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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONALUNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE
NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE GUARAPUAVA
UNIDADE DIDÁTICA
Guarapuava2010
LORENI MARIA MASCHIO
O USO DO GEOPLANO NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Material didático-pedagógico apresentado à Coordenação Estadual do Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná (PDE) como requisito parcial das atividades propostas pelo Programa. Orientador: Prof. Mestre José Roberto Costa – Unicentro – Gurapuava – PR.
Guarapuava2010
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O USO DO GEOPLANO NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Loreni Maria Maschio1
José Roberto Costa2
INTRODUÇÃO
Estamos vivendo um tempo em que cada vez mais a Educação
Matemática coloca-se como uma das áreas centrais do processo educacional. Há
necessidade de que um número mais expressivo de pessoas se eduquem
matematicamente e tenham motivação em lidar com a Matemática.
No texto a seguir destacamos uma abordagem acerca do uso de
materiais manipuláveis no ensino e aprendizagem da Matemática, além de
sugestões de atividades para serem trabalhadas com as 5ª séries (atual 6º ano)
do ensino fundamental e turmas de apoio a aprendizagem, especificamente no
campo da Geometria. Nossa intenção não é, de forma alguma, ensinar o
educador, mas apresentar alguns procedimentos que possam contribuir para que
o educando tenha um melhor aproveitamento nas aulas de Matemática.
O uso do Geoplano enquanto alternativa metodológica tem por objetivo
principal tornar o ensino da Geometria mais interessante e agradável, para que o
estudante possa desenvolver seu raciocínio lógico-matemático e elaborar
conceitos sem a utilização de mecanismos ou fórmulas.
APRENDIZAGEM MOTIVADORA
“O grande desafio que nós, educadores matemáticos encontramos, é
tornar a matemática interessante, isto é, atrativa; relevante, isto é útil, e atual, isto
é, integrada ao mundo de hoje”. (D'AMBRÓSIO, 2001, p.14-17).
Na prática docente, talvez a maior dificuldade para o professor seja
1 Professora PDE da rede pública do estado do Paraná. E-mail: [email protected] Professor Mestre em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática – UEM. IES: UNICENTROE-mail: [email protected].
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encontrar metodologias diferenciadas e inovadoras no processo ensino e
aprendizagem, com o intuito de tornar as aulas de Matemática mais agradáveis e
relevantes e, assim, garantir aos educandos a aquisição dos conhecimentos
necessários, ajudando-lhes na integração e participação crítica na comunidade
em que estão inseridos.
A preocupação da maioria dos professores é contextualizar os conteúdos
matemáticos, de forma que o aluno possa fazer correspondência com a realidade
que o cerca, usando os conhecimentos adquiridos em sala de aula nas diversas
situações do trabalho, lazer e do seu cotidiano.
Para que ocorra uma aprendizagem eficiente é necessário que o
estudante se sinta motivado a aprender e que isto seja significativo.
A construção do conhecimento é facilitada quando intervenções
metodológicas são bem aplicadas, principalmente com a utilização de recursos
didáticos, sejam eles materiais manipuláveis de uso individual ou coletivo, jogos
diferenciados ou mídias tecnológicas, todos favorecendo a aprendizagem da
Matemática.
MATERIAIS MANIPULÁVEIS NO ENSINO DA GEOMETRIA
As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem
tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos pelas
diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano (Paraná, 2008).
Daí ser a Geometria um conteúdo relevante da Matemática, haja visto que
podemos perceber sua manifestação em diferentes contextos. Entretanto com
tamanha importância e aplicação, muitos professores abordam a Geometria de
maneira superficial, acabando por deixar esse tópico muitas vezes em segundo
plano, priorizando outros conteúdos estruturantes, como os Números e Álgebra,
Grandezas e Medidas, Funções e Tratamento da Informação.
As Diretrizes Curriculares (2008) recomendam para o Conteúdo
Estruturante de Geometria no ensino fundamental, que o aluno deve compreender
os conceitos da geometria plana: ponto, reta e plano; paralelismo e
perpendicularismo; estrutura e dimensão das figuras geométricas planas; cálculos
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geométricos: perímetros e áreas; diferentes unidades de medidas e suas
conversões; representação cartesiana e confecção de gráficos.
Diante dessas inúmeras competências a serem adquiridas pelo aluno,
segundo as Diretrizes Curriculares (2006, p.31), “uma alternativa é usar materiais,
tais como: o geoplano, o tangram, a massa de modelar e argila.”
Conhecimentos básicos de Geometria são fundamentais para que os
educandos interajam com o seu meio, que compreendam conceitos,
propriedades, a partir de experimentações, trabalhando com a percepção
espacial, a descoberta e a visualização.
