da análise da figura é possível concluir que apenas 79 das 177 geometrias existentes,
satisfazem as condições estabelecidas. Estas colunas encontram na zona a sombreado e tem uma
relação de b/t entre 10 e 20.
As três famílias de colunas analisadas nos próximos capítulos foram selecionadas das 79
colunas mencionadas anteriormente, sendo que as suas características geométricas (b, t, L=LT) e
os correspondentes valores de tensão critica se encontram nas tabelas 4 e 5. Para além destes
perfis, selecionaram-se ainda um segundo conjunto de perfis, os quais exibem dimensões comuns
nos dias de hoje devido a modernização metalúrgica (com dimensões maiores). Estes perfis foram
retirados dos modelos comerciais produzidos pela empresa Steel Plate & Sections [23] e as suas
dimensões encontram-se na tabela 5. Finalmente, refira-se que, para avaliar a relevância da
interação entre a instabilidade por flexão-torção e a flexão no menor eixo no comportamento de pós-
encurvadura de cantoneiras laminadas a quentes, consideraram-se colunas com 4 comprimentos
normalizados para cada secção selecionada, L/LT=0.25, 0.5, 0.75, 1.
0
500
1000
1500
2000
2500
5,0 10,0 15,0 20,0
fcr.
LT
b/t
700
44
Tabela 4 – Propriedades das colunas em estudo (dimensões em mm, tensões em MPa).
b T b/t
L» 0.25 LT L» 0.5 LT L» 0.75 LT L» LT
(f » 0.8) (f » 2.8) (f » 6.5) (f » 12.3%)
L fcr L fcr L fcr L fcr
50 5
10
270 1061.5 540 851.3 810 788.3 1080 736.7
70 7 377.5 1062.2 755 851.5 1132.5 788.5 1510 737.0
90 9 487.5 1059.8 975 850.8 1462.5 787.8 1950 736.1
50 3.33
15
407.5 407.1 815 362.1 1222.5 342.9 1630 323.0
70 4.67 570 407.2 1140 362.2 1710 343.0 2280 323.0
90 6 735 406.9 1470 362.0 2205 342.8 2940 322.8
50 2.5
20
545 216.5 1090 200.5 1635 191.4 2180 180.8
70 3.5 765 216.4 1530 200.5 2295 191.4 3060 180.6
90 4.5 982.5 216.4 1965 200.5 2947.5 191.4 3930 180.7
Tabela 5 - Propriedades das colunas em estudo (dimensões em mm, tensões em MPa).
b T b/t
L» 0.25 LT L» 0.5 LT L» 0.75 LT L» LT
(f » 0.8) (f » 2.8) (f » 6.5) (f » 12.3%)
L fcr L fcr L fcr L fcr
100 10
10
500 1049.5 1000 819.95 1500 758,95 2000 715,05
150 15 750 1049.5 1500 819.95 2250 758,95 3000 715.05
200 20 1000 1049.5 2000 819.95 3000 758,95 4000 715,05
250 25 1250 1049.5 2500 819.95 3750 758,95 5000 715,05
100 6,67
15
750 404.43 1500 355.35 2250 337,8 3000 307,24
150 10 1125 404.39 2250 355.32 3375 337,77 4500 321.25
200 13,33 1625 395.29 3250 351.70 4875 333,64 6500 315,05
250 16,67 2000 397.12 4000 352.54 6000 334,61 8000 316,44
100 5
20
1000 215.49 2000 198.50 3000 190,54 4000 181,81
150 7,5 1625 212.58 3250 197.08 4875 188,52 6500 178,47
200 10 2125 213.25 4250 197.43 6375 189,03 8500 179,33
250 12,5 2625 213.66 5250 197.64 7875 189,34 10500 179,84
45
4. Comportamento de Pós-Encurvadura
4.1 Introdução
No presente capítulo analisa-se o comportamento de pós-encurvadura de cantoneiras
compactas, encastradas em ambas as extremidades, quando submetidas a compressão centrada.
As análises foram efetuadas com recurso ao programa de elementos finitos, ABAQUS, cujas
características principais do modelo de elementos finitos de casca utilizado se começam por apresentar.
Posteriormente investiga-se o comportamento de pós encurvadura elástico das colunas
selecionadas no final do capítulo anterior. Este estudo foi feito através de monitorização de alguns
parâmetros considerados importantes na compreensão do comportamento das mesmas,
nomeadamente a rotação de torção da secção a ¼ e ½ vão, β, e deslocamentos no eixo de menor
e maior inercia a ½ vão, dM e dm, respetivamente.
De seguida, procede-se à análise do comportamento pós-encurvadura elasto-plástico das
mesmas colunas, tendo sido consideradas colunas com uma relação fy/σcr de 1.3, 2.5, 5. Para este
subcapítulo procurou-se averiguar da eventual existência de reservas de resistência elasto-plásticas,
assim como da evolução das deformações plásticas e respetivos mecanismos de colapso das
colunas.
Finalmente analisa-se o efeito que as tensões residuais provenientes do processo de fabrico
têm em termos da resistência última destas colunas, tendo sido avaliada a influência da consideração
de dois modelos propostos na literatura.
4.2 Análise de Elementos Finitos
O estudo do comportamento de pós-encurvadura das cantoneiras foi efectuado com recurso
ao programa computacional ABAQUS, o qual permite analisar, com relativa rapidez e simplicidade,
problemas extremamente complexos. O programa recorre ao método dos elementos finitos para
resolver sistemas numéricos com um elevado número de graus de liberdade (associados à malha),
ao carregamento e condições de fronteira (apoios) do problema.
Uma vez que no caso presente se pretende estudar o comportamento geométrica e
fisicamente não-linear de perfis suscetíveis a deformação local das paredes, consequência da sua
46
esbelteza, a modelação foi realizada com recurso a elementos de casca de quatro nós, designados
no ABAQUS por elementos S4.
Relativamente às condições de apoio (encastramentos), estas foram modeladas ligando
uma placa rígida à secção inicial e final da coluna. Esta ligação foi conseguida unindo os nós dos
elementos que constituem as secções de extremidade a um nó auxiliar, por meio de elementos
rígidos de três nós (designação: R3D3), os quais foram posteriormente impedidos de rodar nas três
direções e de se deslocar em todas as direções (exceto na direcção axial). A coluna foi então
impedida de se deslocar no seu eixo, bloqueando esses deslocamentos num nó da secção de ½
vão. As condições de apoio foram assim definidas de forma a (i) garantir a simetria da deformada e
(ii) permitir a aplicação do carregamento nas extremidades da coluna.
A aplicação do carregamento de compressão foi feita através de uma “carga de faca” (FL-1)
aplicada nos elementos de extremidade e com valor igual à espessura da secção, o que equivale a
gerar no perfil um estado de tensão de valor unitário.
Importa referir que a modelação da coluna foi realizada, não recorrendo ao interface gráfico
do programa, mas antes através de ficheiros de texto que serviram como “input” (ficheiros INP) dos dados
das colunas em estudo. Assim, através da escrita de linhas de código foi possível definir nós da
secção, tipos de elementos, propriedades do material, condições de apoio, etc (figura 4.1).
Quanto ao número de elementos finitos usados, todas as secções foram modeladas com 12
elementos, o que corresponde a 13 nós por secção.
Figura 4. 1 – Ficheiro INP.
Relativamente às imperfeições geométricas utilizadas nas análises não-lineares, estas
foram geradas a partir da configuração deformada do modo crítico (modo flexão-torção) numa
47
Figura 4. 2 – Linhas de código do ficheiro INP (introdução da imperfeição geométrica).
análise linear de estabilidade inicial, a qual gerou um ficheiro (ficheiros FIL) com essa informação
para utilização posterior em análises de pós-encurvadura. As configurações das imperfeições vêm
normalizadas, i.e., têm valor máximo de deslocamentos igual a 1 e são posteriormente ajustadas à
amplitude requisitada pelo utilizador (10% da espessura).
Análises Realizadas
Como foi referido, as análises de pós-encurvadura realizadas neste capítulo foram
realizadas em dois passos:
i - Análises lineares de estabilidade, a partir das quais se determinaram os modos de
instabilidade das colunas, os quais são necessários para a criação da imperfeição
48
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
P/Pcr
β (rad)
Figura 4. 3 – Trajetória de equilibrio P/Pcr vs β da coluna 70x4.67 para L/LT=0.25, 0.5, 0.75, 1.
geométrica das colunas. Para além disso, esta primeira fase permite a validação do
modelo criado por comparação com os resultados obtidos no GBTUL
ii - Análises não-lineares que são o centro do estudo do presente capítulo.
Através destas últimas obtiveram-se trajetórias de pós-encurvadura, P/Pcr vs β, P/Pcr vs dM/t
e P/Pcr vs dm/t (onde β é a rotação da secção e dM e dm os deslocamentos do canto da secção
transversal), perfis longitudinais de deslocamentos, distribuições de tensões longitudinais na secção
a ½ e ¼ de vão, configurações deformadas (2D e 3D) e distribuições de deformações plásticas e
modos de colapso. Todas as grandezas foram escolhidas para o estudo e compreensão do
comportamento em regime não-linear de cantoneiras compactas.
4.3 Análises de Pós Encurvadura em Regime Elástico
Apresenta-se seguidamente o estudo do comportamento de pós encurvadura elástico de
cantoneiras de abas compactas e faz-se a comparação do mesmo com as análises e conclusões
realizadas por Dinis et al [3] para cantoneiras de abas esbelta. O estudo envolve uma análise
exaustiva das 36 colunas selecionadas, tendo por objetivo cobrir todos os possíveis diferentes
comportamentos para a gama b/t em estudo.
A figura 4.3 mostra as trajetórias de equilíbrio P/Pcr vs β de quatro colunas com a mesma
seção (b=70mm, t=4.67mm) e comprimentos L/LT=0.25; 0.5; 0.75 ;1, tendo LT o valor 2280 mm.
L/LT=0.25 L/LT=0.5
L/LT=0.75
L/LT=1
49
0,6
0,8
1
1,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
P/Pcr
β (rad)
0,6
0,8
1
1,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
P/Pcr
β (rad)
0,6
0,8
1
1,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
P/Pcr
β (rad)
Da analise desta figura pode conclui-se que:
i - Com o aumento do comprimento das colunas as trajetórias tornam progressivamente
mais flexíveis, independentemente da geometria da secção.
ii - O comportamento pós encurvadura das colunas difere com o crescimento do
comprimento das mesmas. Como na coluna estudada por Dinis et al. [3] conforme se
vai “andando” para a direita no patamar, a trajetória pós encurvadura tende mudar de
estável para instável.
iii - Em colunas com trajetória pós encurvadura instável verifica-se que após ser atingida a
carga máxima se dá uma inversão da rotação de torção.
