O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+

1

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA

HILZA KARLA OCANHA

TANGRAM, SUDOKU, KENKEN E A TORRE DE HANÓI

NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

PONTA GROSSA

2010

2

HILZA KARLA OCANHA

TANGRAM, SUDOKU, KENKEN E A TORRE DE HANÓI

NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

PONTA GROSSA

2010

Material Didático apresentado como

requisito de avaliação parcial referente

ao Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE.

Universidade Estadual de Ponta Grossa

Orientador: Prof. Dr. Abdala Mohamed

Saleh

3

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 4

TANGRAM ............................................................................................................................... 5

Vamos jogar um pouco............................................................................................................................7 Vale lembrar que.....................................................................................................................................8 Atividades on-line..................................................................................................................................13 Dicas......................................................................................................................................................13

SUDOKU ................................................................................................................................. 14

Vamos jogar um pouco..........................................................................................................................18 Atividades on-line..................................................................................................................................20 Dicas......................................................................................................................................................20

KENKEN ................................................................................................................................. 21

Vamos jogar um pouco..........................................................................................................................23 Atividades on-line..................................................................................................................................25 Dicas......................................................................................................................................................25

TORRE DE HANÓI ............................................................................................................... 26

Vamos jogar um pouco..........................................................................................................................28 Atividades on-line..................................................................................................................................28 Vale lembrar que...................................................................................................................................29 Dicas......................................................................................................................................................30

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 31

APÊNDICE A - Gabarito.......................................................................................................33

APÊNDICE B – Folhas para construção dos jogos.............................................................39

4

INTRODUÇÃO

O objetivo desta produção é apresentar atividades com os jogos Tangram, Sudoku,

KenKen e a Torre de Hanói, utilizando-os, também, em ambientes virtuais, com o intuito de

motivar os alunos à aprendizagem da Matemática de maneira lúdica.

Este material didático será aplicado junto aos alunos da Sala de Apoio à

Aprendizagem, pois, comumente, estes sentem dificuldades de aprendizagem, concentração e

falta de interesse pela Matemática. Simultaneamente, esta é uma produção que também

poderá ser utilizada com turmas de 5ª série do Ensino Fundamental de 8 anos ou do 6º ano do

Ensino Fundamental de 9 anos.

O mais fascinante do jogo é

aquilo que podemos descobrir

nos bastidores.

Adriana Friedmann

5

TANGRAM

Tangram é um jogo chinês que foi trazido da China para o Ocidente na metade do

século XIX, sendo que em 1818 já era conhecido na América, Alemanha, França e Áustria.

Muito pouco se sabe de sua verdadeira origem, pois alguns acreditam que se trata de um jogo

milenar e outros acham que possui um pouco mais de 200 anos.

O Tangram é um quebra-cabeça com sete peças, cuja origem e significado possui

várias versões. Sendo também conhecido como “Tangran” e “Tanguan”, cujo significado são

variados, como: “Tábua das 7 sabedorias” ou “7 tábuas da sabedoria” ou “Sete peças

inteligentes” ou “Sete peças da sabedoria”, etc.

Dize-me como brincas e te

direi... como tu és.

Adriana Friedmann

Existem várias lendas sobre o surgimento do Tangram.

Diz algumas escrituras que: uma pedra preciosa se

desfez em sete pedaços e com eles era possível formar

várias formas (animais, plantas, pessoas) outra diz que

um imperador deixou o seu espelho cair, e esse se desfez

em 7 pedaços que poderiam ser usados para formar

várias figuras, e outra que diz que no desenho yu gi oh gx

na 3ª temporada tem um jogador que tem sete feras de

cristais e cada uma é uma parte do Tangram. A verdade é

que não se sabe ao certo como surgiu o Tangram.

Fonte: WIKIPEDIA

6

As sete peças abaixo formam o Tangram, essas peças também são conhecidas por

“tans”.

Fonte: A autora

O jogo consiste em formar diferentes figuras com as seguintes regras:

utilizar todas as peças;

não sobrepor as peças;

a peça precisa estar unida à peça, pelo menos, por um vértice.

Veja alguns exemplos1:

Bule Barco

Letra E Homem correndo

1 NUNES, V. Escolavar. Disponível em: <http://www.escolovar.org/mat_tangram_silhuetas.e.solucoes.pdf>.

Acesso em: 25 abr. 2010

7

1. Com as peças do Tangram forme as seguintes figuras2:

a) vela b) cisne

c) coelho d) número quatro

2. Usando o Tangram e um pouco de arte crie duas figuras quaisquer com o Tangram.

Registre as suas criações.

2 NUNES, V. Escolavar. Disponível em: <http://www.escolovar.org/mat_tangram_silhuetas.e.solucoes.pdf>.

Acesso em: 24 mar. 2010.

Vamos jogar um pouco...

