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8/16/2019 Concavidade+e+Convexidade
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MÉTODOS QUANTITATIVOS I | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | UDESC ESAG | 2016/1| PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
8/16/2019 Concavidade+e+Convexidade
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MÉTODOS QUANTITATIVOS I | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | UDESC ESAG | 2016/1| PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
CONCAVIDADE E
CONVEXIDADE
Condições de segunda ordem estão sempre relacionadas àquestão de um ponto estacionário ser o
ou o
.
Para uma função de duas variáveis:
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MÉTODOS QUANTITATIVOS I | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | UDESC ESAG | 2016/1| PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
CONCAVIDADE E
CONVEXIDADE
CONCAVIDADE (CONVEXIDADE) ESTRITA E NÃO ESTRITA
Não es tr it a : colina (vale) pode conter uma ou mais porções planas, tais comosegmentos de reta (em uma curva) ou segmentos de plano (em uma superfície).
Estr i ta : não permite tais segmentos de reta ou de plano.
Uma função estritamente côncava (estritamente convexa) deve ser côncava (convexa),
mas a recíproca não é verdadeira
Em vista da associação de concavidade e concavidade estrita com uma
configuração global de colina, um extremo de uma função côncava deve ser um
máximo absoluto (em oposição a um máximo relativo), já que a colina abrange o
domínio inteiro.
Se a função for côncava (não estrita) esse máximo absoluto pode não ser único
(podem ocorrer vários máximos se a colina tiver um topo horizontal plano). O máximo absoluto será único quando especificamos concavidade estrita. Apenas
nesse caso que um pico consistirá em um único ponto e o máximo absoluto será
único.
Um máximo absoluto único (não-único) também é denominado um máximo
absoluto forte (fraco).
Raciocínio análogo é válido para um função convexa (convexa estrita).
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CONCAVIDADE E
CONVEXIDADE
Se as propriedades de concavidade e convexidade forem válidas somente
para uma porção da curva ou da superfície (somente para um subconjunto do domínio), então o máximo e o mínimo associados são
(ou
locais) para aquele subconjunto do domínio, uma vez que não podemos ter
certeza da situação fora desse subconjunto.
Quando discutimos a condição de sinal definido de 2 (ou da matrizhessiana ), avaliamos os menores principais somente no pontoestacionário, de modo que poderíamos discutir apenas máximos e mínimosrelativos.
Se 2 tiver um sinal definido em toda sua extensão, independentemente deonde os menores principais são avaliados, a colina ou vale cobrirá todo o
domínio e o máximo ou mínimo encontrado seria de natureza absoluta.
Seja a função: (, , … , ) • Se 2 for negativa (positiva) semi-definida em toda a sua extensão, z será
côncava (convexa)
• Se 2 for negativa (positiva) definida em toda a sua extensão, z seráestritamente côncava (convexa).
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CONCAVIDADE E
CONVEXIDADE
Uma vez satisfeita a condição de primeira ordem, a
— melhor dizendo,
para um máximo absoluto. Raciocínio análogo é válido para um função
convexa (convexa estrita).
O poder dessa nova condição suficiente fica claro quando lembramos que
pode acontecer de 2 ser igual a zero em um pico, o que faz com que acondição suficiente de segunda ordem falhe. A concavidade, ou a concavidade estrita, entretanto, pode dar conta ate
mesmo desses picos difíceis, porque garante que uma condição suficiente
de ordem mais alta seja satisfeita, mesmo que a de segunda ordem não
seja.
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VERIFICAÇÃO DE
CONCAVIDADE E CONVEXIDADE
DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA (para uma função de duas variáveis): A função z , 2 é côncava (convexa) se, e somente se, para qualquer parde pontos distintos Me N em seu gráfico um segmento de reta MN estiver sobre
ou abaixo (acima) da superfície. A função é estritamente côncava (estritamente
convexa) se, e somente se, o segmento de reta MN estiver inteiramente abaixo
(acima) da superficie, exceto em M e N.
