CONDUÇÃO ELÉTRICA EM SÓLIDOS

Fundamentos iniciais

A condução elétrica envolve o movimento de cargas em um material sobre a influência de um campo elétrico.

Um determinado material pode ser classificado como um bom condutor se ele possui uma grande quantidade de portadores de carga livres.

No caso dos metais, os elétrons de valência forma uma nuvem eletrônica que são livres para se deslocarem no metal.

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Na presença de um campo elétrico externo aplicado, os elétrons adquirem velocidade média, denominada de drift velocity que depende do campo.

Teoria clássica

A densidade de corrente elétrica J é definida como a quantidade de carga fluindo através de uma determinada área por unidade de tempo.

Δq – carga elétrica líquida

qJA t

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Observe a figura a seguir:

A figura mostra o fluxo líquido de elétrons na seção transversal do condutor (A) na presença de um campo elétrico Ex.

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Observar que a direção do movimento dos elétrons é oposta a direção do campo elétrico aplicado e da corrente convencional.

Sem a presença do campo elétrico, o movimento dos elétrons é aleatório e o fluxo resultante pela área (A) é nulo.

A velocidade média vdx dos elétrons no tempo t é denotada por vdx(t).

vdx 1N

[vx1 vx 2 vx 3 vxN ]

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Em que vxi é a velocidade do i elétron na direção x. e N é a quantidade de elétrons no metal.

Suponha que n seja o número de elétrons por unidade volume no condutor.

No tempo Δt, os elétrons se deslocam por uma distância:

NV

n

dxx v t

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A carga total que atravessa a área (A) é:

enA x

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Observe que é a quantidade de elétrons total que passa através da área (A) no tempo Δt.

A densidade de corrente na direção x é:

( )n A x

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O movimento dos elétrons é caracterizado por constantes choques entre eles e com os próprios íons da estrutura cristalina

Considere a velocidade vxi do i elétron na direção x no tempo t. Suponha que a última colisão foi no tempo ti. Consequentemente, para um tempo (t - ti ), ele é acelerado livre de colisões.

Seja uxi a velocidade do elétron i na direção x imediatamente após a colisão. Ela é denominada de velocidade inicial (uxi).

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Ilustração do aumento de velocidade do elétron após a colisão

A aceleração do elétron é dada por:

ti ttempo

Última colisão

Elétron i

xeEam

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A velocidade vxi do elétron i na direção x no tempo t será:

Para o cálculo da velocidade média vdx, é necessário incluir os demais elétrons.

Assume-se que imediatamente após a colisão, o elétron pode mover em qualquer direção aleatória. O deslocamento pode ser na direção positiva ou negativa de x. O termo uxi é então desprezado.

A velocidade média é então calculada como:

( ) xxi xi i

eEv u t tm

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A velocidade média é então calculada como:

Onde é o tempo médio livre entre colisões para N elétrons.

Considerando então:

1 21 [ ] ( ) x

dx x x xn ieEv v v v t t

N m

( ) it t

( ) it t

dx x

ev Em

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A equação mostra que a velocidade aumenta

linearmente com a intensidade de campo elétrico.

A constante de proporcionalidade possui um nome especial sendo denominada por mobilidade.

A equação da velocidade fica então:

Em que:

[µd]=m2V-1s-1

dx x

ev Em

em

dx d xv E

d

em

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A partir da fórmula da densidade de corrente J

Resulta que a densidade de corrente é proporcional a intensidade de campo elétrico e a condutividade σ é o termo que multiplica Ex.

dx d xJ env en E

den

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Resistividade e sua dependência com a temperatura

A resistividade é uma propriedade dos materiais e depende diretamente da temperatura. Ela é o inverso da condutivade.

[ρ] - Ω.m

A resitividade elétrica dos metais depende também das imperfeições da estrutura cristalina e das impurezas.

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Resistividade e sua dependência com temperatura

O coeficiente de temperatura de resistividade (TCR) α0 indica a variação da resistividade em função da variação de temperatura em relação a uma dada temperatura de referência.

Onde ρ0 é a resistividade na temperatura de referência T0 . Se ρ é uma função linear da temperatura (AT + B), em que A e B são constantes, então α0 depende somente da temperatura de referência T0.

0

0T T0

1 ddT

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A variação da resistividade com a temperatura é dada a seguir:

Se α1 é o coeficiente de temperatua de resisitividade (TCR) na temperatura T1 e α0 é o TCR em T0, mostrar que:

0 0 01 (T T )

01

0 1 01 (T T )

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Considere o valor da resistividade numa temperatura T qualquer em termos de α0 e α1.

As equações acima são válidas para serem utilizadas em qualquer temperatura T, de maneira que a primeira e a segunda equações nas temperaturas T1 e T2 respectivamente são:

0 0 0

1 1 1

1 (T T )

1 (T T )

1 0 0 1 01 (T T ) 0 1 1 0 11 (T T )

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As duas equações anteriores podem ser facilmente resolvidas para eliminar e e obter a relação:

1 0

01

0 1 01 (T T )

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Coeficiente de temperatura de resistividade e expoente de resistividade n

Se α0 é o coeficiente de temperatura de resisitividade na temperatura T0 e a resistividade obedece a equação:

Mostra que:

n

00

TT

(n 1)

00 0

n TT T

TABELA DE VALORES PARA CONDUTIVIDADEELÉTRICA DE ALGUNS MATERIAIS

TABELA PARA COEFICIENTE DE RESISTIVIDADEE RESISTIVIDADE

O EFEITO HALL