O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

PRODUZINDO SIGNIFICADOS PARA EQUAÇÃO DO 1º GRAU A PARTIR DE

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Cláudia Regina Batistela Gimenes1

Tânia Marli Rocha Garcia2

Resumo

Este artigo relata o resultado e reflexões da aplicação da Unidade Didático-pedagógica “Produzindo Significados para Equações do 1º Grau a partir da Resolução de Problemas”, desenvolvida com os alunos 6ª série B da Escola Estadual Agostinho Stefanello – EF, no município de Alto Paraná – PR, no ano de 2010. O estudo está baseado principalmente nas ideias de Lins e Gimenez (1997). Apresenta um panorama geral sobre a Álgebra e a relação com a aprendizagem e a construção de significados numa perspectiva de resolução de problemas. Em cada etapa, a unidade abordou aspectos importantes para a iniciação à Álgebra, como compreensão de variável e incógnita; transformações algébricas por equivalência; resolução de equação por equivalência utilizando o material manipulável com fichas, que favoreceu a obtenção de resultados positivos na resolução de equações do tipo ax + b = cx + d. A unidade completa pode ser encontrada em http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br

Palavras-chave: Equação; Linguagem algébrica; Construção de significados; Resolução de Problemas;

1 Professora de Matemática da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná. crbgimenes@seed.pr.gov.br 2 Professora orientadora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Campus de Paranavaí. taniamarli@hotmail.com

1 INTRODUÇÃO

Ao longo do tempo, diversas concepções nortearam o ensino de Álgebra e

atualmente os conteúdos algébricos ocupam lugar de destaque nos currículos,

havendo consenso sobre os conteúdos que devem ser ensinados, não ocorrendo o

mesmo com o estímulo ao desenvolvimento do pensamento algébrico. No contexto

escolar prevalece a ideia de que os conceitos algébricos devem ser ensinados

basicamente como instrumentação para capacitar o aluno a fazer manipulações

algébricas, principalmente para resolver problemas com equações. Na prática, isso

se traduz em um ensino de Álgebra desenvolvido de forma técnica e mecanizada,

com ênfase na representação simbólica em detrimento do desenvolvimento do

pensamento algébrico, o que tem causado muitas dificuldades no processo de

aprendizagem. A experiência em sala de aula nos mostra que os problemas com a

aprendizagem de Matemática se intensificam a partir da 6ª série, especialmente

quando os alunos se deparam com a passagem da linguagem aritmética para a

linguagem algébrica nas equações. Os educandos, geralmente, não apresentam

evidências de terem sido estimulados a pensar e se expressar algebricamente em

fases anteriores.

O desenvolvimento tardio das ideias algébricas, possivelmente seria a

principal consequência das dificuldades conceituais apresentadas nos anos finais do

Ensino Fundamental, pois a falta de consolidação dessas ideias ocasionaria o

desenvolvimento do pensamento algébrico limitado ao simbolismo e uso de

procedimentos desvinculados de significação. Com efeito, o estudo da Álgebra

demonstra-se de difícil compreensão para os alunos, pelo nível de abstração, que

não percebem a relação entre os conceitos que aprendem na escola e o que se vive

fora dela. Investigando a questão, observa-se que a maior parte dos alunos não

consegue produzir significado para os símbolos e para a linguagem algébrica.

Diante da ausência de familiaridade com atividades algébricas e a falta de

tempo para a realização de atividades essenciais para o processamento algébrico, o

ensino de equações acaba sendo estabelecido como um exercício de memorização

e manipulação de regras dissociadas de qualquer significação. Muitos dos erros e

das dificuldades apresentadas estariam relacionados à formação do pensamento

algébrico.

Ao admitir que o processo de aprendizagem em Matemática se concretiza

na medida em que os alunos produzem e enunciam significados para os conceitos

matemáticos, nos questionamos sobre quais seriam os recursos metodológicos

adequados para que os alunos possam expressar o pensamento algébrico, superar

dificuldades, avançar nesta construção, e ainda, se o trabalho com resolução de

problemas contribui para que os alunos produzam significados para os conceitos

algébricos sendo capazes de desenvolvê-los.

Para responder a esses questionamentos procuramos elaborar uma

Unidade Didática capaz de investigar as dificuldades dos alunos iniciantes no estudo

de Álgebra, apresentam na formação e no desenvolvimento da linguagem e do

pensamento algébrico, buscando práticas e ações metodológicas apoiadas na

resolução de problemas, e no material manipulável com fichas, visando a construção

do conceito de Equação do 1º. Grau e compreensão dos processos algébricos e

aritméticos envolvidos na resolução dessas equações.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Um panorama geral da Álgebra

Segundo Lins e Gimenez (1997), a Álgebra é, antes de tudo, um conjunto de

afirmações genéricas. Freitas (2004) diz que, “a álgebra pode ser definida por uma

linguagem que permite escrever relações entre quantidades conhecidas e

desconhecidas e para isso se faz uso de expressões literais e do cálculo algébrico”.

No contexto escolar, ao falarmos em Álgebra automaticamente pensamos

em letras. Na história da educação escolar, o ensino da Álgebra foi constituído com

base em conteúdos (equações, cálculo literal, funções) que devem ser aprendidos

para resolver problemas da Álgebra ou calcular com letras.

O cálculo literal vem de uma linha de desenvolvimento histórico, desde os

Babilônios e Egípcios (cerca de 1700 a.C), até Diofanto (ano 250) que introduziu

sinal para incógnita da equação, para facilitar a escrita de cálculos matemáticos.

Cerca de 400 anos mais tarde Al-Khowarizmi escreveu Al-jabr, um livro que trata da

mudança de termos de um lado para o outro. Por volta de 1550 Viète sistematizou o

uso das letras. Nesse contexto, a ciência Matemática foi se constituindo com ênfase

nos pensamentos abstratos, que aplicados à Aritmética e à Geometria deram origem

a uma nova forma de expressão, a Álgebra.

Foi a invenção da notação simbólica literal que abriu uma nova era na

história da Matemática, foi uma evolução, que possibilitou resolver problemas mais

complexos. Mas o simbolismo separou o pensamento algébrico das soluções

manipulativas geométricas. A Álgebra de Viète acabou por representar uma

generalização aritmética na qual as letras constituíam uma espécie de novo

algarismo que representava algo desconhecido. (ROMERO, 2008).

A passagem da Álgebra simbólica foi aperfeiçoada por René Descartes,

tendo como principal função de resolver problemas através de estruturas algébricas

abstratas.

No século XX, considerando que essa Álgebra poderia propiciar facilidades

para resolver os cálculos, seu ensino foi introduzido no contexto escolar para que

deixasse de ser privilégio de poucos para se estender a “todos”. Assim ela começou

a fazer parte dos currículos escolares, influenciados pelas produções européias do

século XVIII, na forma de aulas avulsas em matérias denominadas Aritmética e

Álgebra. Com a crescente utilização do simbolismo, passou a ser requisito para

formação do cidadão comum, porém, continua sendo privilégio de poucos, visto que

a maioria dos alunos vem apresentando fracassos em seu aprendizado e é vista

hoje na educação como elemento de exclusão social.

