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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
SALETE MARLI MARAN PERINS
BARRACÃO – PR
2010
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
SALETE MARLI MARAN PERINS
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU UTILIZANDO A
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO
Produção Didático-Pedagógica / Unidade Didática
apresentada ao Programa de Desenvolvimento
Educacional junto à Universidade Estadual do
Oeste do Paraná – Campus de Cascavel.
Orientador: Prof. Dr. Amarildo de Vicente.
BARRACÃO – PR
2010
2
SUMÁRIO
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ................................................................................................................. 3
TEMA DE ESTUDO ................................................................................................................................. 3
TÍTULO ...................................................................................................................................................... 3
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 3
OBJETIVO GERAL .................................................................................................................................. 5
PRIMEIRO MOMENTO: MATEMÁTICA DAS BALANÇAS ................................................................. 5
SEGUNDO MOMENTO: OS JOGOS DE ADIVINHA E AS EQUAÇÕES ......................................... 13
TERCEIRO MOMENTO: AS CHARADAS E AS EQUAÇÕES .......................................................... 17
QUARTO MOMENTO: SITUAÇÕES-PROBLEMA E AS EQUAÇÕES ............................................ 21
QUINTO MOMENTO: QUEBRA-CABEÇAS E EQUAÇÕES ............................................................. 25
SEXTO MOMENTO: PROBLEMAS HISTÓRICOS E AS EQUAÇÕES ............................................ 28
SÉTIMO MOMENTO: ATIVIDADES INTERATIVAS COM EQUAÇÕES - JOGOS E DESAFIOS . 32
AVALIAÇÃO ........................................................................................................................................... 37
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 38
3
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: Salete Marli Maran Perins
Área PDE: Matemática
NRE: Francisco Beltrão
Professor Orientador IES: Amarildo de Vicente
IES vinculada: UNIOESTE – Cascavel
Escola de Implementação: Escola Estadual São Roque - EF
Público objeto da intervenção: Alunos da 6ª série A, vespertina.
Período de implementação na Escola: 2º semestre de 2010.
Carga-horária: 28 horas/aula.
TEMA DE ESTUDO
Tendências em Educação Matemática.
TÍTULO
Introdução ao Estudo de Equações do 1º Grau Utilizando a Resolução de
Problemas como Metodologia de Ensino.
INTRODUÇÃO
As equações do primeiro grau são um marco no conteúdo da sexta série
por introduzirem os conceitos algébricos, até então praticamente desconhecidos
4
pelos alunos. Nem sempre os educandos compreendem a importância de utilizar
a linguagem algébrica, pois não sabem onde e porque utilizá-la.
Tendo em vista as dificuldades apresentadas pelos alunos no estudo da
Álgebra propõe-se nesta Unidade Didática utilizar a Resolução de Problemas
como metodologia de ensino para introduzir o tópico Equações do Primeiro Grau.
O ensino de Matemática através da Resolução de Problemas é uma ideia
que tem sido discutida a partir dos anos noventa e é fortemente defendida por
Onuchic (2008, p. 08) que afirma que “um problema é ponto de partida e
orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á
através de sua resolução”.
A Resolução de Problemas apresenta-se como uma alternativa
metodológica capaz de facilitar o processo de ensino-aprendizagem. Introduzir um
conteúdo matemático a partir de um problema é uma forma de tornar o conteúdo
mais significativo, permitindo aos educandos estabelecerem relações entre o
cálculo que está sendo estudado com sua aplicabilidade, e, consequentemente,
pode levá-los a uma melhor compreensão dos conceitos matemáticos.
Nesta perspectiva metodológica segue-se um roteiro proposto por
Onuchic (1999), citado por Corrêa (2009), para resolver problemas em sala de
aula:
I- Formação de grupos – o professor divide a turma em pequenos grupos e
entrega a atividade;
II- O papel do professor – o professor desempenhará o papel de observador,
organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador da
aprendizagem;
III- Resultados na lousa – o professor anota na lousa todos os resultados;
IV- Plenária – o professor chama os alunos de todos os grupos, para uma
assembleia plena, com o objetivo de discutir os resultados encontrados;
V- Análise dos resultados - nesta fase, os pontos de dificuldade encontrados
pelos alunos são novamente trabalhados;
VI- Consenso - a partir da análise feita, com a devida retirada das dúvidas,
busca-se um consenso sobre o resultado pretendido;
5
VII- Formalização - num trabalho conjunto de professor e alunos, com o
professor dirigindo o trabalho, é feita uma síntese do que se objetiva aprender a
partir do problema dado.
OBJETIVO GERAL
Considerando as dificuldades de aprendizagem que os alunos
apresentam na disciplina de Matemática, de maneira especial o ramo da Álgebra,
propõe-se nesta Unidade Didática empregar a Resolução de Problemas como
metodologia de ensino, para que a partir de problemas selecionados os conceitos
algébricos sejam construídos e ganhem significado, visando, dessa forma,
contribuir para diminuir as dificuldades de aprendizagem.
PRIMEIRO MOMENTO: MATEMÁTICA DAS BALANÇAS
Para o professor:
Depois de dividir a turma em pequenos grupos (03 alunos), dê o problema abaixo
para que resolvam. Enquanto os grupos procuram a solução, você deve observar
atentamente o trabalho de cada grupo, intervindo se julgar necessário, seja
incentivando, orientando ou controlando para que não dispersem da tarefa.
Quando os grupos tiverem terminado, anote todos os resultados na lousa. Peça
para um aluno de cada grupo explicar como fizeram para chegar ao resultado.