São muitos os educadores que defendem a utilização de materiais
manipuláveis para o ensino. Para Bezerra (1962), o uso desses recursos auxilia
alunos e professores a tornar as aulas de matemática menos “monótona”; elimina
o medo que alguns têm por esta disciplina; e pode motivar os alunos a
interessarem-se por seu estudo.
Segundo Costa (2003), “O uso de material concreto merece atenção
especial, pois possibilita a visualização de certas ideias, e sem ele teriam o pleno
entendimento dificultado.”
É importante que, antes de fazer uso de qualquer tipo de material
manipulável, o professor reflita sobre os conceitos e propriedades que pretende
explorar com seu educando e se aquele material utilizado propiciará a
compreensão do assunto, levando o aluno a refletir, discutir e concluir.
Reflexões são necessárias, pois nem sempre a utilização de certos
materiais vai garantir uma aprendizagem eficaz. O mau uso do recurso pode ser
contrário aos objetivos propostos e, muitas vezes, passa a ser somente um
brinquedo nas mãos dos alunos.
Para Bezerra (1962) e Lorenzato (2006) o uso dos materiais didáticos não
substitui o papel do professor. “[...] mesmo o material didático mais abundante,
aperfeiçoado e bom, jamais suprirá as qualidades inatas de um verdadeiro
educador” (BEZERRA, 1962, p. 9).
Assim, cabe aos educadores propiciar situações que potencializem o uso
desses instrumentos, a fim de permitir a aquisição do conhecimento que é
elaborado a partir das relações que o material didático ajuda a estabelecer. Essa
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ferramenta, que auxilia professor e aluno no processo de ensino e aprendizagem,
deve ser escolhida com cuidado lembrando que este recurso deverá estabelecer
a passagem das ações concretas para as representações abstratas. Compete ao
professor interferir e instigar nas relações e constatações do estudante, haja visto
que ele pode construir conceitos errôneos sobre o assunto em questão.
As Diretrizes Curriculares (2008) ressaltam que os recursos tecnológicos,
como softwares, televisão, calculadoras, aplicativos da Internet, entre outros, têm
favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de
resolução de problemas. Ao trabalhar com Geometria, consideram-se, também,
as possibilidades dos softwares educacionais para o trabalho pedagógico. Esses
recursos possibilitam ao educando explorar ideias e conceitos geométricos,
proporcionando-lhes condições para descobrir e estabelecer relações
geométricas.
SUGESTÕES DE ATIVIDADES COM O MATERIAL MANIPULÁVEL GEOPLANO PARA O ENSINO DE GEOMETRIA PLANA
Essa unidade didática objetiva apresentar algumas propostas de
atividades a serem trabalhadas no Geoplano de Madeira e no Geoplano Virtual.
O Geoplano consiste de uma placa de madeira, marcada com uma malha
quadriculada, formando quadrados. Podem ser confeccionadas com qualquer
tamanho. Nossa escolha foi por quadrados de 2cm x 2cm, ficando o nosso
Geoplano com 10 x 10 quadrados, ou seja, 20cm x 20cm = 400 cm². Nos vértices
de cada quadrado são fixados pregos, onde se prenderão os elásticos coloridos
(ou barbante), usados para representar figuras diferenciadas sobre o Geoplano.
Nossa intenção nesta unidade didática, é destacar com o Geoplano
alguns conteúdos da geometria euclidiana plana, da 5ª série (atual 6º ano) do
ensino fundamental, dando ênfase aos polígonos, características e propriedades
(vértices, lados, nomenclatura), ampliação e redução de figuras, simetria, áreas e
perímetros.
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O GEOPLANO
O Geoplano é um material manipulável constituído por uma placa de
madeira, tendo sido criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno em 1961. É
um recurso didático que pode auxiliar o professor e os alunos no trabalho com a
Geometria.
Com o Geoplano, o aluno tem a possibilidade de desenvolver habilidades
para apreender conceitos matemáticos, como cálculo de áreas e perímetros de
polígonos. Pretende-se dar significado a uma conceituação permanente, fugindo
da memorização de fórmulas, que são esquecidas facilmente.
As atividades podem ser trabalhadas em pequenos grupos ou
individualmente. As discussões sobre as produções dos grupos nas diferentes
abordagens dadas aos alunos sobre os problemas podem produzir reflexões e
resultados estimulantes.
