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1Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Curso “Eurocódigo para Dimensionamento de Estruturas de Betão (Em especial, Pontes e
Depósitos)”– Execução de Estruturas – Efeitos diferidos
Modelos de análise e dimensionamento
Sérgio Cruz
JUNHO 2008
2Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Caracterização dos efeitos diferidos(EC2 – Pontes de Betão)
-Betão – Fluência e Retracção-Armaduras Pré-esforçadas - Relaxação
3Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
EC2 – BETÃO - FLUÊNCIA E RETRACÇÃO1- GENERALIDADES
1.2 – EXTENSÃO NO BETÃO DEPENDENTE DA TENSÃO
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))tt,tttt,ttt,t cn0ccTcs0cc0ci0c εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε σσσσ ++++====++++++++++++====
1.3 – EXTENSÃO TOTAL NO BETÃO
1.1 – EXTENSÃO NO BETÃO INDEPENDENTE DA TENSÃO
4Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
1.4 – EXTENSÃO NO BETÃO DEPENDENTE DA TENSÃO (TENSÃO CONSTANTE)
- MODELO DE FLUÊNCIA LINEAR
1.5 – EXTENSÃO TOTAL NO BETÃO (TENSÃO VARIÁVEL)
- MODELO DE FLUÊNCIA LINEAR
(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))00c
cm
0
0c
0c0c t,ttE
t,t
)t(E
1 tt,t φφφφσσσσ
ϕϕϕϕσσσσεεεε σσσσ ====
++++====
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))∫∫∫∫ ++++++++====t
tcnc)0oc00c
0
tdt,ttt,tt,t εεεεττττσσσσφφφφσσσσφφφφεεεε
1.6 – MODELO DE FLUÊNCIA LINEAR – DESVIOS DE +/- 30%
COMP. DA FLUÊNCIA REAL COM A OBTIDA NO MODELO DE FLU. LINEAR
5Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
1.7 – MODELAÇÃO DOS EFEITOS DA FLUÊNCIA
1.7.1 – Métodos Algébricos
1.7.2 – Métodos Numéricos
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] ttE
t,tt,t
tE
1tt,t
d,ttt,tt,t
0cc
cm
00
0c
0c0
t
t
c0c00c
0
σσσσσσσσϕϕϕϕ
χχχχσσσσφφφφ
ττττττττ
ττττσσσσττττφφφφσσσσφφφφεεεε σσσσ
−−−−
++++++++
≈≈≈≈∂∂∂∂
∂∂∂∂++++==== ∫∫∫∫
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))
adj,c
0cc
eff,c
0c0c
E
tt
E
tt,t
σσσσσσσσσσσσεεεε σσσσ
−−−−++++====
(((( ))))(((( )))) (((( ))))0
cm
0c
0ceff,c
t,tE
tE1
tEE
ϕϕϕϕ++++
==== (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))00
cm
0c
0cadj,c
t,tt,tE
tE1
tEE
ϕϕϕϕχχχχ++++
==== (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
−−−−
−−−−==== ∫∫∫∫
t
t0c
cmc0
0c
cm
0
00 tE
Edt,t
tt
E
t,t
1t,t ττττσσσσφφφφ
σσσσσσσσϕϕϕϕχχχχ
1.7.2.1 – Integração Passo a Passo
1.7.2.2 – Rel. Constitutiva – Sistema de eq. Diferenciais
(((( )))) i
c
k
1i
*
kikc t σσσσ∆∆∆∆φφφφεεεε σσσσ ∑∑∑∑====
====Tempo definido intervalos ∆∆∆∆ti=ti-ti-1(((( )))) (((( )))) (((( )))) 10 t,t1t,t 1ikik
*
ki ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−++++==== −−−− ξξξξφφφφξξξξξφξφξφξφφφφφ
(((( ))))∑∑∑∑−−−−
====−−−−−−−−++++====++++====
1k
1i
i
c
*
i,1k
*
ki
k
c
*
kk
k
c
k
c
*
kk
k
c σσσσ∆∆∆∆φφφφφφφφσσσσ∆∆∆∆φφφφεεεε∆∆∆∆σσσσ∆∆∆∆φφφφεεεε∆∆∆∆ ϕϕϕϕσσσσVariação de tensão no intervalo tk
k
cσσσσ∆∆∆∆
Inconveniente principal – É necessário guardar todos as variações de tensão nosintervalos de tempo em que se discretizou a análise
Tempo definido intervalos ∆∆∆∆ti=ti-ti-1(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]0j tt
n
1j
0j
cm0ccm
0
0c
0 e1taE
1
tE
1
E
t,t
tE
1t,t
−−−−−−−−
====
−−−−++++≈≈≈≈++++==== ∑∑∑∑ααααϕϕϕϕ
φφφφ
Coef. fluência aproximado por uma série de Dirichlet que equivale a uma assoc.de modelos reológicos de Kelvin em série como indicado na figura seguinte.
6Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Modelos Reológicos
γγγγj(tk) e são funções de γγγγj(tk-1), , ∆∆∆∆tk, e ααααj
( ) ( )( )
( )tE
tatt c
cm
j
jj
••
=+ σγαγ
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))tE
tatt c
cm
j
jccjjccj
••••••••••••••••
====++++ σσσσααααεεεεααααεεεε
(((( )))) (((( )))) k
c
cm
k
jk
j1kj
t
kjE
atet kj σσσσ∆∆∆∆λλλλγγγγγγγγ
∆∆∆∆αααα++++==== −−−−
−−−−
kj
t
k
jt
e1 kj
∆∆∆∆ααααλλλλ
∆∆∆∆αααα−−−−−−−−
==== (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))1kj
tk
c
cm
k
jk
j
k
ccj1kccjkccj te1E
a1tt kj
−−−−
−−−−
−−−− −−−−++++−−−−========−−−− γγγγσσσσ∆∆∆∆λλλλεεεε∆∆∆∆εεεεεεεε∆∆∆∆αααα
k
ccjεεεε∆∆∆∆ k
cσσσσ∆∆∆∆k
ja
Sistema de relações const. Diferenciais
Vantagem principal - A integração da relação constitutiva definida pelo sistema de equações diferenciais, evita a memorização dos incrementos de tensão nos intervalos anteriores, bastando apenas guardar o efeito dessas tensões nas variáveis
γγγγj(t), que são actualizadas no fim do intervalo anterior.
Relações const. incrementais para resolução do sist. de eq. Dif.
7Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
2- COMPARAÇÃO DA QUANTIFICAÇÃO DA FLUÊNCIA NO EC2 – REGRAS GERAIS E NO EC2 – PONTES DE BETÃO
2.1 - O EC2 – Pontes de Betão, introduz alguns refinamentos no cálculo da fluência e da retracção para betões de alta resistência (HRC) > C50/60 com ou sem sílica-fume(SFC) e em elementos de espessura significativa. Este aspecto está ligado a uma melhor caracterização da fluência básica e retracção autogénea e da fluência e retracção de secagem.
2.2 - O EC2 – Pontes de Betão, introduz em linhas gerais recomendações para a modelação da fluência e retracção com base em ensaios experimentais, pelo menos 6 meses.
Fluência básica e retracção autogénea dependem essencialmente de parâmetros de composição do betão, resistência mecânica, dimensão das peças, estado de tensão, idade do betão no 1º carregamento e duração do carregamento.
Fluência e retracção de secagem dependem das trocas de humidade com o exterior da peça, temperatura ambiental e das condições do betão em carga.
Considera-se a presença de silica-fume se esta for maior ou igual a 5% do peso de cimento.
8Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
2.3 - O EC2 – Pontes de Betão, introduz indicações para análise de efeitos diferidos em betões carregados muito cedo.
As secção B1 do EC2 – Regras Gerais e B103 do EC2 – Pontes de Betão podem ser utilizadas se a tensão resistente do betão, à data do carregamento, for maior que 0.6fcm. Se o betão for carregado muito cedo deverá ser elaborado um programa experimental para determinar as expressões de fluência e retracção de acordo com B104 do EC2 – Pontes de Betão.