Discuta os resultados encontrados e as estratégias utilizadas com toda a turma
para que analisem qual a melhor estratégia. Após o consenso da turma, formalize
passo a passo a solução encontrada por eles. A seguir, apresente o uso de
incógnitas e traduza o problema para a linguagem algébrica, ou seja, equacione o
problema. Não se esqueça de fundamentar o método utilizado por você
apresentando o passo a passo das suas soluções e suas justificativas.
6
PROBLEMA 1
1- Seu “Zé da Venda” vende frutas e legumes. Seus clientes escolhem a
quantidade do produto que querem levar e pesam em uma balança eletrônica.
Porém, certo dia faltou energia e alguns clientes estavam na fila para pesar suas
compras. Sem energia a balança não funciona e seu Zé não queria deixar seus
clientes sem poderem levar seus mantimentos. Também não queria levar prejuízo
caso não cobrasse o preço de acordo com o peso do alimento. Foi aí que lembrou
que tinha no depósito uma antiga balança de dois pratos, onde, no passado era a
balança que ele utilizava para pesar.
Esta balança funciona assim: num dos pratos você coloca o objeto que vai ser
pesado e no outro prato vai colocando pesos, de forma que os dois pratos se
equilibrem. Atingido o equilíbrio dos dois pratos, basta verificar o(s) peso(s)
utilizado(s). No entanto, como a balança estava há muito tempo no depósito
alguns pesos foram extraviados e seu Zé teve um pouco de dificuldade para
acertar esse equilíbrio ao pesar as frutas de seus compradores.
Ajude seu Zé, nas seguintes situações:
a) O primeiro cliente da fila estava comprando uma melancia. Seu Zé
colocou num dos pratos a melancia e no outro prato um peso de 5 Kg.
Percebeu que o prato da melancia ficou abaixo do nível do outro prato. Concluiu
que a melancia era mais pesada. Colocou, então, no outro prato, mais um peso,
agora de 7 Kg.
7
O prato da melancia subiu muito. Como seu Zé não tinha muitas opções de
pesos, a saída foi colocar no prato da melancia um peso de 4 Kg.
Ufa! Os dois pratos da balança se equilibraram. Mas, afinal, qual é o peso da
melancia?
SOLUÇÃO:
Tirando os dados e hipóteses do problema e passando para a linguagem
matemática:
peso da melancia em Kg:
peso em um prato da balança:
peso no outro prato da balança:
há equilíbrio entre os pratos da balança: representamos o equilíbrio com o
símbolo = .
Para a balança
permanecer em
equilíbrio,
devemos retirar
a mesma
quantidade do
outro prato, por
isso efetuamos
12 – 4.
Para descobrir o
valor do x
devemos isolá-lo
em um dos lados
da balança. Por
isso devemos
tirar o 4 que está
a seu lado:
.
8
Portanto, se a letra correspondia ao peso desconhecido da melancia, e se
então o peso da melancia é 8 Kg.
Ao , ou qualquer outra letra utilizada para representar um número desconhecido,
chamamos de incógnita, que significa desconhecida.
Para demonstrar que os dois pratos da balança estão em equilíbrio, ou seja,
apresentam o mesmo peso, utilizamos o sinal de = (igual).
Para sentenças matemáticas expressas por uma igualdade onde utilizamos pelo
menos uma incógnita (letra), chamamos de equação.
Numa equação, a expressão que vem à esquerda do sinal = é chamada de 1º
membro; a da direita é o 2º membro.
Durante muito tempo, as situações-problema foram resolvidas com o uso de
palavras e desenhos. O uso de letras para representar números desconhecidos
trouxe enormes progressos para a Matemática, facilitando a resolução de
problemas. O uso das letras começou com os matemáticos árabes, há 1 000
anos. Um dos motivos é que eles tinham complicados problemas de herança para
resolver (veremos adiante).
Uma das formas de resolver uma equação é isolar a incógnita em um dos lados,
realizando as operações inversas, como fizemos na resolução anterior.
b) O segundo cliente de Seu “Zé da Venda” queria levar para casa duas
abóboras do mesmo tamanho. Após algumas manobras, seu Zé conseguiu o
equilíbrio dos dois pratos da balança da seguinte forma: num dos pratos ele
colocou as duas abóboras e um peso de 3 Kg, e no outro prato, um peso de 4 Kg
e mais outro de 5 Kg.
Ajude Seu Zé! Descubra o peso de cada uma das abóboras:
9
Para o professor:
Siga os 07 passos do roteiro proposto anteriormente, para somente depois
apresentar a solução.
SOLUÇÃO:
Traduzindo o problema para a linguagem matemática:
peso de uma abóbora em Kg:
peso de duas abóboras em Kg:
peso em um prato da balança:
peso no outro prato da balança:
há equilíbrio entre os pratos da balança: =
Portanto, se a abóbora foi representada pela incógnita , e se na solução da
equação encontrou-se , então cada abóbora pesa 3 Kg.
c) O terceiro cliente de Seu “Zé da Venda” queria levar cinco mangas do mesmo
tamanho. Como Seu Zé não tinha pesos pequenos usou duas latas de pêssego
Não podemos juntar
quantidades
desconhecidas com quantidades
conhecidas (3). Por
isso o 3 passa para o
outro lado da
equação para se
juntar ao 9 (valores
conhecidos se
juntam a valores
conhecidos).
Toda vez que um
valor troca de
membro da
equação deve
passar para o
outro lado com a
operação inversa
porque está
desfazendo a
operação que
estava realizando.
10
de 1 Kg e mais uma manga para fazer o equilíbrio dos pratos da balança. Veja
como ficou:
Porém, ficou complicado saber quanto pesa cada manga. Você consegue
descobrir isso? E quanto pesa as cinco mangas que o cliente quer levar?