PROFESSOR

Importante: Para as atividades seguintes distribua as peças do Tangram para duplas ou

trios de alunos.

Sugestão: O Tangram deve ser feito em um quadrado de no máximo 6 cm de lado, pois

os alunos irão fazer registro das atividades.

Observação: no “Apêndice A” tem o molde.

8

Se desenharmos as peças do Tangram temos 7 polígonos3, sendo 5 triângulos e 2

quadriláteros.

TRIÂNGULOS

São polígonos com três lados, três ângulos internos e três vértices.

Os triângulos são classificados de acordo com as medidas dos lados em:

De acordo com seus ângulos os triângulos são classificados em:

3 Polígonos são figuras planas fechadas e contornos retos.

Ângulo agudo: ângulo menor do que 90

Ângulo obtuso: ângulo maior do que 90

Ângulo reto: ângulo de 90

Vale lembrar que:

Triângulo

Acutângulo

3 ângulos agudos

Triângulo

Obtusângulo

1 ângulo obtuso

Triângulo

Retângulo

1 ângulo reto

.

Triângulo

Eqüilátero

3 lados com medidas iguais

Triângulo

Isósceles

2 lados com medidas iguais

Triângulo

Escaleno

3 lados com medidas diferentes

Equi: igual

Iso: igualdade

Escaleno: diferente

9

QUADRILÁTEROS

São polígonos com quatro lados, quatro ângulos internos e quatro vértices.

De acordo com características especiais alguns quadriláteros recebem nomes

especiais.

Trapézios: são quadriláteros que possuem 1 par de lados paralelos. E possuem outras

denominações, ou seja:

Paralelogramos: são quadriláteros que possuem 2 pares de lados paralelos. E alguns possuem

outras denominações, por causa das suas propriedades, ou seja:

Os quadriláteros que possuem os lados opostos paralelos, mas não apresentam as

condições acima (retângulo, losango e quadrado) são denominados simplesmente de

paralelogramos.

Trapézio

Isósceles

Os lados não paralelos são de medidas

iguais

Trapézio

Escaleno

Os lados não paralelos são de medidas

diferentes

Trapézio

Retângulo

Dois ângulos internos são retos .

.

Retângulo Os quatro ângulos são retos . .

. .

Losango

Os quatro lados possuem a mesma

medida

Quadrado

Os quatro ângulos são retos e os quatro

lados possuem a mesma medida

. .

. .

10

1. Agrupe as peças do Tangram de acordo com o número de lados e responda:

a) quantos triângulos de tamanhos diferentes você tem?____________

b) quantos quadriláteros você tem?____________

ATENÇÃO: Ao realizar as atividades seguintes registre suas soluções no caderno4.

2. Desenhe as peças do Tangram que possuem tamanhos diferentes e classifique-as.

3. Construir um triângulo usando:

a) duas peças;

b) três peças;

c) quatro peças;

d) cinco peças;

e) sete peças.

4. Construir um quadrado usando:

a) duas peças;

b) três peças;

c) quatro peças;

d) cinco peças;

e) sete peças.

4 Atividades 3 a 5 adaptada de PRADO, C. R. P. do.

Atividades

Vamos construir um Tangram!!!

Material: uma folha de papel quadriculado, régua,

lápis e tesoura

11

Siga o passo a passo (traços em vermelho) a seguir e construa o seu Tangram:

1º PASSO: Desenhe em uma folha quadriculada um quadrado de 8x8 e recorte-o.

2º PASSO: Trace a diagonal do quadrado. 3º PASSO: Trace a metade da outra

diagonal.

Peça 1 e 2.

4º PASSO: Na a outra metade do quadrado, 5º PASSO: Prolongue a diagonal do

marque o pontos médios de cada lado do quadrado até chegar à peça 3.

quadrado e junte estas marcas. Peça 3.

2

1

2

1

3

2

1

3

PROFESSOR

Para o desenvolvimento do passo a passo existe uma malha no “Apêndice A”.

12

6º PASSO: Trace uma paralela ao 7º PASSO: Trace uma vertical: parta

prolongamento da diagonal (5º passo), da extremidade do prolongamento da

formando um quadrado e um triângulo. diagonal (5º passo) até a peça 2.

Peça 4 e 5. Peça 6 e 7.

Agora você já tem o seu Tangram, recorte as sete peças e divirta-se!

1. Considerando que cada da folha tem uma unidade de área, qual é a área do:

a) triângulo 1? ____________ b) triângulo 2? ____________

c) triângulo 3? ____________ d) triângulo 5? ____________

e) triângulo 6? ____________ f) quadrado? _____________

g) paralelogramo? _________ h) Tangram? _____________

2. Analisando as respostas do exercício anterior, o que você pode concluir em relação a área

do Tangram? ________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2

1

4 3

5

2

1 7

6

4 3

5

2

1 7

6

4 3

5

Atividades

13

1. Para jogar no computador acesse: http://rachacuca.com.br/jogos/tangram/

http://www.fwend.com/tangram.htm

2. Assistir o vídeo que se encontra em

http://www.youtube.com/watch?v=e2IrbxYGl6w&NR=1 (Duração: 03:36 minutos), que

mostra como construir um Tangram com dobraduras.