Autores como Harper e Küchemann, citados por Lins e Gimenez (1997),

apoiados na ideia piagetiana de que o desenvolvimento intelectual depende de um

processo de maturação biológica, tem sugerido que o ensino da Álgebra deveria

ocorrer apenas por volta de 14 - 15 anos, devido à dificuldade do uso de letras,

considerando que a atividade algébrica resulta do pensamento formal. Mas, estudos

como da Australiana Lesley Booth (1994), que investigou se os erros cometidos

pelos alunos (8º à 10º ano) eram efeito do desenvolvimento intelectual,

demonstraram que os erros persistiam em todas as faixas-etárias, indicando que a

aprendizagem da Álgebra não tem a ver com a idade. A partir da investigação de

Booth podemos dizer que as ideias algébricas são trabalhadas tardiamente,

ocasionando dificuldades que são atribuídas à incompreensão da Álgebra

elementar.

Estudos como de Booth (1994), reforçado por Lins e Gimenez (1997) e de

Castro (2003), defendem que quanto mais cedo forem trabalhadas as idéias

algébricas, estimulando o pensamento algébrico, já nas séries iniciais, maior serão

as possibilidades de desenvolvimento do raciocínio simbólico, pois o pensamento

opera sobre operações concretas aritméticas e geométricas.

Para Davydov, o trabalho com crianças bastante jovens lançava as bases para um estudo mais sólido da aritmética. Por exemplo, a adição e a subtração eram vistas, desde o início, como operações inversas, mas também a multiplicação e a divisão; frações emergiam no contexto das divisões, eram trabalhadas junto com estas, desde muito cedo. A ideia é que, em vez de pensar em uma aritmética de contas particulares, que depois seria “generalizada” em direção à álgebra, ele via uma aritmética que punha em ação casos particulares, as propriedades de um sistema mais amplo, desenvolvido com base no estudo de relações quantitativas.(LINS, GIMENEZ, 1997, p. 121)

Ao entrar na escola o aluno toma conhecimento da representação de

quantidades através de símbolos numéricos, e sua propriedade comutativa.

Em uma situação em que há necessidade de se desenhar cinco elefantes,

vão surgindo representações mais simplificadas, podendo até representar: um

elefante (1e), cinco elefantes (5e) de modo que o pensamento simbólico concreto

seja incentivado.

Assim, as ideias irão se ampliando passando por situações de comparação

de maior, menor e igualdade, semelhanças entre conjuntos de objetos, figuras e

números, proporcionalidade, sequências e operações inversas. A atividade algébrica

é caracterizada pelo pensamento algébrico na atividade que o aluno está inserido, e

para Castro (2003, p. 3) “podemos afirmar que fazemos Álgebra quando somos

desafiados por problemas de geometria, contagens, finanças, de proporcionalidade,

enfim o saber algébrico está presente em todos os ramos da Matemática”.

Nessa perspectiva a Álgebra está totalmente relacionada à Aritmética,

criando um processo de generalização, porém o aluno não vai aprender Álgebra

porque sabe Aritmética, pois a Álgebra envolve outros processos de pensamento.

[...] os símbolos operatórios de uma equação não indicam necessariamente as operações a serem efetuadas. Assim, a principal diferença entre a aritmética e a álgebra é a distinção de operações utilizadas no processo de resolver equações e as operações indicadas nessas equações. (KIERAN, 1994, p. 104 e 105).

Esta é uma das dificuldades apresentadas pelos alunos. Para compreender

a generalização das relações e procedimentos, é importante que sejam aprendidos

dentro do contexto aritmético, pois se não forem reconhecidos, ou se os alunos

tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho em Álgebra poderá

ser afetado.

A problemática do aluno se evidencia a partir da 6ª série, quando são

cobradas as representações simbólicas, como se fossem totalmente desvinculadas

de tudo que havia aprendido antes. Na verdade as dificuldades não são em Álgebra

propriamente dita, mas da falta de familiaridade em representar fenômenos e

relações. A Álgebra é introduzida como algo novo, sem relação com conteúdos

anteriores, tornando-se um conhecimento formal e simbólico, pois mesmo pensando

a Álgebra como abstrata, ela opera sobre situações concretas - as operações

aritméticas, produzindo propriedades operatórias, generalizando a Aritmética, que é

caracterizada por conteúdos.

Precisamos entender de que modo a Álgebra e a Aritmética se ligam, o que

elas têm em comum. Um ponto de partida pode ser o trabalho com relações

quantitativas e tematizadas. Exemplos quantitativos remetem à relação de

operacionalidade da ideia geral e da lógica da operação aritmética realizada, já que

o pensamento algébrico é a própria atividade na qual o aluno está envolvido. A

ligação entre pensamento e linguagem não é dissociada, “a linguagem algébrica é

entendida como expressão do pensamento matemático”. (PARANÁ, 2008, p.52).

A linguagem algébrica é considerada como uma construção necessária para

descrever simbolicamente as regularidades. É interessante a utilização de situações

em que os alunos possam investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como

em representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a

linguagem algébrica para descrevê-los simbolicamente.

A linguagem algébrica é considerada como sendo um instrumento facilitador

na simplificação de cálculos, mas por outro lado, sua tradução pode ser

ocasionadora de muito insucesso, novamente pela falta de familiaridade, agora com

termos específicos da Matemática. De acordo com Lochhead e Mestre (1994,

p.148), “os alunos não aprendem ler e escrever em matemática!”, pois assim como a

linguagem natural, a linguagem algébrica não é incorporada de imediato, exige

domínio prévio do código linguístico.

É a partir da Matemática Egípcia, que a linguagem matemática começa a se

separar da usual, criando vocabulário próprio. Ela se tornará compreensível ao

perceber a transição da linguagem retórica (verbal) para a simbólica. A passagem da

Álgebra retórica para a simbólica pode ser comparada ao aprendizado de uma

língua estrangeira, pois se fizermos a tradução ao pé da letra, sem conhecermos o

contexto do uso do idioma corremos o risco de nos confundir, ou fragmentar o texto

tornando difícil a compreensão (MOURA; SOUZA, 2005). Assim, é necessário

aprender essa tradução da linguagem algébrica para aprender Matemática.

Historicamente a linguagem simbólica foi precedida pela linguagem

sincopada, com abreviação de palavras, que foi a fase intermediária entre a

expressão retórica e a escrita simbólica atual. Partindo das representações

simbólicas, desenvolveu-se a representação algébrica formal, tornando-se de

aceitação universal.