Para o professor:
Antes de apresentar a solução do problema, siga os sete passos do roteiro
proposto por Onuchic apresentados na introdução desta Unidade Didática.
SOLUÇÃO:
O peso de cada manga pode ser representado por .
Como cada manga foi representada por , e o valor encontrado para
, isto
quer dizer que cada manga pesa meio quilo, ou seja, quinhentos gramas.
Para calcular quanto pesam as cinco mangas, efetuamos:
Kg.
Podemos juntar
incógnitas iguais,
pois representam
quantidades
iguais.
Esse x foi passado
para o outro lado da
equação para se juntar
às outras incógnitas.
Ficou negativo porque
toda vez que um valor
troca de lado da
equação, desfaz a
operação que tinha
com seu vizinho.
11
Se você prefere trabalhar com números decimais, efetue: 5 ∙ 0,5 = 2,5 Kg.
Portanto, as cinco mangas que o cliente quer levar pesam 2,5 Kg (dois quilos e
meio).
Uma forma mais fácil de resolver esta situação é tirar quantidades iguais dos dois
pratos da balança:
Inicialmente tínhamos a equação:
Ao retirarmos o mesmo peso de cada prato da balança, ou seja, uma manga de
cada lado da balança, a equação fica assim:
Isto nos faz deduzir que 4 mangas pesam 2 Kg. Portanto, cada manga pesa
Como cada quilo são 1000g, cada manga pesa 500 gramas.
Perceba que se você retirar a mesma quantidade de peso de cada prato da
balança, o equilíbrio permanece. Isto quer dizer que é possível tirar pesos da
balança sem desequilibrá-la, desde que você retire a mesma quantidade em cada
prato.
Nas equações é parecido: você pode subtrair ou somar um mesmo número aos
dois lados (membros), mantendo a igualdade. Esta é uma propriedade que toda
equação tem e que facilita os cálculos na hora de sua resolução.
Como a situação apresentada representa uma equação matemática, podemos
dizer que retirar pesos iguais nos dois pratos da balança, ou seja, retirar valores
iguais de cada membro (lado) da equação não altera o seu equilíbrio. Dizemos
que as duas equações, antes e depois da retirada dos pesos, são equivalentes,
pois continuam apresentando a mesma solução, ou seja, o mesmo valor para a
incógnita.
12
Para o professor:
É importante a resolução de atividades em grupo, mas é fundamental que haja
momentos em que os alunos resolvam atividades individualmente para
consolidarem a aprendizagem.
Proponha os problemas abaixo para os alunos resolvam individualmente. Ao final,
peça para alguns alunos corrigirem na lousa. Solicite a participação de todos na
formalização das respostas.
d) Zezinho, filho de Seu “Zé da Venda”, achou interessante a balança de dois
pratos e resolveu brincar com ela. Após algumas tentativas, Zezinho equilibrou os
dois pratos da balança da seguinte forma: num dos pratos colocou 6 abacates e
um peso de 3 Kg e no outro, um peso de 4 Kg e mais 4 abacates. Os abacates
tinham o mesmo peso e tamanho, mas mesmo assim Zezinho embatucou. Ficou
sem saber quanto pesava cada um dos abacates.
Desenhe a situação apresentada, represente com uma equação e descubra
quanto pesa um abacate.
1.2- Esta balança está em equilíbrio e os três caixotes representados por x têm o
mesmo peso. Descubra quantos quilogramas tem cada caixote?
1.3- Encontre a solução das seguintes equações:
a) c) e)
b) d) f)
Respostas:
1- d)
→ Cada abacate pesa meio quilo.
1.2- Cada caixote pesa 7 Kg.
1.3-
13
SEGUNDO MOMENTO: OS JOGOS DE ADIVINHA E AS EQUAÇÕES
Na Idade Média, na Europa e na Índia, a Matemática tinha um caráter recreativo,
com muitos jogos e desafios para “aguçar a inteligência dos jovens”.
Até hoje os problemas de “adivinha” ajudam a entender a Matemática de forma
recreativa e desafiadora.
Para o professor:
Divida a turma em pequenos grupos (03 alunos) e proponha estes problemas na
forma de jogos de adivinha. Lembre-se de seguir o roteiro proposto no início desta
Unidade Didática.
2- Resolva os jogos de adivinha:
2.1- Pensei em um número, multipliquei-o por 2. Somei 17. Deu 61. Adivinhe o
número.
SOLUÇÃO:
Pensei em um número
Multipliquei o número pensado por 2
Somei 17
Deu 61
Equação originada:
Resolvendo a equação:
Isolando a incógnita:
Tirando a prova: Para saber se o resultado encontrado é realmente a solução do
problema, pegue o valor encontrado para o , substitua na equação originada,
efetue os cálculos indicados e veja se a resposta satisfaz o problema.
Troque as palavras
do problema pelos
símbolos
correspondentes, ou
seja, utilize a
linguagem
matemática.
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Resposta: O número pensado é 22.
2.2- Pensei em um número, somei com seu triplo. Deu 140. Em que número
pensei?
SOLUÇÃO:
Resposta: O número pensado é 35.
2.3- Um certo número foi somado com 12 e o resultado foi multiplicado 5. No
final obteve-se 80. Qual é esse número?
SOLUÇÃO:
Certo número somado e o resultado (da soma), obteve-se 80. com 12... multiplicado por 5, ...
Para verificar se 4 é realmente a solução, na equação inicial substitua a incógnita
por 4 e resolva as operações indicadas. Se achar a igualdade entre os dois
Como não se sabe qual é o
número pensado, atribui-se
uma incógnita. No caso
utilizamos a letra n (poderia
ser a letra x, ou qualquer
outra).