AONDE ENCONTRAR:

Imagens para TV multimídia de figuras formadas com o Tangram: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/mylinks/viewcat.php?cid=15&le

tter=T

Silhuetas de figuras do Tangram: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/Silhuetas_do_tangram.pdf

Molde do Tangram: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/molde_tangram.pdf

http://tangrams.ca/download/TangramPlanches.pdf

Molde de figuras para encaixar o Tangram: http://escolovar.org/tangram_mark_figuras.htm

Vídeo de apresentações com o Tangram: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9609

(Duração: 00:55 minutos)

Sugestão de aula – Séries Finais do Ensino Fundamental:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=15416

http://educacao.uol.com.br/planos-aula/tangram-area-porcentagem.jhtm

Mais jogos on-line:

http://www.aulavaga.com.br/jogos/puzzle/tangram-house/

http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=tex&cod=_tangran

http://www.jogajogos.com/content/view/101/50/

Várias sugestões sobre o Tangram:

http://www.escolovar.org/mat_tangram.htm

http://www.artefatospoeticos.hpg.ig.com.br/tangran.htm

14

SUDOKU

Os “quadrados latinos” foram criados pelo matemático suíço Leonhard Euler no

século 18. Uma terceira dimensão foi incluída no quadrado latino por Howard Garns e sua

criação apresentava grades parcialmente preenchidas, sendo que o jogador deveria preencher

as demais grades vazias. Desta forma, no final de 1970 ocorreram as primeiras publicações do

Sudoku na revista norte-americana Math Puzzles and Logic Problems, com o nome de

Number Place, nome este usado até hoje nos Estados Unidos.

Em 1984 o japonês Maki Kaji conheceu o jogo, levou-o para o Japão onde recebeu o

nome de “suuji wa dokushin ni kagiru”, que significa “o número que deve aparecer uma só

vez” ou “dígitos devem permanecer únicos”. Maki aprimorou o jogo, com diferentes graus de

dificuldades, tornando-se uma febre entre seus conterrâneos. O jogo sofreu algumas alterações

e foi renomeado para Sudoku, que em japonês “su” significa “número” e “doku” quer dizer

“único”.

Apesar de sua popularidade no Japão, o Sudoku até o fim de 2004 não chamava

atenção no Ocidente. No entanto, Wayne Gould, programador de computador e fã de quebra-

cabeças criou um programa que gerava novos jogos rapidamente com vários níveis de

dificuldades e convenceu os editores do jornal de Londres, The Times a publicar o Sudoku.

No Brasil, desde o início de 2005, as Revistas Coquetel tem publicado Sudoku.

O Sudoku é um dos mais populares quebra-cabeças do mundo, que contém algumas

pistas iniciais ou números dados. Sendo um jogo com regras simples, mas para concluir o

jogo as vezes a linha de raciocínio pode ser complexa. Sendo um excelente exercício para o

pensamento lógico, requerendo para sua resolução além do raciocínio lógico algum tempo e

disciplina.

É assim que o adulto diz que se

brinca... Cada um com o olhar

diferente. Mas o jogo é um só.

Adriana Friedmann

15

O jogo consiste mais frequentemente numa grade de 9x9, dividida em subgrades de

3x3, chamadas de “regiões” (caixas, blocos ou quadrante). Cada quadrado onde se coloca um

número é chamado de “célula”.

A regra do jogo é:

preencher as células vazias, com um número em cada célula, de maneira que

cada coluna, linha e região contenham os números 1 a 9 apenas uma vez.

Observe como é dividida uma grade 9x9 do Sudoku:

CÉLULA

LINHA

CO

LUN

A

GRADE

SUBGRADE

OU REGIÃO

16

Fonte: A autora

Fonte: A autora

Fonte: A autora

Na subgrade inferior à direita foi feita uma

varredura eliminando todas as linhas e

colunas que já possuíam o número 1,

sobrando apenas uma célula possível

(verde) para inserir o 1.

Estas varreduras são feitas com todos os

números em todas as regiões. Após as

varreduras, quando não é possível

acrescentar mais nenhum número

adicional, são realizadas as análises

lógicas dos possíveis números para cada

célula vazia sendo feita as marcações.

Geralmente, joga-se Sudoku utilizando-se

três estratégias:

1. varredura visual,

2. marcações,

3. e análise.

