CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS MÚLTIPLOS E DIVISORESšLTIPLOS-E-DIVISORES.pdfProf. Paulo Cesar Divisibilidade por 7 Um natural é divisível por 7 se o dobro do último algarismo,

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1. Múltiplo de um número natural

Um número natural 𝑎 é múltiplo do número natural 𝑏 se existe

um natural 𝑘 tal que 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑘, ou seja, 𝑎 é múltiplo de 𝑏 se 𝑎 é

divisível por 𝑏 ou 𝑏 divide 𝑎.

Ex1: a) 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 ∙ 7;

b) 45 é múltiplo de 5, pois 45 = 5 ∙ 9.

c) 20 não é múltiplo de 6, pois ∄𝑘 ∈ ℕ tal que 20 = 6 ∙ 𝑘

Ex2: Quais são os cinco menores múltiplos de 7? E de 12?

Ex3: Pedro deseja comprar carros em miniatura, em um número

maior que 50 e menor que 90. Quantos desses carros ele deve

comprar se pretende reparti-los, em quantidades iguais, entre ele e

seus oito irmãos?

Ex4: Qual é o menor número natural que devemos somar com 710

para obtermos um múltiplo de 11?

Ex5: Quantos múltiplos de 7 existem entre 20 e 1000?

Ex6: Quantos números naturais existem, de 1000 a 10000, que não

são múltiplos nem de 5 nem de 7?

Obs: 1. O zero é múltiplo de todo número natural;

2. Todo número natural é múltiplo de 1 e dele mesmo;

3. O único múltiplo de 0 é o próprio 0;

4. A soma e a subtração de dois múltiplos de 𝑎 ainda é um

múltiplo de 𝑎.

2. Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou seja,

quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Ex: a) 236 é divisível por 2, pois termina em 6;

b) 13458 é divisível por 2, pois termina em 8;

c) 7854 é divisível por 2, pois termina em 2.


Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus

algarismos é divisível por 3.

Ex: a) 1347 é divisível por 3, pois 1 + 3 + 4 + 7 = 15, que é

múltiplo de 3.

b) 819 é divisível por 3, pois 8 + 1 + 9 = 18, que é múltiplo

de 3.

c) 777 é divisível por 3, pois 7 + 7 + 7 = 21, que é múltiplo

de 3


Um número natural é divisível por 4 quando o número formado

pelos seus dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.

Ex: a) 31724 é divisível por 4, pois 24 é múltiplo de 4.

b) 8132 é divisível por 4, pois 32 é múltiplo de 4.

c) 32700 é divisível por 4, pois 0 é múltiplo de 4


Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou

5.

Ex: a) 1720 é divisível por 5, pois termina em 0

b) 43135 é divisível por 5, pois termina em 5.


Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e

por 3 ao mesmo tempo

Ex: a) 8712 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3

b) 42138 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS – MÚLTIPLOS E DIVISORES

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Um natural é divisível por 7 se o dobro do último algarismo,

subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número

divisível por 7.

Ex: a) 196 é divisível por 7, pois 19 − 2 ∙ 6 = 7, que é divisível

por 7.

b) 1813 é divisível por 7, pois 181 − 2 ∙ 3 = 175, que é

divisível por 7.

c) 103.523


Um natural é divisível por 8 se o número formado pelos seus

três últimos algarismos é divisível por 8.

Ex: a) 45320 é divisível por 8, 320 é divisível por 8.

b) 10032 é divisível por 8, pois 32, que é divisível por 8.


Um natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos

é divisível por 9.

Ex: a) 6435 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 3 + 5 = 18, que é

divisível por 9.

b) 34776 é divisível por 9, pois 3 + 4 + 7 + 7 + 6 = 27, que

é divisível por 9.


Um natural é divisível por 10 quando termina em 0.

Ex: a) 3430 é divisível por 10, pois termina em 0.

b) 4770 é divisível por 10, pois termina em 0.


Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as

somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a

dos de ordem par é divisível por 11.

Ex: a) 87549 é divisível por 11, pois (9 + 5 + 8) − (4 + 7) =

11, que é múltiplo de 11.

a) 340978 é divisível por 11, pois (8 + 9 + 4) − (7 + 0 +

3) = 11, que é múltiplo de 11.


Um número natural é divisível por 12 quando é divisível por 3

e por 4 ao mesmo tempo

Ex: a) 540 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e por 4

b) 7500 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e por 4.


Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes)

do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo,

resultar um número divisível por 13.

Ex: a) 182 é divisível por 13, pois 18 + 4 ∙ 2 = 26, que é divisível

por 13.

b) 273 é divisível por 13, pois 27 + 4 ∙ 3 = 39, que é

divisível por 13.