Para achar o triplo de um
número, multiplicamos o
número por 3. Como não
sabemos qual o número
que queremos achar o
triplo, multiplicamos a
incógnita por 3. Neste caso
representamos por 3 ∙ n,
que é o mesmo que 3n.
Aqui há necessidade
de utilizar
parênteses. Sem eles,
o 5 multiplicaria
apenas por 12, e não
por (n + 12).
Outra maneira de
resolver:
15
membros da equação (neste caso, 80), o valor encontrado para a incógnita é a
solução da equação.
Tirando a prova:
Equação do problema
Resposta do problema: O número é 4.
2.4- Pensei em um número, multipliquei-o por 2, somei 18 e, depois, subtraí o
triplo do número pensado. Obtive 11. Em que número pensei?
SOLUÇÃO:
Pensei em um número
Multipliquei-o por 2
Somei 18
Subtraí o triplo do nº pensado
Obtive 11
Equação que traduz o problema:
Resposta: O número que pensei é 7.
1º membro 2º membro
80
Perceba a
importância dos
parênteses. Se
esquecesse deles,
conduziria a um
resultado falso.
Observe que temos o
valor de –x e não o de
x. Por isso,
multiplicamos os dois
membros da equação
por para deixar o
x positivo.
Lembre-se:
multiplicar os
dois membros
de uma equação
por um mesmo
número, não
altera o seu
valor.
16
O que você acabou de ver é mais uma propriedade das equações, chamada de
princípio multiplicativo: “Ao multiplicar os dois membros de uma equação por um
mesmo número, não-nulo, ela não se altera”.
No caso acima, multiplicamos os membros da equação por para deixar o
positivo.
Lembre-se que a equação é uma balança com os dois pratos em equilíbrio. Se
você acrescentar em cada prato o mesmo peso, o equilíbrio permanecerá. Por
isso, ao multiplicar o 1º membro da equação por um determinado número, para
não desequilibrá-la, deve-se multiplicar o 2º membro pelo mesmo valor.
2.5- A soma das idades de Jonas e Julia é 22 anos. Qual a idade de cada um
se Julia é 4 anos mais nova que Jonas?
SOLUÇÃO:
Idade de Jonas:
A idade de Julia corresponde à idade de Jonas menos 4 anos:
Soma entre as idades: idade de Jonas + idade de Julia = 22 anos
Idade de Jonas:
A idade de Julia corresponde à idade de Jonas menos 4 anos:
.
Nesta resolução, utilizamos uma propriedade das equações que chamamos de
princípio aditivo: “ao somarmos (ou diminuirmos) um mesmo valor aos dois
membros da equação, esta não se altera”.
Podemos somar um
valor aos dois
membros da
equação e
continuaremos
tendo uma equação
equivalente.
Para anular o ,
realizamos a
operação inversa
com o mesmo valor,
ou seja, somamos 4 .
17
Para o professor:
Proponha os problemas abaixo para os alunos resolverem individualmente. Ao
final, peça para alguns alunos corrigirem na lousa. Solicite a participação de todos
na formalização das respostas.
2.6- Qual o número que somado com 87 resulta em 108?
2.7- Pensei em um número, multipliquei-o por 3. Do resultado tirei 32. Deu 43. Em
que número pensei?
2.8- Adivinhe o número que quando somado com seu triplo dá 120:
2.9- Pensei em um certo número, multipliquei-o por 4, subtraí 5 e somei o número
que tinha pensado. Deu 55. Em que número pensei?
Respostas:
Atividades para casa:
2.10- Invente um problema de “adivinha” que possa ser resolvido com uma
equação. Depois, resolva-o.
2.11- Resolva as equações e encontre o valor da incógnita:
Respostas:
TERCEIRO MOMENTO: AS CHARADAS E AS EQUAÇÕES
Os antigos povos árabes cultivavam a Matemática e quem era capaz de resolver
os mistérios dessa magnífica ciência era engrandecido. Para os árabes, era
18
considerado inteligente quem tinha a capacidade de resolver problemas curiosos,
como alguns que hoje conhecemos como charadas.
Para o professor:
Siga o roteiro proposto por Onuchic, apresentado no problema 1, antes de
apresentar a solução para seus alunos.
3- Veja se você consegue resolver charadas:
3.1- (Dante, 2000) As pombas e o gavião
O gavião chega ao pombal e diz:
- Adeus, minhas cem pombas.
As pombas respondem, em coro:
- Cem pombas não somos nós; com mais dois tantos de nós e com você, meu
caro gavião, cem pássaros seremos nós.
Quantas pombas estavam no pombal?
SOLUÇÃO:
Número de pombas:
Dois tantos de pombas:
O gavião: pássaro
Todos os pássaros acima somados: 100
Equação:
Se , e o número de pombas corresponde a , então há 33 pombas no
pombal.
Pombas
2 tantos de pombas
o gavião Total de
pássaros
19
Verificando o resultado: Substitua o valor encontrado para em todas as
incógnitas da equação, resolva as operações indicadas e verifique se ocorre a
igualdade entre os dois membros da equação. Se você achar esse equilíbrio é
porque sua solução está correta.
Equação:
Perceba que ocorreu o mesmo equilíbrio que você viu na balança de dois pratos.
Essa é uma característica que toda equação contém: os dois pratos da balança,
ou seja, os dois membros da equação que estão separados pelo sinal da
igualdade, apresentam o mesmo valor (apresentam o mesmo peso).
Cuidado: O valor encontrado na igualdade não é o resultado da equação. Neste
caso, o valor encontrado em cada prato da balança é 100, o que prova que a
balança está equilibrada, mas a solução da equação é o valor encontrado para a
incógnita, ou seja, 33.