O simbolismo formal constitui uma verdadeira linguagem, principalmente em forma escrita, necessário para a comunicação do pensamento matemático que opera em dois níveis. O primeiro é o nível semântico: os símbolos e as notações carregam um significado paralelo com a linguagem natural. O segundo nível é puramente sintático, que podem aplicar regras manipulativas, sem referência direta ao significado. (GARCIA, 1997, p.11 apud ROMERO, 2007, p.26).

O pensamento algébrico é um tipo especial de pensamento, e não podemos

expressá-lo de forma única. Ele pode expressar-se através da linguagem natural, da

linguagem aritmética, da linguagem geométrica ou através de uma linguagem

específica, criada para esse fim, isto é, por meio de uma linguagem algébrica, de

natureza estritamente simbólica.

A linguagem formal tende a suprimir a expressão semântica, tornando-se

mais abstrata possível. Há uma resistência do pensamento humano em abandonar a

linguagem natural, substituindo-o por símbolo. Para não haver esta resistência é

preciso compreender o que o símbolo representa e como será utilizado, fazendo o

elo, preenchendo o “vazio” que existe entre o conceitual e o simbólico.

Há abordagens de atividade algébrica caracterizadas pela aplicação em

conteúdos, efetivando-se a atividade algébrica com significado. Abordagens

“facilitadoras” como de abstrações por meio do trabalho com material manipulável,

traduzindo a linguagem simbólica, podem amenizar a problemática do ensino e da

aprendizagem, mas nem sempre se consegue chegar ao conhecimento esperado.

As pesquisadoras inglesas K. Hart e A. Sinkinson investigaram o que acontece

quando as crianças passavam de atividades concretas para formais. Mesmo

achando o material útil, os alunos não viram relação entre o que haviam feito no

concreto e o que haviam feito no formal. A conclusão das autoras “foi que faltava um

material intermediário, que preenchesse o ‘vazio’ entre uma coisa e outra” (LINS E

GIMENEZ, 1997, p. 107).

Como uma das alternativas para preencher este “vazio”, na Educação

Matemática é a utilização de propostas baseadas na modelagem matemática, que

tem como ponto de partida o real ou concreto, e “a educação algébrica se dá na

medida em que a produção do conhecimento algébrico serve para iluminar ou

organizar uma situação, como ferramentas e não como objeto primário do estudo”

(LINS E GIMENEZ, 1997, p.109), oferecendo a possibilidade de aplicação do que

aprendem.

Nosso desafio é tornar a Matemática acessível, pois pessoas podem

aprender matemática sem dificuldades, desde que sua aprendizagem seja vinculada

a conceitos que fazem parte do contexto em situações-problemas que possibilitem

produzir significado, construindo a linguagem simbólica, tornando-os familiares e

possibilitando a transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente,

por meio de procedimentos que legitimam essas transformações, construindo um

pensamento algébrico sólido.

2.2 Aprendizagem e Construção de Significados

Para melhorar a aprendizagem da disciplina de Matemática, temos que

lançar mão de metodologias que possibilitem a construção do conceito matemático,

mostrando aplicações, utilização e importância, tornando os conteúdos significativos.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica, “A aprendizagem da

Matemática consiste em criar estratégias que possibilitem ao aluno atribuir sentido e

construir um significado às ideias matemáticas”. (p. 45)

Geralmente os alunos quando indagados sobre a disciplina de Matemática,

fazem uma relação entre gostar ou não da matéria ou do professor, indicando que o

único contato com a disciplina é através do professor, ou seja, só veem isso na

escola. Então como tornar a Matemática significativa? Lins (2004, p.93) afirma que

uma solução nesta situação é buscar fazer os alunos verem “a Matemática da vida

real”, “trazer a vida real para as aulas de Matemática”.

No ano 2000 Lins tomou conhecimento do livro Pedagogia dos Monstros de

Tomaz Tadeu da Silva. Examinou a “Teoria dos Monstros” como reguladora entre

duas “culturas”, a Matemática do matemático e a Matemática da rua, destacando

“que o fracasso de tantos com a relação à Matemática escolar, não é um fracasso

de quem não consegue aprender embora tente, e sim um sintoma de uma recusa

[...]. Uma espécie de auto-exclusão induzida. (LINS, 2004, p. 95)

Estas duas “culturas” que estamos vivendo hoje dentro das instituições

escolares tiveram início na primeira metade do século XX, quando houve um

processo de profissionalização do matemático, estabelecendo e definindo a

Matemática do matemático, o qual foi tomado então como legítimo, para a produção

de significados da Matemática - um conjunto de enunciados, tornando-se

culturalmente institucionalizado. (LINS, 2004)

Ao tentarmos dar significado aos conteúdos, às vezes, criamos situações

totalmente desvinculadas da realidade, tornando aquilo que estamos ensinando

significativo para nós, atendendo os nossos objetivos e não os dos alunos. Quando

definimos o objeto de estudo, não cabe discussão se estabelece relações que

esclareçam algo fora da Matemática escolar ou somente resolvam problemas

padrão.

A Matemática do matemático é uma herança que se propaga, e

consequentemente o fracasso, pois ela é entendida em outro mundo, não no seu

contexto real. O fracasso pode ser dentro da escola, quando o aluno não consegue

aprender o que se ensina, e pior se estender para fora dos muros escolares, quando

passam nas provas, mas nunca chegam a entender a ligação do que aprenderam na

escola com o que vivenciam.

Como pode a Matemática ser duas coisas tão diferentes? Como encontrar a

essência do que realmente é?

No uso da Aritmética, justificada do ponto de vista dos significados, os

métodos operatórios usados na rua são diferentes do usado na escola. Quando

recebemos um troco, ao invés de fazerem o algoritmo da subtração, devolvem o

troco somando valores para completar o total dado.

A flexibilidade de um especialista é o que queremos que nossos alunos

tenham. É verdade que há pessoas que atingem essa flexibilidade através de uma

educação tradicional, outras por métodos construtivistas ou outra abordagem, e

muitas pessoas fracassam com os mesmos métodos. O que fez que estas pessoas

tivessem êxito foi o significado que o conhecimento teve para cada uma.

No cotidiano há significados próprios constituindo legitimidades, pois do

mesmo modo que a escola considera os métodos da rua informais, tendo

aplicabilidade limitada, a rua considera os métodos da escola complicados e sem

significado.

“Nossos alunos vivem em dois mundos distintos, cada um com sua

organização e seus modos legítimos de produzir significado” (LINS; GIMENEZ,

1997, p.17). Esses autores defendem que uma alternativa é ter a escola participante

de análise e da tematização dos significados matemáticos do cotidiano, que irão

coexistir com os significados não matemáticos em vez de tentar substituí-los.

O que não podemos fazer é negar nem um, nem outro, os dois fazem parte

do processo de organização da atividade humana, e é na escola que se fazem as

tematizações, formalizações e sistematizações dos conhecimentos cotidianos.

