A CONSTRUÇÃOAXIOMÁTICA

DE N

Como NÃO ensinar o conceito de número natural para uma criança de 08 anos

Wescley Bonomo

Deus criou os números naturais, todo o resto é obra do homem.

Os números naturais são conhecidos há tantos milênios, que o famoso matemáticoKronecker (1823, 1891) dissera isto.

A abordagem que aqui apresento sobre a construção formal dos números naturais ébaseada nas obras

• Teoria Ingênua dos Conjuntos; Paul R. Halmos.

• A construção dos Números; Jamil Ferreira.

A ideia de Número natural sempre esteve associada a ideia de quantidade e a necessidadede contagem.

Opcionalmente, de modo axiomatico e não construtivo, a definição dos números naturaisconsiste em assumir a existência de um conjunto satisfazendo certos axiomas capazes decaracterizar completamente e de forma rigorosa, a ideia intuitiva do que são os númerosnaturais, que nos foi ensinada no ensino primário (ou deveria ter sido!). Estes axiomas - aotodo, três -, são os denomidados axiomas de Peano (Giusepe Peano, Sec. XIX).

AXIOMAS DE PEANO

Existe um conjunto N e uma função S : N→ N satisfazendo

A1) S é injetora;

A2) Existe um elemento em N que denotamos por 0, tal que 0 /∈ Im(S);

A3) Se X ⊂ N é tal que

• 0 ∈ X;

• Se n ∈ X, então S(n) ∈ X.

então X = N.

O Axioma A2 garante que N 6= ∅;

• Além disso, 0 6= S(0) (pois 0 /∈ Im(S)), revelando-nos um outro elemento para N;

• Também, pelo Axioma A1, 0 6= S(0) ⇒ S(0) 6= S(S(0)) e pela frase anterior, 0, S(0)e S(S(0)) são distintos, dois-a-dois;

• Aplicando novamente este raciocínio, concluiremos que 0, S(0), S(S(0)) e S(S(S(0)))são dois-a-dois distintos, revelando-nos um novo elemento para N;

e por ai vai ...

Neste momento, alguns questionamentos certamente devem se passar em vossas mentes...imagino que dentre eles certamente estão:

• É possível mostrar que tal conjunto N existe, ou isso precisa ser admitido mesmo?

Resposta: Sim, é possivel construir rigorosamente tal conjunto. Vide o livro doHALMOS para maiores detalhes técnicos. Explicarei agora o esboço dessa construção:

Dado um conjunto a, define-se o SUCESSOR de a como sendo a+ = a ∪ {a}. Alémdisso, ω é dito ser um conjunto sucessor se para todo conjunto a ∈ ω tivermos a+ ∈ ω.

AXIOMA DA INFINITUDE [HALMOS]: Existe um conjunto que contém ∅ e osucessor de cada um de seus elementos.

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {∅, {∅}} {0, 1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} {0, 1, 2}

4 {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} {0, 1, 2, 3}

e por ai vai...

• N é infinito?

Resposta: Cabe aqui um alerta quanto a intuição sobre grandezes infinitas e aformalização matemática destas. Dizemos que um conjunto X é infinito se existirum subconjunto Y ⊂ X e uma função bijetora f : X → Y (obviamente existemoutras definições equivalentes para conjuntos infinitos!). Nestes termos, mostraremosque S : N→ N− {0} é uma bijeção.

Pode-se provar que um conjunto X é finito se e somente se ele for vazio, ou entãoexistir n ∈ N−{0} e uma bijeção ϕ : X → {1, 2, 3, · · · , n}. Um tal n quando existeé único (prove isso!) e por causa disso chama-se "número de elementos de X".

• N contém outros elementos, distintos de 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), · · · ?

Resposta: Mostraremos que não. Este fato estabelece permanentemente que osAxiomas de Peano fornecem uma caracterização completa do conjunto dos númerosnaturais.

TEOREMA. A "função sucessor"S : N→ N satisfaz:

a) S(n) 6= n para todo n ∈ N (nenhum número natural é sucessor dele mesmo).

Prova: Seja A ⊂ N constituído por todos os elementos n ∈ N tais que S(n) 6= n.

Por A2, 0 ∈ A. Também, se n ∈ A, isto é, S(n) 6= n, então por A1 temos S(S(n)) 6=S(n), do que segue que S(n) ∈ A.

Com isso, A3 garante-nos que A = N.

b) Im(S) = N − {0} (0 é o único número natural que não é sucessor de nenhum númeronatural).

Prova: Seja A = {0} ∪ Im(S) ⊂ N.

Temos 0 ∈ A, e se n ∈ A, então S(n) ∈ Im(S) ⊂ A.

Com isso, A3 garante-nos que A = N.

COROLÁRIO: N é infinito

Prova: De fato, S : N→ N− {0} é uma bijeção.

TEOREMA. N = {0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), · · · }.

Prova: Seja A = {0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), · · · }.Temos 0 ∈ A, e se n ∈ A, então S(n) ∈ A, pois A contém 0 e o sucessor de qualquer

elemento nele contido.Com isso, A3 garante-nos que A = N.

Como era de se esperar, por razões históricas adotaremos a notação indo-arábica:

• 0 (lê-se zero);

• S(0) = 1 (lê-se um);

• S(S(0)) = S(1) = 2 (lê-se dois);

• S(S(S(0))) = S(S(1)) = S(2) = 3 (lê-se três);

• S(3) = 4 (lê-se quatro);

• S(4) = 5 (lê-se cinco);· · ·

• S(13) = 14 (lê-se quatorze, mas também pode-se usar catorze sem problemas!);· · ·

• S(396) = 397 (lê-se trezentos e noventa e sete, e em francêstrois cents quatre-vingt-dix-septe);

· · ·

• S(665) = 666 (lê-se seiscentos e sessenta e seis);

e por ai vai...