Ex01: Determine o menor número de três algarismos divisível ao

mesmo tempo por 2, por 3 e por 5.

Ex02: Considere o número de quatro algarismo 123𝑎. Determine

os valores de a para que esse número seja divisível por:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

f) 11

Ex03: Qual é o menor número divisível por 9, formado apenas

pelo algarismo 4?

Ex4: Qual é o menor número que se deve somar a 1528 para obter

um número divisível por 25?

Ex5: Considere que 5𝑎6 seja um número natural de 3 algarismos.

Qual o algarismo de menor valor absoluto que devemos colocar no

lugar de a, para que o número resultante seja divisível por 2, por 3

e por 4?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Ex6: Qual deve ser o valor de “b” em 10𝑏8, para que este número

seja múltiplo de 11?

Ex7: Determine o resto da divisão de 4.857.008 por 9.

Ex8: Um número de dois algarismos é múltiplo de 11 e, dividido

por 9, dá resto 5. Qual é o número?



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3. Divisor de um número natural

Um número natural a é divisor do número natural 𝑏 se a divide

𝑏, ou seja, b é múltiplo de a.

Ex1: a) 4 é divisor de 12, pois 12= 4 ∙ 3;

b) 5 é divisor de 40, pois 40 = 5 ∙ 8.

Ex2: Determine os divisores de:

a) 5 b) 30 c) 36 d) 50

Ex3: Um natural é chamado de número perfeito quando a soma de

seus divisores próprios (excluído o próprio número) coincide com

ele. Verifique se os números 6, 28 e 40 são perfeitos.

Ex4: Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é

igual a soma dos divisores próprios do outro. Verifique se 284 e

220 são amigos.

4. Número primo e número composto

Um número natural diferente de 0 e de 1 é chamado número

primo se for divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Um número

diferente de 0 e de 1 que não é primo é chamado número composto.

Ex1: são primos: 2, 3, 5, 7, 19, 47

são compostos: 6, 14, 45, 51

Ex2: Dois primos consecutivos são chamados primos gêmeos se

eles diferem de 2. Dê três exemplos de primos gêmeos.

Ex3: Três primos consecutivos são chamados primos trigêmeos se

a diferença entre cada dois primos consecutivos é 2. Dê um

exemplo de primos trigêmeos.

Ex4: A Conjectura de Goldbach diz que todo número par maior

ou igual do que 4 pode ser escrito como a soma de dois números

primos. Exemplifique-a.

5. Crivo de Eratóstenes

Se um número natural 𝑎 > 1 é composto, então ele é múltiplo

de algum número primo p tal que 𝑝2 ≤ 𝑎.

Ex1: a) 6 é múltiplo de 2 e 22 ≤ 6

b) 15 é múltiplo de 3 e 32 ≤ 15

c) 47 é múltiplo de 7 e 72 ≤ 49

Ex2: O número 101 é primo? E o número 133?

Ex3: Liste todos números primos menores que 100.


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6. Teorema Fundamental da Aritmética

Todo número natural 𝑎 > 1, ou é primo, ou se escreve como

produto de números primos.

Ex1: Fatore os números: 360, 150, 500 e 240

Ex2: Calcule:

a) √144 b) √33753

c) √12964

Ex3: Verificar, pela decomposição em fatores primos, se 1.620 é

divisível por 108.

Ex4: Calcular o menor número pelo qual se deve multiplicar 192,

para se obter um produto múltiplo de 80.

Ex5: Determine os divisores de 30, 24, e 120.

Ex6: Determine quantos divisores naturais possui o número 72,

144, 200 e 450

Ex7: Qual o valor de n para que o número 23 × 32 × 5𝑛 admita 60

divisores?

Obs1: Se a é múltiplo de b então a possui, em sua forma fatorada,

todos os fatores primos da forma fatorada de b com expoentes

maiores ou iguais.

Ex: 360 = 23 ∙ 32 ∙ 5 é múltiplo de 24 = 23 ∙ 3

Obs2: Se a é divisor de b então a possui, em sua forma fatorada,

apenas fatores primos da forma fatorada de b com expoentes

menores ou iguais.

Ex: 90 = 2 ∙ 32 ∙ 5 é divisor de 6300 = 22 ∙ 32 ∙ 52 ∙ 7

7. Mínimo Múltiplo Comum: mmc

O mínimo múltiplo comum de dois naturais não nulos a e b,

representado por 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏), é o menor múltiplo não nulo comum

de a e b.