O Geoplano é um material de baixo custo, podendo ser feito em casa ou
por marceneiros. Para a sua confecção é necessário uma placa de madeira de
base plana e lisa, pregos e elásticos de borracha de cores variadas. É preciso ter
cuidado com as marcações, para que fiquem todas com as mesmas medidas. A
distância de um prego a outro tem que ser a mesma, tanto na horizontal quanto
na vertical. A essa distância constante se atribui o valor de 1 (uma) unidade de
comprimento (1 u.c.). Ao quadrado de lado 1 u.c. atribui-se a área de 1 (uma)
unidade de área (1 u.a.).
Geoplanos com mais pregos aumentam as possibilidades de trabalho e
podem variar em relação ao tamanho e tipo de malhas:
Geoplano Quadrado: possui a malha quadriculada;
Geoplano Triangular: Os pregos são fixados na intersecção das linhas,
formando uma malha triangular;
Geoplano Circular: Os pregos são colocados de forma circular;
Geoplano Oval: Os pregos são dispostos de forma oval;
Geoplano Espacial: Confeccionado a partir de uma caixa vazada, com vários
ganchos, que dão a ideia de planos que contém as bases e vértices de um
polígono, fixos por quatro hastes paralelas.
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Nossa experimentação será feita com a utilização de Geoplanos
quadrados (10 x 10) e elásticos coloridos, um para cada aluno participante do
projeto.
Geoplano 10 x 10
Propostas de Atividades com o GeoplanoO trabalho com o Geoplano está organizado em três blocos de atividades:
Bloco A, Bloco B e Bloco C. Em cada bloco as atividades são apresentadas em
ordem gradual de dificuldade. O Bloco A traz uma série de atividades com o
Geoplano de madeira. O Bloco B apresenta sugestões de Jogos com o Geoplano
de madeira e, por fim, o Bloco C traz a aplicação do Jogo no Software Livre
Geoplano PEC, e links de acesso a geoplanos virtuais.
BLOCO A1) Conhecendo o Geoplano
A primeira atividade tem por objetivo conhecer o geoplano. Os alunos irão
manipular e construir figuras aleatórias. Exemplos: casinhas, animais, plantas,
barcos, entre outros.
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2) Papel PontilhadoO objetivo desta atividade é fazer com que o aluno transfira uma figura
feita na atividade 1 para o papel pontilhado, observando as unidades usadas, ou
seja, com a mesma proporção.
3) Ampliação e redução de polígonosObjetivo: Ampliar e reduzir uma mesma figura, respeitando a proporção dada.
Atividade: O professor mostra uma figura já conhecida (polígono qualquer), com
a figura montada; questiona o nome da mesma; quantos lados ela tem; quantos
pregos ela está tocando (possibilitando um primeiro contato com a noção de
perímetro).
Em seguida, pergunta o que é preciso fazer para que essa figura fique
maior. Deixando-os livres para explorar o geoplano, eles irão deslocar os elásticos
para ampliá-la. Depois, pode-se pedir para que a diminuam. Todas estas etapas
devem ser reproduzidas no papel pontilhado, devendo manter a forma inicial da
figura.
Essas atividades permitem também a utilização da régua por parte dos
alunos, para que percebam que as linhas traçadas por eles representam os
elásticos, ou seja, os segmentos de reta.
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4) Comparação de figurasObjetivo: Analisar se as figuras dadas são semelhantes (mesmo formato e com
tamanhos diferentes).
Atividade: O professor entregará uma folha com várias figuras e os alunos serão
motivados a observar e passar para o geoplano aquelas que supõem ser
semelhantes.
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5) Comprimentos de Linhas Objetivo: Discutir com os alunos sobre as linhas poligonais e não poligonais,
poligonais abertas e fechadas, regiões externas e internas.
Atividade: Construir no Geoplano as representações dadas e calcular seus
comprimentos.
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6) PolígonosObjetivo: Definir os polígonos com o uso do geoplano, classificar e construir
polígonos de acordo com o número de lados.
Atividade: Após os alunos entenderem o que são linhas poligonais, peça para
que construam no geoplano diferentes polígonos e questione se sabem seus
nomes. Os polígonos não conhecidos podem ser pesquisados em livros ou na
internet. Pode ser feito um cartaz pelos alunos contendo o número de lados e seu
respectivo nome.
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7) Polígonos regulares e irregularesObjetivo: Entender as diferenças entre polígono regular e irregular.
Atividade: Mostre aos alunos um polígono regular e outro irregular e questione-
os em relação às diferenças e semelhanças existentes entre eles.
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Ainda nesta atividade pode-se explorar noções de vértices, lados
(segmentos de reta) e diagonais dos polígonos.