Lins e Gimenez (1997) observam que o processo de exclusão da

Matemática dos significados não-matemáticos tem origem na Matemática acadêmica

e não na Matemática escolar. Foi um processo de depuração, e sempre estiveram

trabalhando com os significados mesmo que mascarados.

A matemática acadêmica trabalhava com um conjunto de afirmações, mais ou menos sem se importar com a origem dos significados, contanto que eles parecessem corretos e aceitáveis. A uma certa altura, começou um processo de tomar aquelas afirmações e de produzir significados não dependiam do rua. (LINS; GIMENEZ, 1997. p.24)

Aos poucos a escola foi excluindo significados da organização da vida

humana, chamados de não-matemáticos, para trabalhar somente com os

significados estabelecidos pela autossuficiência da Matemática acadêmica. Dessa

forma a escola tem tido o efeito de estreitar as possibilidades cognitivas dos alunos,

quando deveria ampliá-las. É com a coexistência de significados matemáticos e não-

matemáticos na escola que se poderá constituir uma legitimidade comum, impedindo

que a Matemática da escola seja percebida como inútil, um saber cuja razão deixa

de existir quando termina a escolarização.

2.3 Resolução de Problemas

O principal significado de aprender conteúdos matemáticos é ser capaz de

usá-los. De acordo com Dante (2005), é preciso desenvolver no aluno a habilidade

de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos

disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em

seu dia-a-dia, na escola ou fora dela.

Para garantir que este desenvolvimento ocorra o ensino da Matemática tem

como ponto de partida a resolução de problemas, por ser uma das formas mais

acessíveis de propiciar situações abertas e sugestivas que exijam dos alunos uma

atitude ativa na busca de respostas, podendo disparar um processo de

conhecimento. A resolução de problemas é fundamental no desenvolvimento tanto

de caráter lógico-matemático como conceitual, permite relacionar observações do

mundo real com representações de esquemas, tabelas, figuras, escritas numéricas,

etc., e relações de tais representações com princípios e conceitos matemáticos,

ligando a linguagem usual com a linguagem Matemática formal.

Na verdade os problemas dão sentido às equações, mas muitas vezes a

resolução de problemas é confundida com exercícios para fixação de algum tipo de

algoritmo ou equação com condição pré-determinada, gerando convenções. Esta

prática desestimula o aluno, porque não tem que pensar, basta saber usar o modelo

que o professor lhe ensinou. Provavelmente por herança das ideias de Descartes e

de seu ambicioso projeto de construção de um método geral de resolução de

problemas, que se resumia em reduzir todo problema em um problema matemático,

representado por equações algébricas (PEREIRA, 2001). A padronização tolhe a

criatividade, não identifica sua funcionalidade, não sendo necessário levantar

hipóteses, argumentar ou validar. Não podemos reduzir uma ferramenta tão

extraordinária na qual os conteúdos matemáticos ganham significado e se

constroem gradativamente, a apenas um exercício exaustivo de memorização de

regras. Devemos encarar a proposta de resolução de problemas pelo seu caráter

investigativo e pela possibilidade de exploração de novos conceitos.

A resolução de problemas tem grande poder motivador para o aluno, pois

envolve situações novas, diferentes atitudes e conhecimentos, e sua riqueza

consiste em ligar a Matemática ao mundo real. O ser humano, em sua vida, quase

sempre se depara com situações novas em que devem agir com criatividade,

independência e espírito explorador. É possível que através de situações-problema

desenvolva-se no aluno, desde cedo, este tipo de iniciativa. Se durante a vida

escolar forem oportunizadas aos alunos variadas situações-problema, estimulando

sua criatividade, quando adulto agirá com inteligência e naturalidade ao enfrentar

problemas da vida diária, elaborando estratégias, em qualquer que seja a ordem da

situação.

Para Dante (2005, p. 14) “Um bom problema suscita a curiosidade e

desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade

e conformismo”. É a partir de problemas simples que o aluno progride em sua

aprendizagem, adquirindo formas de raciocínio mais elaboradas.

“Resolução de problemas é uma expressão abrangente que pode significar

diferentes coisas para diferentes pessoas ao mesmo tempo e diferentes coisas para

as mesmas pessoas em diferentes ocasiões”. (BRANCA, 1997, p.4).

Há muitas e diferentes concepções de problemas, mas em todas elas, são

situações que exigem pensar. Podemos usar diversos recursos para trabalhar

resolução de problemas. Cada tipo de situação atende um objetivo diferente, então é

preciso propô-los adequadamente de modo que sempre sejam desafiadores para os

alunos. Assim, qualquer situação que faça o indivíduo pensar produtivamente,

desenvolvendo o raciocínio lógico para enfrentar situações novas, pode ser

entendida como atividade de resolução de problemas.

Para isso, oportunizar o envolvimento dos alunos com aplicações da

matemática, equipando-os com estratégias para resolver problemas, se faz

necessário. Dante (2005) diz que o desenvolvimento de estratégias e procedimentos

para resolver situações-problema, é mais importante que a própria resposta.

Ensinar a resolver problemas é uma tarefa difícil, não é um mecanismo

direto de ensino, uma vez que a variedade de pensamentos precisa ser

cuidadosamente desenvolvida pelo aluno. É fundamental o papel do professor,

apoiando e auxiliando na elaboração de estratégias passo a passo de como fazer,

encorajando-os a fazer perguntas, destacando as informações importantes,

pensando e gerando ideias produtivas, que poderá levá-lo a compreender melhor o

problema, analisando e chegando a uma solução.

Formular e reformular problemas de Álgebra não é fácil, requer linguagem

matemática apropriada – uma habilidade decisivamente necessária em Matemática.

Isso faz com que os alunos de diferentes níveis de capacidade e perspicácia sintam

certa dose de sucesso quando resolvem no plano pertinente de abstração e

generalização.

Por meio do engajamento consciente dos alunos no processo de fazer

Matemática, esperamos ajudá-los a identificar e selecionar informações relevantes,

buscar padrões, relações e generalizações; formular planos e procedimentos,

integrar e empregar conceitos e habilidade aprendidos previamente; e estender seu

conhecimento a novas situações. Em resumo, ajudá-los a se transformarem em

construtores e usuários, e não apenas em espectadores da Matemática. “Quando

fazemos isso com regularidade, descobrimos que os riscos que corremos se

revertem em resultados positivos, tanto para nós professores como para os alunos,

que encontram prazer e realização na matemática” (HOUSE, 1997, p.234).

Os problemas devem ser vistos como instrumento da elaboração do saber.

O que dá sentido aos conceitos ou teorias são os problemas que estes permitem

resolver. Talvez uma ênfase nas estratégias de resolução de problemas ao longo de

toda a matemática escolar prepare melhor as futuras gerações para os problemas

que encontrarão.