Geralmente, as marcações são feitas na

forma subscrita ou pontos. Na forma

subscrita escrevem-se os possíveis números,

em tamanho menor, na célula em branco. Na

forma de ponto, são marcados pontos na

localização (figura ao lado) dos possíveis

números da célula em branco.

1 2 3 5

4 6

7 8 9

17

A figura abaixo você pode observar o Sudoku após feitas as varreduras, análises e

marcações.

Fonte: A autora

O Sudoku é classificado em cinco níveis de dificuldade em: a) muito fácil; b) fácil; c)

médio; d) difícil; e) muito difícil. A classificação é baseada na relevância e no posicionamento

das pistas e não no número de pistas dadas.

PROFESSOR

Importante: As atividades seguintes devem ser realizadas em duplas.

Sugestão 1: antes dos alunos iniciarem as atividades você pode passar na TV multimídia

um tutorial sobre o Sudoku: http://www.youtube.com/watch?v=kaRRbQvsWro

(Duração: 09:34 minutos)

Sugestão 2: jogar em malhas maiores e recortar números para que os alunos possam

movimentá-los. Desta forma o jogo não fica rasurado levando-se a desmotivação.

Modelo desta sugestão no “Apêndice A”.

Observação: se não quiser trabalhar diretamente no Sudoku original (malha de 9x9),

você poderá levar os alunos ao laboratório de informática e jogar em malhas menores

com figuras: http://www.kidleitura.com/sudoku/index.htm

9

5

9 1

1

1

1 1

2

2

2

2

3

3

3

4

4

4 4

4

4

4

5

5

5

5

5

6 6

6 6

7

7

7

7

7

8

8

8 8

8

8

9

9

5

9

18

Pois a maneira mais fácil de aprender a jogar SUDOKU é jogando!

2 1 9 3

5 3 6 9

7 2 8

5 6 7 1 8 4

4 9

4 9 3 5 8 7

2 9 4

6 1 9 3

2 6 7 4

B Muito fácil

Vamos jogar um pouco...

7 9 8 6 4

6 1 8 9

8 5 2 3

2 8 3

3 8 4 9 5

4 5 1

2 7 3 4

6 3 1 5

5 8 9 2 7

A Muito fácil

9 3

8 1 6

1 2

6 7 1 4 3 8

5 9 4 6

4 3 6 8 7 9

8 7

4 8 1

2 5

C Fácil

8 5 4 6

4 6 3 2

6 2 8 1

2 5 1 7 9 4

4 3 9 8

8 7 1 3

6 7 8 5

D Fácil

19

Crie um jogo de Sudoku e troque com seu colega, vamos ver quem ganha...

Instruções:

1. Confeccione duas malhas do Sudoku ou use o modelo;

2. Preencha completamente uma das malhas com números de 1 a 9 aleatoriamente: não

repita um mesmo número na horizontal, vertical e na região;

3. Na outra malha você irá copiar apenas 30 pistas, sendo que, no mínimo, deverão

aparecer 3 pistas por região e um mesmo número deverá aparecer 2 vezes no mínimo.

1 5 7 2

5

2 9

1 9 4 5

8 1 7 9

9 4 8 1

3 5

7

6 8 4 3

E Médio

3 6 9

1 2

8 3 1

4 7 8

2 6 5

5 6 1

5 8 9

8 3

9 5 4

F Difícil

PROFESSOR

No “Apêndice A” existem malhas para a realização do desafio.

20

Para jogar acesse:

http://www.aulavaga.com.br/jogos/raciocinio/3d-sudoku/

http://www.ojogos.com.br/jogo/sudoku-original.html

http://www.a77.com.br/sudoku/sudoku_jogar_on_line.php

AONDE ENCONTRAR:

Imagens para TV multimídia de como jogar Sudoku: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9608

Sudoku para imprimir: http://www.a77.com.br/sudoku/sudoku_para_imprimir.php

Outro vídeo ensinando como se joga: http://www.youtube.com/watch?v=VC9qGbmzXJ0 (Duração: 07:19 minutos)

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9608

(Duração: 1:38 minutos)

Mania Sudoku: http://www.youtube.com/watch?v=ih9qRyb5vIk

Jogando Sudoku: http://www.youtube.com/watch?v=3EVyG3cURhA

Mais jogos on-line: http://www.sudoku-puzzles.net/logic-puzzles/sudoku/9x9.html

http://www.sudokudaily.net/puzzle/

http://www.mathplayground.com/sudoku_puzzle.html

http://www.sudokukingdom.com/

http://www.jogosz.com.br/jogos/raciocinio/sudoku/

http://sudoku.hex.com.br/jogar/

http://www2.uol.com.br/cruzadas/sudoku.htm

Variações on-line do Sudoku:

LETRAS: http://www.abril.com.br/pagina/sudoku_letras_online.shtml

Várias sugestões sobre o Sudoku: http://escolovar.org/mat_sudoku1.htm

21

KENKEN

O jogo KenKen ou KenDoku foi inventado pelo professor japonês Tetsuya

Miyamoto em 2004, que dizia praticar “a arte de ensinar sem ensino”. O puzzle5 tinha estilo

aritmético, permitindo melhorar as habilidades matemáticas.

