Cristiano Quevedo Andrea Curitiba, Outubro 2012

Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Ampl itude em dB Versus Fase

Aula 14

Cristiano Quevedo Andrea1

1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

Curitiba, Outubro 2012.

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Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Ampl itude em dB Versus Fase

Resumo

1 Introdução

2 Diagramas de Bode

3 Gráficos Polares

4 Gráfico de Amplitude em dB Versus Fase

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Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Amplitude em dB Versus Fase

Introdução

Resposta em FrequênciaResposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinalsenoidal (método mais antigo que o Lugar das Raízes).

Para analisar a resposta em frequência de um sistema varia-sea frequência do sinal de entrada e estuda-se os efeitosresultantes.

Ao ser variado a frequência do sinal de entrada pode variar oganho do sinal de saída e a ainda a fase do sinal.

Quando abordamos o estudo de um sistema de controle nodomínio da frequência podemos encontrar várias vantagens:

Análise de estabilidade via o critério de Nyquist.Determinação experimental de funções de transferência viaanálise da reposta em frequência.Projeto de sistemas de controle robusto a presença de ruídos.

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Embora especificações de regime transitório e permanente nãoestejam presentes na análise frequencial, ocorre um ajuste dascaracterísticas da resposta em frequência de malha abertautilizando vários critérios de projeto para que a resposta emmalha fechada seja satisfatória.

RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE PARA UMA ENTRADA SENOIDAL

Considere o sistema linear e invariante no tempo ilustrado a seguir:

Neste caso temos que a função de transfêrencia,

G(s) =Y (s)X (s)

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O sinal de entrada é senoidal e é dado por:

x(t) = Xsen(ωt)

Se o sistema for estável, a saída y é dada por:

y(t) = Ysen(ωt + φ)

sendo,

Y = X |G(jω)|

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Neste caso o ângulo da função de transferência G(s) é dadopor:

φ = ∠G(jω) = tan−1[

Parte Imaginária de G(jω)Parte Real de G(jω)

]

Em resumo,

|G(jω)| = |Y (jω)||X (jω)|

e

∠G(jω) = ∠Y (jω)X (jω)

Assim a resposta em frequência é obtida a partir de:

G(jω) =Y (jω)X (jω)

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Um valor negativo de fase é chamado atraso de fase e um valorpositivo de fase é chamado avanço de fase.

A função de transferência senoidal é obtida substituindo-se jωna função de transferência.

CARACTERÍSTICAS DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIAPodemos representar a resposta em frequência graficamente,neste contexto, é caracterizada a magnitude e fase do sistemaabordado. Existem 3 representações gráficas comumenteutilizadas para obter a resposta em frequência.

Diagrama de Bode

Diagrama de Nyquist (gráfico polar)

Diagrama da Resposta Logarítmica versus Ângulo de fase

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Diagramas de Bode

Diagramas de Bode

Gráfico no qual é apresentado dois gráficos simultâneos. O primeirográfico apresenta a relação entre o módulo em dB da função detransferência e no segundo gráfico é apresentado o angulo em grausda função de transferência. Ambos os gráficos são construídos emfunção da frequência na escala logarítmica.

Exemplo

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

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O módulo do diagrama de Bode

O módulo é apresentado em dB, assim para obter a magnitudedo sistema em uma determinada frequência, temos:

Mdb = 20log|G(jω)|

Exemplo: Considere que em uma análise do diagrama de bodefoi encontrado o valor de magnitude de -20dB para umadeterminada frequência. Assim, para obter o valor do ganho emmagnitude temos:

20log(G) = −20

log(G) = −2020

G = 10−1 = 0,1

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Exemplo: Encontre a equação analítica para magnitude efase para o seguinte sistema:

G(s) =1

(s + 2)(s + 4)(1)

Resp:

M(ω) =1

√

(8 − ω2)2 + (6ω)2(2)

e

φ(ω) = −arctan(

6ω8 − ω2

)

(3)

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VANTAGENS DA ESCALA LOGARÍTMICA

Multiplicação de módulos é convertida em adição.