3.2- (Jakubo, Lellis e Centurión, 2001) Pensei em um número que as pessoas
dificilmente pensariam. Aí, somei-o com 7 e multipliquei o resultado por 5. Depois,
subtraí o dobro do número pensado no início. Deu 23.
Em que número pensei?
SOLUÇÃO:
Chamando de o número pensado, temos:
Pensei em um número
Somei 7
Multipliquei o resultado por 5
Subtraí o dobro do número pensado
Deu 23
1º membro 2º membro
Substitui-se a
incógnita pelo
valor encontrado
para .
20
Equação em :
Resolvendo a equação:
Resposta: Pensei no número .
3.3- Agora é com vocês: Cada grupo deve inventar uma charada ou um jogo de
adivinha e dar para o grupo que está ao seu lado resolver. Depois, na ordem que
a professora pedir, cada grupo deve expor o resultado para toda a turma e
justificá-lo.
3.4- Pesquise, em livros ou na internet:
- Quando e onde surgiu o uso de letras para representar números
desconhecidos?
- Quais povos contribuíram para o uso das letras em Matemática?
- O que é Álgebra? Pesquise a História da Álgebra.
Os pontos mais relevantes da pesquisa devem ser apresentados à turma.
Atividades para casa:
3.5- Resolva as equações:
Respostas:
Você já aprendeu que
primeiro devemos efetuar os
cálculos dentro dos
parênteses, mas essa soma não
é possível porque não
conhecemos o valor de x.
Então, utilize a propriedade
distributiva da multiplicação e
elimine os parênteses.
21
QUARTO MOMENTO: SITUAÇÕES-PROBLEMA E AS EQUAÇÕES
Chamamos de situações-problema aqueles problemas que retratam situações
reais do dia adia e que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos.
Para o professor:
Divida a turma em pequenos grupos (03 alunos) e proponha estas situações-
problema para serem resolvidas. Lembre-se de seguir o roteiro proposto no início
desta Unidade Didática.
4- Resolva as situações-problema:
4.1- Seu “Zé das Couves” quer fazer um cercado para plantar suas verduras. Para
isso ele dispõe de 36 metros de tela. Mas, devido ao terreno disponível para essa
finalidade, ele precisa fazer um cercado de forma retangular e que o comprimento
seja o dobro da largura. Qual deve ser o comprimento e a largura do cercado de
modo que ele utilize toda a tela disponível?
SOLUÇÃO:
Largura do cercado em metros:
Comprimento do cercado em metros:
Tela para todo o cercado:
Expressão que representa o perímetro (contorno) do cercado:
Equacionando o problema:
Resolvendo a equação:
Isolando a incógnita:
Comprimento do cercado: .
Largura do cercado: .
22
4.2- (Di Pierro Neto e Soares, 2004) Uma escola realizou uma campanha para
arrecadar alimentos e ajudar famílias vítimas de uma enchente que atingiu dois
bairros de uma cidade. O bairro A tem três vezes mais vítimas que o bairro B. Por
isso decidiu-se que os alimentos seriam divididos da seguinte maneira: o bairro B
receberia a terça parte dos alimentos recebidos pelo bairro A. Se havia 1 440 Kg
de alimentos quanto coube a cada um dos bairros?
SOLUÇÃO:
Quantidade de alimentos recebidos pelo bairro B (Kg):
Quantidade de alimentos recebidos pelo bairro A:
Equação obtida:
Como a quantidade de alimentos destinada ao bairro B equivale a , então este
bairro receberá 360 Kg de alimentos.
Já o bairro A receberá o triplo de alimentos do bairro B, ou seja, . Como
, então este bairro receberá 1080 Kg de alimentos.
4.3- (Giovanni; Castruci; Giovanni Jr, 1998) Uma tábua de comprimento 100 cm
deve ser repartida em duas partes. O comprimento da parte maior é igual ao triplo
da menor. Determinar o comprimento de cada uma das partes.
SOLUÇÃO:
Comprimento da tábua inteira em cm:
Comprimento da parte menor:
Comprimento da parte maior: (triplo da parte menor)
Equacionando o problema:
(÷4) (÷4)
3x equivale a três
vezes o x, ou seja, 3∙x.
Perceba que para
retirar o 4 que está
multiplicando o é
possível fazer a
operação inversa, que
é a divisão.
Porém, para que a
igualdade
permaneça, tudo o
que for feito em um
dos lados da
equação deve ser
feito no outro.
23
Comprimento da parte menor = 25 cm.
Comprimento da parte maior = 3 ∙ 25 = 75 cm.
Os comprimentos das partes da tábua são 25 cm e 75 cm.
Na resolução da equação acima, foi utilizada outra propriedade que serve para
todas as equações: “Ao dividir os dois membros de uma equação por um mesmo
valor, a igualdade não se altera”.
Portanto, para resolver equações, podemos:
Somar um mesmo número aos dois membros;
Subtrair um mesmo número aos dois membros;
Multiplicar os dois membros por um mesmo número, não-nulo;
Dividir os dois membros por um mesmo número, que não seja o zero.
4.4- Em um reservatório havia 225 litros de água quando foi aberta uma torneira
que despejava 25 litros de água por minuto.
Após quantos minutos o reservatório conterá sua capacidade total, que é de 1000
litros de água?
SOLUÇÃO:
O reservatório conterá 1000 litros após 31 minutos.
Para o professor:
É interessante propor aos alunos para criarem problemas que se relacionem ao
seu cotidiano. A Matemática interessante para o aluno é aquela que é importante
em seu meio, que vem ao encontro de suas necessidades.
Pode-se indicar o número de
minutos que se quer saber
pela incógnita x. Como
jorram 25 litros a cada
minuto, tem-se .