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8) SimetriaObjetivos: Observar se existe ou não eixo de simetria nas formas geométricas;
1. Traçar um ou mais eixos de simetria existentes em figuras;
2. Perceber que o eixo de simetria divide a figura em partes iguais.
Atividade: Se os alunos não souberem o que é eixo de simetria, pode-se propor
atividades com dobraduras em papel ou trazer figuras desenhadas pela metade
na malha pontilhada ou quadriculada. O professor pode utilizar um espelho e
colocar em cima da linha em que a figura termina, para que eles visualizem a
outra metade. O professor indicará que essa linha que separa a figura em partes
exatamente iguais denomina-se eixo de simetria. Em seguida eles desenham a
parte da figura que está faltando.
Pode-se ainda sugerir que cada aluno faça uma outra figura pela metade
no geoplano. Na sequência, os alunos trocam os geoplanos e continuam a
atividade do colega, usando o espelho e um elástico de cor diferente, até que
percebam que a figura começa exatamente onde a parte desenhada termina, ou
seja, no eixo de simetria.
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É interessante que o professor sugira que os alunos façam uma outra
figura com dois eixos de simetria, como exemplo: o quadrado.
9) PerímetrosObjetivo: Discutir a noção de perímetro.
Atividades: 9.1) Dadas algumas figuras, os alunos deverão construí-las no geoplano e
calcular seus perímetros.
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9.2) Construir no geoplano figuras com o mesmo perímetro que as anteriores,
porém, com formatos diferentes. Representar cada construção no Geoplano,
utilizando os elásticos coloridos.
Obs.: Nestas atividades deve-se ter cuidado para que o aluno não pense
que tanto a medida do lado como da diagonal são iguais.
9.3) Fazer duas figuras diferentes com perímetros iguais a 16 u.c..
Essa atividade mostra que figuras podem ter perímetros iguais, porém,
com formatos diferentes.
10) ÁreasObjetivo: Entender o conceito de área sem a utilização de fórmulas.
Atividade: Primeiramente o professor pedirá para que os alunos construam o
menor quadrado no geoplano. Feito o quadrado, o professor explicará que fazer
medidas é comparar grandezas e que esse quadradinho será nossa unidade
padrão.
Daí, utilizar a contagem de quadradinhos para completar as figuras e
calcular suas áreas.
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10.1) Para cada um dos polígonos abaixo, construir no geoplano um outro que
tenha mesma área, porém, com formato diferente.
Essa atividade explora a ideia de que figuras com formatos diferentes
podem ter a mesma área.
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10.2) Calcular a área dos quadriláteros e completar a tabela.
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Figura A B C D E F G H I J L M
Medida do lado horizontal
Medida do lado vertical
Área do quadrilátero
Essa tabela será proposta depois do aluno ter tido a experiência em
calcular áreas de polígonos sem a utilização de fórmulas. Pode ser questionado:
qual é a relação existente entre os lados dos retângulos e a área encontrada?
A tabela ajudará o estudante a perceber a relação de multiplicação entre
os lados, e com isso eles podem chegar à generalização das fórmulas de áreas
do quadrado e retângulo.
10.3) Na atividade a seguir, destacam-se as noções de perímetro e área
simultaneamente.
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Objetivo: Enfatizar as diferenças entre os conceitos de área e perímetro.
Atividade: Para cada um dos polígonos abaixo construir no geoplano um outro
que tenha mesma área, porém, com formato diferente. Calcular os perímetros de
todas as figuras.
Essa atividade permite observar que polígonos com mesma área podem
ter perímetros diferentes e que polígonos com mesmo perímetro podem ter áreas
diferentes.
10.4) Desenhe no geoplano duas figuras com área 6 u.a. e perímetros diferentes,
registrando no papel pontilhado.
10.5) Desenhe no geoplano duas figuras com perímetro 8 u.a. e áreas diferentes,
em seguida passando para o papel pontilhado.
10.6) Agora desenhe no geoplano e depois passe para o papel pontilhado as
figuras que tenham:
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Perímetro Área10 414 1012 5
BLOCO BNesse bloco apresentamos algumas sugestões de jogos que poderão ser
desenvolvidos no Geoplano de Madeira com o intuito de fixar as noções de área e
perímetro.
Jogo 1: Retângulos no GeoplanoMaterial: Geoplano 10 x 10, elásticos coloridos e dois dados.
Participantes: Dois jogadores
Procedimentos: Em sua vez de jogar, cada participante lança os dados e, com o
elástico colorido, faz no geoplano um retângulo que tenha como lados os números
sorteados nos dados. Por exemplo, se os números sorteados forem 3 e 4, o
jogador, na sua vez, faz o retângulo 3 x 4 com o elástico (retângulo com área igual
a 12 unidades quadradas), em qualquer lugar do geoplano que satisfaça a
condição: dois retângulos podem se tocar pelos lados, mas não podem ter pontos
interiores em comum. Perde o jogo o primeiro a ficar impossibilitado de jogar.