O esboço da curva do logaritmo do módulo é simples. Nestecontexto utilizamos aproximações por assíntotas para esboçar odiagrama de módulo logarítmico.

FATORES BÁSICOS DE G(jω)H(jω)1- Ganho K

Magnitudes com número maior que 1 possuem valores positivoem decibéis, enquanto magnitudes menos que 1 possuemvalores negativos.

A curva do logaritmo do módulo para um ganho K constante éuma horizontal de valor 20log(K ) dB.

O ângulo do ganho K é nulo.

Variando-se o ganho K não se altera o ângulo.

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Quando aumentamos o ganho de 10 vezes temos:

20log(10k) = 20log(K ) + 20

generalizando

20log(10nk) = 20log(K ) + 20n

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2- Fatores Integrais e Derivativo (jω)±1

O módulo logarítmico de 1/jω é:

20log

∣

∣

∣

∣

1jω

∣

∣

∣

∣

= −20log(ω) dB

O ângulo de 1/jω é −90◦.

Em um diagrama de Bode as frequências são expressas emoitavas ou décadas. Uma oitava é um intervalo de frequênciacompreendido entre ω1 e 2ω1, sendo ω1 uma frequência dequalquer valor.

Uma década corresponde a um intervalo de frequênciacompreendido entre ω1 e 10ω1.

Considerando-se uma frequência 10ω temos,

−20log(10ω) = −20log(ω)− 20 dB (4)

a inclinação da reta é −20 dB/década.

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O logaritmo do módulo de jω em dB é:

20log|jω| = 20log(ω)

O ângulo de fase de jω é 90◦.

A curva do módulo em dB é uma reta com inclinação de20 dB/década.

Se a função de transferência contiver o fator (1/jω)n e (jω)n, osmódulos em dB resultam respectivamente:

20log

∣

∣

∣

∣

1(jω)n

∣

∣

∣

∣

= −n20log|jω| = −20nlog(ω) dB

20log |(jω)n| = n20log|jω| = 20nlog(ω) dB

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Diagrama de Bode

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3- Fatores de Primeira Order (1 + jω)±1

O módulo em dB do fator de primeira ordem 1/(1 + jωT ) é

20log

∣

∣

∣

∣

1(1 + jωT )

∣

∣

∣

∣

= −20log√

1 + ω2T 2 dB

ω << 1/T

−20log√

1 + ω2T 2 = −20log(1) = 0 dB

ω >> 1/T

−20log√

1 + ω2T 2 = −20logωT dB

A resposta para o fator 1/(1 + jωT ) pode ser aproximada porduas retas assintóticas, uma reta em 0 dB para a faixa defrequência entre 0 < ω < 1/T e outra reta com inclinação −20dB/década para faixas de frequências 1/T < ω < ∞.

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O ângulo de fase φ para o fator de primeira ordem 1/(1 + jωT ) édado por:

φ = −tan−1ωT

Na frequência zero, o ângulo de fase é 0◦. Para ω = 1/T temos:

φ = −tan−1 TT

= −tan−11 = −45◦

No infinito, o ângulo de fase se torna −90◦

O erro máximo entre o gráfico obtido por assíntotas e o gráficoreal acontece na frequência de corte e é dado por:

−20log√

1 + 1 + 20log1 = −3,01

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Erro em Módulo da Resposta em Frequência por Assíntota

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Diagrama de Bode para o Fator (1 + jωT )

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4- Fatores Quadráticos[

1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]±1

Muitos sistemas de controle possui a forma quadrática dada por:

1

1 + 2ζ(

j ω

ωn

)

+(

j ω

ωn

)2

A resposta em frequência pode ser obtida por:

−20log

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

1 + 2ζ(

j ω

ωn

)

+(

j ω

ωn

)2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −20log

√

(

1 −

ω2

ω2n

)2

+

(

2ζω

ωn

)2

Se ω << ωn, temos

−20log1 = 0 dB

A assíntota para baixas frequências é um reta em 0 dB.