Posteriormente, procedeu-se à comparação de colunas com b/t diferentes mas com relações
L/LT iguais (figura 4.4). As colunas analisadas apresentam a mesma dimensão da aba (70mm) e
espessuras t= 3.5, 4.5 e 5.6mm. Além disso, averiguou-se também a deformada da secção
transversal a ¼ e ½ vão (figura 4.5), bem como a distribuição de tensões longitudinais na secção a
meio vão (figura 4.6). Da análise destes resultados é possível retirar as seguintes conclusões:
Figura 4. 4 – Trajectória de equilibrio pós encurvadurda da colunas com secção (a) 70x70x3.5, (b) 70x70x4.5, (c) 70x70x5.6.
0,6
0,8
1
1,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
P/Pcr
β (rad)
(a)
Fig
ura
5.
25
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
(b)
Fig
ura
5.
24
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
(c)
Fig
ura
5.
27
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
(d)
Fig
ura
5.
26
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
50
0
1
2
0 0,5 1
σ/σ
cr 0.9
1.0
1.25
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4
P/P
cr
β (rad)
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4
P/P
cr
β (rad)0
1
2
0 0,5 1
σ/σ
cr 0.9
1.0
1.03
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4
P/P
cr
β (rad)
Figura 4. 5 – Evolução da deformada da secção transversal a ¼ e ½ de vao da coluna com secçaõ 70x70x4.5.
Figura 4. 6 – Evolução das tensões na secção ½ vão nas colunas com secção 70x4.67 com comprimento (a) L/LT=0.25, (b) 0.75.
1 3
1 2 3
2
½ Vão
¼ Vão
(a)
Fig
ura
5.
28
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
(b)
Fig
ura
5.
29
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
0
0,5 1
0
0,5 1
51
i - As colunas com valores de b/t e L/LT semelhantes exibem trajetórias de equilíbrio de pós
encurvadura praticamente coincidentes. Para além disso, vale a pena notar que o
comportamento de pós encurvadura é semelhantes ao observado para cantoneiras
enformadas a frio (b/t>20).
ii - No entanto, são observadas diferenças no comportamento de pós encurvadura quando
a relação b/t diminui nomeadamente (ii1) as trajetórias de equilíbrio tornam-se mais
flexíveis e (ii2) os pontos limite ocorre para valores de P/Pcr maiores. (anexo 4.1).
iii - Analisou-se também a evolução das tensões longitudinais na secção a meio vão ao
longo da trajetória pós encurvadura. De facto, verifica-se que até P/Pcr=0.9 as tensões
mantém-se relativamente uniformes ao longo de toda a secção. Com o aumento da
carga as tensões passam a ter uma distribuição não uniforme, passando a apresentar
uma variação linear ao longo da secção.
iv - Contudo, esta evolução é diferente no caso de a trajetória pós encurvadura ser estável
(L/LT=0.25; 0.5) ou instável (L/LT=0.75;1). Assim, no primeiro caso, verifica-se que que
a distribuição de tensões é praticamente simétrica, o que significa que existe flexão em
torno do eixo de maior inércia. No segundo caso, onde as colunas têm uma trajetória
pós encurvadura instável, é possível observar que a distribuição de tensões é
assimétrica. Este facto comprova que para este tipo de colunas a flexão em torno do eixo
de menor inércia, pelo que se assume que a mudança de comportamento pós encurvadura
se deve à crescente influência da flexão em torno do eixo de menor inércia.
Com esta análise, verificou-se que o comportamento de pós encurvadura implica
simultaneamente rotação devido à torção e translação devido à flexão em torno do eixo na maior e
menor inércia (que provoca deslocamentos do canto) (figura 4.5). Estes deslocamentos tem um forte
impacto na reposta de pós encurvadura das colunas, nomeadamente na reserva de resistência pós
encurvadura (figura 4.4). De modo a compreender melhor o fenómeno por detrás desta variação do
comportamento de pós encurvadura com a variação do comprimento da coluna analisou-se
detalhadamente os deslocamentos de canto da coluna e as suas implicações.
De modo a analisar com maior detalhe a influência dos deslocamentos de canto provocados
pela flexão em torno do eixo de maior e menor inércia, analisou-se então a trajetória pós-encurvadura
de P/Pcr vs dM/t e P/Pcr vs dm/t (figura 4.7), sendo que dM e dm são os deslocamentos no eixo de
menor inércia e no eixo de maior inércia respetivamente, e a os perfis longitudinais dos
deslocamentos dM/t e dm/t para várias cargas.
52
Figura 4. 7 – Trajetórias P/Pcr vs dM/t para colunas com L/LT=0.25, 0.75.
Figura 4. 8 – Trajetórias P/Pcr vs dm/t para colunas com L/LT=0.25, 0.75.
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,0 0,6 1,2 1,8
P/P
cr
dM/t
L/LT=0.25
L/LT=0.75
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,0 0,6 1,2 1,8
P/P
cr
dm/t
L/LT=0.25
L/LT=0.75
0
0,02
0,04
0 0,5 1
0
0,025
0,05
0 0,5 1
0
0,2
0,4
0 0,5 1
0
0,5
1
1,5
0 0,5 1
1.25
1.1
1.0
0.9
1.02
1.0
0.9
1.25
1.1
1.0
0.9
1.02
1.0
0.9
Figura 4. 9 – Perfis longitudinais dM/t e dm/t da cantoneira 70x4.67 para comprimentos (a) L/LT=0.25, (b) L/LT=0.75.
(a)
Fig
ura
5.
31
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
(b)
Fig
ura
5.
30
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
53
Da observação destas figuras podem retirar-se as seguintes conclusões:
i - Os deslocamentos segundo eixo de menor inercia, dM, crescem com o aumento da carga
aplicada. Estes resultados eram os esperados já que o modo de instabilidade da coluna
é flexo-torsional e estes deslocamentos são provocados pela flexão em torno do eixo de
maior inércia.
ii - As colunas com comprimentos curtos, L/LT=0.25; 0.5, têm uma evolução dos
deslocamentos dM monótona e tem valores muito reduzidos. No entanto, isto não
acontece para colunas longas (L/LT=0.75; 1). No caso das colunas longas os
deslocamentos crescem regularmente até que atingem a carga máxima, após a qual
acontece uma inversão repentina do deslocamento dM.
iii - As colunas curtas, L/LT=0.25; 0.5, os valores dm mantem-se quase inexistentes. Isto deve-
se ao facto de a flexão em torno do eixo de menor inercia ser quase desprezável. O perfil
longitudinal dm/t destas colunas tem uma configuração de 3 semi-ondas. Verifica-se ainda
que os valores máximos de dm dão-se a ¼ e ¾ do vão do elemento.
iv - Para colunas com comprimentos localizados no final do patamar flexo-torsional
(L/LT=0.75), os deslocamentos dm são consideravelmente maiores, sendo que o seu
crescimento cresce muito após ser atingida a carga máxima. Este aumento dos
deslocamentos dm coincide com a inversão de deslocamentos dM referidos no ponto (ii).
v - O crescimento acentuado dos deslocamentos dm coincide igualmente com a alteração do
perfil longitudinal dm/t, o qual passa de 3 semi-ondas para uma única meia onda.
vi - A razão mecânica por detrás do aparecimento e desenvolvimento dos deslocamentos no
eixo de menor inercia, dm, é dada por Stowell [18]. Estes deslocamentos são provenientes
das tensões longitudinais não lineares existentes na linha média da secção devido à
variação de rotação torsional. Nas colunas curtas estes deslocamentos são responsáveis
pelos deslocamentos no eixo de menor inércia.
vii - Nas colunas mais longas (L/LT=0.75 e 1.0), o impacto mencionado no ponto anterior é
ofuscada pela ocorrência de uma interação relativamente forte com a encurvadura em
torno do menor eixo de menor inercia. Esta interação é devida ao facto da carga que
causa instabilidade por flexão-torção e a carga que causa a instabilidade flexão em torno
do eixo mais fraco serem semelhantes. Isto sucede porque a resistência axial reduz-se
devido comportamento pós-encurvadura de flexão-torção. Para confirmar esta justificação
pode-se verificar na figura 4.9, que os deslocamentos dm rapidamente mudam de uma forma
de 3 semi-ondas para uma semi-onda após se atingir a carga critica.
viii - A ocorrência de deslocamentos no eixo de maior e menor inércia, juntamente com os
subsequentes momentos provocados pelas condições de fronteira, explicam
praticamente a distribuição linear de tensões longitudinais. Além disso, a pequena
(L/LT=0.25) ou grande (L/LT=1.0) assimetria da distribuição de tensões reflete a pequena
54
quantidade de flexão em torno do eixo de maior inercia e a combinação significante de
momento em torno do maior e menor eixo respetivamente. Estas últimas são num caso
(L/LT=0.75) seguidas de inversão da rotação torsional e noutro não (L/LT=1).
ix - Pode-se então afirmar que dois comprimentos de pós encurvadura diferentes podem ser
observados: uma para colunas curtas (L/LT =0.25;0.5) que implica deslocamentos
pequenos do canto e uma clara resistência pós encurvadura, e uma para colunas longas
(L/LT=0.75;1) associada a deslocamentos de canto relevantes e com resistências limites bem
definidas.
4.4 Análises de Pós Encurvadura em Regime Elasto-Plástico
Após o estudo do comportamento de pós encurvadura em regime elástico de cantoneira de
abas compactas, procede-se ao estudo desse comportamento agora em regime elasto-plástico. Para
o estudo do mesmo é necessário alterar no modelo de elementos finitos as características do
material de linear elástico para elástico-perfeitamente plástico (figura 4.10).
As análises realizadas envolveram os mesmos perfis considerados em regime elástico,
sendo também registadas as trajetórias de equilíbrio, P/Pcr vs β, agora para várias relações entre
tensão de cedência do material, fy, e tensão crítica da coluna, fcr. Foram também identificados os
mecanismos de colapso das colunas. Contudo, apenas se apresentam os resultados referentes a
dois conjuntos de colunas considerados representativos do comportamento do conjunto: um
associado a um comportamento de pós-encurvadura estável (L/LT=0.5) e um outro com
comportamento instável (L/LT=0.75).
Figura 4. 10 – Material linear (a) elástico, (b) elástico - perfeitamente plástico.
55
A figura 4.11 mostra a trajetória de pós encurvadura P/Pcr vs β de colunas com (i) três valores
de b/t (10, 15 e 20), (ii) comprimentos com L/LT=0.5 e (iii) com as relação de fy/σcr iguais a 1.0, 1.8 e
2.5. Por sua vez, na figura 4.12 mostra-se a evolução das deformações plásticas para a coluna
70x4.67 com fy/fcr=1.8.
Figura 4. 11 – Trajetória de equilibrio elasto-plástico para a fy/cr=1.0, 1.8, 2.5.