24
Os problemas criados pelos alunos certamente serão de interesse de outros
alunos, e os processos envolvidos na concepção e na resolução desses
problemas podem melhorar o desempenho em outros problemas.
4.5- Agora é o momento de utilizar a Matemática para resolver problemas do dia a
dia:
Em pequenos grupos, discutam sobre situações que enfrentam no cotidiano e
criem uma situação-problema relacionada às suas atividades, ou de seus
familiares. Se surgirem dificuldades, relatem suas ideias para que a professora
possa auxiliá-los nesta tarefa. Se preferirem, conversem com seus pais e montem
o problema na próxima aula.
Apresentem o problema para a turma, justifiquem o motivo da escolha e os
cálculos utilizados na solução.
Para o professor:
É importante a resolução de atividades em grupo, mas é fundamental que haja
momentos em que os alunos resolvam exercícios individualmente para
consolidarem a aprendizagem.
Proponha os problemas abaixo para os alunos resolverem individualmente. Ao
final, peça para alguns alunos corrigirem na lousa. Solicite a participação de todos
na formalização das respostas.
4.6-(Giovanni; Castruci e Giovanni Jr, 1998) Num terreno retangular, a medida do
contorno é de 80 metros. A lateral mede o triplo da frente do terreno. Querendo se
colocar grade de ferro na frente do terreno, quantos metros de grade serão
necessários?
4.7- (Imenes e Lellis, 1998) Veja a situação:
25
a) Usando o , escreva uma sentença matemática que mostre quanto os dois têm
juntos.
b) Encontre o valor de .
c) Diga quanto tem cada um.
4.8- Agora é hora de fazer o caminho inverso. Invente um problema para cada
equação abaixo. Depois, resolva-os:
Respostas:
.
QUINTO MOMENTO: QUEBRA-CABEÇAS E EQUAÇÕES
Para o professor:
Divida a turma em pequenos grupos (03 alunos) e proponha quebra-cabeças
matemáticos para que resolvam. Lembre-se de seguir o roteiro proposto no início
desta Unidade Didática.
5- Resolva os quebra-cabeças matemáticos:
5.1- (Dante, 2008) Um tijolo “pesa” 1 Kg mais meio tijolo. Quanto “pesa” um tijolo
e meio?
SOLUÇÃO:
26
peso de um tijolo (Kg):
peso de meio tijolo:
Equacionando o problema: um tijolo = 1 Kg + meio tijolo
Como é o peso de um tijolo e, quando , então um tijolo pesa 2 Kg.
Mas o problema perguntou quanto pesa um tijolo e meio:
um tijolo pesa 2 Kg
meio tijolo pesa 1 Kg
um tijolo mais meio tijolo pesa 2 Kg + 1 Kg = 3 Kg
Portanto, um tijolo e meio pesa 3 Kg.
Verifique através de gravuras a solução do problema:
um tijolo e meio pesa 3 Kg
5.2- Os curiosos alunos da 6ª série perguntaram a idade da professora de
Matemática. Como as mulheres não gostam muito de falar sua idade, a
professora respondeu de forma enigmática:
- Some a terça parte da minha idade com 26. O resultado será a minha idade.
Qual é a idade da professora?
Simplificando os
denominadores
utilizando o princípio
multiplicativo.
Representando a
equação com a
linguagem
matemática e, em
seguida,
achando o
denominador
comum - m.m.c.
27
SOLUÇÃO:
idade da professora:
a terça parte da idade da professora:
some a terça parte da idade da professora com 26:
Equacionando o problema:
Resposta: A idade da professora é 39 anos.
Para o professor:
É importante a resolução de atividades em grupo, mas é fundamental que haja
momentos em que os alunos resolvam atividades individualmente para
consolidarem a aprendizagem.
Proponha os enigmas abaixo para os alunos resolverem individualmente. Ao final,
peça para alguns alunos corrigirem na lousa solicitando a participação de todos
na formalização das respostas.
5.3- (Jakubo, Lellis e Centurión, 2001) Um tijolo pesa 1 quilo mais um terço de
tijolo. Quanto pesa o tijolo inteiro?
5.4- (Dante, 2005):
a) Que número sou eu? Quando somam a mim a minha metade, resulta 39.
b) E eu? Quando me subtraem a minha terça parte, resulta 12.
Lembre-se: ao
multiplicar um
mesmo valor aos
dois membros da
equação, origina-
se uma equação
equivalente.
Usando esta
propriedade é
simples eliminar
um denominador.
Para tirar o 3 do denominador
é só fazer a operação inversa.
Porém, para que o equilíbrio se
mantenha é necessário efetuar
a multiplicação com todos os
termos da equação.
28
Respostas:
Atividades para casa:
5.5- Crie um quebra-cabeça parecido com os que você resolveu. A seguir
represente-o com uma equação e resolva-o.
6.6- Utilizando as propriedades que você aprendeu, resolva as equações:
a)
b)
Respostas:
SEXTO MOMENTO: PROBLEMAS HISTÓRICOS E AS EQUAÇÕES
Como se pode perceber, o uso de letras para representar números
desconhecidos facilita a resolução dos mais variados problemas.
Os antigos árabes, cerca de 1000 anos atrás, começaram a utilizar letras para
resolverem seus complicados problemas de herança. Entre os árabes, as
heranças costumavam ser repartidas de modo a favorecer o filho mais velho. O
segundo filho podia receber um tanto a mais que o terceiro e assim
sucessivamente.
Para o professor:
Divida a turma em pequenos grupos (03 alunos) e proponha os problemas
desafiadores abaixo para que resolvam. Lembre-se de seguir o roteiro proposto
no início desta Unidade Didática.