3 A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Minha ideia inicial era trabalhar resolução de problemas gerais, sem

conteúdo específico, devido à grande dificuldade dos alunos em interpretar

situações-problema nas diversas situações a que são expostos na 6ªs e 7ªs séries ou

(7º e 8º ano). Como a data da implementação coincidia com o segundo semestre, a

orientadora sugeriu trabalharmos resolução de problemas na 6ª série (7º ano) com o

conteúdo de Equações do 1º Grau. Escolhida a turma e o conteúdo para

implementação, comecei as leituras. Ao transcorrê-las percebi que a dificuldade na

resolução dos problemas não tinha a ver somente com a “interpretação das

palavras”, mas também com os conceitos apreendidos até então, principalmente no

caso da Álgebra.

Desta forma, procurei estruturar o material de forma a trabalhar conceitos

que não foram concretizados em séries anteriores, como a linguagem algébrica

adequada, generalizando ideias, numa perspectiva de resolução de problemas.

Tomando como base alunos de 6ª série de salas regulares de anos

anteriores, que não apresentavam evidências de terem sido estimulados a pensar e

se expressar algebricamente, entendemos que seria de fundamental importância

investigar a construção do conhecimento algébrico pelos alunos no contexto de sala

de aula desde sua gênese, ou seja, verificando indícios da linguagem e do

simbolismo na vida e na Matemática anteriores à 6ª série.

A intenção foi fazer uma sequência de atividades que introduzisse a

linguagem simbólica sutilmente, de modo que a passagem das ideias aritméticas

para as algébricas acontecesse naturalmente. Para produção de significados para

Álgebra (LINS; GIMENEZ,1997) afirmam que: “é preciso começar mais cedo o

trabalho com álgebra, e de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas,

uma implicada no desenvolvimento da outra” (p.10). Castro (2003) também defende

que o trabalho de desenvolvimento algébrico seja incentivado desde as séries

iniciais.

A unidade Didática foi implementada com os alunos 6ª série B da Escola

Estadual Agostinho Stefanello – EF, no município de Alto Paraná – PR, no período

de 16 de agosto á 25 de outubro do ano de 2010, durantes as aulas regulares,

perfazendo um total de 36 horas/aula.

A Unidade Didática foi estruturada em forma de fichas, com tarefas

direcionadas a favorecer a participação ativa dos alunos, por meio do

encaminhamento metodológico referente a cada ficha. A implementação contemplou

quatro pontos básicos:

1) Da representação simbólica: composta pelas fichas 1- Linguagem,

Matemática e Simbologia; 2- Convenções; 3- Um pouco mais de linguagem

algébrica e 4- Problemas de generalização.

2) Da produção de significados para expressões algébricas por

equivalência: composta pelas fichas 5- Produzindo significados para expressões

algébricas e 6- Equivalência.

3) Da resolução de Equações do 1º por meio de equivalência: composta

pelas fichas 7- Fichas de números inteiros; 8- Equação do 1º Grau com fichas e 9-

Equações com incógnita nos dois membros.

4) Resolução de problemas: composta pelas fichas 10- Pense em um

número...; 11- Utilizando a operação inversa; 12- Resolvendo problemas e 13-

Usando parênteses,balanças e incógnitas nos dois membros.

1) Da representação simbólica

A sequência de tarefas consistiu em uma série de atividades onde

pudéssemos analisar as representações orais e escritas, desde a identificação de

símbolos universais, até representações formais expressando o pensamento

algébrico, nas tarefas de generalização. Em uma das tarefas deveriam representar

os animais pela letra inicial; para representar dois leões e cinco girafas, houve

diversidade de representações: na forma de desenhos, na forma LLGGGGG e ainda

de forma mais simplificada 2L e 5G, demonstrando que não houve anteriormente

situações para representações simbólicas de maneira padronizada. Nesta e em

outras situações pudemos perceber que não somavam as letras diferentes, pois

sabiam que se referiam a coisas diferentes. Não aconteceu o que relatou (BOOTH,

p.28), 2a + 5b = 7ab, indicando que perceberam o significado da simbologia.

Ao mesmo tempo em que investigamos os indícios de representações

algébricas, havia a preocupação em utilizar recursos metodológicos adequados para

que os alunos pudessem superar dificuldades no que se refere à percepção, a

análise e à abstração das regularidades implícitas nos padrões. Assim foi proposto o

jogo da linguagem algébrica, realizado em duplas, que superou totalmente as

expectativas, demonstrando motivação por parte dos alunos, envolvimento e

aprendizagem. Mediante uma frase do tipo, Indique o triplo do número menos dois,

eles montavam as tabelas e encontravam facilmente a regra estabelecida, foi incrível

como todos ficaram empolgados com esta tarefa, e entenderam melhor a linguagem

utilizada para representar os cálculos aritméticos.

Nas tarefas de generalização foram utilizadas sequência com palitos,

sequência com pontos, planilhas eletrônicas (descubra a regra), onde foi possível

observar com clareza a percepção dos significados em cada situação.

A ficha das convenções foi diluída durante a aplicação das tarefas das fichas

3 e 4.

2) Da produção de significados para expressões algébricas por equivalência

Concretizada a primeira fase sobre a relação da expressão algébrica oral e

escrita na forma simbólica, passamos para a fase de produção de significados para

expressões algébricas por equivalência. Para entender o método da equivalência

para resolução de equações é necessário ajudar os alunos a perceberem que uma

equação é antes de tudo, uma igualdade, e que é preciso sempre conservá-la.

Quando existe uma igualdade podemos efetuar a operação, desde que façamos aos

dois membros da igualdade.

O significado dos símbolos de operações de igualdade que as crianças

adquirem durante suas experiências aritméticas pode se constituir um obstáculo

epistemológico3 para a apropriação da Álgebra, o que agora se apresenta na forma

de equivalência.

A tarefa aplicada foi baseada na atividade dos “tanques” (LINS;

GIMENEZ,1997, p.124). Para a realização desta tarefa foram utilizadas duas caixas

de papelão iguais para representar os armários A1 e A2 e as caixas de jogos de

xadrez. Em A1 havia algumas caixas encapadas em um único bloco identificado

como X, e em A2 outro bloco de caixas de jogos de xadrez encapadas identificadas

como Y. Para completar os armários foram acrescentadas mais quatro caixas de

jogos de xadrez para A1 e sete caixas de jogos de xadrez para A2.

Conduzi a atividade, mas eles puderam manipular as caixas de jogos de

jogos de xadrez, estimulando-os a fazer afirmações sobre a situação e justificá-las.

Combinamos o uso da letra c para caixas de jogos de xadrez, A1 para o

primeiro armário, A2 para o segundo armário.

No item a deveriam representar a igualdade entre os armários, estando

vazios. No primeiro momento não conseguiam representá-los, dessa forma, coloquei

as caixas para perceberem que realmente cabe a mesma quantidade de caixas de

jogos de xadrez. Eles queriam representar as situações numericamente.