Obs.: 1) Pode-se jogar fazendo retângulos que tenham como perímetro o produto
dos dois números sorteados nos dados, seguindo as mesmas regras;
2) Pode-se ainda trabalhar com outros polígonos que não sejam retângulos,
desde que as regras sejam estipuladas antes do jogo (por exemplo, formar
com o elástico colorido qualquer polígono convexo com a base igual a um
dos valores e altura igual ao segundo valor sorteado).
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Jogo 2: Descobrindo Perímetros Mínimos e MáximosMaterial: Geoplano 10 x 10, elásticos coloridos e fichas tipo cartõezinhos com os
números 4, 6, 8, 10,12, 16, 18, 20, 24, 28, 32, 36.
Participantes: Grupos de 2 ou 3 alunos.
Modo de jogar: O professor embaralha as fichas e retira uma, anunciando que o
número sorteado corresponderá à área do quadrado ou retângulo que será
construído no geoplano. Os grupos deverão encontrar a figura com a área
anunciada e o menor perímetro possível (ou maior, se o professor preferir). O
primeiro grupo a construir a figura com a área solicitada e o menor perímetro
marcará um ponto. Vence o jogo o grupo que fizer mais pontos.
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Jogo 3: Descobrindo Áreas Mínimas e MáximasMateriais: Geoplano 10 x 10, elásticos coloridos e fichas com os números 6,
8,10,12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,
Participantes: Grupos de 2 ou 3 alunos.
Modo de jogar: O professor embaralha as fichas e pede para um dos alunos de
qualquer grupo retirar uma ficha e, na sequência, anuncia o número sorteado.
Este número indicará o perímetro com que será feito um quadrado ou retângulo
no geoplano. Os alunos deverão encontrar o referido perímetro com a menor área
possível (ou a maior, se o professor preferir). O primeiro grupo a construir a figura
pedida marca um ponto. Vence o grupo que marcar mais pontos.
BLOCO CNesse último bloco apresentamos links de softwares livres que poderão ser
utilizados pelo professor como suportes no trabalho com o Geoplano.
Esse software Geoplano Virtual (usar a internet) permite ao aluno construir
figuras e depois calcular sua área e perímetro ou, dados área e perímetro,
construir a figura e depois conferir se acertou as medidas.
Site:http://www.eb1recovelas.rcts.pt/aplicacoes/geoplano/geoplano/geoplano.htm
Outra opção de Geoplano Virtual poderá ser encontrado acessando o site:
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http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software.htm
Software Geoplano PEC:
http://www.de.ufpb.br/~labteve/projetos/jogos.html
GeoplanoPEC - Jogo para computador (PC) e projeção Este jogo funciona em computadores com qualquer sistema operacional.
O jogo pode ser utilizado por um ou mais participantes, pois possui uma versão
em que se joga contra o computador e uma versão para dois jogadores. A versão
jogador versus computador pode ser utilizada em sala de aula com um projetor
para atividades em grupo, supervisionados pelo professor, ou individualmente.
Esse software necessita ser baixado em computadores que já tenham o
JAVA instalado.
Os alunos podem ser estimulados a jogar com um colega ou com o PC.
Neste jogo, as noções de perímetro serão fixadas, pois todos os níveis de jogo
trabalham com mais ênfase para este conteúdo.
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REFERÊNCIAS
BEZERRA, M. J. O material didático no ensino da matemática. Rio de Janeiro: MEC/CADES, 1962.
COSTA, J. R. Teorema de Pitágoras: histórico, demonstrações e particularidades. In: Universidade: Ação e Interação. XV Seminário de Pesquisa. Guarapuava: Ed. Unicentro, 2003.
D'AMBRÓSIO, U. Desafios da Educação Matemática no novo milênio. Educação Matemática em Revista, São Paulo, n.11, dez. 2001, p.14-17.
FIORENTINI, D. e LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.
KNIJNIK, G. et al. Aprendendo e ensinando Matemática com o Geoplano. 2 ed. Ijuí: Ed. Unijuí, 2004.
LARA, I.C.M. de. Jogando com a Matemática de 5ª a 8ª série. 1 ed. São Paulo: Ed. Rêspel, 2003.
LORENZATO, S. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas: Autores Associados, 2006.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.
RÊGO, R. G. do. e RÊGO, R. M. do. Matemática. 3 ed. João Pessoa: Ed. Universitária, UFPB, 2004.