6- Veja se você consegue resolver estes problemas antigos:
6.1- (Imenes e Lellis, 1998) “Meus 45 camelos serão dados a meus filhos. O filho
do meio terá o dobro do caçula. O mais velho terá o triplo do caçula mais 3”.
29
Quantos camelos cada filho receberá?
SOLUÇÃO:
Quantidade recebida pelo filho caçula:
Quantidade recebida pelo filho do meio: (o dobro do caçula)
Quantidade recebida pelo filho mais velho: (o triplo do caçula,
mais 3 camelos)
Total de camelos a ser repartido entre os três filhos:
Equacionado o problema:
Resolvendo a equação:
Isolando a incógnita:
A quantidade recebida pelo filho mais novo, representada por 7 camelos.
O filho do meio receberá o dobro do mais novo: 14 camelos.
O filho mais velho ficará com o triplo do mais novo, mais 3 camelos, ou seja:
camelos.
6.2- (Jakubo, Lellis, Centurión, 2001) Há 800 anos, um matemático hindu
chamado Bhaskara ficou famoso pelos estudos que realizou a respeito das
equações. Nos seus livros constam alguns problemas em linguagem poética, para
serem resolvidos com equações. Vamos propor um desses problemas,
adaptando-os para a linguagem de hoje:
“Dois namorados tanto se abraçam que se parte o colar de pérolas da moça. Um
terço das pérolas caiu no chão, um quinto ficou no sofá, um sexto foi achado pela
moça e um décimo foi encontrado pelo moço; seis pérolas ficam no fio. Quantas
pérolas tinha o colar?”
SOLUÇÃO:
Traduzindo o problema para a linguagem algébrica:
Um terço da quantidade desconhecida de pérolas:
Um quinto da quantidade desconhecida de pérolas:
30
Um sexto da quantidade desconhecida de pérolas:
Um décimo da quantidade desconhecida de pérolas:
Quantidade de pérolas que ficaram no fio:
Total de pérolas que tinha o colar:
Equacionando o problema:
Como o total de pérolas do colar foi representado por e ao resolver a equação
encontrou-se que vale , conclui-se que o colar tinha 30 pérolas.
No entanto, para ter certeza que o resultado está correto pode-se tirar a prova
substituindo o valor encontrado para na equação que traduz o problema. Se
encontrar valores iguais nos dois membros da equação (neste caso, 30), é porque
o resultado encontrado para a incógnita é realmente a solução da equação.
Verificando o resultado: Equação do problema
Resposta: O colar tinha 30 pérolas.
1º membro 2º membro
Substituindo o
valor encontrado
para x (30) em
todas as
incógnitas da
equação.
Para resolver uma equação com
muitos denominadores a
maneira mais prática é encontrar
um denominador comum,
através do cálculo do m.m.c.
entre os denominadores:
mmc (3, 5, 6, 10, 1) = 30.
Em seguida, forme frações
equivalentes às iniciais com o
denominador comum.
Agrupam-se os termos
semelhantes.
31
Outro problema interessante é o Problema das Abelhas, que se refere ao cálculo
de um enxame de abelhas. Este problema aparece num livro chamado Lilaváti,
escrito por Bhaskara em homenagem à sua filha Lilaváti. Tente resolvê-lo:
6.3- (Tahan, 2008) “A quinta parte de um enxame de abelhas pousou na flor de
Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre estes dois
números voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no ar,
atraída pela flor de um jasmim e de um pandnus. Dize-me, bela menina, qual o
número de abelhas.”
SOLUÇÃO:
Veja que a equação do problema admite uma raiz, que é 15. Esse número
exprime a solução do problema.
Confira:
1º membro 2º membro
15
Equação do
problema.
Acha-se o
denominador
comum e
forma-se
frações
equivalentes.
Em seguida,
agrupa-se os
termos
semelhantes.
Usa-se o princípio
multiplicativo para
eliminar o sinal
negativo do x.
32
SÉTIMO MOMENTO: ATIVIDADES INTERATIVAS COM EQUAÇÕES – JOGOS E DESAFIOS
Aventure-se pela Matemática, brincando e aprendendo com jogos e desafios.
Para o professor:
O jogo on-line, sugerido logo abaixo, utiliza a balança de dois pratos para resolver
equações. O aluno tem a opção de resolver as questões apresentadas e também
criar equações. Porém, há algumas restrições: apresenta-se em inglês e os
problemas criados não podem formar equações que gerem resultados decimais e,
também, os valores de não podem ser maiores que 10.
Se os alunos não entenderem as regras, que estão em inglês, oriente-os a utilizar
um tradutor (Google → mais → Tradutor...).
7.1- Formem duplas, dirijam-se ao laboratório de informática e acessem o site
http://www.matematicaoitava.blogspot.com/. Em seguida, cliquem em ÁLGEBRA,
procurem por EQUAÇÕES DO 1º GRAU e acessem JOGOS: ÁLGEBRA NA
BALANÇA. Há também a opção BALANÇA COM NÚMEROS NEGATIVOS.
Resolvam os problemas apresentados com balanças discutindo com o colega a
melhor estratégia de solução.
Anotem alguns problemas criados em seus cadernos para, ao retornar à sala de
aula, discutir o que aprenderam com os demais colegas e com a professora.
Para o professor:
O dominó de equações, com 10 peças, foi previsto para o aluno montar sozinho,
mas também é possível jogar em duplas.
7.2- (Bini, 2008) Dominó de Equações:
a) Copie cada uma das equações em seu caderno e resolva-as;
b) Recorte as peças do dominó;
c) Monte o dominó, encaixando cada equação com sua solução;
33
d) Cole o dominó que você montou, em seu caderno.