Ex1: Ache o 𝑚𝑚𝑐 dos seguintes pares de números:

a) 3 e 4

b) 6 e 11

c) 3 e 9

d) 4 e 12


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Ex2: Determine, pela decomposição em fatores primos, o 𝑚𝑚𝑐

de:

a) 18 e 42 b) 25 e 65

c) 48 e 12 d) 8 e 36

e) 10, 15 e 18 f) 9, 15 e 42

Ex3: Determine, pela decomposição simultânea, o 𝑚𝑚𝑐 de:

a) 36 e 27 b) 12 e 18

c) 52 e 78 c) 22, 30 e 63

d) 8, 10 e 14 e) 10, 35 e 80

Ex4: Quais são os naturais menores que 1000, divisíveis por 7, 15

e 45 ao mesmo tempo?

Ex5: Calcule o menor número ao qual faltam 7 unidades para ser

divisível, ao mesmo tempo, por 18, 24 e 36.

Ex6: Três caixeiros viajantes seguiram hoje, de trem, para

Barbacena. O mais jovem viaja com o mesmo destino de 15 em 15

dias, o do meio, de 20 em 20 dias e o mais velho, de 24 em 24 dias.

De quantos em quantos dias são passageiros do mesmo trem?

Ex7: Contando a quantia que possuo de R$12,00 em R$12,00, de

R$24,00 em R$24,00 ou de R$36,00 em R$36,00 restam sempre

R$7,00. Qual a quantia que tenho, se ela é inferior a R$500,00 e

superior a R$400,00?

Ex8: (UPE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma caminhada de

duas horas em uma pista circular. Rebeca gasta 18 minutos para

completar uma volta, e Neto, 12 minutos para completar a volta.

Se eles partem do mesmo ponto P da pista e caminham em sentidos

opostos, pode-se afirmar que o número de vezes que o casal se

encontra no ponto P é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


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8. Máximo Divisor Comum: mdc

O máximo divisor comum de dois naturais não nulos a e b,

representado por 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏), é o maior divisor comum de a e de b.

Ex1: Ache o 𝑚𝑑𝑐 dos seguintes pares de números?

a) 24 e 60 b) 60 e 24

Obs: 1. 𝑚𝑑𝑐(0,0) não existe

2. 𝑚𝑑𝑐(0, 𝑎) = 0, 𝑎 ≠ 0

3. 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑎) = 𝑎, 𝑎 ≠ 0

4. Se a é múltiplo de b então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑏

Ex2: Calcule, pela decomposição em fatores primos, o 𝑚𝑑𝑐 dos

números abaixo.

a) 120 e 200 b) 108 e 144

c) 165, 231 e 550 d) 220, 300 e 630

Ex3: Use o Algoritmo de Euclides para calcular o 𝑚𝑑𝑐 dos

números abaixo.

a) 10 e 15

b) 270 e 350

c) 120 e 250

d) 45 e 1235

e) 15 e 180

f) 39 e 178

Ex4: (MACK) Nas últimas eleições, três partidos políticos

tiveram direito, por dia, a 90s, 108s e 144s de tempo gratuito de

propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O

tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o

mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições

diárias dos partidos na TV foi de:

a) 15

b) 16

c) 17

d) 19

e) 21

Ex5: (MACK) Um apinel decorativo retangular, com dimensões

2,31m e 92,4cm, foi dividido em um número mínimo de quadrados

de lados paralelos aos lados do painel e áreas iguais. Esse número

de quadrados é:

a) 10

b) 8

c) 16

d) 14

e) 12

Obs: 1. 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) × 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎 × 𝑏

2. Se 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1 dizemos que a e b são primos entre si.

3. Se 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1 então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎 × 𝑏


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EXERCÍCIOS

01. Guilherme tem uma coleção de carrinhos. Dispondo-os em

grupos de 5, sobram dois. Dispondo-os em grupos de 9, sobra

apenas um. Qual a quantidade de carrinhos, sabendo que a coleção

de Guilherme tem menos de 50 carrinhos?

02. Ache três naturais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tais que 𝑎 divide (𝑏 + 𝑐) mas a não

divide b e a não divide c.

03. Ache três naturais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tais que 𝑎 divide 𝑏𝑐 mas a não divide

b e a não divide c.

04. Ache o maior número natural de 4 algarismos divisível por 17?

05. Calcular o resto da divisão por 11 e por 4 da soma: 2.244 +396 + 537, sem efetuá-la.

06. Verifique quais dos seguintes números são primos:

197, 211, 377, 321, 499, 881, 697, 637 e 187.

07. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 80, para

se obter um produto múltiplo de 75?

08. Determine três múltiplos comuns e consecutivos de 2 e de 3,

cuja a soma é 2.304.

09. Determine quatro números múltiplos comuns e consecutivos

de 3 e de 5, e que tenham por soma 750.

10. Quantos divisores possui o número 324? E o número 840?

11. Calcular 𝑛 na igualdade 𝑛 = 2𝑎 × 52, sabendo que ele tem 12

divisores.