O nome KenKen deriva do japonês significando inteligência. O seu inventor utilizou-

o em sala de aula e sua experiência foi bem sucedida, havendo assim a publicação de um livro

no Japão. A partir de 2008 o enigma obteve uma demanda mundial, sendo publicado em

jornais como The Times de Londres, New York Times e outros.

O formato do KenKen é muito parecido com o do Sudoku, mas além de desenvolver

o raciocínio lógico ao jogar aprende-se aritmética sem se perceber, pois em um mesmo jogo

pode envolver as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão).

O jogo consiste em grades de 3x3 a 9x9, onde o preenchimento é feito com números

de 1 a 3 para uma grade de 3x3, 1 a 4 para uma grade de 4x4, etc. A grade é dividida em

“gaiolas” que possui as bordas bem delineadas em negrito, e cada “gaiola” possui um número

com um sinal de operação (adição, subtração, multiplicação e divisão) expressos na parte

superior esquerda.

As regras do jogo são:

preencher as células vazias, com um número em cada célula, de maneira que

em cada coluna e linha não se repitam os números;

as células da gaiola devem ser preenchidas com números do resultado da

operação dada.

5 Qualquer jogo ou problema que ofereça sérias dificuldades. / Adivinhação, enigma, charada, quebra-cabeça.

(in Dicionário do Aurélio)

No jogo, podem se encontrar

respostas, ainda que

provisórias, para perguntas que

não se sabe responder.

Lino de Macedo

22

Observe as partes de um KenKen em uma grade 4x4:

Observe como resolver o quebra-cabeça:

4. na 2ª coluna, soma 3 é 2 e 1, como já possui 2 na 1ª linha então colocar 1: cor verde

5. na 2ª coluna preencher a célula com o único número que falta 4, para se chegar em 3

através de uma subtração a outra célula deverá ser 1: cor azul.

6. na 3ª linha preencher com o único número que falta 3, para chegar em 7 através de uma

adição a outra célula deverá ser 4: cor roxo

7. na 3ª coluna, adição 7 é 4 e 3, como já existe 4 na 2ª linha então preencher com 3: cor

laranja.

8. preencher os números que faltam na 1ª e 2ª linha: cor vermelha.

4+ 3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+ 3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+ 3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+ 3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+ 3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+

3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+

Resultado que deve chegar através da

operação dada

GAIOLA

LINHA

CO

LUN

A

GRADE

1. colocar os números nas “gaiolas” que possuem

apenas uma célula: números cor preta.

2. na última linha, soma 3 é 2 e 1, como já tem 2 na

última coluna, então fica 1 nesta coluna: cor rosa.

3. na última linha só falta uma célula para ser

preenchida e o número que esta faltando é 4; para

chegar em 6 através de uma adição a outra célula

deverá ser 2: cor amarela

3 1 4 2

1 2 3 4

2 4 1 3

4 3 2 1

3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+

3 1 4 2

1 2 3 4

2 4 1 3

4 3 2 1

3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+

3 1 4 2

1 2 3 4

2 4 1 3

4 3 2 1

3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+

2

3

3+ 7+ 2

7+

3+ 3

6+ 3-

4+

23

PROFESSOR

Importante: As atividades devem ser realizadas em duplas.

Vamos jogar um pouco...

5+

D

A

6x 3+

3x

1 1-

B

6+

2 5+ 6x

C

3+

3 4+

3+

C

3+

3 4+

3+

C

2- 4 6×

2÷

1- 3-

2÷

7+

D

2- 4 6×

2÷

1- 3-

2÷

7+

E

4+ 11+ 1-

6+

5

2- 12×

3

5÷ 8+

3×

1

3-

24

Crie um KenKen para seu colega resolver.

Instruções:

1. Confeccione duas malhas quadriculadas 5x5 ou use o modelo;

2. Preencha completamente uma das malhas com números de 1 a 5, não repetindo um

mesmo número na linha ou na coluna;

3. Faça os delineamentos das gaiolas aleatoriamente deixando 3 gaiolas com apenas uma

célula;

4. Na outra malha você irá copiar apenas as pistas, ou seja, os resultados que se deve

chegar e as operações.

F

PROFESSOR

Para a realização do desafio existem malhas no “Apêndice A”.

