Conceitos FundamentaisAula 1

1

~A

^

~e

~~. BA

~~BA ×

≈B

∇ ( )~∇

u∇

~. A∇

~A×∇Rotacional de um campo vectorial

Vector

Versor

Produto interno

Produto externo

Tensor

Nabla

Gradiente de um campo escalar

Divergência de um campo vectorial

Notação

2

3

Sistema de Unidades

• Sistema MKSA [Metro Kilograma Segundo Ampere]

• Metro, referenciado ao segundo e à velocidade da luz no vácuo

• Quilograma, massa de uma barra padrão feita de uma liga de Platina/Irídio (Sévres,Paris)

• Segundo, 9.192.631.770 períodos da radiação electromagnética emitida numatransição de um átomo de Césio

• Ampére, corrente constante que, percorrendo dois condutores (comprimento infinitoafastados de 1m no vácuo), produziria entre os condutores uma força de 2 x 10 Newtonpor cada metro de condutor.

• Sistema MKSA racionalizado

17104 −−×= Hmo πμ

•Espectro electromagnético

•É um recurso básico dos sistemas de comunicação.

5

• História• Ondas sonoras (voz). Comunicação à distância ⇒ tambores e ondas de luz visível

(sinais de fogo, espelhos reflectores e bandeiras).

• Espectro electromagnético fora da região do visível só começou a ser utilizado fimséculo XIX.

• Hertz (1887) construiu sistema de transmissão de ondas de rádio. Verificouexperimentalmente ondas electromagnéticas, previstas ~20 anos antes por Maxwell.

• Marconi: primeira transmissão em 1895, desenvolveu o rádio do ponto de vistacomercial e patenteou primeiro sistema de telegrafia sem fios.

• Pouco antes da segunda guerra mundial surgiram os klistrões e os magnetrões,capazes de gerar frequências até 1 GHz, e os primeiros guias de onda.

• Primeiras experiências de transmissão de OE através de guias de onda (1935), forammal sucedidas. Em 1936, uma vez estabelecida a teoria, foi feita com sucesso aprimeira transmissão de OE com guias de onda.

• Desenvolvimento de geradores e guias de onda fundamental para utilização micro-ondas, em comunicações e radares.

6

História (cont.)• Mais tarde estruturas planares (stripline, microstrip, slotline, guias coplanares) mais

compactas, de custo inferior e capazes de integrar dispositivos activos como díodos etransistores.

• Cabos coaxiais também usados actualmente na transmissão de sinais até ao domíniodas micro-ondas. Vantagem: banda larga. Desvantagem: difíceis de integrar emcircuitos complexos.

• Fibras ópticas surgiram no final dos anos 70. Sistemas de comunicação ópticos debaixas perdas e baixa dispersão, com larguras de banda muito superiores às doscabos coaxiais ou das estruturas de ondas milimétricas.

• Frequências dos sistemas de comunicação têm vindo a aumentar, devidoessencialmente às enormes larguras de banda disponíveis nas frequências maiselevadas.

• Comunicação com ligações fixas utilizada durante largos anos. Serviços telefónicosligações terrestres fixas (anos 40), comunicação intercontinental ligações via satélite(anos 70).

• As comunicações celulares móveis constituem actualmente um vasto campo deinvestigação e desenvolvimento tecnológico.

• Leis do electromagnetismo são regidas pelas equações de Maxwell.

• Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX).

• Força de Lorentz:

( )~~~~BvEqF ×+=

Campos vectoriais (campo eléctrico) e (indução magnética) grandezas fundamentais

de campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação.

• Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico , campo magnetico

~E ~

B

~D

~H

~~~~

1 EDBH oo

εμ

==• Em espaço livre:

• Permeabilidade magnética , permitividade7 14 10o Hmμ π − −= × ( ) 9 11/ 36 10o F mε π − −=

Equações de Maxwell

7

A circulação de ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da

indução magnetica através de A.~E

~ ~~ ~. .

f AE d l B d StΓ

∂= −

∂∫ ∫

^

~ ~^

~ ~

d l d l t

d S d S n

=

=

A

^

~n

^

~t

fΓ

Lei de Faraday

8

Circulação (integral de linha) de um campo vectorial ao longo de uma linha fechada

Гf = fluxo do rotacional de através de A.~

U

~U

~ ~ ~ ~. .

f AU d l U d SΓ

= ∇ ×∫ ∫

t

BE

∂

∂−=×∇ ~

~~⇒

Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos e em todos os pontos do espaço.

~U×∇

~. U∇

Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial)

• Teorema de Stokes (cálculo vectorial)

9

O fluxo total de que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total

contida nesse volume.~

D

∫∫ = dvqdsD VSf

~~.

ρ=∇~

.D∫ ∫ ∇=Sf V dvUdSU~~~~

.. ⇒

Lei de Gauss

Teorema da divergência (cálculo vectorial)

10

•

A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é~J

~ ~ ~. .f AH d l J d SΓ =∫ ∫

t

D

∂

∂~• Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo

• Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a

propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as

previsões teóricas).

Campo magnético

Lei de Ampére

11

• Termo

t

D

∂

∂~

~~ ~ ~ ~ ~

. . .f A S

DH d l d S J d S

tΓ

∂= +

∂∫ ∫ ∫

t

DJH

∂

∂+=×∇⇒ ~

~~

• Teorema de Stokes do cálculo vectorial

~ ~. 0

S fB d S⇒ =∫

~H• Divergência de

Não foram encontrados até agora cargas magnéticas

0.~

=∇⇒ B

• Teorema da divergência

12

0.~

=∂∂

+∇t

J ρ• Teorema da divergência

⇒

t

D

∂

∂~• Termo

~ ~.S f J dS dV

tρ∂

= −∂∫ ∫

traduz um fluxo de cargas eléctricas livres.

Como a carga se conserva

⇒

~J

Eq. da continuidade

13

~I

14

oB

D

t

BE

t

DJH

=∇

=∇

∂

∂−=×∇

∂

∂+=×∇

~

~

~

~

~

~~

.

. ρ

Sabendo ρ e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.

Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio,

relações Constitutivas.

~J

Eqs. de Maxwell

15

Relações constitutivas

• A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas características.

Propriedades dos meios

• Homogéneos

• Lineares

• Isótropos

• Anisotropos

• Temporalmente dispersivos

• Espacialmente dispersivos

• Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão

espacial.

16

Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico.

- vector polarização eléctrica

~~0~PED += ε

~P

~.Pp −∇=ρ

Meios materiais Comportamento dieléctrico

Resposta do meio a um campo electromagnético

estático e uniforme é descrita em termos de

momentos dipolares eléctricos induzidos.

17

Meios materiais Comportamento magnético

Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica um

campo magnético são induzidas pequenas correntes

microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos

às variações do campo aplicado.

Comportamento diamagnético,momentos magnéticos

em oposição ao campo magnético.

Comportamento paramagnético, há a possibilidade de

alinhar os momentos magnéticos atómicos individuais e o

campo magnético intensifica-se.

Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos

induzidos são muito mais intensos do que nos materiais

com comportamento magnético ordinário.

18

~BMagnetização

Correntes microscópicas induzidas

(Correntes Amperianas).

Magnetização - momento dipolar

magnético por unidade de volume.

A densidade de corrente associada às

correntes microscópicas é dada por

e tem-se

~M

~Mx∇

)(~~0~MHB +=μ

19

Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético

Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos camposestáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos).

Regimes variáveis no tempo

Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial ⇒ relações entre e e entre e

descritas cada uma por uma convolução temporal.

No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas deFourier de e e de e

.

)(~

tD )(~

tE )(~

tB)(

~tH

)(~

tD )(~

tE )(~

tB )(~

tH

( )

)(*)()(

)(*)()(

)(*)(´)'(´)(

~~

~~

~~~

tEttJ

tHttB

tEtdttEtttD

σ

μ

εε

=

=

=−= ∫

)(.)()(

)(.)()(

~~

~~

ωωμω

ωωεω

HB

ED

=

=

20

Equações de Maxwell em Meios Materiais

Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre ρ existe

também carga de polarização ρp, que tem origem nos dipolos

eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado

(separação de cargas negativas e positivas).

Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade

volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio.

A introdução de tem a vantagem de invocar apenas a

densidade de carga livre.

GaussdeLeiE.o

p

~ ε

ρ+ρ=∇

~. Pp ∇−=ρ

ρ=∇~

. D~D

21

t

E

t

PMJB

o o ∂

∂+

∂

∂+×∇+=×∇ ~~

~~~

1 εμ

• O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é

determinado pela densidade de corrente total.

Corrente livreCorrente Amperiana

Corrente de polarização

Corrente deslocamento de vácuo

22

A introdução dos campos e facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna

necessário arranjar um modelo para descrever os meios.~D

~H

ρ=×∇

∂

∂+=×∇

~

~

~~

D

t

DJH

Equações de Maxwell em termos de D e H

23