OPERAÇÕES EM N

Teorema da Recursividade [HALMOS]:Seja X um conjunto não vazio, a ∈ X e f : X → X uma função qualquer. Existe uma únicafunção u : N→ X tal que u(0) = a e u(S(n)) = f(u(n)) para todo n ∈ N.

De fato, u(n) = fn(a).

OBS: este Teorema é o princípio no qual se apoia toda a teoria dos sistemas dinâmicosdiscretos.

ADIÇÃO EM N

Para cada m ∈ N fixado, o Teorema da Recursividade garante-nos a existência de umafunção Am : N → N tal que Am(0) = m e Am(S(n)) = S(Am(n)). Por definição, Am(n) =m + n, assim Am(0) = m ≈ m + 0 = m e Am(S(n)) = S(Am(n)) ≈ m + S(n) = S(m + n).

PROPRIEDADES:

Para quaisquer m, n, p ∈ N temos

1. m + n = n + p

2. m + (n + p) = (m + n) + p

Prova: A ideia é Fixar m, n e usar indução sobre p. Considere então Am, n = {p ∈ N :m + (n + p) = (m + n) + p}.

É óbvio que 0 ∈ Am, n pois m + (n + 0) = (m + n) + 0. Suponha então p ∈ Am, n, idest, m + (n + p) = (m + n) + p; com isso:

m + (n + S(p)) = m + S(n + p) = S(m + (n + p)) = S((m + n) + p) = (m + n) + S(p),do que conclui-se que S(p) ∈ Am, n e consequentemente, Am, n = N, por A3.

3. Lei do cancelamento: Se m + n = m + p, então n = p.

MULTIPLICAÇÃO EM N

Para cada m ∈ N fixado, o Teorema da Recursividade garante-nos a existência de uma funçãoPm : N → N tal que Pm(0) = 0 e Pm(S(n)) = Pm(n) + m. Por definição, Pm(n) = m · n,assim Pm(0) = 0 ≈ m · 0 = 0 e Pm(S(n)) = Pm(n) + m ≈ m · S(n) = m · n + m.

PROPRIEDADES:Para quaisquer m, n, p ∈ N temos

1. m · n = n ·m;

2. m · (n · p) = (m · n)p;

3. m · (n + p) = (m · n) + (m · p);

4. m · 1 = m;

RELAÇÃO DE ORDEM EM N

Lembremos que uma relação de ordem � em um conjunto X 6= ∅ é uma relação binária emX tal que para quaisquer a, b, c ∈ X tenhamos

1. a � a;

2. Se a � b e b � a, então a = b;

3. Se a � b e b � c, então a � c.

Definamos em N a relação a ≤ b se e somente se existir m ∈ N tal que b = a + m. Mostreque ≤ é uma relação de ordem.

OBS: Com a construção apresentada para N, alternativamente poderíamos definir a ≤ b see somente se a ⊂ b.

LEI DA TRICOTOMIA

Dados quaisquer a, b ∈ N, uma e apenas uma das seguintes ocorre:

1. a < b;

2. a = b;

3. a > b.

Prova: Inicialmente, observe que no máximo apenas uma das três alternativas podeocorrer. De fato, obviamente 1. e 2. são inconsistentes, assim como 2. e 3.

Se 1. e 3. ocorressem simultaneamente, então existiriam m, n ∈ N tais que b = a + m ea = b+n. Dai, b = a+m = (b+n)+m = b+(n+m)⇒ m+n = 0⇒ m = 0 = n⇒ a = b.Absurdo!

Mostremos agora que uma das tres relações ocorre. Fixado m ∈ N, seja Am = {n ∈ N :m > n ou m = n ou m < n}.

Obviamente 0 ∈ Am, pois ou 0 = n = m, ou 0 = n 6= m e neste caso 0 < m (prove isso!).Se n ∈ Am, então ou n = m⇒ n+1 > m, ou n < m⇒ n+1 ≤ m, ou n > m⇒ n+1 > m.

Assim, por A3, Am = N.

COMPATIBILIDADE DA RELAÇÃO DE ORDEM COM ASOPERAÇÕES EM N

1. a ≤ b⇒ a + c ≤ b + c;

Prova: Se a ≤ b, então existe m tal que b = a+m⇒ b+c = (a+m)+c = (a+c)+m⇒a + c ≤ b + c.

2. a ≤ b⇒ a · c ≤ b · c;

3. Se a · b = a · c e a 6= 0, então b = c.

PRINCÍPIO DA BOA ORDEM

1. Todo subconjunto não vazio de N tem menor elemento.

Prova: Seja S um tal subconjunto de N e consideremos M = {n ∈ N : n ≤ x, paratodo x ∈ S}. É claro que 0 ∈M .Como S 6= ∅, tome s ∈ S. s + 1 /∈M ⇒M 6= N.Com tudo isso, deve existir m ∈M tal que m+1 /∈M , pois do contrário, pelo princípioda indução, M 6= N.Afirmação: m = min(S).Como m ∈M , m ≤ x, para todo x ∈ S. Com isso, falta apenas verificar que m ∈ S.Suponha que não, então m < x, para todo x ∈ S ⇒ m + 1 ≤ x, para todo x ∈ S ⇒m + 1 ∈M , o que é absurdo.

2. Todo subconjunto de N não vazio e limitado superiormente tem maior elemento.

CONCLUSÃO

Os axiomas de Peano e suas consequências realmente cumprem o papel de tornar rigorosoo conceito de número natural.

- Pra encerrarEu falei de tanto número, talvez esqueci algum,Mas as coisas que eu disse não são lá muito comum,Quem souber que conte outra, ou que fique sem nenhum.

Raul seixas - os números