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Se ω >> ωn, temos

−20logω2

ω2n= −40log

ω

ωn

a equação para a assíntota em alta frequência é uma reta quepossui inclinação de −40 dB/década uma vez que:

−40log10ωωn

= −40 − 40logω

ωn

A frequência de corte é ωn. O ângulo φ para o fator quadrático édado por:

φ =

⟨

1

1 + 2ζ(

j ω

ωn

)

+(

j ω

ωn

)2 = −tan−1

2ζ ω

ωn

1 −(

ω

ωn

)2

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ExemploEsboce o diagrama de bode para a seguinte função de transferência:

G(jω) =10(jω + 3)

(jω)(jω + 2) [(jω)2 + jω + 2]

O primeiro procedimento a ser realizado é normalizar a função detransferência para evitar possíveis erros, então:

G(jω) =7, 5

(

jω3 + 1

)

(jω)( jω2 + 1)

[

(jω)2

2 + jω2 + 1

]

Esta função é composta pelos seguintes fatores:

7, 5;(

jω3

+ 1)

,1jω

,1

jω2 + 1

e1

( jω√

2)2 + jω

2 + 1

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As frequências de corte terceiro, quarto e quinto termo sãorespectivamente, ω = 3, ω = 2 e ω =

√2. O coeficiente de

amortecimento do último termo é 0,3536.

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Diagrama de Bode no Matlab

bode(num, den)bode(num, den,w)[mag, fas,w ] = bode(num, den)bode(A,B,C,D)

−80

−60

−40

−20

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

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Considerando-se o diagrama de Bode anterior, se for aplicadoum sinal senoidal r(t) = sin(10t), qual é o valor do sinal desaída?

−80

−60

−40

−20

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

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DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE POSIÇÃO Kp

Considere um sistema com realimentação unitária com funçãode transferência de malha direta dado por:

G(s) =K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · (Tms + 1)sN(T1s + 1)(T2s + 1) · · · (Tps + 1)

ou

G(jω) =K (Tajω + 1)(Tb jω + 1) · · · (Tmjω + 1)

(jω)N(T1jω + 1)(T2jω + 1) · · · (Tp jω + 1)

Neste caso,

limω→0

G(jω) = Kp

assim, a assíntota para baixas frequências é uma reta horizontalem 20logKp dB.

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DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE Kv

Considere o sistema de controle ilustrado abaixo:

A interseção do segmento de −20dB/década com a reta ω = 1 temcomo valor 20logKv .

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Para o sistema de controle abordado nesta seção temos,

G(jω) =Kv

jω,para ω << 1

assim,

20log

∣

∣

∣

∣

Kv

jω

∣

∣

∣

∣

ω=1= 20logKv

A interseção do segmento inicial de −20dB/década com a retade 0 dB possui frequência numericamente igual a Kv .

Para verificar este resultado, define-se a frequência nestainterseção igual a ω1, assim:

∣

∣

∣

∣

Kv

jω1

∣

∣

∣

∣

= 1

ou

Kv = ω1

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DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE Ka

Seja o sistema de controle com realimentação unitária comfunção de transferência G(s) ilustrado anteriormente, a figuraseguinte ilustra o diagrama de Bode de um sistema tipo 2.

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A interseção do segmento inicial de −40dB/década, ou seuprolongamento, com a reta ω = 1 possui a ordenada 20logKa.

Considerando-se frequências baixas temos:

G(jω) =Ka

(jω)2 ,para ω << 1 (5)

segue-se que:

20log

∣

∣

∣

∣

Ka

(jω)2

∣

∣

∣

∣

ω=1= 20logKa

A frequência ωa do segmento incial de −40dB/década com areta de 0 dB fornece a raiz quadrada de Ka numericamente.

20log

∣

∣

∣

∣

Ka

(jωa)2

∣

∣

∣

∣

= 20log1

ωa =√

Ka

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Sistema de Fase Mínima e Não MínimaFunções de transferência que não possuam pólos ou zeros nosemiplano direito do plano complexo s são funções detransferência de fase mínima.