Pu /Pcr
fy /fcr 1.0 1.8 2.5
b/t=10 0.91 1.11 1.32
b/t=15 0.93 1.09 1.29
b/t=20 0.94 1.08 1.23
P/Pcr
(b) 0.0 0.4 0.8
b= 70 mm; L 0.5 LT
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
(a) (rad)
20 b/t 15 10
fy /fcr =1.0
fy /fcr =1.8
fy /fcr =2.5
fy /fcr =
Elastic
I
III
II
I
II III
Figura 4. 12 – Evolução das deformações plásticas na coluna 70x4.67 com fy/fcr=1.8.
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
P/P
cr
β (rad)
101520
b/t
I
II
III
56
Figura 4. 13 – Trajetória de equilibrio elasto-plástico da coluna em cantoneira 70x4.67 com fy/fcr=1.0, 1.8, 2.5.
Dos resultados obtidos podem retirar-se as seguintes conclusões:
i - Para cantoneiras curtas de abas compactas e fy/fcr>1, existe sempre uma reserva
resistência elasto-plástica e ductilidade até á cedência.
ii - A alteração da tensão de cedência tem uma grande influência na carga última da coluna,
a qual sobe cerca de 20% quando se duplica o valor da tensão de cedência.
iii - A resistência elasto-plástica aumenta com a redução da relação b/t.
iv - Os diagrama das deformações plásticas mostra que a plastificação se inicia no canto
interior da secção a ¼ e ¾ de vão. Isto acontece pois este é o local onde as tensões
longitudinais e as tangenciais devido à torção são maiores. Nota-se ainda que as deformações
se alastram primeiramente ao resto da secção a ¼ e ¾ de vão, aquando se atinge a carga
última, e depois ao longo do canto interior ao longo de todo o elemento.
Realizou-se igualmente o estudo de colunas longas, ou seja, L/LT=0,75, as quais exibem um
comportamento instável. A figura seguinte mostra a trajetória P/Pcr vs β, de colunas com (i) de b/t (10, 15
e 20) e (ii) as seguintes relações de fy/σcr: 1.0, 1.8 e 2.5. Nas figuras 4.14 e 4.15 representa-se o diagrama
de deformações plásticas para cantoneiras com b/t=70/4.65 e fy/fcr=1.0 e 2.5.
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8
P/P
cr
β (rad)
b/t101520 3
21
57
Da análise destas figuras podem retirar-se as seguintes conclusões:
i - Não existe reserva de resistência elasto-plástica para colunas com comprimento intermédio.
ii - Para fy/fcr, a plastificação começa a meio da aba da cantoneira ¼ e ¾ de vão, sendo que
em seguida se propaga para o resto da secção nas mesmas zonas do elemento.
iii - A carga última quase não sofre variação com o aumento da tensão de cedência, sendo
que para gamas de tensão de cedência de 2.5fcr o colapso ocorre elasticamente.
1
2
Figura 4. 14 – Evolução das deformações plásticas da coluna 70x4.67 com comprimento L/LT=0.75 para fy/fcr=1.0.
Figura 4. 15 – Evolução das deformações plasticas para a coluna 70x4.67 com comprimento L/LT=0.75 e fy/fcr=2.5.
58
Figura 4. 16 – Distribuição linear de três pontos.
Figura 4. 17 – Distribuição linear de 4 pontos.
4.5 Efeito das Tensões Residuais
Como foi referido anteriormente, os perfis metálicos laminados a quente tem tensões iniciais
provenientes do arrefecimento dos mesmos após fabrico. Estas tensões, juntamente com as
imperfeiçoes geométricas, tem uma grande influência na carga última dos perfis. No caso das
colunas, essa influência encontra-se incorporada nas curvas de dimensionamento em todos os
códigos existentes.
No que diz respeito a colunas com secção em cantoneira, foram realizados estudos
experimentais nos anos 70 que levaram à adoção, praticamente universal (e.g., Eurocódigo 3), de
um diagrama linear de 3 pontos (figura 4.16). No entanto, devido à utilização cada vez mais comum
de cantoneiras com abas relativamente “grandes” produzidas com aços de alta resistência (ex:
b/t=300/35), foram realizadas recentemente novas investigações de índole experimental com o
objectivo de determinar a distribuição de tensões residuais para estes novos perfis, apresentando-
se na figura 4.17 a distribuição linear de 4 pontos proposta por Može [20].
59
Figura 4. 18 – Ficheiro de FORTRAN.
Seguidamente, procede-se à análise de pós-encurvadura de cantoneiras com tensões iniciais,
sendo avaliado o seu efeito por comparação do comportamento das mesmas com colunas sem
tensões iniciais.
O programa utilizado para a análise de pós encurvadura não tem nenhuma função que permita
a introdução automática de tensões iniciais num elemento. A introdução destas tensões no programa
de elementos finitos ABAQUS faz-se através de uma sub-rotina em FORTRAN que é considerada na
análise por meio do comando “INITIAL CONDITIONS, TYPE=STRESS, USER” (ver figuras 4.18 e
4.19). Nesta sub-rotina faz-se a atribuição em cada ponto de integração numérica (pontos de Gauss)
do elemento finito de casca de uma tensão inicial de acordo com a sua “posição” na secção.
Figura 4. 19 – Ficheiro INP do abaqus com tensões iniciais.
60
Figura 4. 21 – Interface do programa ABAQUS aquando a introdução de tensões iniciais.
Na figura 4.20 indica-se a discretização por cada elemento finito da distribuição linear de 3
pontos proposta pelo Eurocódigo e da distribuição linear de 4 pontos proposta por Može [20]. Nas
análises, a secção é composta por 12 elementos, 6 em cada aba, pelo que as tensões inseridas em
cada elemento provem da média ponderada das tensões existentes ao longo do elemento.
Figura 4. 20 – Distribuição de tensões iniciais para o diagrama de 3 pontos e 4 pontos respectivamente.
A análise do efeito provocado pelas tensões iniciais faz-se comparando as trajetórias de
equilíbrio, P/Pcr vs β, de colunas com tensões residuais e sem tensões residuais e os respetivos
mecanismos de colapso. A figura 4.22 mostra as trajetórias de equilíbrio da cantoneira 70X4.67
com tensão de cedência de 500 MPa, para os três casos em estudo: sem tensões iniciais; com
tensões iniciais, diagrama de 3 pontos; com tensões iniciais, diagrama de 4 pontos.
.13fy
.13fy .13fy
.13fy
.13fy
+
+
+ +
-
-
-
.10fy .094fy
.103fy
.148fy
.061fy
.148fy
.103fy .94fy
.10fy
. 008fy
. 008fy
61
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6
P/P
cr
β (rad)
1
2
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6
P/P
cr
β (rad)
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6
P/P
cr
β (rad)
Figura 4. 23 – Evolução das deformações plásticas da coluna 70x4.67 com comprimento L/LT=0.5 e fy=500 MPa , distribuição de 3 pontos .
Da análise destas figuras podem retirar-se as seguintes conclusões:
i - As colunas com ou sem tensões iniciais exibem comportamentos pós encurvadura
semelhantes, sendo que para colunas curtas (L/LT=0.25; 0.5) o comportamento de pós
encurvadura é estável, e para colunas longas (L/LT=0.75; 1) instável.
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6
P/P
cr
β (rad)
Figura 4. 22 – Comparação com e sem tensões da coluna 70x4.67 com o comprimento L/LT (a) 0.25, (b) 0.5, (c) 0.75, (d) 1.
(a) (b)
(c) (d)
1
2
62
ii - Tal como esperado há uma redução da carga máxima aquando da introdução das tensões
iniciais. Além disso, é possível verificar que o diagrama linear de 3 pontos provoca uma queda
maior no valor da carga de colapso do que a distribuição linear de 4 pontos.
iii - A evolução das deformações plásticas e os respetivos mecanismos de colapso para
colunas com e sem tensões iniciais são semelhantes.
Seguidamente, procede-se a uma avaliação mais quantitativa da influência das tensões
iniciais recorrendo ao parâmetro =[(Pu Pu.rs) /Pu]×100, o qual mede a variação da carga de colapso
devido às tensões residuais, sendo que Pu e Pu.rs corresponde à carga de colapso sem e com tensões
residuais das colunas. A avaliação do efeito dessas tensões é feita considerando as duas
distribuições mencionadas anteriormente. As colunas analisadas exibem:
i - b=70 mm, relação b/t=7.5;10;15;20 e comprimento de L/LT=0.25; 0.5; 0.75; 1.
ii - Imperfeição com a configuração do modo critico (flexão-torção) com amplitude igual a
10% da espessura (0.1t).
iii - Três tensões de cedência, nomeadamente fy=300, 500; 700MPa.
As figuras 4.24, 4.25 e 4.26 mostram a variação do fator de redução com a esbelteza crítica
(λft=(fy/fcr.ft)0.5), com o comprimento L/LT e com a relação b/t, respectivamente.
Figura 4. 24 – Efeito das tensões iniciais: relação vs λft.
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
λft
ti3p
ti4p
63
Figura 4. 25 – Efeito das tensões iniciais: relação vs L/LT.
Figura 4. 26 – Efeito das tensões iniciais: relação vs b/t.
Da análise destes resultados pode conclui-se que:
i. Para a maioria dos casos as tensões residuais tem um efeito quase desprezável na
variação da carga última (<4%).
ii. A distribuição de 3 pontos causa uma redução da carga última superior à que se obtém
com a distribuição de 4 pontos, sendo que a média de variação de carga última é de 3
e 1%, respetivamente.
iii. Tal como esperado as tensões residuais têm maior efeito na redução da carga última
para colunas com uma esbelteza normalizada próxima de 1, chegando a atingir um valor
máximo redução 11,5% da carga.
iv. A influência das tensões residuais na carga última das colunas depende não só da
esbelteza normalizada da coluna mas também da localização da mesma no patamar de
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25
L/LT
ti3p
ti4p
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0 5 10 15 20 25
b/t
ti3p
ti4p
64
flexão-torção, atingindo valores máximos para comprimentos próximos ao do
comprimento de transição (LT).
v. As colunas para as quais a variação da carga última é superior a 4% exibem uma relação
de b/t igual a 7.5 ou 10.
65
5. Resistência Última e Dimensionamento
5.1 Introdução
Os capítulos anteriores tiveram por objectivo estudar o comportamento de pós-encurvadura
de cantoneiras de aço encastradas com abas compactas quando submetidas a compressão
centrada. O presente capítulo procura, com base nos conhecimentos obtidos, avaliar o desempenho
de duas metodologias, baseadas no Método da Resistência Direta (MRD), que recentemente foram
propostas para estimar a resistência última destes perfis.
Neste capítulo explica-se detalhadamente a proposta de dimensionamento formulada por
Dinis & Camotim [4]. Seguidamente descreve-se um estudo paramétrico efectuado com recurso ao
programa ABAQUS, o qual teve por objetivo adquirir uma base de dados relativamente grande de
valores de cargas últimas de cantoneiras compactas quando submetidas a compressão centrada.