2× 9+ 15

×

6÷

1

3 3÷ 2 20×

2÷

1

12×

11+

3

10×

10+ 2

1-

9+ 5+

F

2× 9+ 15

×

6÷

1

3 3÷ 2 20×

2÷

1

12×

11+

3

10×

10+ 2

1-

9+ 5+

2× 9+ 15x 6÷

1

3 3÷ 2 20×

2÷

1

12×

11+

3

10×

10+ 2

1-

9+ 5+

25

Para jogar acesse:

http://www.nytimes.com/ref/crosswords/kenken.html

http://www.mathdoku.com/

AONDE ENCONTRAR:

Vídeos ensinando como se joga KenKen: http://www.youtube.com/watch?v=eik2syOmwSM (Duração: 02:53 minutos –

inglês)

http://www.youtube.com/watch?v=psknbgUTARw (Duração: 09:42 minutos –

inglês)

http://www.youtube.com/watch?v=sJTVsXe5NeQ&feature=related (Duração:

03:53 minutos - )

Inventor do KenKen: http://www.youtube.com/watch?v=sJTVsXe5NeQ&feature=related (Duração:

07:27 minutos – inglês)

Mais jogo on-line: http://www.kenken.com/playnow.html

26

TORRE DE HANÓI

A Torre de Hanói é um dos jogos matemáticos mais conhecidos. Foi inventado em

1883 pelo matemático francês Edouard Lucas.

O jogo é constituído por uma base onde são fixadas três hastes na posição vertical,

sendo que uma delas contém discos perfurados no centro de diferentes diâmetros dispostos

uns sobre os outros na ordem decrescente (sentido de baixo para cima) de diâmetro. O número

de discos na haste pode variar, sendo que quanto maior a quantidade de discos tanto maior a

O que é bom no jogo é que às

vezes somos vencedores e às

vezes perdedores. Então, na

verdade, todos acabamos

ganhando.

Adriana Friedmann

Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a

mais conhecida diz respeito a um templo Hindu, situado

no centro do universo. Diz-se que Brahma supostamente

havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais

duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma

ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma

estaca para outra segundo as suas instruções. As regras

eram simples: apenas um disco poderia ser movido por

vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um

disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos

fossem transferidos de uma estaca para a outra, o

templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria.

Fonte: WIKIPEDIA

27

dificuldade para resolver o jogo com o número mínimo de movimentos. Geralmente se

procura movimentar as peças da primeira haste para a última, sendo a do centro uma haste

intermediária para ajudar nos movimentos. Atualmente existem torres com um número maior

de hastes.

Fonte: A autora

O jogo deve respeitar as seguintes regras:

uma peça maior não pode ficar em cima de uma menor;

movimentar só uma peça de cada vez;

não é permitido movimentar uma peça que esteja em baixo da outra;

nunca colocar uma peça noutro lugar que não seja nas hastes.

A utilização de técnicas estratégicas para resolver o jogo contribui com o

desenvolvimento da memória, do planejamento e solução de problemas.

PROFESSOR

Importante: As atividades seguintes devem ser realizadas em duplas.

Sugestão 1: você poderá confeccionar as torres com os alunos utilizando-se: a) a

borracha E.V.A. para construir os discos; b) varetas de churrasco para as hastes; c) e uma

base de madeira para fixar as hastes, ou então, confeccionar de acordo com as

orientações que estão em:

http://www.cpcd.org.br/extras/Links/Projetos/Nova_Escola_On-line_Sucata.htm

Sugestão 2: antes dos alunos iniciarem as atividades, você poderá passar na TV

multimídia um vídeo que apresenta uma solução do problema com a Torre de Hanói,

com quatro discos. Ver em:

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9604

(Duração: 00:27 minutos)

28

Anote quantos movimentos você faz para jogar quando o número de discos da Torre de Hanói

é:

a) 1 __________ b) 2 __________ c) 3 __________ d) 4 __________

Para jogar acesse e termine de preencher a tabela6 conforme for jogando:

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/programas/hanoi/index.html

http://www.somatematica.com.br/jogos/hanoi/

Ao analisarmos o número mínimo de jogadas temos:

6 Tabela e análise adaptada de MANOEL, L. R. da S.

Nº de discos Nº de jogadas que

você fez

Nº mínimo de

jogadas

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31

6 63

7 127

PROFESSOR

No “Apêndice A”

encontra-se a

tabela para uso dos

alunos com a

terceira coluna em

branco. Após os

alunos terem

jogado e

preenchido a

tabela, fazer a

análise dos dados.

1 3 7 15 31 63 127, ...

+2 +4 +8 +16 +32 +64

Vamos jogar um pouco...

29

Se observarmos atentamente o número somado é sempre o dobro do que foi somado

anteriormente e o número mínimo de jogadas é um a menos do número somado.

Podemos concluir também que o número somado é uma sequencia numérica da

potencia de 2. Então teremos que 2n – 1, sendo n o número de discos, o número mínimo de

jogadas.

Sequencia numérica é todo conjunto de números no qual os seus elementos estão

dispostos em uma determinada ordem.