Funções de transferência que possuam pólos e/ou zeros nosemiplano direito do plano complexo s são funções detransferência de fase não-mínima

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Gráficos PolaresO gráfico polar de uma função de transferência senoidal G(jω) é um gráficodo módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadaspolares, quando ω varia de zero a infinito.

Em gráficos polares os ângulos de fase positivo é medido nosentido horário, enquanto o ângulo de fase negativo é medidono sentido anti-horário.

O gráfico polar também é denominado de gráfico de Nyquist.

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1- Fatores Integrais e Derivativo (jω)±1

O gráfico polar de G(jω) = 1/jω é o eixo imaginário negativo,uma vez que:

G(jω) =1jω

= − jω

=1ω∠−90◦

O gráfico polar de G(jω) = jω é o eixo imaginário positivo.

2- Fatores de Primeira Ordem (1 + jω)±1

Para a função de transferência senoidal,

G(jω) =1

1 + jωT=

1√1 + ω2T 2

∠−tan−1ωT

os valores de G(jω) para ω = 0 e ω = 1/T são respectivamente,

G(j0) = 1∠0◦;G(

j1T

)

=1√2∠−45◦

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Quando ω tende ao infinito, o módulo de G(jω) tende ao infinito,e o ângulo de fase tende a −90◦.

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3 - Fatores Quadráticos[

1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]±1

As partes de baixa e alta frequência para a função senoidal

1

1 + 2ζ(

j ω

ωn

)

+(

j ω

ωn

)2 para ζ > 0

são dadas respectivamente por:

limω→0

G(jω) = 1∠0◦ e limω→∞

G(jω) = 0∠180◦

O gráfico polar para fatores quadráticos são ilustrados a seguir:

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Considere a seguinte função senoidal,

G(jω) = 1 + 2ζ(

jω

ωn

)

+

(

jω

ωn

)2

=

(

1 − ω2

ω2n

)

+ j(

2ζωωn

)

O trecho para baixas frequências é;

limω→0

G(jω) = 1∠0◦

e para o trecho de altas frequências é:

limω→∞

G(jω) = ∞∠180◦

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Diagrama de Nyquist

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EXEMPLO

Considere a seguinte planta de segunda ordem:

G(s) =1

s(Ts + 1)

Esboçar o gráfico polar desta função de transferência.

A função senoidal pode ser escrita como:

G(jω) =1

jω(1 + jωT )= − T

1 + ω2T 2 − j1

1 + ω2T 2

a parte para baixas frequências do gráfico polar temos:

limω→0

G(jω) = −T − j∞ = ∞∠−90◦

e a parte de alta frequência se torna,

limω→∞

G(jω) = 0 − j0 = 0∠−180◦

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Gráfico Polar

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GRÁFICOS POLARES DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

SIMPLES

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DIAGRAMA DE NYQUIST VIA MATLAB

nyquist(num,den)

nyquist(num,den,w)

[re, imag] = nyquist(num,den)

[re, imag] = nyquist(num,den,w)

nyquist(A,B,C,D)

num e den é o numerador e denominador da função G(s)respectivamente.

A,B,C,D são as matrizes de um dado sistema descrito naforma de espaço de estado.

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Gráfico de Amplitude em dB Versus Fase

Outra abordagem para representar a resposta em frequência éo gráfico do log do módulo versus fase.

Também conhecido como gráfico de Nichols.

As vantagens do gráfico log-módulo versus fase são asseguintes:

a estabilidade relativa de malha fechada pode ser determinadarapidamente e a compensação pode ser realizada com facilidade.

O gráfico log-módulo versus fase para as funções detransferência senoidais G(jω) e 1/G(jω) são anti-simétricos emrelação a origem:

∣

∣

∣

∣

1G(jω)

∣

∣

∣

∣

dB = −|G(jω)| dB

e

∠G(jω) = −∠1/G(jω)

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Comparação entre as resposta em frequência de um fatorquadrático

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