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DEFINIÇÃO ALGÉBRICA (para uma função de
variáveis):
• A função , 2, … , é se, e somente se, para qualquer parde pontos distintos e no domínio de e para 0 < < 1,
+ 1 − ≤ + 1 −
•
A função , 2, … , é se, e somente se, para qualquer parde pontos distintos e no domínio de e para 0 < < 1,
+ 1 − ≥ + 1 −
Em ambos os casos, a definição pode ser adaptada com facilidade para
concavidade e convexidade estritas, mudando-se as desigualdades fracaspara as desigualdade estritas.
VERIFICAÇÃO DE
CONCAVIDADE E CONVEXIDADE
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TEOREMA I (função linear)• Se , 2, … , for uma função linear, então ela é uma função côncava,
bem como uma função convexa, mas não estritamente.
TEOREMA II (negativa de uma função)• Se , 2, … , for uma função côncava, então − , 2, … , é uma
função convexa, e vice-versa. De modo semelhante, se , 2, … , foruma função estritamente côncava, então − , 2, … , é uma funçãoestritamente convexa, e vice-versa.
TEOREMA III (soma de funções)• Se , 2, … , e , 2, … , forem ambas funções côncavas
(convexas), então , 2, … , + , 2, … , também é uma funçãocôncava (convexa). Se , 2, … , e , 2, … , forem ambasfunções côncavas (convexas) e, além disso, qualquer uma delas, ou ambas,
for estritamente côncava (convexa), então , 2, … , + , 2, … , também é uma função estritamente côncava (convexa).
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EXEMPLO:• Verifique a concavidade ou
convexidade de + 2 2
2
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FUNÇÕES
DIFERENCIÁVEIS
FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
• Uma função diferenciável () é se, e somente se, para qualquerponto dado e qualquer outro ponto no domínio:
≤ + ′()( − ) • Uma função diferenciável () é se, e somente se, para qualquer
ponto dado e qualquer outro ponto no domínio: ≥ + ′()( − ) Concavidade e convexidade serão estritas se as desigualdades fracas em
forem substituídas pelas desigualdades estritas.
Geometricamente, essa definição retrata uma curva côncava (convexa)
como uma curva que está sobre ou abaixo (acima) de todas as suas retas
tangentes.
Para se qualificar como uma curva estritamente côncava (estritamente
convexa), por outro lado, a curva deve estar estritamente abaixo (acima) de
todas as retas tangentes, exceto nos pontos de tangência.
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11/14MÉTODOS QUANTITATIVOS I | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | UDESC ESAG | 2016/1| PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
FUNÇÕES
DIFERENCIÁVEIS
FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS (para funções diferenciáveis 1 vez)• Uma função diferenciável , 2, … , é se, e somente se, paraqualquer ponto dado (, 2, … , ) e qualquer outro ponto
(, 2, … , ) no domínio: ≤ + ()( − )
=
• Uma função diferenciável , 2, … , é se, e somente se, paraqualquer ponto dado (, 2, … , ) e qualquer outro ponto (, 2, … , ) no domínio:
≥ + ()( − )
=
onde está calculado em , 2, … , Essa definição requer que o gráfico de uma função côncava (convexa) esteja
sobre ou abaixo (acima) de todos os seus planos tangentes ou hiperplanos.
Para concavidade e convexidade estritas, as desigualdades fracas em
devem ser mudadas para desigualdades estritas.
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FUNÇÕES
DIFERENCIÁVEIS
FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS (para funções diferenciáveis 2 vezes)
• Uma função continuamente diferenciável duas vezes , 2, … , ése, e somente se, 2 for negativa semi-definida em toda sua
extensão. A função citada é se 2 for negativadefinida em toda sua extensão.
•
Uma função continuamente diferenciável duas vezes , 2, … , ése, e somente se, 2 for positiva semi-definida em toda suaextensão. A função citada é se 2 for positivadefinida em toda sua extensão.
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FUNÇÕES
DIFERENCIÁVEIS
EXEMPLO:• Verifique a concavidade ou
convexidade de 2 + 22
2
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LEITURA OBRIGATÓRIA• CHIANG, A. C. Matemática para economistas. Rio de Janeiro:
ELSEVIER, 2006. Capítulo 11.
Obrigada!