Finalmente faz-se a avaliação da referida proposta de dimensionamento, comparando o valor da
estimativa por ela fornecida com o valor da carga última obtida numericamente. Justiniano [15]
sugeriu também alterações à metodologia de dimensionamento, as quais foram igualmente
analisadas. O capítulo termina com a avaliação da fiabilidade das duas metodologias de acordo com
as recomendações das especificações Norte Americanas para elementos de aço enformados a frio,
identificando nomeadamente o factor de resistência (ϕ) do Load and Resistance Factor Design
(LRFD) [24].
5.2 Proposta de Dimensionamento
Tal como foi referido no capítulo 2, as atuais curvas do Método da Resistência Direta
fornecem estimativas seguras e precisas da carga última de colunas de aço enformadas a frio associada a
colapsos envolvendo deformações locais, distorcionais, globais ou com interação local-global.
No entanto, as investigações de índole numérica efectuadas por Dinis et al [2, 3] permitiram
compreender que o colapso de colunas com secção em cantoneira não envolve deformações locais,
não podendo a carga última destas colunas ser corretamente estimada pelas actuais curvas de
dimensionamento do MRD.
Dinis & Camotim [4] desenvolveram uma abordagem de dimensionamento com
fundamentação racional do ponto de vista do comportamento estrutural, no sentido de corrigir as
66
incoerências conceptuais detectadas nas anteriores propostas de Young [14], Rasmussen [16,17] e
Silvestre et al. [25].
Como foi mostrado anteriormente, a carga última das colunas encastradas está fortemente
condicionada pela “localização” do comprimento da coluna dentro do patamar Pcr (L). As colunas
mais curtas, localizadas no lado esquerdo desse patamar, têm um comportamento pós-encurvadura
estável, com muito pouca flexão em torno do menor eixo e participação do modo 2 quase
impercetíveis. Inversamente, as colunas mais longas localizadas no lado direito do patamar têm uma
resistência de pós encurvadura quase nula, flexão em torno do menor eixo considerável e valores
de participação de modo 2 visíveis. Assim, pode concluir-se que a carga de colapso da coluna diminui
com o aumento do comprimento devido a uma diminuição da resistência pós encurvadura resultante
da interacção entre dois modos de instabilidade globais: flexão na menor inércia e flexão-torção.
Dinis & Camotim [4] desenvolveram curvas racionais baseadas no MRD para colunas F que têm em
conta os comportamentos estudados anteriormente e definidos em Dinis et al [2, 3]. Para que isto
aconteça as curvas exibem as seguintes características (posteriormente detalhadas):
i - Dado que que as colunas com secção em cantoneira colapsam maioritariamente pela
interação dos modos de deformação de flexão (em torno do menor eixo) e torção ou
flexão-torção (em torno do eixo de maior inercia), as curvas envolvidas devem ser a curva
MRD de resistência global e as curvas de resistência de flexão-torção.
ii - Várias curvas de flexão-torção devem ser desenvolvidas de modo a detetar a redução
progressiva da resistência pós-encurvadura com o aumentar do comprimento.
iii -
Curvas de resistência da flexão-torção
Os autores adoptaram uma abordagem completamente numérica para obter um conjunto de
curvas de resistência do tipo Winter com a intenção de prever, tão acertadamente quanto possível,
o colapso por flexão-torção puro de colunas que instabilização por flexão-torção. Com recurso aos
resultados obtidos das análises de inúmeros tipos de secção e comprimentos de colunas com o
canto impedido deslocar foi possível identificar a relação fu/fy com a esbelteza de flexão-torção da
coluna, λft=(fy/fcr.ft)0.5 (figura 5.1). Nesta figura é também indicada a curva MRD de resistência local.
67
Figura 5. 1 – Valores das relações de tensão última de flexão-torção fu/f+ vs λft.
Da observação destes resultados os autores chegam-se às seguintes conclusões:
i - Não existe nenhuma diferença aparente no que diz respeito aos valores fu/fy associados
aos três perfis analisados
ii - A grande “dispersão vertical” dos valores fu/fy faz com que seja fácil concluir que não
existe uma curva Winter que consiga prever com segurança e precisão todos os valores.
Alem disso, é claro que existe uma vasta gama de valores que se encontra abaixo da
atual curva de resistência local MRD, o que significa que os valores correspondentes às
correspondentes cargas de colapso são sobrestimados consideravelmente por esta curva
iii - A dispersão vertical de valores está ligada ao comprimento da coluna. De facto,
independentemente da secção transversal considerada, os valores fu/fy decrescem
gradualmente com o aumento do comprimento da coluna. Alem disso, concluiu-se que
independentemente da geometria da secção, a resistência pós-encurvadura das colunas
com o canto restringido reduz com o aumentar do comprimento.
Tendo em conta as conclusões tiradas e notando o diagrama de participação modal GBT
apresentada na figura 5.1, que mostra que a participação do modo de flexão em torno do eixo de
maior inercia aumenta com o aumento do comprimento da coluna, os autores decidiram:
i - Agrupar as colunas de acordo com a relação entre os esforços de flexão pura (fbt) e a
flexão-torção (fcrdt), que está diretamente ligada com a participação do modo 2. Estas duas
tensões de encurvadura podem ser analisadas através das seguintes fórmula analíticas
68
𝑓𝑏𝑡 = 𝐺𝑡2
𝑏2+ 𝜋2
𝐸𝑡2
12(𝐿2)2
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡 =4
5(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓 −√(𝑓𝑡 + 𝑓𝑏𝑓)
2 − 25𝑓𝑏𝑡𝑓𝑏𝑓
ii - Propor então um conjunto de curvas, definidas por expressões do tipo Winter, para
estimar a resistência flexão-torção com a maior precisão possível. Esse conjunto de
curvas toma a forma de:
𝑓𝑛𝑓𝑡𝑒 =
{
𝑓𝑦 , 𝜆𝑓𝑡𝑒 ≤ (0.5 + √0.25 − 𝑏)12𝑎
𝑓𝑦 (𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑦)
𝑎
[1 − 𝑏 (𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑦)
𝑎
] , 𝜆𝑓𝑡𝑒 > (0.5 + √0.25 − 𝑏)12𝑎
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜆𝑓𝑡𝑒 = √𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
Cada curva individual corresponde a um combinação diferente dos parâmetros a e b,
através dos quais a dependência do comprimento é capturada.
iii - Através de um processo de tentativa-erro e com base nos resultados obtidos
anteriormente os autores obtiveram as seguintes expressos para os paramentos a e b:
𝑎 = {0.001𝛥𝑓
3 − 0.032𝛥𝑓2 + 0.250𝛥𝑓 + 0.400, 𝛥𝑓 ≤ 5.0
0.001𝛥𝑓 + 0.970, 𝛥𝑓 > 5.0
𝑏 = {0.014𝛥𝑓 + 0.150, 𝛥𝑓 ≤ 7.0
0.248, 𝛥𝑓 > 7.0
Sendo que Δf é definido por:
𝛥𝑓 =𝑓𝑏𝑡 − 𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.1)
(5.2)
)
69
Figura 5. 2 – Curvas fnte propostas para Δ+=0.16, 1.80 e 7.20 .
A figura 5.2 mostra então as curvas para Δf=0.16 1.80 e 7.20, bem como as cargas de
colapso obtidas numericamente. A observação destes resultados mostra que as curvas preveem
razoavelmente bem a resistência flexo-torsional das colunas, no sentido em que elas fornecem mais
ou menos estimativas precisas (conservativas) das cargas ultimas obtidas numericamente.
Abordagem para o dimensionamento de colunas com apoios encastrados baseado no MRD
A abordagem proposta baseada no MRD para colunas com apoio encastrado com secção
em cantoneira, que geralmente colapsam pela interação dos modos flexão-torção/flexão, consiste
na combinação da Eq. 5.3 com a atual curva de resistência global MRD. Seguindo o método adotado
de dimensionamento MRD para colapso por interação local-global, substitui-se o fy por fne na Eq. 5.3,
obtendo-se então:
𝑓𝑛𝑓𝑡𝑒 = {𝛽 × 𝑓𝑛𝑒 , 𝜆𝑓𝑡𝑒 ≤ (0.5 + √0.25 − 𝑏)
1
2𝑎
𝛽 × 𝑓𝑛𝑒 (𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑛𝑒)𝑎
[1 − 𝑏 (𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑛𝑒)𝑎
] , 𝜆𝑓𝑡𝑒 > (0.5 + √0.25 − 𝑏)1
2𝑎
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜆𝑓𝑡𝑒 = √𝑓𝑛𝑒
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
Em seguida, os autores compararam os resultados obtidos através de esta nova proposta
de dimensionamento com os resultados experimentais e numéricos existentes. A tabela seguinte
(5.6)
70
mostra a média, o desvio padrão, valor máximo e valor mínimo dos resultados numéricos obtidos
com recurso à nova proposta de dimensionamento. Verifica-se então que os resultados obtidos são
maior fidelidade que os métodos de dimensionamento anteriormente utilizados.
Tabela 6 – Proposta DSM-F: média, desvio padrão, valor máximo e mínimo.
Por fim, os autores avaliaram a fiabilidade da proposta determinando o factor de resistência
ϕ do Load and Resistance Factor Design (LRFD) incluído no regulamento Norte Americano para
elementos de aço enformados a frio [24]. A tabela seguinte mostra o valor ϕ obtido para a previsão
da carga última oferecida pelo procedimento DSM-F para ensaio experimentais, numéricos e para a
totalidade dos ensaios. Da análise destes resultados pode concluir-se que os valores obtidos estão
de acordo com as recomendações das especificações Norte Americanas para elementos de aço (ϕ
=0.85 para perfis submetidos à compressão, independentemente do tipo de colapso).
Tabela 7 – Proposta DSM-F: factor de Resistência do LRFD.
5.3 Resistência Última de Cantoneiras Compactas
De forma a avaliar se a metodologia de dimensionamento proposta para colunas com secção
em cantoneira fina enformadas a frio é aplicável a cantoneiras em aço laminado a quente, foi
71
realizado um estudo paramétrico com o objetivo primário de adquirir uma base de dados
relativamente grande de valores de resistência última de cantoneiras de abas compactas.
Este estudo envolve colunas encastradas com as dimensões e comprimentos indicados nas
tabelas 4 e 5 (despreza-se o efeito dos cantos arredondados). Analisou-se então um total de 252
colunas com as seguintes características:
i. Instabilizam por flexão-torção, i.e., os seus comprimentos estão localizados no
patamar das curvas de estabilidade.
ii. Exibem uma gama de esbeltezas muita vasta, sendo considerados aços (E=210
GPa, =0.3) com tensões de cedência de fy=300, 500 e 700 MPa.
iii. Contêm imperfeições iniciais que combinam uma componente de flexão-torção,
com uma amplitude igual 10% da espessura da secção com uma componente de
flexão na menor inércia com amplitude de L/1000 (valor geralmente adotado para
colunas com aço laminado a quente).
iv. Exibem tensões iniciais com uma distribuição segundo o modelo proposto pelo
Eurocódigo 3 (distribuição linear de 3 pontos).