2.4 - O EC2 – Pontes de Betão introduz o conceito de factor de majoração das deformações de fluência e retracção caso estas tenham sido reproduzidas através de análise experimental e se as deformações forem condicionantes das verificações de segurança.
9Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Comparação das expressões da retracção autogénea
EC2 – Regras Gerais (3.1.4 (6))
EC2 – Pontes de Betão (B103.1 e B103.2)
10Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Comparação das expressões da retracção de secagem
EC2 – Regras Gerais (3.1.4 (6))
11Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
EC2 – Pontes de Betão (B103.1 e B103.2)
12Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Comparação das expressões da fluência
EC2 – Regras Gerais (B1)
Este coef. de fluência está assocido ao Ec tangente (Ec=1.05Ecm)
Nesta formulação o coef. de flu. não está claramente a separar a fluência básica da de secagem
13Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
EC2 – Pontes de Betão (B103.3 B103.4 e B103.5)
Nesta formulação o coef. de flu. está claramente a separar a fluência básica da de secagem
14Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
EC2 – Pontes de Betão - Identificação Experimental da Retracção (B104)
Os parãmetros βcd1, βcd2, βca1, βca2, βca3 e βca4 devem ser calculados de forma a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os resultados experimentais e o modelo proposto desde o início até 28 dias.
Retracção Autogénea
Retracção de Secagem
15Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
EC2 – Pontes de Betão - Identificação Experimental da Fluência (B104)
Fluência básica
Fluência de Secagem
Os parãmetros βcd1, βcd2, φd0 devem ser calculados de forma a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os resultados experimentais e o modelo proposto.
16Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
EC2 – ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO - RELAXAÇÃO
0p
1000pr
1000σσσσ
σσσσ∆∆∆∆ρρρρ ====
0p
pr
σσσσ
σσσσ∆∆∆∆ρρρρ ∞∞∞∞
∞∞∞∞ ====
Classe 1 – Relax. Normal em fios e cordões
Classe 2 – Relax. melhorada em fios e cordões
Classe 3 – Relax. Normal em barras
(((( )))) (((( ))))T
tlogKTlogtlog ++++==== ρρρρρρρρ
(((( ))))(((( ))))
0p
pr tt
σσσσ
σσσσ∆∆∆∆ρρρρ ====
T é um tempo de ref. 1000 horas
(((( )))) (((( ))))0p
pr
1000 tftσσσσ
σσσσ∆∆∆∆ρρρρρρρρ ========
(((( ))))(((( ))))
≤≤≤≤≤≤≤≤
≤≤≤≤≤≤≤≤++++
====
horas 500000t1000 1000
t
horas 1000t0 1t64.8ln06.9
1
tf K
Considerar a relax. para tensão sup. A 50% da tensão e rotura do aço
17Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
18Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
19Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
S0 e Sc representam os esforços no fim do processo construtivo e na estrutura fechada para a carga p. As idades t0 ed tc correspondem à data do carregamento e à data da modificação final do sistema estrutural.
EC2 – Pontes de Betão – Formulação dos efeitos da fluência com o método algébrico simplificado baseado no coef. de envelhecimento
a)
b)
c)
d)
20Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Ponte Infante D. Henrrique – Análise passo a passo
COORDENADAS Z DOS PONTOS DE REFERÊNCIA DO TABULEIRO(Antes e depois da retirada dos pilares provisórios)
73.00
73.50
74.00
74.50
75.00
75.50
76.00
76.50
70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310 330 350
Fase 1482 - Antes da retirada dos pilares provisórios Fase 1486 - Após a retirada dos pilares provisórios 20000 dias
21Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
TENSÕES NA FIBRA SUPERIOR E NA FIBRA INFERIOR(Após a introdução das Restantes Cargas Permanentes e a 20000 dias)
-30000.00
-25000.00
-20000.00
-15000.00
-10000.00
-5000.00
0.00
5000.00
10000.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
20000 dias - F. Sup. 20000 dias - F. Inf. RCP - F. Sup. RCP - F. Inf.
COORDENADAS Z DOS PONTOS DE REFERÊNCIA DO TABULEIRO(Após a introdução das Restantes Cargas Permanentes e a 20000 dias)
73.00
73.50
74.00
74.50
75.00
75.50
76.00
76.50
70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310 330 350
Fase 1515 - Após a introdução das Restantes Cargas Permanentes 20000 dias
Ponte Infante D. Henrrique – Análise passo a passo (cont.)
22Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151152 153 154 155 156 157 158
159
160
161
162163
164 165
166
167
168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192193 194 195
196
197
198199
200
201
202
203 204 205 206
207
208210 211
212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232
233
234 235 236 237
238
239
240
241
242 243
244 246 247 248 249250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262
263
264 265 266 267 268
269
270 271
272 273
274
275
276 277 278 279
280
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293
294
295296 297 298 299
300
301 302
303 304
305
306
307 308 309 310
311
312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322323
324
325
326
327 328 329 330
331
332 333 334
335
336
337
338 339 340 341
342
343 344 345 346 347 348 349 350 351 352353 354
355
356 357358 359 360
361
362 363 364 365
366
367 369 370 371 372
373
374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385
386
387 388
389
390
391
392 393
394
395
396
395
397396
398
399
397
398
400
401
402
403
404
405
406
407
399
400
401
402
403
404
405
406
408
409
407
408
410
411
412
414
409
410
411
412
413
414
416
417
415
416
418
419
420
421
422
423
424
425
426
417
418
419
420
421
422
423
424
425
427
428
426
427
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
439
440
438
439
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
451
452
450
451
452
453
454
455
456
457
461
462
453
454
455
456
457
458
461
462
463
464
465
463
464
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
476
477
475
476
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
488
489
487
488
490
491
492
493
494
495
496
497
489
490
491
492
493
494
495
496
498
499
497
498
500
501
502
503
504
505
499
500
501
502
503
504
506507
505
506
460
460
459459
458
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32 33 34
35
36
37
38
39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6263 64 65
66
67
68
69 70
71
72
73
74 75 76
77
78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
109
110 111
112
113
114
115 116 117
118
119
120
121122
123124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148
149 150 151152
153
154
155
156 157
158
159
160
161 162 163 164 165
166
167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196
197
198
199
200
201
202 203
204
205 206
207
208 209 210211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232
233
234
235
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237
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1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
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36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6263 64 65 67 68 69 70 71 7273
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78
79 80 8182 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
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PILAR P1
EN CON TRO E1
PI LAR P2
PILAR P3
PI LA R P4PILAR P5
PI LAR P6
PILAR P7
PILAR P8
PILAR P9
PILAR P10
ENC ON TRO E2
368
Viaducto Padre Cruz – Análise passo a passo
COTAS Z DO TABULEIRO (Após a introdução das Restantes Cargas Permanentes e a 20000 dias)
93
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100
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0 100 200 300 400 500 600 700
RCP 20000 dias Pilares
DIFERENÇAS DE COTA EM Z (Cotas após a introduação das Restantes Cargas Permanentes - Cotas a 20000 dias)
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 100 200 300 400 500 600 700
Diferenças de cotas Pilares
23Dimensionamento de Estruturas de Betão de Acordo com os Eurocódigos
Momento Flector
-600000
-400000
-200000
0
200000
400000
600000
0 100 200 300 400 500 600 700
20000 dias - Momento Flector Pilares RCP - Momento Flector
P1E1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 E2
TENSÕES (Após a introdução das Restantes Cargas Permanentes e a 20000 dias)
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
0 100 200 300 400 500 600 700
20000 dias - Tensão Superior 20000 dias - Tensão Inferior Pilares RCP - Tensão Superior RCP - Tensão Inferior
P1E1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 E2
134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151152 153 154 155 156 157 158
159
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164 165
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168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192193 194 195
196
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198199
200
201
202
203 204 205 206
207
208210 211
212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232
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234 235 236 237
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242 243
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335
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343 344 345 346 347 348 349 350 351 352353 354
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356 357358 359 360
361
362 363 364 365
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445
446
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448
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452
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467
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488
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500
501
502
503
504
506507
505
506
460
460
459459
458
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2
3
4
5
6
7
8
9
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40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6263 64 65
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69 70
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72
73
74 75 76
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78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
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Viaducto Padre Cruz – Análise passo a passo (cont.)