Desautorizei-os, pedindo para representá-las simbolicamente. A partir desse

cenário, apareceram as primeiras representações de A1 = A2, ou ainda A1 e A2 são =,

e apenas uma dupla representou A = 11, porque sabia que cabiam 11 caixas de

jogos de xadrez no armário (quando eu coloquei as caixas eles contaram). Todos

justificaram corretamente.

Para o item b, coloquei um bloco de caixas de jogos de xadrez encapadas

de branco no primeiro armário. Esse bloco encontrava-se representado por X. No

segundo armário, coloquei outro bloco de caixas de xadrez também encapadas de

branco, porém menor. Este bloco encontrava-se representado por Y.

Completaram totalmente os armários e representaram simbolicamente a

situação, justificando-a satisfatoriamente. 3 Neste trabalho consideramos obstáculo epistemológico na perspectiva de que há uma barreira no ato de adquirir um novo conceito ao se defrontar com outro pré-concebido, que o contradiz impedindo que o aluno progrida. Aritmeticamente não é possível retirar 5 unidades de 3 unidades, já algebricamente podemos, restando -2, o que contradiz seu conhecimento prévio.

Para o item c, deixei em cada armário somente os blocos encapados de x e

y, e acrescentaram em A2 as caixas de jogos de xadrez necessárias para ficarem

com a mesma quantidade, ou seja, 3 caixas.

Fonte: Aluna Amanda V.

Daí em diante, nos itens d, e, f e até o item g, todos representaram

corretamente e justificaram satisfatoriamente, reforçando as observações feitas por

(LINS; GIMENEZ, 1997. p.126), de que esta tarefa não apresenta dificuldades para

alunos da 6ª série. Ficou muito evidente que a igualdade deveria ser mantida. As

transformações produziram significados familiares para os alunos constituindo

legitimidade pela interlocução do professor.

Fonte: Aluna Amanda V.

Fonte: Aluno Natacha

3) Da resolução de Equações do 1º por meio de equivalência

O pensamento algébrico gira em torno de afirmações e justificações, assim

Lins e Gimenez (1997) colocam que é possível produzir significados para núcleos

distintos: por um diagrama, por um desenho, por uma balança, por um conjunto de

afirmações, por uma situação real ou ficcional. O que importa é que é em relação

aos objetos do núcleo estabelecido que vai ser produzido o significado, seja o núcleo

qual for.

O que se evidencia é que há “rupturas” na abstração em abordagens como

na balança de dois pratos, quando os alunos não são capazes de produzir

significado para expressões do tipo 3x + 100 = 10, não há lógica para o equilíbrio de

valores negativos, a afirmação fica sem justificação. Assim como há um obstáculo

para a justificação na expressão 3x – 25 = 2x no método de desfazer, segundo

Bernard e Cohen (1994). Diante do limite epistemológico, recorrem-se às

transformações diretas, que são tratadas como legítimas, já que todo conhecimento

é produzido para o outro, e quem produz acredita que o outro compartilhe daquela

justificação, estabelecendo legitimidade. E o problema da veracidade fica garantido

pelo interlocutor que torna esse conhecimento legítimo, portanto verdadeiro.

Pensando nessa dificuldade desenvolvemos atividades explorando o método

da equivalência para resolução de equações usando fichas coloridas com base no

material proposto por Thompson (1994, p.79).

As fichas de números inteiros foram confeccionadas com EVA, nas cores

azul e vermelha, na forma de quadrados de 3 cm de lado. Uma ficha azul representa

uma unidade positiva (+1), e uma ficha vermelha representa a unidade negativa (-1),

sendo uma o oposto da outra. Dessa forma ficou perceptível que a combinação atua

como “zero”, ou seja, toda vez que tivermos um par de fichas (Azul - Vermelha), elas

se anulam.

Como já haviam estudado números inteiros da forma tradicional, a maioria

dos alunos se lembrava do procedimento, então acharam desnecessário usar as

fichas para realizar as representações, preferiram representar somente

simbolicamente. Realizaram as operações sem questionamentos, em 3A + 4A,

3V + 1V, 1A + 1V e 2A + 2V, mas no itens 3A + 1V e 1A + 3V, alguns

alunos representaram corretamente, mas não fizeram os cálculos corretamente.

Então resolvi intervir e, voltando aos itens 1A + 1V e 2A + 2V, destaquei que toda

vez que formasse um par de fichas azuis e vermelhas, resultava em zero. Então logo

perceberam que deveriam anular uma ficha azul e uma vermelhas até acabarem os

pares, para terem o resultado final. Criei mais algumas operações, e todos

realizaram corretamente. Foi de fundamental importância este resgate dos conceitos

de adição dos números inteiros, representando o anulamento no material

manipulável para a continuidade do trabalho com fichas.

Na ficha de trabalho Equações de 1º Grau com fichas, a igualdade foi

representada por um barbante que dividia as carteiras verticalmente em duas partes.

No lado esquerdo do barbante foi colocado um envelope preto representando um

valor a ser descoberto, e no lado direito do barbante as fichas. A primeira reação dos

alunos ao iniciarem a tarefa, foi olhar dentro do envelope quantas fichas teriam,

houve decepção ao encontrá-lo vazio. Eles ainda não haviam reconhecido o

barbante como representação da igualdade, mas ao representarem simbolicamente

perceberam que o barbante era o sinal de igual, descobrindo quantas fichas deveria

estar dentro do envelope.

Nas tarefas posteriores o envelope foi substituído por tiras retangulares

também de cor preta, e da mesma forma, deveriam descobrir quantas fichas

precisaria estar em baixo da tira para manter a igualdade.

Faziam as manipulações em suas carteiras, acrescentando as fichas para

“anular” os valores e deixar a tira sozinha.

Após todos fazerem as devidas manipulações e encontrar o valor da tira, eu

também fazia o mesmo procedimento no cartazete fixado no quadro, até que

encontrássemos o valor da tira, e somente depois conferíamos se realmente debaixo

da tira havia a quantidade indicada, com a representação simbólica de cada

acréscimo e anulamento.

Fonte: Arquivo da autora

Voltando a situação original e trocando a tira pelo valor encontrado

percebiam que realmente a igualdade se mantinha.

Esta foi a primeira situação do tipo ax + b = c, a qual percebi que ainda havia

duplas que não tinham claro o conceito de igualdade, pois houve uma dupla que

representou a situação anterior do seguinte modo: R = (-2) = (-4) + (+1). Então

ressaltei novamente que o barbante representava o sinal de igual, que existe

somente duas partes, não existem dois barbantes, assim perceberam que o sinal de

igual só poderia ser usado “quando tem barbante”.

Depois de representarem simbolicamente, sabiam que tinham que anular um

par (A - V) do lado direito.