Os resultados dos ensaios numéricos realizados, nomeadamente os valores das esbeltezas
críticas (ft) e da resistência última (fu) obtidos com o programa ABAQUS para as 252 colunas
analisadas, podem ser consultados no anexo 5.1.
5.4 Avaliação da Proposta de Dimensionamento para Cantoneiras Compactas
A figura 5.3 mostra a relação fu/fy vs 𝜆fte obtidas para o conjunto das colunas analisadas, sendo
também representada a curva local-global do MRD. Por sua vez, a figura 5.4 mostra as relações
fu/fnfte vs 𝜆fte obtidas para o conjunto das colunas analisadas considerando a metodologia proposta
por Dinis & Camotim [4] (fig. 5.4(a)) e à proposta de Justiniano [5] (fig. 5.4(b)).
72
0,75
1
1,25
1,5
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
Fu/F
nft
e
Esbelteza fte
Figura 5. 4 – Relação fu/fnfte vs. 𝜆fte para a metodologia proposta por (a) Dinis & Camotim [4], (b) por Justiniano [5].
Figura 5. 3 – Relação fu/fy vs. 𝜆fte para o conjunto das colunas analisadas.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 1 2 3
fu/f
y
λfte
0,75
1
1,25
1,5
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
Fu/F
nft
e
Esbelteza fte
(a)
Fig
ura
5.
32
-
Rel
açã
o
fu/
fnf
te
vs.
𝜆ft
e
par
a
as
me
tod
olo
gia
s
de
pro
(b)
(b)
Fig
ura
5.
34
–
Rel
açã
o
73
Tabela 8 – Proposta DSM-F: média, desvio padrão, máximo e mínimo para a metodologia proposta por Dinis & Camotim [4] e por Justiniano [5]..
Média D.Padrão Máximo Mínimo
Dinis & Camotim [4] 1,069 0,068 1,261 0,947
Justiniano [5] 1,034 0,071 1,261 0,855
Da análise destes resultados pode conclui-se o seguinte:
i - A maioria dos valores fu/fy são inferiores à curva do MRD representada na figura 5.3,
confirmando assim que a atual curva local-global do MRD não consegue estimar a
resistência última destas cantoneiras.
ii - As curvas de dimensionamento MRD-F propostas por Dinis & Camotim [4] fornecem
resultados relativamente precisos das cargas ultimas das colunas, sendo que a relação
fu/fnfte tem um valor médio e de desvio padrão de 1.07/0.06. Este resultado é lógico, dado
que a cantoneiras compactas laminadas a quente (b/t<20), exibe o mesmo
comportamento que esteve no origem do modelo de dimensionamento MRD-F (interação
entre instabilidade por flexão-torção e flexão na menor inércia).
iii - A proposta de Justiniano [5] fornece também bons resultados, mas inferiores aos da
proposta anterior. O facto de o conjunto de cargas últimas que estiveram na origem da
calibração das curvas não ter sido determinado considerando a existência de tensões
residuais pode estar na origem da menor qualidade da proposta. Além disso, o facto de
terem sido usadas tensões de cedência irrealistas (muitos altas) pode também ter
contribuído para a menor qualidade da proposta.
5.5 Índice de Fiabilidade
A avaliação da fiabilidade da metodologia proposta por Dinis & Camotim [4] e por Justiniano
[5] é efectuada determinando o fator de resistência ϕ do Load and Resistance Factor Design (LRFD)
incluído no regulamento Norte Americano para elementos de aço enformados a frio [24]. O factor de
resistência é dado pela expressão:
ϕ = Cϕ(MmFmPm)𝑒−β0√𝑣𝑚
2 +𝑣𝑓2+𝑣𝑞
2+Cp𝑣𝑝2
em que Cp, o factor de correção que tem em conta a dimensão da amostra considerada na proposta, é dado por:
(5.7)
74
Cp = (1 +1
𝑛 ) ×
𝑚
𝑚−2
onde m e n são o número de ensaios realizados e o número de graus de liberdade (m=n-1); Cϕ é o
coeficiente de calibração e foi considerado 1,52; Mm e Fm são iguais a 1 e correspondem ao factores
dos valores médios dos materiais e de fabricação; β0 é o índice de confiança e foi considerado 2,5;
𝑣m, 𝑣𝑓 e v𝑞 são os coeficientes de variação dos factores material, fabricação e efeito de carga e
tomam os valores de 0,1, 0,05 e 0,21 respectivamente. Os parâmetros Pm e Vp e correspondem aos
valores da media e do desvio padrão dos resultados obtidos.
A tabela 9 mostra o valor do factor de resistência obtido para a metodologia de
dimensionamento proposta por Dinis e Camotim [4] para cantoneiras compactas com apoios bi-
encastradas para completar o estudo, apresenta-se também os valores referentes à proposta de
formulada por Justiniano [5]. O resultado obtido para o fator de resistência ϕ da proposta de Dinis &
Camotim [4] é muito bom (ϕ=0.96), sendo superior ao recomendado no regulamento norte-
americanp para elementos de aço enformados a frio: ϕ =0.85 para perfis submetidos à compressão
(independentemente do tipo de colapso).
Tabela 9 – Proposta DSM-F: fator de resistência 𝛟 do LRFD para a metodologia proposta por Dinis & Camotim [4] e por Justiniano [5].
Dinis & Camotim [4] Justiniano [5]
n 252 252
Cp 1,012 1,012
Pm 1,069 1,034
Vp 0,068 0,071
φ 0,88 0.84
(5.8)
75
6. Conclusões
O estudo realizado nesta dissertação, que deu origem a um artigo que será apresentado numa
conferência internacional a decorrer no decurso do presente ano [6], envolveu a análise do
comportamento e o dimensionamento de cantoneiras compactas de aço laminadas a quente, de
abas iguais e secções extremas encastradas. O estudo foi dividido em três partes, designadamente
1. Comportamento de estabilidade:
2. Comportamento de pós-encurvadura;
3. Resistência última e o dimensionamento.
O comportamento de estabilidade centrou-se na análise da evolução da tensão critica com o
comprimento das cantoneiras, considerando seções com várias relações de b/t (com b e t,
respectivamente a dimensão e a espessura da aba da cantoneira).
O estudo do comportamento de pós encurvadura das colunas foi subdividido em 3 partes: (i)
comportamento de pós-encurvadura elástico, (ii) comportamento de pós-encurvadura elasto-plástico
sem tensões residuais, (iii) comportamento de pós-encurvadura elasto-plástico com tensões
residuais.
A determinação de um conjunto alargado de cargas últimas de cantoneiras, de seções e
comprimentos pré-selecionados, permitiu avaliar se a metodologia de dimensionamento proposta
por de Dinis & Camotim [4] para cantoneiras enformadas a frio (de seção esbelta) é aplicável a
cantoneiras em aço laminado a quente.
Seguidamente resumem-se as conclusões mais importantes retiradas nas três partes
referidas.
Comportamento de Estabilidade
Do estudo do comportamento de estabilidade de colunas com secção em cantoneira compacta
efectuado com recurso ao programa GBTUL (baseado na Teoria Generalizada de Vigas GBT)
conclui-se:
i - Os modos de deformação predominantes são os mesmos para secções finas e secções
compactas: modos 2, 3 e 4 (modos globais de flexão na maior e menor inércia e de
torção).
ii - Para comprimentos intermédios as colunas instabilizam por flexão-torção (modo 2+4),
ocorrendo a instabilidade por flexão (modo 3) para comprimentos longos.
76
iii - A redução da relação b/t provoca uma redução do comprimento de transição da
instabilidade por flexão-torção para a instabilidade por flexão na menor inércia.
iv - O aumento do comprimento de aba provoca o aumento do comprimento de transição do
modo 2+4 para o modo 3.
v - Para colunas com relação b/t<10, aquando a transição dos modos 2+4 para o modo 3,
aparece ainda que com participação diminuta o modo simétrico local 5.
vi - A evolução da flexão em torno do eixo de maior inércia (modo 2) ao longo do plateau é
igual independentemente da geometria da secção.
Comportamento de Pós-Encurvadura
O estudo do comportamento de pós-encurvadura das colunas foi realizado com base em
simulações numéricas não lineares com recurso ao programa ABAQUS, considerando os perfis
discretizados por elementos de casca. Da análise dos resultados concluiu-se:
i - O comportamento de pós encurvadura das colunas com diferentes comprimentos ao
longo do patamar de flexão torção é muito distinto. Para colunas curtas a trajetória de pós
encurvadura é estável, sendo instável para colunas com comprimentos intermédios-a-longos.
ii - A diferença no comportamento de colunas curtas para intermédias deve-se ao facto de
que, para colunas com comprimento intermédios, a influência da flexão na menor inércia
ser muito maior. Este fenómeno torna-se evidente após a análise da evolução dos
deslocamentos de canto e da observação das tensões longitudinais existentes na secção
a meio vão.
iii - As colunas curtas possuem uma reserva de resistência elasto-plástica significativa. Por
outro lado, as colunas intermédias não possuem qualquer reserva de resistência, sendo
que, para relações superiores a fy/fcr=2.5 o colapso da coluna é elástico.
iv - A introdução de tensões residuais nas colunas provoca uma redução de carga pouco
significativa (cerca de 4%).
v - A redução da carga está não só ligada à esbelteza normalizada da coluna, mas também
da relação do seu comprimento relativamente ao comprimento de transição. Para
comprimentos próximos do comprimento de transição a redução da carga chega a valores
de 11,5%.
77
Dimensionamento
A avaliação se a metodologia de dimensionamento baseada no Método da Resistência
Direta (MRD) proposta por Dinis & Camotim [4] para cantoneiras enformadas a frio (de seção esbelta)
dá bons resultados quando aplicável a cantoneiras em aço laminado a quente foi o objectivo
fundamental deste estudo. Os resultados obtidos permitiram concluir que a referida proposta é
adequada também para dimensionamento de cantoneiras compactas submetidas a compressão
centrada. Por outro lado, a proposta de Justiniano [5] fornece também bons resultados mas inferiores
aos da proposta anterior. O facto de o conjunto de cargas últimas que estiveram na origem da
calibração das curvas não ter sido determinado considerando a existência de tensões residuais pode
estar na origem da menor qualidade da proposta.