Exemplos:

a) (2, 3, 7, 11, 13, ..) sequencia dos números primos;

b) (1, 4, 9, 16, 25 ,..) sequencia dos números quadrados perfeitos.

As sequencias numéricas são separadas em dois tipos:

* Sequencia finita é uma sequencia numérica na qual os elementos têm fim, como por

exemplo, a sequencia dos números múltiplos de 4 maiores que 4 e menores que 32.

Exemplo: (8, 12, 16, 20, 24, 28)

* Sequencia infinita é uma sequencia que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao

infinito, por exemplo: a sequencia dos números naturais. Exemplo: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...)

1. Determine os dois próximos termos desconhecidos em cada uma das sequencias seguintes e

explique o seu funcionamento:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ?, ?, ...)

b) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ?, ?, ...)

c) (1, 3, 5, 7, 9, ?, ?, ...)

d) (4, 9, 14, 19, 24, 29, ?, ?, ...)

e) (1, 3, 9, 27, 81, ?, ?, ...)

f) (4, 10, 16, 22, 28, ?, ?, ...)

g) (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ?, ?, ...)

Vale lembrar que:

Atividades

30

h) (J, F, M, A, M, J, J, A, S, O, ?, ?)

i) (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ?, ?, ...)

2. Jogando-se a Torre de Hanói com 8 e 9 discos qual seria, respectivamente, o número

mínimo de jogadas? __________________________________________________________

AONDE ENCONTRAR:

Sugestão de aulas utilizando a Torre de Hanói para: Série Finais do Ensino Fundamental

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=131

Ensino Médio

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=256

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=5797

Mais jogos on-line: http://www.apm.pt/mt/jogos/hanoi/index.html

http://www6.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi/

http://www.atividadeseducativas.com.br/index.php?id=580

http://www.magiadamatematica.com/diversosplanilhas.html

http://pagesperso-orange.fr/jeux.lulu/html/hanoi/hanoi1.htm

http://www.jogosjogos.com/jogar-jogo/Tower-of-Hanoi.html

31

REFERÊNCIAS

ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Novo praticando matemática. 2. imp. São Paulo:

Ed. do Brasil, 2002.

BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.

DICIONÁRIO do Aurélio. Disponível em: < http://www.dicionariodoaurelio.com

/dicionario.php?P=Puzzle>. Acesso em: 12 jul. 2010.

MANOEL, L. R. da S. Torre de Hanói. Disponível em:

<http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages/artigos/Torre_de_Hanoi.pdf>. Acesso em:

17 abr. 2010.

PORTAL, C. da S. T. A magia do tangram. Disponível em:

<www.youtube.com/watch?v=uIWonsPaaWY >. Acesso em: 22 mar. 2010.

PRADO, C. R. P. do. Construindo triângulos e quadriláteros com o tangram. Disponível

em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=543>. Acesso em: 22

mar. 2010.

SILVA, A. S. T. da (Org.). Sudoku puzzles 100: 100 jogos de raciocínio lógica e

concentração!. São Paulo: Verus, 2005.

SOUZA, E. R. de. et al. A matemática das sete peças do tangram. 2. ed. São Paulo: IME-

USP, 1997. 113p.

WIKIPÉDIA. Kenken. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/wiki/KenKen>. Acesso em:

18 abr. 2010.

______. Sudoku. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Sudoku>. Acesso em: 29 mar.

2010.

______. Tangram. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tangram>. Acesso em: 12

mar. 2010.

______. Torre de Hanói. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Han%C

3%B3i>. Acesso em: 17 abr. 2010.

32

IMAGENS CENTRAIS DA CAPA

SILVA, J. J. V. da. Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br/multimeios/modules/

conteudo/conteudo.php?conteudo=144>. Acesso em: 08 abr. 2010.

33

APÊNDICE A – Folhas para construção dos jogos

34

Tangram para confeccionar para duplas ou trios de alunos para resolverem as

atividades da página 7 e 10.

Malha quadriculada para os alunos confeccionarem o Tangram de 8x8, passo a passo na

página 11 e atividades da página 12.

35

Números para recortar para jogar Sudoku – Sugestão 2 da página 17.

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 7 7 7

8 8 8 8 8 8 8 8 8

9 9 9 9 9 9 9 9 9

36

Malhas maiores para confeccionar o Sudoku – Sugestão 2 da página 17.

37

Malha para confeccionar Sudoku – Desafio da página 19

38

Malha para confeccionar o KenKen – Desafio da página 24.

Tabela para os alunos fazerem a atividade on-line da página 28.

Nº de discos Nº de jogadas que

você fez

Nº mínimo de

jogadas

1

2

3

4

5

6

7

39

APÊNDICE B – Gabarito

40

PÁGINA 7

1. a) b) c) d)

2. livre

PÁGINA 10

1. a) 3 b) 2

2.