Fonte: Aluno Bruno

A maioria das duplas sabia que R valia -1, por meio da relação da igualdade

de R - 2 = - 3. R só poderia valer - 1, para manter a igualdade. Neste momento a

lógica prevaleceu sobre o material. Mesmo com o raciocínio correto, os alunos não

conseguiam expressar essa lógica no material. Houve a necessidade de voltar na

tarefa 3 da ficha 6, onde precisavam sempre acrescentar ou retirar a mesma

quantidade de fichas de mesma cor para que continuasse a igualdade. Além disso,

também precisavam identificar de que nada adiantava acrescentar fichas vermelhas,

era necessário o acréscimo de duas fichas azuis de cada lado para anular as duas

fichas vermelhas e a tira retangular ficasse sozinha.

Nessa situação, foi grande a dificuldade encontrada, como se estivessem

rompendo um grande obstáculo, para continuarem a caminhada. Mas também,

depois de vencida a barreira, praticamente todos os alunos demonstraram ter

apreendido o processo manipulativo envolvido na resolução de equações.

Fonte: Aluna Yara

Para equações do tipo ax + b = cx + d, trocamos as tiras pretas por tiras

azuis e vermelhas. Como as fichas, as tiras azuis representam valores positivos e as

tiras vermelhas, valores negativos. Houve a necessidade de lembrar que um par de

tiras (A – V) se anula, frisando muito sobre o oposto de cada tira.

Expus que o lado esquerdo do barbante é chamado de primeiro membro, e o

lado direito é chamado de segundo membro. Que para resolver uma equação

precisamos que todas as tiras fiquem no 1º membro e todas as fichas fiquem no 2º

membro, para descobrir o valor da incógnita (tira).

Falei sobre a propriedade igualdade, que sempre acrescentamos a mesma

quantidade de tiras ou fichas em cada membro para mantê-la. Que as tiras são

incógnitas, ou seja, valores a serem descobertos. Tudo isso para terem subsídios

para responderem a questão 1.

Fonte: Aluna Giovana

Fonte: Aluno Luana F.

Fonte: Aluno Igor

Fonte: Aluno Hugo

Como já haviam incorporado o método para resolução de equação do tipo

ax + b = c, pela mesma lógica logo deduziram que, se é possível acrescentar e

anular pares de fichas (A – V), também poderia acrescentar e anular pares de tiras

retangulares (A –V).

Apesar de alguns alunos ainda estarem com as ideias meio confusas,

sabiam o que tinham que fazer para deixar tiras no primeiro membro e fichas no 2º

membro. Não houve grandes problemas para encontrarem do valor das tiras.

Por incrível que pareça, a grande maioria dos alunos não apresentou

praticamente nenhuma dificuldade na resolução das equações. Algumas duplas,

primeiro acrescentaram as fichas e depois a tiras para anulamento, mas perceberam

que não influenciava no resultado. A necessidade de descrever suas ações

contribuiu extraordinariamente para a fixação dos passos a serem seguidos.

Fonte: Aluno Lucas

Nos itens f e g, a resolução da equação produzia a uma incógnita negativa,

havendo a necessidade da troca de tiras e fichas por suas opostas. Aceitaram a

troca legitimada pela interlocução da professora.

Fonte: Aluna Yara

Fonte: Aluna Amanda O.

Fonte: Aluno Gabriel

Fonte: Aluna Juliana V.

Fonte: Aluno Lucas V.

Fonte: Aluna Gleisy

Fonte: Aluno Jhordan

Fonte: Aluno Nícolas

Fonte: Aluna Maryana

4) Resolução de problemas

O material fora constituído totalmente numa perspectiva de resolução de

problemas, apresentando situações que descrevem fenômenos reais,

generalizando-os, e explicitando simbolicamente, estimulando o pensamento

algébrico e construindo significados pelas relações que estabeleceram entre os

conceitos e os recursos utilizados, culminando na incorporação de uma visão da

Álgebra como ferramenta de abstração e generalização na resolução de problemas

envolvendo Equações do 1º Grau.

Ao invés de ensinar álgebra como um conjunto de procedimentos que devem ser aplicados na resolução de um problema específico, cabe ao professor criar situações de ensino que possibilitem ao aluno pensar algebricamente ao se deparar com um problema. (LESSA, FALCÃO, p.123)

Para esta etapa trabalhei situações diversificadas: enigmas do tipo “Pense

em um número”, operações inversas, situações reais e balanças. Foi impressionante

que mesmo tendo o conhecimento do procedimento para resolução de equações,

apresentaram dificuldades nas traduções algébricas e desejavam resolvê-las por

tentativas, lógica, prevalecendo as operações inversas.

A aplicação da ficha de enigmas foi muito motivadora, ficaram intrigados

com a “mágica”. Tive que decepcioná-los dizendo que era Matemática. Algumas

duplas tentavam descobrir a explicação para o fato, mas não tiveram o traquejo

algébrico para tanto. Dessa forma, fui colocando no quadro a tradução algébrica das

instruções. Ao visualizarem a expressão algébrica, “mataram a charada”, só a partir

deste momento identificaram que o truque era meramente matemático, através da

reversibilidade de operações.

O raciocínio da operação inversa é muito tranquilo para os alunos que

conseguem perceber que desfazendo as operações do final para o início, encontram

o resultado. O problema é representar esta situação simbolicamente, houve muita

resistência em expressar simbolicamente a informação, e no primeiro momento não

exigi que equacionassem.

Fonte: Aluna Ana

Fonte: Aluna Maryana

Depois que todos terminaram de resolver (a maioria aritmeticamente),

fizemos coletivamente as expressões simbólicas de cada situação, relacionando as

resoluções aritméticas com o que acontece no material.

Nas situações reais inicialmente segui o encaminhamento metodológico

estipulado nesta ficha de trabalho, que era distribuir uma situação para cada equipe,

onde deveriam equacionar a situação, trocá-las entre os grupos para averiguar se as

sentenças estavam corretas e finalmente resolvê-las. Mas tive que mudar os planos,

pois eles resolviam a situação aritmeticamente, descobriam o resultado e só depois

equacionavam e resolviam aplicando a propriedade aditiva e multiplicativa.

No decorrer da realização das tarefas dessa ficha alguns alunos

apresentaram certa dificuldade na a tradução algébrica correta, mesmo os que

tiveram o raciocínio lógico correto para os cálculos aritméticos. Não forcei, deixei

que expressassem a lógica de seus raciocínios nas situações menos elaboradas.

A partir da terceira situação já percebi que tentavam equacionar para depois

resolver, demonstrando uma visão mais algébrica do raciocínio aritmético. Mas foi

mesmo a partir das situações mais elaboradas que realmente perceberam a

necessidade de equacionar e que a resolução de forma algébrica era mais rápida do

que por tentativas.