SOLUÇÃO:
34
Para o professor:
Atividades interativas, como o quebra-cabeça abaixo, são sempre bem vindas,
além de serem ótima opção para a recuperação paralela de conteúdos.
7.3- (Bini, 2008) Quebra-Cabeça Triangular:
Neste quebra-cabeça há uma moldura que deve ser preenchida com os triângulos
abaixo. Na moldura, e em cada triângulo, há equações e soluções das respectivas
equações.
a) Resolva em seu caderno, cada equação apresentada;
b) Recorte cada triângulo e encaixe-os dentro da moldura, de modo que cada
equação da moldura e do triângulo se encaixe na sua solução correta;
c) Monte o quebra-cabeça e cole em seu caderno.
35
SOLUÇÃO:
36
Para o professor:
Certifique-se se os alunos lembram as regras do quadrado-mágico. Senão,
trabalhe antes um quadrado mágico com números naturais para relembrá-los.
Se perceber que eles apresentam dificuldade para começar a resolver o quadrado
mágico com incógnitas, relembre-os das propriedades das equações juntamente
com as regras do quadrado mágico.
Por exemplo: Se a soma dos números das diagonais é a mesma, então a soma
dos valores de uma diagonal é igual à soma dos valores da outra diagonal:
. E, que resolvendo esta equação,
encontrará o valor da incógnita.
Depois de encontrar o valor de fica fácil completar o quadrado.
7.4- (Jakubo, Lellis e Centurión, 2001) Num quadrado mágico, a soma dos
números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. Descubra o valor
de em cada quadrado mágico seguinte e, depois, complete cada quadrado:
SOLUÇÃO:
a) b)
a)
b)
8 13 6
7 9 11
12 5 10
-6 -1 -8
-7 -5 -3
-2 -9 -4
37
AVALIAÇÃO
A avaliação dos alunos se desenvolverá no decorrer das aulas através da
observação direta da professora e de diversos instrumentos avaliativos utilizados
durante as aulas. Serão levados em conta a participação e o comprometimento
dos alunos no desenvolvimento das atividades.
De uma forma geral, a avaliação deve ser formativa, num processo
permanente, com a finalidade de desenvolver toda a potencialidade do aluno,
verificar o aprendizado e reorientar o trabalho do aluno e do professor através da
recuperação paralela do conteúdo.
Para que o processo seja o mais amplo possível, serão utilizados
instrumentos variados de avaliação, em diversos momentos. Entre os
instrumentos avaliativos podemos citar: resolução de problemas, criação de
problemas, realização de trabalhos em grupos, trabalhos de pesquisa, provas,
debates, relatórios, entre outros.
Esta proposta pedagógica segue a “Metodologia de Ensino-
Aprendizagem-Avaliação”, proposta por Onuchic (2008). Essa metodologia integra
uma concepção que o conteúdo matemático pode ser trabalhado a partir de
problemas e a avaliação deve ser construída durante a resolução do problema.
Ensino, aprendizagem e avaliação são processos que devem ocorrer
simultaneamente, onde cada etapa do desenvolvimento deve ser analisada, e não
somente o resultado final.
Para avaliar o resultado da implementação desta proposta pedagógica
será aplicado aos alunos um pré-questionário e um pós-questionário que tratem
de questões relacionadas à resolução de problemas e à aprendizagem de
Matemática.
O resultado esperado é que os alunos sintam-se motivados para estudar
Matemática e que as aulas tornem-se mais interessantes e desafiadoras diante de
uma estratégia de ensino que parta de problemas para o desenvolvimento do
conteúdo matemático. E, apesar de ser difícil de avaliar, o resultado final mais
esperado é que haja melhoria na apreensão dos conceitos matemáticos pelos
educandos.
38
REFERÊNCIAS
BINI, Márcia Bárbara. Dificuldades de aprendizagem em matemática: o que
fazer em sala de aula. In: II Jornada Nacional de Educação Matemática. Passo
Fundo: Ed. Universidade de Passo Fundo, 2008.
CORRÊA, José Ricardo. Matemática e Política: Instrumento e Ação. Artigo
apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria de
Estado da Educação do Paraná, 2009. Disponível em:
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1846-
8.pdf?PHPSESSID=2010011908441212>. Acesso em 15 mar. 2010.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática : ensino fundamental – 6ª série. 2ª
ed. São Paulo: Ática, 2008.
DI PIERRO NETTO, Scipione; SOARES, Elizabeth. Matemática em atividades –
6ª série. 1ª Ed. São Paulo: Scipione, 2004.
GIOVANNI, José Rui; CASTRUCI, Benedito; GIOVANNI Jr, José Rui. A
Conquista da Matemática - Nova. São Paulo: FTD, 1998.
JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo; CENTURIÓN, Marília. Matemática na
Medida Certa, 6ª série: ensino fundamental. 7ª ed. São Paulo: Scipione, 2001.
JOGOS ON-LINE. Álgebra na Balança. Disponível em:
<http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html?open=instructions>.
Acesso em: 05 jul. 2010.
JOGOS ON-LINE: Balança de Números Negativos. Disponível em
<http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instructions>.
Acesso em 05 jul. 2010.
ONUCHIC, L. R. Uma História da Resolução de Problemas no Brasil e no
Mundo. Palestra de Encerramento apresentada no I Seminário de Resolução de
Problemas na UNESP/Rio Claro, 30 e 31 out. 2008. Disponível em:
<http://www.rc.unesp.br//serp/trabalhos_completos/completo3.pdf>. Acesso em 05
out. 2009.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 72ª Ed. Rio de Janeiro: Record, 2008.
