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Controlo de SistemasControladores PID
Alexandra Moutinho
Dep. Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, ([email protected])
• Erro estacionário
Controlo de Sistemas
Aula anterior
2
• Caracterização das ações básicas de Controlo: P, I, D (frequência e tempo)
• O controlador PID
• Projeto de controladores PID por métodos Ziegler-Nichols
Controlo de Sistemas
Esta aula
3
• Considere o sistema de controlo por realimentação
• O controlador 𝐺𝑐(𝑠) define o valor da variável manipulada 𝑈(𝑠)de modo a compensar desvios na variável controlada 𝑌(𝑠), causados quer por perturbações 𝐷(𝑠), quer por variações nareferência 𝑅(𝑠)
Controlo de Sistemas
Controlo por realimentação
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
4
• Ações básicas do controlador 𝐺𝑐 𝑠– Proporcional, P
– Integrativa, I
– Derivativa, D
• Os controladores PID (nas diferentes combinações das açõesbásicas e versões modificadas) são os mais utilizados na indústria
Controlo de Sistemas
Controlador PID
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
5
• Ação proporcional ao erro de seguimento (lida com presente):
𝐺𝑐 𝑠 =𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝, 𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝐸 𝑠
ℒ−1
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒(𝑡)
• Reduz o efeito das perturbações e o erro de seguimento
𝑌 𝑠 =𝐺𝑝 𝑠
1 + 𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠
⟶0, 𝐾𝑝⟶∞
𝐷 𝑠 +𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠
1 + 𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠
⟶1, 𝐾𝑝⟶∞
𝑅 𝑠
Controlo de Sistemas
Controlador Proporcional, P
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝
Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
6
• Ajuste fácil (apenas 1 parâmetro de projeto)
• Aumenta a velocidade de resposta e o sobreimpulso
• Pode levar à instabilidade do anel de controlo (sistemas de ordem elevada)
• Não elimina erro estacionário (𝐾𝑝 ≪ ∞ devido a limitações dos
atuadores)
Controlo de Sistemas
Controlador Proporcional, P
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝
Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
7
• Considere que pretende controlar a velocidade angular de um motor com indutância não desprezável, com FT dada por
𝐺𝑝 𝑠 =Ω(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝐴
𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎2
Controlo de Sistemas 8
Controlador Proporcional: Exemplo
1. Desenhe o LGR do sistema para 𝐾 > 02. Verifique que caraterísticas do anel
fechado pode alterar com a escolha de ganho
𝐺𝑝 𝑠 =Ω(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝐴
𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎2
• A equação caraterística com controlador proporcional é
1 + 𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠 = 0
𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎2 + 𝐾𝑝𝐴 = 0 ⇔ 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0
• O projetista pode ajustar a frequência natural do sistema
controlado, 𝜔𝑛 = 𝑎2 + 𝐾𝑝𝐴, mas não consegue alterar o tempo
de estabelecimento (𝜉𝜔𝑛)
Controlo de Sistemas
Controlador Proporcional: Exemplo
10
• Sistema tipo 0:
𝑒𝑠𝑠degrau
=1
1 + lim𝑠→0
𝐾𝑝𝐺𝑝(𝑠)= const
• 𝐾𝑝 elevado diminui 𝑒𝑠𝑠degrau
, mas:
• Amortecimento poderá sermuito baixo para obter umaresposta transientesatisfatória
• Tempo de estabelecimento,
𝑇𝑠2% =
4
𝜉𝜔𝑛, não varia
Controlo de Sistemas
Controlador Proporcional: Exemplo
LGR, 𝐾 > 0
11
𝑎1 = 2, 𝑎2 = 4
Controlo de Sistemas
Controlador Proporcional: Exemplo
Para 𝐴 = 2, 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 4
𝑢 𝑡 = 6𝑒(𝑡)
12
Tempo de estabelecimento
constante
• Ação proporcional ao integral do erro de seguimento (lida com passado):
𝐺𝑐 𝑠 =𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)=
1
𝑇𝑖𝑠
• Elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau
= 0 (anel aberto de tipo >1)
Controlo de Sistemas
Controlador Integrativo, I
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠 =1
𝑇𝑖𝑠
Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
13
𝑈 𝑠 =1
𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠
ℒ−1
𝑢 𝑡 =1
𝑇𝑖න0
𝑡
𝑒 𝜂 𝑑𝜂
• A amplitude da ação de controlo, 𝑈(𝑠), altera-se sempre que 𝑒(𝑡) ≠ 0, mantendo-se constante quando este se anula
• A ação de controlo exercida é tanto maior quanto mais demorada for a correção do erro
Controlo de Sistemas