Para finalizar o projeto e o conteúdo oportunizei que relatassem sobre a

utilidade do estudo das equações. Com sinceridade em seus relatos demonstram a

aprendizagem dos conceitos ensinados:

Luana K: Serviu como um atalho para resolver contas e problemas, facilita encontrar

os valores desconhecidos.

Yara: A equação resolve as contas de um jeito diferente. Com o material era bem

mais fácil, mas agora também está muito fácil, pois já me acostumei com a equação.

Juliana D: Serve para manter a igualdade entre os números e também solucionar

problemas.

Natacha: Eu não gostei muito no início porque embaralha muito a cabeça

misturando letras e números. Mas torna mais fácil a resolução de problemas.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

As tarefas da Unidade Didática foram elaboradas tendo em vista as

dificuldades encontradas para a apropriação efetiva desse conteúdo em anos

anteriores. Ao produzi-lo, optamos em sequência-lo de maneira a não deixar

nenhuma ideia de fora, assim tornou-se longa. Optamos também em estruturá-la em

fichas de trabalho para facilitar a montagem da Unidade, o que não significa que

elas devam ser trabalhadas separadamente, elas podem ser unidas, propiciando

sempre subsídio para a próxima ficha, com um novo conceito a ser incorporado.

Durante a implementação conseguimos aliar ficha a ficha até que houve na

aplicação um corte em meio o trabalho da linguagem natural e tradução algébrica,

para dar espaço ao trabalho manipulativo. Ao juntar os dois conhecimentos na

resolução de problemas propriamente dita, houve a necessidade de retomada de

termos especifico da tradução algébrica, atrasando a conclusão do trabalho. Por

esse motivo sugiro que o trabalho manipulativo seja feito ao mesmo tempo da

tradução algébrica.

Comparando os resultados obtidos no estudo das Equações do 1º Grau, de

anos anteriores, onde a introdução era feita diretamente com situações-problema

para o uso de equações, com os resultados alcançados na aplicação desta Unidade

Didática, concluímos que contribuiu no sentido de proporcionar significado aos

símbolos utilizados, favorecendo a elaboração do pensamento algébrico.

A seqüência, embora longa, permitiu observar de forma ampla a construção

dos conceitos algébricos, em todas as etapas essenciais para o aprendizado de

Equações do 1º Grau.

Os alunos apresentaram mudanças positivas nos procedimentos algébricos,

demonstrando compreensão de conceitos fundamentais.

Houve grande interesse e participação na primeira etapa, da representação

simbólica, na elaboração do conceito de incógnita e de variável em situações de

generalização, o que possibilitou a compreensão sobre as relações que os símbolos

expressam e o uso das letras na linguagem Matemática, contribuindo para a etapa

final. O maior sinal do entendimento do significado dos símbolos e a função das

letras, foi ao se depararem com uma sentença (equação), não perguntaram: “quanto

vale x?”, como acontecia em anos anteriores, pois não conseguiam relacionar o

símbolo como um valor numérico a ser descoberto.

Na segunda etapa, da produção de significados para expressões algébricas

por equivalência, propiciou a incorporação do princípio de equivalência como fator

fundamental para transformação de igualdades. Podemos evidenciar que os alunos

de 6ª série têm competência para lidar com transformações algébricas, afirmando e

justificando, desde que manipuladas. A visualização das transformações e a

interlocução do professor foram essenciais para garantir a compreensão da

afirmação, produzindo significado ao representar a sentença simbolicamente, ou

melhor, tornando as transformações das sentenças legítimas. A clareza nas

afirmações e justificações dos alunos demonstra que a atividade algébrica envolvida

nesta tarefa, chegou à caracterização formal.

Na terceira etapa, da resolução de Equações do 1º por meio de

equivalência, o material com fichas inicialmente entrou em conflito com o raciocínio

lógico, a tendência em resolver de “cabeça” equações do tipo ax + b = c é

muito natural, com representações simbólicas aritméticas. Neste aspecto, a

visualização do material contribuiu extremamente para que justificassem cada uma

das transformações, sempre mantendo a igualdade.

A contribuição do material com fichas foi tão importante, que ao resolverem

equações de fator de “ruptura” do tipo ax + b = cx + d, não apresentaram

praticamente dúvidas em relação à manipulação. Os alunos já haviam percebido

que, se era possível acrescentar e anular pares de fichas (A – V), então também

seria possível acrescentar e anular pares de tiras (A – V). A relação entre o

“concreto” e o “formal”, preenche o “vazio” ilustrado pelas pesquisadoras inglesas

Hart e Sinkinson (LINS; GIMENEZ, 1997). Em análise consideramos o método

possibilitador do entendimento do conjunto de conceitos e procedimentos

matemáticos envolvidos na resolução da equação.

Em todas as etapas foram oportunizadas formas de representação oral e

escrita das afirmações e justificações, podendo relacionar as sentenças simbólicas

com maior retenção de seu significado. Mas foi principalmente nesta etapa que ao

descreverem cada acréscimo ou anulamento de fichas e tiras, concretizaram as

ideias e o sistema de relações envolvidas, favorecendo a uma rápida abstração.

Após o término das tarefas das fichas, poucos alunos ainda necessitavam do

material para resolver as equações.

Apesar de introduzir o estudo das Equações do 1º Grau de forma diferente de

anos anteriores, na resolução de problemas propriamente dita, na quarta etapa,

encontrei inicialmente os mesmos obstáculos: a resistência em equacionar as

situações e dificuldades na tradução algébrica.

No entanto apresentaram um diferencial importante: domínio algébrico na

resolução de equações, que precisou ser atrelado à tradução da linguagem natural,

que perdeu o referencial semântico no processo de manipulação.

[...] a comunicação do pensamento matemático que opera em dois níveis. O primeiro é o nível semântico: os símbolos e as notações carregam um significado paralelo com a linguagem natural. O segundo nível é puramente sintático, que podem aplicar regras manipulativas, sem referência direta ao significado. (GARCIA, 1997, p.11 apud ROMERO, 2007, p.26).

Ao representarem simbolicamente quatro tiras no material, automaticamente

expressavam como 4 vezes a incógnita R: 4R, ao passo que na tradução do

quádruplo do número pensado, não faziam a relação com quatro tiras, tentando

descobrir primeiro o valor para depois representá-lo simbolicamente.

À medida que realizavam cada tarefa, demonstravam domínio dos conceitos

ao se expressarem simbolicamente, fazendo a interligação da linguagem natural

com a linguagem algébrica. Ao final já possuíam um “olhar algébrico” procurando

equacionar corretamente as situações, e o reconhecimento do uso de equações

como ferramenta facilitadora na resolução de problemas, deixou o sentimento de

que nosso objetivo principal foi alcançado. Não se pode negar que o processo de

incorporação desse novo código linguístico, repleto de relações implícitas entre

incógnitas e dados numéricos, é lento e exige continuidade até que sejam totalmente

incorporados.

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