12. Qual o menor número que se deve subtrair de 8.407 para se

obter um múltiplo comum de 2 e 3?

13. Qual número obtemos quando somamos o resto da divisão de

4.857.008 por 11 com o resto da divisão de 3.000.432 por 10?

14. Qual o menor natural não nulo que dividido por 15, 21 e 35

deixa sempre resto 13?


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15. Determine os divisores comuns de 1080 e 1386.

16. (VUNESP) A soma de quatro números é 100. Três deles são

primos e um dos quatro é a soma dos outros três. O número de

soluções existentes para este problema é:

a) 3

b) 4

c) 2

d) 5

e) 6

17. O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578

é igual a:

a) 268

b) 269

c) 270

d) 271

e) 272

18. O número natural abaixo é divisível por:

2103 + 2102 + 2101 − 2100

a) 6

b) 10

c) 14

d) 22

e) 26

19. Considere os números naturais de 100 a 1000.

a) Quantos são múltiplos de 3 e de 7?

b) Quantos são múltiplos de 3 mas não de 7?

c) Quantos são múltiplos de 3 ou de 7?

20. Um agente administrativo foi incumbido de tirar cópias das

255 páginas de um texto. Para tal ele só dispõe de uma impressora

que apresenta o seguinte defeito: apenas nas páginas de números

8, 16, 24, 32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha.

Considerando que em todas as páginas do texto aparecem

destaques na cor vermelha, então, ao tirar uma única cópia do

texto, o número de páginas que serão impressas sem essa falha é:

a) 226

b) 225

c) 224

d) 223

e) 222

21. Num circuito automobilístico, dois corredores saem juntos.

Um deles faz cada volta em 12 min e o outro em 15 min. Quantos

minutos terão decorridos quando o mais veloz ficar, exatamente,

uma volta na frente? Quantas voltas terá dado cada um?

22. Uma estrada de ferro circular tem 18 estações. Um trêm que

faz parada de 8 em 8 estações, quantas voltas terá dado na estrada

ao fazer nova parada na estção inicial?

23. Considere o natural 𝑛 = 5 × 251 × 31. Qual é o resto da

divisão de 𝑛 por cinco?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

24. Uma das conjecturas existentes em Matemática é a seguinte:

Dado um número natural 𝑛 > 0, sempre existe um número primo

p, tal que 𝑛2 < 𝑝 < (𝑛 + 1)2. Teste essa conjectura para 𝑛 =2, 3, 6 e 10.


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25. (CESGRANRIO) Considere os números inteiros 𝑎𝑏𝑐 e 𝑏𝑎𝑐,

em que a, b e c são algarismos distintos e diferentes de zero, e 𝑎 >𝑏. A diferença 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑎𝑐 será sempre um múltiplo de

a) 4

b) 8

c) 9

d) 12

e) 20

26. Qual o algarismo de menor valor que se pode atribuir à letra

“m” no número 3𝑚541 para torná-lo divisível por 3?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

27. Determine o valor de 𝑛

2, sabendo que n é o número de divisores

naturais de 3000.

a) 3

b) 4

c) 8

d) 16

e) 24

28. Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número

de divisores naturais de 1296, então o valor de 2𝐷 + 3𝑁 será:

a) 18

b) 25

c) 43

d) 75

e) 111

29. Calcular o valor de cada letra, nos números 34𝑎7, 5𝑏34, 𝑐76, 6𝑑289 e 9862𝑒, para que o resto da divisão por 11 seja sempre 5.

30. Qual é o menor número que se deve subtrair de 8407 para se

obter um múltiplo comum de 2 e 3?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

31. No número 3𝑎7𝑏 as letras a e b são algarismos. Determine a

soma 𝑎 + 𝑏 sabendo que ele é divisível por 3, 5, 9 e 10.

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

32. (UEC) A quantidade de números naturais que são

simultaneamente divisores de 48 e de 64 é:

a) uma potência de 4

b) um número primo

c) igual a seis

d) igual a oito

e) igual a um

33. (UFC) Os naturais 𝑝 = 231 ∙ 231 − 1 e 𝑞 = 261 ∙ 261 − 1 são

primos. Então, o número de divisores naturais de 2𝑝𝑞 é igual a:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

34. O 𝑚𝑑𝑐 de dois números é 11. Se multiplicarmos cada um dos

dois números por 23 × 5, qual é o novo 𝑚𝑑𝑐?

35. O 𝑚𝑑𝑐 de três números é 96. Se dividirmos cada um dos três

números por 24 × 3, qual é o 𝑚𝑑𝑐 dos quocientes obtidos?