Controlador Integrativo, I
14
• Pode provocar oscilações indesejáveis na presença de saturações na ação de controlo (reset-windup)
𝐺𝑐 𝑠 =𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)=
1
𝑇𝑖𝑠
• Diminui a estabilidade relativado anel de controlo: introduzatraso de fase no anel aberto
Controlo de Sistemas
Controlador Integrativo, I
15
• Considere o mesmoproblema do motor:
𝐺𝑝 𝑠 =Ω(𝑠)
𝑈(𝑠)=
2
𝑠2 + 2𝑠 + 4
• Controlador integrativo:
𝐺𝑐 𝑠 =1
𝑇𝑖𝑠
Controlo de Sistemas
Controlador Integrativo: Exemplo
16
1. Desenhe o LGR do sistemapara 𝐾 > 0
2. Verifique que caraterísticasdo anel fechado a escolhade ganho pode alterar
• Considere o mesmoproblema do motor:
𝐺𝑝 𝑠 =Ω(𝑠)
𝑈(𝑠)=
2
𝑠2 + 2𝑠 + 4
• Controlador integrativo:
𝐺𝑐 𝑠 =1
𝑇𝑖𝑠
Controlo de Sistemas
Controlador Integrativo: Exemplo
18
• Sistema tipo 1:
𝑒𝑠𝑠degrau
=1
1 + lim𝑠→0
1𝑠𝐺𝑝(𝑠)
= 0
• Ação de controlo cumulativa do erro de seguimento, ou seja, mesmo quando erro se anula𝑢(𝑡) ≠ 0
Controlo de Sistemas
Controlador Integrativo: Exemplo
𝑢 𝑡 = න0
𝑡
𝑒 𝜂 𝑑𝜂
19
• Ação proporcional à derivada do erro de seguimento (lida com futuro):
𝐺𝑐 𝑠 =𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝑇𝑑𝑠
𝑈 𝑠 = 𝑇𝑑𝑠𝐸 𝑠ℒ−1
𝑢 𝑡 = 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)
d𝑡• Nunca se usa isoladamente pois amplifica o ruído do erro
(proveniente do ruído dos sensors que medem 𝑌(𝑠))
Controlo de Sistemas
Controlador Derivativo, D
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠 = 𝑇𝑑𝑠Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
20
• Ação de controlo com caráterantecipatório (derivative kick), é por isso mais rápida a reagir a erros
• Não anula o erro estacionário
𝐺𝑐 𝑠 =𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝑇𝑑𝑠
• Aumenta a estabilidaderelativa do anel de controlo: introduz avanço de fase no anel aberto
Controlo de Sistemas
Controlador Derivativo, D
21
• O controlador 𝐺𝑐(𝑠) poderá ser obtido pela combinação das 3 acções básicas de controlo, resultando:
– Controlador PI (Proporcional-Integral).
– Controlador PD (Proporcional-Derivativo).
– Controlador PID(Proporcional-Integral-Derivativo)
Controlo de Sistemas
Família de controladores PID
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
22
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 1 +1
𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠 = 𝐾𝑝
𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1
𝑇𝑖න0
𝑡
𝑒 𝜂 𝑑𝜂
Controlo de Sistemas
Controlador PI
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
23
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠
• Sistema tipo 1 (1 polo na origem):
– Elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau
= 0
– Introduz atraso de fase no anel aberto
• Zero no SPCE, em 𝑠 = −1
𝑇𝑖:
– “Atrai” LGR para a esquerda, melhorando as características dinâmicas da resposta
Controlo de Sistemas
Controlador PI
24
• Devido ao termo proporcional, a ação correctiva é imediata:
Controlo de Sistemas
Controlador PI
25
• O polo na origem introduz atraso de fase no anel aberto: diminui a estabilidade relativa
Controlo de Sistemas
Controlador PI
26
• Pode resultar em oscilações indesejáveis
• Efeito provocado pela variação dos parâmetros 𝑇𝑖 e 𝐾𝑝:
• Necessária sintonia dos parâmetros 𝑇𝑖 e 𝐾𝑝 para melhorar
resposta transitória do anel de controlo
Controlo de Sistemas
Controlador PI
27
• Comparar desempenho do sistema de controlo
com:
• Controlador P: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 = 19
• Controlador PI: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠+1
𝑇𝑖𝑠= 19
2𝑠+1
2𝑠
Controlo de Sistemas
Controlador PI: Exemplo
28
Desenhe o LGR do sistema para 𝑲 > 𝟎
Controlo de Sistemas
Controlador PI: Exemplo
30
Controlo de Sistemas
Controlador PI: Exemplo
A introdução do termo integral eliminou o erro estacionário, masaumentou o sobreimpulso da resposta
31
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 𝐸 𝑠
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)
d𝑡
• Carácter antecipatório da acção correctiva
Controlo de Sistemas
Controlador PD
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
32
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 𝐸 𝑠
• Sistema tipo 0:
– Não elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau
= const
• Zero no SPCE, em 𝑠 = −1
𝑇𝑑:
– “Atrai” LGR para a esquerda, melhorando as características dinâmicas da resposta
– Amplifica o ruído na alta frequência devido ao ganho positivo
– Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço de fase no anel aberto
Controlo de Sistemas
Controlador PD
33
Controlo de Sistemas
Controlador PD
Amplifica o ruído na alta frequência devido ao
ganho positivo
Aumenta a estabilidade relativa devido à
introdução de avanço de fase no anel aberto
34
• Comparar desempenho do sistema de controlo
com:
• Controlador P: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 = 19
• Controlador PI: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠+1
𝑇𝑖𝑠= 19
2𝑠+1
2𝑠
• Controlador PD: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 = 19 1 + 0.21𝑠
Controlo de Sistemas
Controlador PD: Exemplo
35
Desenhe o LGR do sistema para 𝑲 > 𝟎
Controlo de Sistemas
Controlador PD: Exemplo
37
Controlo de Sistemas
Controlador PD: Exemplo
A introdução do termo derivativo reduziu o comportamento oscilatóriodo sistema, mas não eliminou o erro estacionário de posição
38
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠
2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1
𝑇𝑖න0
𝑡
𝑒 𝜂 𝑑𝜂 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)
d𝑡
Controlo de Sistemas
Controlador PID
𝑅(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑌(𝑠)Controlador
𝐺𝑐 𝑠Sistema
𝐺𝑝(𝑠)
𝐸(𝑠)
39
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠
2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠
• 1 polo na origem:
– Elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau
= 0
• 2 zeros no SPCE (podem ser reais ou complexos):
– “Atrai” LGR para a esquerda, melhorando as características dinâmicas da resposta
– Amplifica o ruído na alta frequência
– Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço de fase no anel aberto
– Caráter antecipatório da ação corretiva
Controlo de Sistemas
Controlador PID
40
Controlo de Sistemas
Controlador PID
Amplifica o ruído na alta frequência devido ao
ganho positivo
Aumenta a estabilidade relativa devido à
introdução de avanço de fase no anel aberto
41
• O desempenho do sistema depende da sintonia de K𝑝, 𝑇𝑖, e 𝑇𝑑
• Aumentar 𝐾𝑝 e 1/𝑇𝑖, reduz o erro de seguimento, mas pode
instabilizar o sistema
• Aumentar 𝑇𝑑 (para valores pequenos) melhora a estabilidade,embora origine uma resposta oscilatória e uma indesejávelamplificação do ruído para valores elevados:
Controlo de Sistemas
Controlador PID
42
• Comparar desempenho do sistema de controlo
com:
• Controlador P: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 = 19
• Controlador PI: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠+1
𝑇𝑖𝑠= 19
2𝑠+1
2𝑠
• Controlador PD: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 = 19 1 + 0.21𝑠
• Controlador PID: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠
2+𝑇𝑖𝑠+1
𝑇𝑖𝑠= 19
0.42𝑠2+2𝑠+1
2𝑠
Controlo de Sistemas
Controlador PID: Exemplo
43
Controlo de Sistemas
Controlador PID: Exemplo
44
Controlo de Sistemas
Controlador PID: Exemplo
Com o controlador PID consegue-se eliminar o erro estacionário deposição sem comprometer o regime transiente
45
Controlo de Sistemas
Família de controladores PID: quadro resumo
Controla-dor
Expressão temporalFunção de transferência𝐺𝑐 𝑠 = 𝑈(𝑠)/𝐸(𝑠)
P 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝
I 𝑢 𝑡 =1
𝑇𝑖න0
𝑡
𝑒 𝜂 d𝜂 𝐺𝑐 𝑠 =1
𝑇𝑖𝑠
PI 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1
𝑇𝑖න0
𝑡
𝑒 𝜂 d𝜂 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠
PD 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)
d𝑡𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠
PID 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1
𝑇𝑖න0
𝑡
𝑒 𝜂 d𝜂 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)
d𝑡𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝
𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠 46
• Fazer um quadro resumo das vantagens e desvantagens de cada controlador da família PID relativamente a:
– Resposta transiente (𝑀𝑝, 𝑡𝑠, …)
– Resposta estacionária (𝑒𝑠𝑠)
– Resposta em frequência (ruído, margens estabilidade)
Controlo de Sistemas
Trabalho de casa
48
• Projeto de controladores PID pelos métodos de Ziegler-Nichols
Controlo de Sistemas
Próxima aula
49
– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008
• Capítulo 8
– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (6ª edição), 2010
• Capítulo 4
– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (4ª edição), 2002
• Capítulo 8
– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011
Controlo de Sistemas
Referências/fontes usadas
127