6.1 Propostas de Investigação Futura
Na sequência do trabalho desenvolvido, julga-se que o próximo passo seja o
desenvolvimento de uma investigação semelhante à efectuada nesta dissertação mas envolvendo
cantoneiras compactas (laminadas a quente) com apoios cilíndricos quando submetidas a
compressão centrada. Esse estudo permitira avaliar se a proposta de Dinis & Camotim [4] para perfis
enformados a frio com este tipo de condições de apoio fornece também bons resultados para
cantoneiras laminadas a frio. A extensão para apoios esféricos podia ser uma outra possibilidade de
investigação futura, apesar dos estudos sobre cantoneiras enformadas a frio com este tipo de
condição de apoio não estar tão aprofundado quanto ao que acontece com as colunas com apoio
com apoios cilíndricos.
No estudo realizado, utilizou-se o modelo de tensões iniciais em vigor no Eurocódigo. No
entanto este modelo tem por base ensaios realizados nos anos 80, pelo que estes não tiveram em
conta a evolução dos processos metalúrgicos. A actual investigação experimental sobre este assunto
irá dar origem à definição mais rigorosa dos modelos de distribuição de tensões iniciais na secção,
os quais deverão ser incluídos nas futuras simulações numéricas a efectuar neste âmbito.
Por fim, foi também denotado, ao longo desta dissertação, a inexistência de resultados
experimentais envolvendo cantoneiras laminadas a quente com as extremidades encastradas. A
realização destes ensaios, estando claramente fora do conteúdo numérico desta dissertação, é uma
lacuna importante para a validação da proposta de dimensionada proposta por Dinis & Camotim [4].
78
79
7. Referências
[1] Dinis PB, Camotim D, Silvestre N. GBT formulation to analyse the buckling behaviour of thin-
walled members with arbitrarily ‘branched’ open cross- sections. Thin-Walled Structures
2006;44(1):20–38.
[2] Dinis PB, Camotim D, Silvestre N. On the local and global buckling of angle, T-section and
cruciform thin-walled members. Thin-Walled Structures 2010; 48 (10-11): 786-797.
[3] Dinis PB, Camotim D, Silvestre N. On the mechanics of thin-walled angle column instability. Thin-
Walled Structures 2012; 52: 80-89.
[4] Dinis PB, Camotim D. A novel DSM-based approach for the rational design of fixed-ended and
pin-ended short-to-intermediate thin-walled angle columns. Thin-Walled Structures 2015; 87: 158-
182.
[5] Justiniano R. Comportamento e Dimensionamento de Cantoneiras Comprimidas, Tese de
Mestrado, IST, 2015
[6] Dinis PB, Camotim D, Preto V. Behaviour and Design of Short-to-Intermediate Hot-Rolled Steel
Angle Columns, The International Colloquium on Stability and Ductility of Steel Structures 2016,
accepted for publication.
[7] Kitipornchai S, Chan SL. Nonlinear finite-element analysis of angle and tee beam-columns.
Journal of Structural Engineering (ASCE) 1987; 113(4):721–39.
[8] Kitipornchai S, Albermani FGA, Chan SL. Elastoplastic finite-element models for angle steel
frames. Journal of Structural Engineering (ASCE) 1990; 116(10): 2567–81.
[9] Popovic D, Hancock GJ, Rasmussen KJR. Axial compression tests of cold- formed angles. Journal
of Structural Engineering (ASCE) 1999; 125(5):515–23.
[10] Popovic D, Hancock GJ, Rasmussen KJR. Compression tests on cold-formed angles loaded
parallel with a leg. Journal of Structural Engineering (ASCE) 2001; 127(6):600–7.
[11] Trahair NS. Lateral buckling strengths of steel angle section beams. Journal of Structural
Engineering (ASCE) 2003; 129(6):784–91.
[12] Trahair NS. Buckling and torsion of steel unequal angle beams. Journal of Structural Engineering
(ASCE) 2005; 131(3):474–80.
80
[13] Mohan SJ, Rao NP, Lakshmanan N. Flexural and local buckling interaction of steel angles.
International Journal of Structural Stability and Dynamics 2005; 5(2):143–62.
[14] Young B. Tests and design of fixed-ended cold-formed steel plain angle columns. Journal of
Structural Engineering (ASCE) 2004; 130(12):1931–40.
[15] Ellobody E, Young B. Behavior of cold-formed steel plain angle columns. Journal of Structural
Engineering (ASCE) 2005; 131(3):457–66.
[16] Rasmussen KJR. Design of angle columns with locally unstable legs. Journal of Structural
Engineering (ASCE) 2005; 131(10):1553–60.
[17] Rasmussen KJR. Design of slender angle section beam-columns by the direct strength method.
Journal of Structural Engineering (ASCE) 2006; 132(2):204–11.
[18] Stowell EZ. Compressive strength of flanges, National Advisory Committee for Aeronautics
(NACA) Report No. 1029; 1951.
[19] G. Shi, Z. Liu, H.Y. Ban, Y. Zhang, Y.J. Shi, and Y.Q. Wang. Tests and finite element analysis
on the local buckling of 420 MPa steel equal angle columns under axial compression.2011
[20] Ban H, Shi G, Shi Y, Wang Y. Residual stress tests of high-strength steel equal angles, Journal
of Structural Engineering (ASCE), 138(12), 1446-1454, 2012
[21] Može P, Sinur F, Rejec K, Cajot L-C, Beg D. Buckling curves for large angle profiles: residual
stress measurements and numerical analysis, Proceedings of 7th European Conference on Steel and
Composite Structures (Eurosteel 2014 Naples, 10-12/9), R. Landolfo, F. Mazzolani (eds.), ECCS
(Brussels), 175-176, 2014. (full paper in USB Key Drive Proceedings).
[22] ArcelorMittal. 2015. "ArcelorMittal Sections" http://www.arcelormittal.com/sections/en.
[23] Steel Plate & Sections 2015. http://www.steelplate.co.uk/cn/products/64/hot-rolled-steel-angles.
[24] AISI (American Iron and Steel Institute).North American Specification for the Design of Cold-
Formed Steel Structural Members(NAS),WashingtonDC;2012.
[25] Silvestre, N., Dinis, P., and Camotim, D. Developments on the Design of cold-formed steel
angles, J. Struct. Eng., 2013, 139, 680-694.
81
8 Anexos
Anexo 3.1
b (mm) t (mm) L (mm) fbf fbt fcrt
(Dinis & Camotim)
fcrt (GBTUL)
50 2,5 100 345436,15 633,72 633,28 675,31
50 2,5 300 38381,79 249,90 249,29 253,94
50 2,5 400 21589,76 228,91 228,00 230,67
50 2,5 500 13817,45 219,19 217,89 219,65
50 2,5 600 9595,45 213,92 212,12 213,40
50 2,5 700 7049,72 210,74 208,36 209,35
50 2,5 800 5397,44 208,67 205,62 206,42
50 2,5 900 4264,64 207,25 203,43 204,11
50 2,5 1000 3454,36 206,24 201,56 202,14
50 2,5 1500 1535,27 203,84 193,39 193,76
50 2,5 2000 863,59 203,00 184,26 184,55
50 5 100 345436,15 2534,87 2527,88 2700,68
50 5 200 86359,04 1239,49 1232,79 1277,29
50 5 300 38381,79 999,60 989,78 1010,96
50 5 400 21589,76 915,64 900,93 914,10
50 5 500 13817,45 876,78 855,60 865,12
50 5 600 9595,45 855,67 826,46 834,01
50 5 700 7049,72 842,94 804,12 810,49
50 5 800 5397,44 834,68 784,63 790,23
50 5 900 4264,64 829,02 766,11 771,18
50 5 1000 3454,36 824,96 747,55 752,23
70 3,5 100 677054,86 1048,24 1047,63 1130,52
70 3,5 200 169263,72 413,50 413,12 433,59
70 3,5 300 75228,32 295,96 295,52 304,58
70 3,5 400 42315,93 254,82 254,24 259,36
70 3,5 500 27082,19 235,78 235,00 238,32
70 3,5 600 18807,08 225,43 224,42 226,76
70 3,5 700 13817,45 219,19 217,89 219,65
70 3,5 800 10578,98 215,15 213,50 214,89
70 3,5 900 8358,70 212,37 210,34 211,48
70 3,5 1000 6770,55 210,39 207,92 208,88
70 3,5 1500 3009,13 205,68 200,33 200,86
70 3,5 2000 1692,64 204,04 194,56 194,95
70 3,5 2500 1083,29 203,28 188,40 188,72
82
b (mm) t (mm) L (mm) fbf fbt fcrt
(Dinis & Camotim)
fcrt (GBTUL)
70 4,5 100 677054,86 1732,81 1731,14 1868,78
