Controladoria e Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões

© Almir Carvalho dos Reis, 2005

Programação Linear

Resolução Gráfica

Conteúdos

Problemas de Programação Linear Resolução pelo método gráfico O Problema do Pintor

Caso Alumilâminas S.A. Caso Esportes Radicais S.A.

Programação Linear Solução Gráfica

Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

Max Z x x 5 21 2

1

x (b)42

x x (c) 2 91 2

s r x (a)3. .

x x (d) 0 01 2,

Programação Linear Solução Gráfica

21 4

1

2

x13

x2

x 4 23

4

x 3 1

x0 1

x0 2

x 42

Programação Linear Solução Gráfica

92 12 xx

121

29

2 xx

x 31

x1

92 21 xx

x 01

x 02

x2

(3,0)(0,0)

(0,4)(3,4)

Limite

Reta92 21 xx

121

29

2 xx Região Limitada

(1,4)

(3,3)

Programação Linear Solução Gráfica

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

SoluçãoViável

(3,3)

21 2510 xxZ

= Solução Ótima

21 2521 xxZ

(3,3)21 250 xxZ

(0,0)

Programação Linear Solução Gráfica - Exercício

Considere o seguinte o problema de LP

Encontre a solução ótima.

0,

2446

1242 ..

33

21

21

21

21

xx

xx

xxrs

xxMax

Programação Linear Solução Gráfica - Exercício

(0,0)

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

02 x

01 x x1

(0,3)

(6,0)

1242 21 xx

(4,0)

(0,6)

2446 21 xx5

4

6

7

Programação Linear Solução Gráfica - Exercício

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

x1

5

4

6

7

21 330 xxZ

21 336 xxZ

21 335,13 xxZ

Exercício Recomendado 1

Max 4x1 + 3x2

s.r.x1 + 3x2 72x1 + 2x2 8x1 + x2 3x2 2x1, x2 0

Solução do Exercício 1

Solução Ótima

Exercício Recomendado 2

Max 4x1 + 8x2

s.r.3x1 + 2x2

18x1 + x2 5x1 4x1, x2 0

Solução do Exercício 2

Solução Ótima

Max 21 3xx s.r.

0,

10216

304

21

21

21

xx

xx

xx

Exercício Recomendado 3

Solução do Exercício 3

Sem Soluções Viáveis

O Problema do Pintor

Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?

A Decisão do Pintor

O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua

receita?

A Decisão do Pintor

O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua

receita?

A decisão dele é como usar as 8 horas diárias. Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.

A Decisão do Pintor

Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação linear para resolvê-lo;

Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que ele faz por dia, respectivamente.

O Objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.

O Modelo para a Decisão do Pintor

Max Z x x 5 31 2 Função-objetivo

Maximizar a receita

1s r x 3. . Restrição de vendas de quadros grandes

x 42 Restrição de vendas de

quadros pequenos

x x 1,8 81 2 Restrição de tempo

x 01 , x 02 Não negatividade

970

135

2

21370

135

2

21

35

350

xx

xxz

xx

xxz

(3 ; 50/18)

O Modelo para a Decisão do Pintor

Programação Linear Solução Gráfica - Minimização

0,

2045

1553

6

5

2 ..

97

21

21

21

2

1

21

21

xx

xx

xx

x

x

xxts

xxMin

Encontre a solução ótima:

x11086

51 x

42

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

Programação Linear Solução Gráfica - Exercício

Programação Linear Solução Gráfica - Exercício

117415

197

2

2165415 97

xx

xxz

197

2

21 970

xx

xxz

(40/13,15/13)

Caso Alumilâminas S.A.

A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

Variáveis de Decisão

X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo

X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de

Janeiro

Função-Objetiva Minimizar Custo de Produção (mil R$) = 21 200100 xx

Caso Alumilâminas S.A.

Restrições de Demanda Placas Finas

Placas Médias

Placas Grossas

Restrições de Não Negatividade

1628 21 xx

611 21 xx

2872 21 xx

0, 21xx

Caso Alumilâminas S.A.

0,

2872

611

1628

200100

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxMin

Caso Alumilâminas S.A.O Modelo

Caso Alumilâminas S.A.Solução Gráfica

Z = 920x1 = 14/5 e x2 = 16/5

Caso Esportes Radicais S.A.

A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

Caso Esportes Radicais S.A.

Variáveis de Decisão

X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos

X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos

Função-Objetiva

Max 60x1 + 40x2

Caso Esportes Radicais S.A.

Restrição de Produção

Linha 1

Linha 2

Restrição de Não Negatividade

1001010 21 xx

4273 21 xx

0, 21 xx

Caso Esportes Radicais S.A.O Modelo

0,

4273

1001010

4006

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxMax

Caso Esportes Radicais S.A.Solução Gráfica

Z = 600x1 = 10 , x2 = 0