Triângulos: Quadriláteros / Paralelogramos:

Retângulos – em relação aos ângulos. 1º) Paralelogramo.

Isósceles – quanto a medida dos lados. 2º) Quadrado.

3.

a) b) c) d) e)

4.

a) b) c) d) e)

PÁGINA 12

1.

a) 16 b) 16 c) 8 d) 4

e) 4 f) 8 g) 8 h) 64

2. livre

41

PÁGINA 18 e 19

Desafio – livre.

PÁGINA 23 e 24

8 2 1 9 6 3 4 7 5

7 5 3 8 4 2 1 6 9

9 4 6 7 1 5 3 2 8

5 3 2 6 7 1 8 9 4

1 7 8 4 2 9 6 5 3

4 6 9 3 5 8 2 1 7

2 9 7 1 3 4 5 8 6

6 1 4 5 8 7 9 3 2

3 8 5 2 9 6 7 4 1

B

4 1 3 2 7 6 8 9 5

9 7 5 8 1 4 2 6 3

8 2 6 3 9 5 7 1 4

1 3 9 4 5 2 6 7 8

7 8 2 9 6 3 5 4 1

5 6 4 7 8 1 9 3 2

6 5 7 1 4 8 3 2 9

2 4 8 6 3 9 1 5 7

3 9 1 5 2 7 4 8 6

F

7 9 5 8 6 3 2 1 4

2 3 6 1 7 4 8 5 9

1 8 4 9 5 2 7 3 6

9 6 2 5 1 7 4 8 3

3 1 8 2 4 6 9 7 5

4 5 7 3 9 8 1 6 2

8 2 9 7 3 5 6 4 1

6 7 3 4 2 1 5 9 8

5 4 1 6 8 9 3 2 7

A

7 2 6 9 4 3 8 5 1

3 8 9 5 1 2 7 6 4

1 5 4 8 7 6 3 9 2

6 7 2 1 9 4 5 3 8

5 9 8 3 2 7 1 4 6

4 3 1 6 5 8 2 7 9

8 6 5 4 3 1 9 2 7

2 4 3 7 8 9 6 1 5

9 1 7 2 6 5 4 8 3

C

8 5 3 7 9 1 4 6 2

4 9 6 5 3 2 8 7 1

1 7 2 6 8 4 3 5 9

6 3 9 2 4 8 5 1 7

2 8 5 1 6 7 9 3 4

7 4 1 3 5 9 6 2 8

3 1 8 9 2 5 7 4 6

5 2 4 8 7 6 1 9 3

9 6 7 4 1 3 2 8 5

D

1 5 7 4 3 9 6 8 2

9 2 8 7 5 6 3 1 4

4 3 6 8 1 2 5 7 9

7 6 1 2 9 3 4 5 8

5 8 3 1 4 7 2 9 6

2 9 4 6 8 5 1 3 7

3 4 9 5 6 8 7 2 1

8 1 2 3 7 4 9 6 5

6 7 5 9 2 1 8 4 3

E

3 1 2

2 3 1

1 2 3

C

3+

3 4+

3+

5+

3 2 1

2 1 3

1 3 2

A

6x 3+

3x

1 1-

1 3 2

3 2 1

2 1 3

B

6+

2 5+ 6x

42

Desafio - livre

PÁGINA 29 e 30

1.

a) 14, 16 – cada termo, a partir do segundo é o anterior adicionado 2 (números pares)

b) 64, 128 – cada termo, a partir do segundo é o dobro do anterior

c) 11, 13 – cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior adicionado 2 (números ímpares)

d) 34, 39 – números naturais em ordem crescente terminados em 4 e 9

3÷ 2 1 4 5 3 6

4 2 6 3 5 1

5 6 2 4 1 3

6 5 3 1 2 4

3 4 1 2 6 5

1 3 5 6 4 2

F

2× 9+ 15× 6÷

1

3 2 20×

2÷

1

12×

11+

3

10×

10+ 2

1-

9+ 5+

1 3 4 2

4 2 3 1

2 4 1 3

3 1 2 4

D

2- 4 6×

2÷

1- 3-

2÷

7+

1 5 2 4 3

3 1 5 2 4

4 3 1 5 2

2 4 3 1 5

5 2 4 3 1

E

4+ 11+ 1-

6+

5

2- 12×

3

5÷ 8+

3×

1

3-

43

e) 243, 729 – cada termo, a partir do segundo é o triplo do anterior

f) 34, 40 – cada termo a partir do segundo é igual ao anterior adicionado 6

g) 35, 40 – cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior adicionado 5 ou números

naturais em ordem crescente terminados em 0 e 5

h) N, D – iniciais dos meses do ano

i) 200, 201 – números que começam pela letra d

2. 255 e 511

44