36. (UNIFOR) Três números primos, 𝑎, 𝑏, 𝑐, são tais que 𝑎 < 𝑏 <𝑐 e 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 1001. É verdade que:

a) 𝑎 + 𝑏 = 18

b) 𝑎 + 𝑐 = 24

c) 𝑏 + 𝑐 = 28

d) 𝑐 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎

e) 𝑎 ∙ 𝑏 = 55

37. (UNIFOR) Se o máximo divisor comum dos números 𝐴 = 23 ∙33, 𝐵 = 23 ∙ 3𝑠 ∙ 7 e 𝐶 = 2𝑡 ∙ 34 é igual a 12, então:

a) 𝑡 = 3

b) 𝑡 = 2

c) 𝑠 = 2

d) 𝑡 = 1

e) 𝑠 = 0

38. Quantos são os divisores naturais pares do número 280?


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39. Quais são os divisores primos de 360?

40. Quantos são os divisores de 820 que não são primos?

41. Qual o menor número de divisores que um número composto

pode ter?

42. (UECE) Se n é um número primo positivo e 𝑆𝑛 a soma de todos

os números primos positivos e menores ou iguais a n (por exemplo,

𝑆5 = 2 + 3 + 5 = 10), o valor de 𝑆23 é igual a:

a) 98

b) 99

c) 100

d) 101

43. O salto de um coelho tem mais de 20dm e menos de 30dm. Ao

completar 240dm dá um número exato de saltos e o mesmo

acontece ao percorrer 336dm. Qual o comprimento do salto?

44. (OBM) Dos números a seguir, qual é o único que pode ser

escrito como produto de quatro naturais consecutivos?

a) 712

b) 548

c) 1026

d) 1456

e) 1680

45. (CMF) Numa subtração, quando somamos 20 unidades ao

minuendo e subtraímos 12 unidades do subtraendo, o resto

aumenta de:

a) 8 unidades

b) 12 unidades

c) 20 unidades

d) 32 unidades

46. Quantos números naturais positivos menores que 30 têm

exatamente quatro divisores positivos?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

47. Se a é um número natural, 𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 + 2)(𝑎 + 3)(𝑎 + 4) é

sempre divisível por:

a) 41

b) 48

c) 50

d) 60

e) 72

48. (OBM) 108 crianças da 5ª e 6ª séries vão fazer um passeio

numa caverna. São formados grupos iguais com mais de 5 porém

menos de 20 alunos. Com relação ao número de estudantes por

grupo, de quantas formas diferentes eles podem ser feitos?

a) 2

b) 8

c) 5

d) 4

e) 3

49. (PUC) O piso retangular de uma sala, com 8,75m de

comprimento e 4,20m de largura, deve ser coberto com ladrilhos

quadrados. Admitindo-se que não haverá perda de material e que

será utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, pode-se

estimar que serão colocados:

a) 49 ladrilhos

b) 147 ladrilhos

c) 245 ladrilhos

d) 300 ladrilhos

50. (UVA) Dois satélites vasculham a superfície de um planeta

distante que enviam mensagens codificadas para a Terra. Um deles

emite um sinal a cada 15 minutos; e o outro a cada 12 minutos. Se,

num dado instante, os dois sinais foram emitidos simultaneamente,

pergunta-se: qual o menor intervalo de tempo em que novamente

os dois sinais voltarão a ser emitidos ao mesmo tempo?

a) 50 minutos

b) 1 hora

c) 90 minutos

d) 2 horas

51. (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televisão

duas luzes “piscam” com frequência diferentes. A primeira “pisca”

15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se

num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos

segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?

a) 30

b) 20

c) 15

d) 12

e) 10


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52. (CMF) Os alunos Tiago e Igor receberam um desafio

matemático de encontrar o maior número pelo qual podemos

dividir 52 e 73 para encontrar, respectivamente, restos 7 e 13. Se

eles calcularam corretamente, encontraram o número:

a) 5

b) 15

d) 13

d) 52

e) 73

53. (UFJF) A quantidade de números naturais existentes entre 100

e 300, inclusive, que são divisíveis por 3 e 2, é:

a) 34

b) 67

c) 101

d) 134

54. (MACK) O número mínimo de cubos de mesmo volume e

dimensões naturais, que preenchem completamente o

paralelepípedo retângulo da figura, é:

a) 64

b) 90

c) 48

d) 125

e) 100

55. Desejamos arborizar o contorno de um terreno retangular de

1320m por 1456m, mantendo as árvores com a maior distância

possível. Se em cada canto plantarmos uma árvore, quantas serão

necessárias?

56. Os navios de quatro companhias de navegação atracam no

porto de vitória do seguinte modo: os da primeira companhia de

18 em 18 dias; os da segunda de 4 em 4 dias; os da terceira de 12

em 12 dias, e os da quarta de 24 em 24 dias. Aportaram, juntos,

naquela capital, em 1º de janeiro de 1945. Qual é o primeiro dia

em que se repetirá?