70 4,5 200 169263,72 683,55 682,51 716,65
70 4,5 300 75228,32 489,24 488,04 503,27
70 4,5 400 42315,93 421,23 419,65 428,34
70 4,5 500 27082,19 389,75 387,64 393,35
70 4,5 600 18807,08 372,65 369,87 373,97
70 4,5 700 13817,45 362,34 358,76 361,90
70 4,5 800 10578,98 355,65 351,13 353,65
70 4,5 900 8358,70 351,06 345,48 347,58
70 4,5 1000 6770,55 347,78 341,00 342,80
70 4,5 1500 3009,13 340,01 325,23 326,33
70 4,5 2000 1692,64 337,29 311,03 311,88
70 7 100 677054,86 4192,97 4183,21 4521,69
70 7 200 169263,72 1654,01 1647,94 1733,26
70 7 300 75228,32 1183,83 1176,82 1215,87
70 7 400 42315,93 1019,27 1010,01 1033,09
70 7 500 27082,19 943,10 930,68 946,46
70 7 600 18807,08 901,73 885,33 897,19
70 7 700 13817,45 876,78 855,60 865,12
70 7 800 10578,98 860,59 833,83 841,84
70 7 900 8358,70 849,49 816,35 823,33
70 7 1000 6770,55 841,55 801,22 807,46
70 7 1500 3009,13 822,74 733,95 738,42
90 5 100 1119213,14 1976,47 1975,16 2145,27
90 5 200 279803,28 681,08 680,46 722,51
90 5 300 124357,02 441,20 440,61 459,20
90 5 400 69950,82 357,24 356,55 367,01
90 5 500 44768,53 318,37 317,52 324,26
90 5 600 31089,25 297,26 296,20 300,93
90 5 700 22841,08 284,54 283,20 286,74
90 5 800 17487,71 276,27 274,63 277,40
90 5 900 13817,45 270,61 268,61 270,86
90 5 1000 11192,13 266,56 264,16 266,03
90 5 1500 4974,28 256,96 251,92 252,92
90 5 2000 2798,03 253,61 244,80 245,49
90 5 2500 1790,74 252,05 238,33 238,88
90 5 3000 1243,57 251,21 231,37 231,85
90 5 3500 913,64 250,70 223,54 223,97
90 7 100 1119213,14 3873,88 3868,85 4204,63
83
b (mm) t (mm) L (mm) fbf fbt fcrt
(Dinis & Camotim)
fcrt (GBTUL)
90 7 200 279803,28 1334,92 1332,53 1415,96
90 7 300 124357,02 864,75 862,49 899,68
90 7 400 69950,82 700,18 697,55 718,72
90 7 500 44768,53 624,01 620,74 634,58
90 7 600 31089,25 582,64 578,53 588,42
90 7 700 22841,08 557,69 552,55 560,09
90 7 800 17487,71 541,50 535,16 541,18
90 7 900 13817,45 530,40 522,69 527,67
90 7 1000 11192,13 522,46 513,21 517,45
90 7 1500 4974,28 503,65 484,08 486,59
90 7 2000 2798,03 497,07 462,69 464,60
90 7 2500 1790,74 494,02 440,21 441,84
84
Anexo 3.2
Secção b (mm) t (mm) L (mm) fbf fcre fbt fcrt f 7
0x7
0x2
,8
70,0 2,8 250 108328,8 54164,4 215,9 215,7 0,1
70,0 2,8 500 27082,2 13541,1 150,9 150,6 0,2
70,0 2,8 750 12036,5 6018,3 138,9 138,3 0,4
70,0 2,8 1000 6770,5 3385,3 134,6 133,6 0,8
70,0 2,8 1250 4333,2 2166,6 132,7 131,2 1,2
70,0 2,8 1500 3009,1 1504,6 131,6 129,5 1,7
70,0 2,8 1750 2210,8 1105,4 131,0 128,0 2,3
70,0 2,8 2000 1692,6 846,3 130,6 126,7 3,0
70,0 2,8 2250 1337,4 668,7 130,3 125,4 3,9
70,0 2,8 2500 1083,3 541,6 130,1 124,1 4,9
70,0 2,8 2750 895,3 447,6 129,9 122,6 6,0
70,0 2,8 3000 752,3 376,1 129,8 121,1 7,2
70,0 2,8 3250 641,0 320,5 129,7 119,5 8,6
70,0 2,8 3830 461,6 230,8 129,6 115,2 12,5
70
x70
x3,5
70,0 3,5 250 108328,8 54164,4 337,3 336,9 0,1
70,0 3,5 500 27082,2 13541,1 235,8 235,0 0,3
70,0 3,5 750 12036,5 6018,3 217,0 215,5 0,7
70,0 3,5 1000 6770,5 3385,3 210,4 207,9 1,2
70,0 3,5 1250 4333,2 2166,6 207,3 203,6 1,8
70,0 3,5 1500 3009,1 1504,6 205,7 200,3 2,7
70,0 3,5 1750 2210,8 1105,4 204,7 197,4 3,7
70,0 3,5 2000 1692,6 846,3 204,0 194,6 4,9
70,0 3,5 2250 1337,4 668,7 203,6 191,6 6,3
70,0 3,5 2500 1083,3 541,6 203,3 188,4 7,9
70,0 3,5 2750 895,3 447,6 203,0 185,0 9,8
70,0 3,5 3000 752,3 376,1 202,9 181,3 11,9
70,0 3,5 3060 723,1 361,5 202,8 180,4 12,5
70
x70
x4,6
7
70,0 4,7 250 108328,8 54164,4 600,6 599,3 0,2
70,0 4,7 500 27082,2 13541,1 419,8 417,3 0,6
70,0 4,7 750 12036,5 6018,3 386,3 381,6 1,2
70,0 4,7 1000 6770,5 3385,3 374,6 366,7 2,1
70,0 4,7 1250 4333,2 2166,6 369,2 357,1 3,4
70,0 4,7 1500 3009,1 1504,6 366,2 349,0 4,9
70,0 4,7 1750 2210,8 1105,4 364,4 341,1 6,8
70,0 4,7 2000 1692,6 846,3 363,3 332,8 9,2
70,0 4,7 2250 1337,4 668,7 362,5 323,7 12,0
70,0 4,7 2290 1291,1 645,5 362,4 322,2 12,5
85
Secção b (mm) t (mm) L (mm) fbf fcre fbt fcrt f
70
x70
x7,0
70,0 7,0 250 108328,8 54164,4 1349,3 1343,0 0,5
70,0 7,0 500 27082,2 13541,1 943,1 930,7 1,3
70,0 7,0 750 12036,5 6018,3 867,9 844,0 2,8
70,0 7,0 1000 6770,5 3385,3 841,5 801,2 5,0
70,0 7,0 1250 4333,2 2166,6 829,4 767,4 8,1
70,0 7,0 1500 3009,1 1504,6 822,7 734,0 12,1
70,0 7,0 1510 2969,4 1484,7 822,5 732,6 12,3
70
x70
x9,3
3 70,0 9,3 250 108328,8 54164,4 2397,1 2377,1 0,8
70,0 9,3 500 27082,2 13541,1 1675,4 1636,0 2,4
70,0 9,3 750 12036,5 6018,3 1541,8 1465,6 5,2
70,0 9,3 1000 6770,5 3385,3 1495,0 1365,6 9,5
70,0 9,3 1120 5397,4 2698,7 1482,8 1322,0 12,2
50
x50
x3,3
3
50,0 3,3 250 55269,8 27634,9 480,8 479,3 0,3
50,0 3,3 500 13817,4 6908,7 388,9 384,8 1,1
50,0 3,3 750 6141,1 3070,5 371,9 363,3 2,4
50,0 3,3 1000 3454,4 1727,2 365,9 351,0 4,2
50,0 3,3 1250 2210,8 1105,4 363,2 340,0 6,8
50,0 3,3 1500 1535,3 767,6 361,7 328,2 10,2
50,0 3,3 1630 1300,1 650,1 361,1 321,5 12,3
90
x90
x6,0
90,0 6,0 250 179074,1 89537,1 756,9 755,7 0,2
90,0 6,0 500 44768,5 22384,3 458,5 456,7 0,4
90,0 6,0 750 19897,1 9948,6 403,2 400,1 0,8
90,0 6,0 1000 11192,1 5596,1 383,8 378,9 1,3
90,0 6,0 1250 7163,0 3581,5 374,9 367,4 2,0
90,0 6,0 1500 4974,3 2487,1 370,0 359,5 2,9
90,0 6,0 1750 3654,6 1827,3 367,1 352,9 4,0
90,0 6,0 2000 2798,0 1399,0 365,2 346,8 5,3
90,0 6,0 2250 2210,8 1105,4 363,9 340,6 6,8
90,0 6,0 2500 1790,7 895,4 363,0 334,2 8,6
90,0 6,0 2750 1480,0 740,0 362,3 327,4 10,7
90,0 6,0 2940 1294,8 647,4 361,9 321,9 12,4
86
Anexo 4.1
b (mm) t (mm) b/t L/LT P/Pcr
50 5 10 0,75 1,10
50 3,3 15 0,75 1,09
50 2,5 20 0,75 1,08
70 7 10 0,75 1,15
70 4,67 15 0,75 1,11
70 3,5 20 0,75 1,09
90 9 10 0,75 1,09
90 6 15 0,75 1,08
90 4,5 20 0,75 1,06
87
Anexo 5.1
b (mm)
t (mm)
b/t L
(mm) λfte fy fu fu/fy Fnfte, F fu/fnfte
50 5 10 1080 0,59 300 247 0,82 253 0,976
50 5 10 1080 0,72 500 376 0,75 377 0,998
50 5 10 1080 0,81 700 473 0,68 446 1,060
50 5 10 540 0,60 300 285 0,95 288 0,991
50 5 10 540 0,77 500 465 0,93 466 0,998
50 5 10 540 0,90 700 631 0,90 591 1,068
50 5 10 810 0,60 300 268 0,89 273 0,983
50 5 10 810 0,75 500 425 0,85 427 0,996
50 5 10 810 0,86 700 565 0,81 512 1,103
50 5 10 270 0,61 300 296 0,99 297 0,997
50 5 10 270 0,78 500 489 0,98 491 0,995
50 5 10 270 0,92 700 663 0,95 617 1,075
50 3,33 15 1630 0,80 300 193 0,64 195 0,991
50 3,33 15 1630 0,91 500 248 0,50 223 1,113
50 3,33 15 1630 0,94 700 254 0,36 230 1,103
50 3,33 15 815 0,88 300 268 0,89 259 1,035
50 3,33 15 815 1,10 500 352 0,70 302 1,164
50 3,33 15 815 1,26 700 386 0,55 326 1,183
50 3,33 15 1222,5 0,85 300 235 0,78 223 1,052
50 3,33 15 1222,5 1,02 500 312 0,62 259 1,204
50 3,33 15 1222,5 1,12 700 321 0,46 274 1,173
50 3,33 15 407,5 0,91 300 286 0,95 269 1,065
50 3,33 15 407,5 1,16 500 376 0,75 353 1,066
50 3,33 15 407,5 1,36 700 437 0,62 418 1,046
50 2,5 20 2180 0,91 300 135 0,45 126 1,070
50 2,5 20 2180 0,94 500 135 0,27 129 1,044
50 2,5 20 2180 0,94 700 134 0,19 129 1,036
50 2,5 20 1090 1,13 300 197 0,66 173 1,141
50 2,5 20 1090 1,38 500 219 0,44 192 1,143
50 2,5 20 1090 1,54 700 237 0,34 202 1,175
50 2,5 20 1635 1,04 300 169 0,56 147 1,147
50 2,5 20 1635 1,17 500 169 0,34 158 1,073
50 2,5 20 1635 1,22 700 166 0,24 160 1,036
50 2,5 20 545 1,20 300 212 0,71 205 1,034
50 2,5 20 545 1,52 500 280 0,56 263 1,063
50 2,5 20 545 1,78 700 356 0,51 308 1,157
70 7 10 1510 0,59 300 248 0,83 253 0,979
70 7 10 1510 0,72 500 377 0,75 377 1,000
88
b (mm)
t (mm)
b/t L
(mm) λfte fy fu fu/fy Fnfte, F fu/fnfte
70 7 10 1510 0,81 700 474 0,68 446 1,062
70 7 10 755 0,60 300 286 0,95 288 0,995