57. Qual o comprimento da maior trena que fica contida

exatamente nas dimensões de um campo de futebol, cujo

comprimento é de 120m e a largura de 75m?

58. Dividi, com traços, em partes iguais, um cajado, um taco, um

sarrafo e um bambu e juntei-os, verticalmente, sobre o assoalho.

Cada parte do primeiro tem 4mm, do segundo 6, do terceiro 16 e

do quarto 18. Quais são os primeiros traços que coincidem?

59. (UER) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está

compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15

em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três

algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a:

a) 3

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

60. (PUC) Um depósito com 3,6m de altura, 4,8m de largura e

7,2m de comprimento foi planejado para armazenar caixas

cúbicas, todas de mesmo tamanho, sem que houvesse perda de

espaço. Pode-se estimar que o menor número de caixas cúbicas

necessárias para encher completamente esse depósito é:

a) 24

b) 36

c) 48

d) 72

e) 84

61. Seja o número 𝑚 = 488𝑎9𝑏, onde “b” é o algarismo das

unidades e “a” é o algarismo das centenas. Sabendo-se que 𝑚 é

divisível por 45, então 𝑎 + 𝑏 é igual a

a) 1

b) 7

c) 9

d) 16

e) 20

62. Um número natural é um quadrado perfeito quando ele for

igual ao quadrado de outro número natural. Por exemplo, 49 é um

quadrado perfeito, pois 49 = 72; 100 é um quadrado perfeito, pois

100 = 102, etc. Qual deve ser o menor valor do número x, não nulo,

de modo que o número 280 ∙ 𝑥 seja quadrado perfeito?

a) 50

b) 60

c) 70

d) 80

e) 90


Prof. Paulo Cesar

63. (UFCE) Seja 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 1012}, em que ℕ indica o

conjunto dos números naturais. O número de elementos de 𝐴 que

não são quadrados perfeitos ou cubos perfeitos é igual a:

a) 106

b) 1012 − 106 − 104 + 102

c) 1012 − 106 − 104 − 102

d) 1012 + 106 + 104 + 102

e) 106 + 104 + 102

64. A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número

natural par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois

números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 +13 ou, ainda, por 7 + 11. Todas as possíveis representações de

126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?

a) 112

b) 100

c) 92

d) 88

e) 80

65. Quantos números naturais menores que 500 têm exatamente

15 divisores naturais?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

66. (ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem

as mensagens, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores

primos. Um número N é dado pela expressão 2𝑥 ∙ 5𝑦 ∙ 7𝑧 , na qual

x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é

múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N,

diferente de N, é:

a) 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧

b) (𝑥 + 1) ∙ (𝑦 + 1) ∙ (𝑧 + 1)

c) 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 − 1

d) (𝑥 + 1) ∙ (𝑦 + 1) ∙ 𝑧

e) (𝑥 + 1) ∙ (𝑦 + 1) ∙ (𝑧 + 1) − 1

67. Quantos divisores naturais de 360 são múltiplos de 12?

68. (UNICAMP) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais

que 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 5 e 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) = 105.

a) Qual é o valor de b se 𝑎 = 35?

b) Encontre todos os valores possíveis para (𝑎, 𝑏).

69. (UFPR) Sabendo que 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 6 e 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) = 36,

avalie as seguintes afirmativas a respeito dos números naturais a e

b:

I. Os números a e b são ambos pares.

II. Quando 𝑎 = 12, teremos 𝑎 + 𝑏 = 24. III. O produto 𝑎 ∙ 𝑏 = 36.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa I é verdadeira

b) Somente a afirmativa II é verdadeira

c) Somente a afirmativa III é verdadeira

d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras

e) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras

70. (PUC) A soma dos algarismos de um número natural 𝑛, 103 <𝑛 < 104, é 21. Além disso, seu algarismo das centenas é igual à

soma do algarismo das unidades com o algarismo das unidades de

milhar. Com base nessas informações, examine cada uma das três

afirmativas a seguir:

I. O número n é um múltiplo de 3.

II. Pelo menos um algarismo de n é ímpar.

III. O algarismo das dezenas de n é par.

O número de afirmativas verdadeiras é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

71. Seja 𝑁 = 24 ∙ 35 ∙ 56. O número de divisores de N que são

múltiplos de 10, é:

a) 24

b) 35

c) 120

d) 144

e) 210

72. Existe algum quadrado perfeito na sequência. Justifique

11 111 1111 11111 111111 1111111 …

73. Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de seus dígitos,

então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos

multiplicada por:

a) 3

b) 5

c) 6

d) 4

e) 7


Prof. Paulo Cesar

74. Para cada número natural n, seja 𝑆𝑛 a soma dos dez primeiros

múltiplos positivos de n. Por exemplo, 𝑆2 = 2 + 4 + ⋯ + 20. Quanto é 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆10?

a) 2925

b) 3025

c) 3125

d)3225

e) 3325

75. O número 583𝑎𝑏 é divisível por 9. O valor máximo da soma

dos algarismos a e b, é:

a) indeterminado

b) 20

c) 18

d) 11

e) 2

76. Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por

3, tal que o algarismo das dezenas é a metade do algarismo das

unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar, é

correto afirmar que:

a) 𝑛 + 1 é divisível por 7

b) n está entre 2000 e 3009

c) 𝑛 + 2 é múltiplo de 10

d) n apresenta 12 divisores positivos

77. (EPCAR) Juntamente com o Governador de um Estado, foram

para uma reunião 4 Prefeitos. Cada Prefeito levou 4 Secretários e

cada Secretário levou 4 Vereadores. Sabendo-se que nessa reunião

não houve participação de mais nenhuma pessoa, então, o número

T, total de participantes, é múltiplo de

a) 7

b) 11

c) 17

d) 19

78. (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído

um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa

distribuição foi feita de modo que o maior número possível de

famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número

de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de

borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o

número de cadernos que cada família ganhou foi:

a) 4

b) 6

c) 8

d) 9

79. Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504

maçâs entre várias famílias de um bairro carente. A exigência do

feirantes é que a distribuição seja feita de modo que cada família

receba o mesmo e o menor número possível de frutas de uma

mesma espécie. A quantidade total de frutas recebida por cada

família representa um número:

a) divisível por 9

b) múltiplo de 7

c) múltiplo de 12

d) entre 40 e 50

80. Determine os naturais positivos a e b, sabendo que 𝑎 + 𝑏 =64 e 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 9.

81. (ITA-modificada) Qual o número de divisores naturais de

17640 que, por sua vez, são divisíveis por 3?

a) 48

b) 50

c) 56

d) 60

e) 30

82. (OBM) Para n inteiro positivo, definimos 𝑛! (lê-se “n fatorial”)

como o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a

n. Por exemplo, 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6. Se 𝑛! = 215 ∙ 36 ∙ 53 ∙ 72 ∙11 ∙ 13,, então n é igual a:

a) 13

b) 14

c) 15

d) 16

e) 17

83. (EPCAR) Uma pessoa foi realizar um curso de

aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos

da manhã e da tarde desses dias. Durante o curso foram aplicadas

9 avaliações que ocorreram em dias distintos, cada um no período

da tarde ou no período da manhã, nunca havendo mais de uma

avaliação no mesmo dia. Houve 7 manhãs e 4 tardes sem

avaliação. O número x é divisor natural de

a) 45

b) 36

c) 20

d) 18

84. (EPCAR) Um agricultor fará uma plantação de feijão em

canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar os locais onde

plantaria as sementes. A figura abaixo indica os pontos marcados

pelo agricultor e as distâncias, em cm, entre eles.

Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já

existentes, de modo que a distância d entre todos eles fosse a

mesma e a maior possível.

Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo

agricultor então x é um número divisível por

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7


Prof. Paulo Cesar

85. (UNICAMP) Três líquidos diferentes A, B e C, devem ser

distribuídos em barris iguais. Há 108 litros do líquido A, 96 litros

do B e 72 litros do C. Para que o número de barris seja o menor

possível.

a) Qual deve ser a capacidade de cada barril?

b) Quantos barris serão necessários para conter cada um dos

líquidos?

86. (PUC) Dois livros, um dos quais tem 256 páginas e outro 160

páginas, são formados por capítulos com o mesmo número de

páginas (superior a 10 e inferior a 50). Cada capítulo:

a) pode ter 32 páginas

b) pode ter 24 páginas

c) tem 16 páginas

d) tem 18 páginas

e) nenhuma das alternativas

87. É possível que os naturais ímpares sejam os múltiplos de

algum natural 𝑎 > 1?

88. Dado um natural 𝑛, definimos o fatorial de n, e indicamos 𝑛!, como:

𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ … ∙ 2 ∙ 1

Por exemplo, 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24.

a) Em quantos zeros termina o número 1000!?

b) Obtenha uma sequência de 100.000 naturais consecutivos sendo

todos eles compostos.

89. (UFMG) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m.

Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos

sejam iguais, expressos em números inteiros de metros e sem que

haja perda de material. O menor número total possível de pedações

é:

a) 7

b) 9

c) 11

d) 13

e) 30

90. (UFMG) Se 𝐴 = 23 × 3 × 52 × 7 e 𝐵 = 22 × 32 × 72 × 11,

então a diferença entre o 𝑚𝑚𝑐(𝐴, 𝐵) e o 𝑚𝑑𝑐(𝐴, 𝐵) é divisível

por:

a) 23

b) 22 × 7

c) 2 × 3 × 5

d) 22 × 32

e) 5 × 11

91. (UFMG) Dois terrenos com áreas de 235ha e 141ha são

divididos em lotes, os maiores possíveis, todos da mesma área. O

número de lotes é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

e) 47

92. (UFMG) O número de três algarismos divisível, ao mesmo

tempo, por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é:

a) 330

b) 660

c) 676

d) 990

e) 996

93. (UFMG) O produto dos números naturais a e b é 25 × 33 e o

𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 22 × 3. Então, o 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) é:

a) 6

b) 54

c) 72

d) 96

e) 864

94. (UFMG) Considere o conjunto M de todos os naturais

formados por exatamente três algarismos iguais. Pode-se afirmar

que todo 𝑛 ∈ 𝑀 é múltiplo de:

a) 5

b) 7

c) 13

d) 17

e) 37

95. (UFMG) Sejam a, b, c três números primos, em que 𝑎 > 𝑏. O

mdc e o mmc de 𝑚 = 𝑎2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐2 e 𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑏2 são, respectivamente,

21 e 1764. Pode-se afirmar que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é:

a) 9

b) 10

c) 12

d) 42

e) 62


Prof. Paulo Cesar

96. (UFMG) O menor número natural n pelo qual se deve

multiplicar 1188 para se obter um número divisível por 504 é tal

que:

a) 1 ≤ 𝑛 < 6

b) 7 ≤ 𝑛 < 10

c) 10 ≤ 𝑛 < 20

d) 20 ≤ 𝑛 < 30

e) 𝑛 ≥ 30

97. (UFMG) Sabe-se que o número 213 − 1 é primo. Seja 𝑛 =217 − 16. No conjunto dos números naturais, o número de

divisores de n é:

a) 5

b) 8

c) 6

d) 10

98. (UFMG) Três atletas correm numa pista e gastam,

respectivamente, 2,4min, 2,0 min e 1,6min para completar uma

volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante.

Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez,

no mesmo local da largada. Nesse momento, o atleta mais veloz

estará completando

a) 15 voltas

b) 18 voltas

c) 10 voltas

d) 12 voltas

99. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve

multiplicar 2520 para que o resultado seja o quadrado de um

número natural. Então, a soma dos algarismos de N é:

a) 9

b) 7

c) 8

d) 10

100. O número (1722)8 é divisível por 3

101. Estabeleça um critério para que o número (𝑎𝑏𝑐𝑑)6 seja

divisível por 5.

102. Determine os restos da divisão por 4 dos números:

a) 1 + 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2100.

b) 15 + 25 + 35 + ⋯ + 205

GABARITO

01. 37 02. Resp. pessoal 03. Resp. pessoal

04. 9996 05. 9 e 11 06. 197, 211, 499 e 881

07. 15 08. 762, 768, 774 09. 165, 180, 195 e 210

10. 15 e 32 11. 200 12. 1

13. 4 14. 118 15. 1, 2, 3, 6, 9 e 18

16. D 17. B 18. E

19. a) 43 b) 257 c) 385 20. C

21. 60min, 5 voltas e 4 voltas 22. 4 voltas

23. A 24. Resp. pessoal 25. C

26. B 27. D 28. E

29. 𝑎 = 8, 𝑏 = 4, 𝑐 = 1, 𝑑 = 9 e 𝑒 = 6 30. A

31. B 32. B 33. E 34. 440

35. 2 36. A 37. B 38. 12

39. 2, 3 e 5 40. 9 41. 3 42. C

43. 24dm 44. E 45. D 46. D

47. D 48. D 49. D 50. B

51. D 52. B 53. A 54. B

55. 694 56. 13 mar 1945 57. 15m

58. 8º, 9º, 24º e 36º 59. B 60. D

61. B 62. C 63. B 64. B

65. D 66. E 67. 8

68. a) 15 b) (5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)

69. A 70. C 71. D 72. Não

73. C 74. B 75. D 76. A

77. C 78. B 79. B

80. (9, 54); (18, 45) e (27, 36) 81. A 82. D

83. C 84. D 85. a) 12 b) 6, 8 e 9

86. A 87. Não 88. a) 249 89. D

90. B 91. D 92. D 93. C

94. E 95. C 96. C 97. D

98. A 99. B 100. Sim

101. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 é múltiplo de 5

102. a) 3 b) 0


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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS MÚLTIPLOS E DIVISORESšLTIPLOS-E-DIVISORES.pdfProf. Paulo Cesar Divisibilidade por 7 Um natural é divisível por 7 se o dobro do último algarismo,