70 7 10 755 0,77 500 467 0,93 466 1,002
70 7 10 755 0,90 700 634 0,91 591 1,072
70 7 10 1132,5 0,60 300 270 0,90 273 0,990
70 7 10 1132,5 0,75 500 427 0,85 427 1,001
70 7 10 1132,5 0,86 700 567 0,81 513 1,106
70 7 10 377,5 0,61 300 296 0,99 297 0,997
70 7 10 377,5 0,78 500 489 0,98 491 0,995
70 7 10 377,5 0,92 700 663 0,95 617 1,075
70 4,67 15 2280 0,80 300 193 0,64 195 0,990
70 4,67 15 2280 0,91 500 247 0,49 223 1,108
70 4,67 15 2280 0,94 700 251 0,36 230 1,089
70 4,67 15 1140 0,88 300 267 0,89 259 1,031
70 4,67 15 1140 1,10 500 346 0,69 302 1,144
70 4,67 15 1140 1,26 700 375 0,54 326 1,149
70 4,67 15 1710 0,85 300 234 0,78 224 1,047
70 4,67 15 1710 1,02 500 308 0,62 259 1,188
70 4,67 15 1710 1,12 700 315 0,45 274 1,150
70 4,67 15 570 0,91 300 286 0,95 269 1,065
70 4,67 15 570 1,16 500 376 0,75 353 1,066
70 4,67 15 570 1,36 700 437 0,62 418 1,046
70 3,5 20 3060 0,91 300 134 0,45 126 1,064
70 3,5 20 3060 0,94 500 134 0,27 129 1,039
70 3,5 20 3060 0,94 700 132 0,19 129 1,023
70 3,5 20 1530 1,13 300 194 0,65 172 1,125
70 3,5 20 1530 1,38 500 213 0,43 191 1,113
70 3,5 20 1530 1,54 700 219 0,31 201 1,088
70 3,5 20 2295 1,03 300 169 0,56 147 1,149
70 3,5 20 2295 1,17 500 169 0,34 157 1,074
70 3,5 20 2295 1,22 700 166 0,24 160 1,037
70 3,5 20 765 1,20 300 212 0,71 205 1,035
70 3,5 20 765 1,52 500 280 0,56 263 1,064
70 3,5 20 765 1,78 700 356 0,51 307 1,158
90 9 10 1950 0,59 300 247 0,82 253 0,977
90 9 10 1950 0,72 500 375 0,75 376 0,997
90 9 10 1950 0,81 700 471 0,67 445 1,058
90 9 10 975 0,60 300 285 0,95 287 0,991
90 9 10 975 0,77 500 464 0,93 466 0,996
89
b (mm)
t (mm)
b/t L
(mm) λfte fy fu fu/fy Fnfte, F fu/fnfte
90 9 10 975 0,90 700 630 0,90 591 1,066
90 9 10 1462,5 0,60 300 268 0,89 273 0,983
90 9 10 1462,5 0,75 500 424 0,85 426 0,995
90 9 10 1462,5 0,86 700 564 0,81 511 1,104
90 9 10 487,5 0,61 300 296 0,99 297 0,997
90 9 10 487,5 0,78 500 489 0,98 491 0,996
90 9 10 487,5 0,92 700 663 0,95 617 1,075
90 6 15 2940 0,80 300 193 0,64 195 0,992
90 6 15 2940 0,91 500 247 0,49 222 1,110
90 6 15 2940 0,94 700 253 0,36 230 1,101
90 6 15 1470 0,88 300 268 0,89 259 1,035
90 6 15 1470 1,10 500 351 0,70 302 1,162
90 6 15 1470 1,26 700 385 0,55 326 1,181
90 6 15 2205 0,85 300 234 0,78 223 1,049
90 6 15 2205 1,02 500 312 0,62 259 1,206
90 6 15 2205 1,12 700 320 0,46 273 1,170
90 6 15 735 0,91 300 286 0,95 268 1,065
90 6 15 735 1,16 500 376 0,75 353 1,066
90 6 15 735 1,36 700 437 0,62 417 1,047
90 4,5 20 3930 0,91 300 135 0,45 126 1,071
90 4,5 20 3930 0,94 500 135 0,27 129 1,046
90 4,5 20 3930 0,94 700 133 0,19 129 1,030
90 4,5 20 1965 1,13 300 197 0,66 172 1,142
90 4,5 20 1965 1,38 500 219 0,44 191 1,144
90 4,5 20 1965 1,54 700 237 0,34 201 1,177
90 4,5 20 2947,5 1,03 300 169 0,56 147 1,148
90 4,5 20 2947,5 1,17 500 169 0,34 157 1,073
90 4,5 20 2947,5 1,22 700 166 0,24 160 1,037
90 4,5 20 982,5 1,20 300 212 0,71 205 1,035
90 4,5 20 982,5 1,52 500 280 0,56 263 1,064
90 4,5 20 982,5 1,78 700 355 0,51 307 1,155
100 10 10 2000 0,59 300 263 0,88 266,0 0,989
100 10 10 2000 0,73 500 411 0,82 407,9 1,008
100 10 10 2000 0,82 700 535 0,76 483,8 1,106
100 6,67 15 3000 0,81 300 207 0,69 210,9 0,981
100 6,67 15 3000 0,94 500 272 0,54 244,5 1,113
100 6,67 15 3000 1,00 700 276 0,39 257,2 1,073
100 5 20 4000 0,96 300 148 0,49 138,8 1,066
100 5 20 4000 1,02 500 148 0,30 147,1 1,006
90
b (mm)
t (mm)
b/t L
(mm) λfte fy fu fu/fy Fnfte, F fu/fnfte
100 5 20 4000 1,02 700 146 0,21 147,7 0,988
150 15 10 3000 0,59 300 252 0,84 266,0 0,947
150 15 10 3000 0,73 500 387 0,77 407,9 0,949
150 15 10 3000 0,82 700 495 0,71 483,8 1,023
150 10 15 4500 0,81 300 229 0,76 210,9 1,086
150 10 15 4500 0,94 500 304 0,61 244,5 1,244
150 10 15 4500 1,00 700 302 0,43 257,2 1,174
150 7,5 20 6500 0,92 300 136 0,45 133,1 1,021
150 7,5 20 6500 0,95 500 136 0,27 139,3 0,976
150 7,5 20 6500 0,95 700 135 0,19 137,5 0,982
200 20 10 4000 0,59 300 267 0,89 266,0 1,004
200 20 10 4000 0,73 500 418 0,84 407,9 1,025
200 20 10 4000 0,82 700 546 0,78 483,8 1,129
200 13,33 15 6500 0,80 300 216 0,72 203,7 1,061
200 13,33 15 6500 0,91 500 277 0,55 234,5 1,181
200 13,33 15 6500 0,95 700 279 0,40 245,1 1,138
200 10 20 8500 0,93 300 146 0,49 134,6 1,085
200 10 20 8500 0,96 500 142 0,28 141,4 1,005
200 10 20 8500 0,96 700 138 0,20 140,2 0,984
250 25 10 5000 0,59 300 263 0,88 266,0 0,989
250 25 10 5000 0,73 500 411 0,82 407,9 1,008
250 25 10 5000 0,82 700 535 0,76 483,8 1,106
250 16,67 15 8000 0,80 300 213 0,71 205,1 1,038
250 16,67 15 8000 0,92 500 266 0,53 236,5 1,125
250 16,67 15 8000 0,96 700 265 0,38 247,5 1,071
250 12,5 20 10500 0,93 300 147 0,49 135,5 1,085
250 12,5 20 10500 0,97 500 144 0,29 142,5 1,010
250 12,5 20 10500 0,97 700 140 0,20 141,8 0,987
100 10 10 1500 0,60 300 279 0,93 280,4 0,995
100 10 10 1500 0,75 500 446 0,89 446,6 0,999
100 10 10 1500 0,87 700 603 0,86 551,4 1,094
100 6,67 15 2250 0,86 300 243 0,81 239,9 1,013
100 6,67 15 2250 1,04 500 320 0,64 276,8 1,156
100 6,67 15 2250 1,16 700 331 0,47 292,9 1,130
100 5 20 3000 1,06 300 178 0,59 157,0 1,134
100 5 20 3000 1,23 500 182 0,36 168,6 1,079
100 5 20 3000 1,30 700 182 0,26 173,1 1,051
150 15 10 2250 0,60 300 274 0,91 280,4 0,977
150 15 10 2250 0,75 500 437 0,87 446,6 0,978
150 15 10 2250 0,87 700 583 0,83 551,4 1,057
91
b (mm)
t (mm)
b/t L
(mm) λfte fy fu fu/fy Fnfte, F fu/fnfte
150 10 15 3375 0,86 300 258 0,86 239,9 1,075
150 10 15 3375 1,04 500 343 0,69 276,8 1,239
150 10 15 3375 1,16 700 357 0,51 292,9 1,219
150 7,5 20 4875 1,04 300 166 0,55 151,4 1,096
150 7,5 20 4875 1,18 500 167 0,33 162,8 1,026
150 7,5 20 4875 1,23 700 166 0,24 166,8 0,995
200 20 10 3000 0,60 300 282 0,94 280,4 1,006
200 20 10 3000 0,75 500 452 0,90 446,6 1,012
200 20 10 3000 0,87 700 612 0,87 551,4 1,110
200 13,33 15 4875 0,85 300 252 0,84 229,0 1,101
200 13,33 15 4875 1,02 500 336 0,67 266,5 1,261
200 13,33 15 4875 1,12 700 344 0,49 282,5 1,218
200 10 20 6375 1,04 300 177 0,59 152,9 1,158
200 10 20 6375 1,19 500 178 0,36 164,3 1,083
200 10 20 6375 1,25 700 174 0,25 168,4 1,033
250 25 10 3750 0,60 300 276 0,92 280,4 0,984
250 25 10 3750 0,75 500 441 0,88 446,6 0,987
250 25 10 3750 0,87 700 594 0,85 551,4 1,077
250 16,66 15 6000 0,85 300 249 0,83 231,2 1,077
250 16,66 15 6000 1,02 500 319 0,64 268,6 1,188
250 16,66 15 6000 1,13 700 328 0,47 284,6 1,153
250 12,5 20 7875 1,05 300 177 0,59 153,7 1,151
250 12,5 20 7875 1,20 500 179 0,36 165,2 1,084
250 12,5 20 7875 1,26 700 176 0,25 169,4 1,039
100 10 10 1000 0,61 300 291 0,97 291,1 1,000
100 10 10 1000 0,77 500 477 0,95 475,5 1,003
100 10 10 1000 0,90 700 654 0,93 629,1 1,040
100 6,67 15 1500 0,89 300 272 0,91 268,8 1,012
100 6,67 15 1500 1,11 500 356 0,71 318,9 1,116
100 6,67 15 1500 1,28 700 397 0,57 348,7 1,139
100 5 20 2000 1,15 300 201 0,67 181,0 1,110
100 5 20 2000 1,41 500 228 0,46 205,5 1,110
100 5 20 2000 1,59 700 256 0,37 219,8 1,165
250 25 10 2500 0,61 300 291 0,97 291,1 1,000
250 25 10 2500 0,77 500 477 0,95 475,5 1,003
250 25 10 2500 0,90 700 654 0,93 629,1 1,040
250 16,67 15 4000 0,88 300 275 0,92 266,2 1,033
250 16,67 15 4000 1,11 500 347 0,69 312,3 1,111
250 16,67 15 4000 1,27 700 384 0,55 338,3 1,135
250 12,5 20 5250 1,14 300 195 0,65 178,1 1,095
92
b (mm)
t (mm)
b/t L
(mm) λfte fy fu fu/fy Fnfte, F fu/fnfte
250 12,5 20 5250 1,39 500 228 0,46 199,9 1,141
250 12,5 20 5250 1,56 700 251 0,36 212,1 1,183
