Upload
dadosdedeus
View
308
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
1º Simulado ITA - Resolução MATEMÁTICA 4/22/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)
2 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
2
GABARITO
1 D 6 E 11 A 16 E
2 C 7 E 12 B 17 B
3 D 8 A 13 B 18 C
4 E 9 D 14 C 19 C
5 D 10 E 15 B 20 E
3 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
3
NOTAÇÕES
: conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos
: conjunto dos números inteiros : unidade imaginária:
: conjunto dos números racionais : conjugado do número
: conjunto dos números reais : módulo do número
: conjunto das matrizes reais
: determinante da matriz
: adjunta da matriz M
: parte real do complexo
: parte imaginária do complexo .
: segmento de reta unindo os pontos e .
: ângulo formado pelos segmentos e , com vértice no ponto
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Questão 1. Dado , então o valor de
em é igual a
A ( )
. B ( )
. C ( )
. D ( )
. E ( ) .
Solução:
4 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
4
Mas:
Questão 2. Sejam A, B e C três conjuntos de números complexos como definido abaixo
O número de elementos do conjunto é
A ( ) . B ( ) 0. C ( ) 1. D ( ) 2. E ( ) .
Solução: Vamos representar geometricamente em um mesmo plano Argand-Gauus os três conjuntos:
A : conjunto dos pontos sobre e acima da reta .
B : conjunto dos pontos pertencentes à circunferência de centro e raio .
C : .
De fato, há apenas 1 ponto possível.
Questão 3. Se e , então o LG dos pontos
é
A ( ) reta que não passa pela origem. B ( ) uma circunferência. C ( ) o eixo .
D ( ) o eixo . E ( ) um ponto.
Solução:
. Como
é imaginário puro, o conjunto dos
pontos é o próprio eixo y.
Questão 4. Um sinal que pode ser verde ou vermelho, com probabilidades 4/5 e 1/5 respectivamente, é
recebido pela estação A e depois retransmitido para a estação B. A probabilidade de cada estação receber o sinal corretamente é ¾. Se o sinal recebido em B é verde, então a probabilidade de o sinal original fosse verde é
5 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
5
A ( )
. B ( )
. C ( )
. D ( )
. E ( )
.
Solução:
Evento G : probabilidade do sinal original ser verde.
Evento E1 : A recebe o sinal correto.
Evento E2 : B recebe o sinal correto.
Evento E : Sinal recebido por B é verde.
Calculemos a probabilidade do evento E ocorrer:
A probabilidade de o sinal original ser verde e B receber verde é
A probabilidade de ocorrer o evento G dado que ocorre E (condicional) é:
Questão 5. Para x pertencente ao conjunto dos reais, seja .
I – não é injetiva mas é sobrejetiva.
II – é sobrejetiva mas não injetiva.
III – não é injetiva nem sobrejetiva
IV – é bijetiva.
V – Não é possível determinar se é sobrejetiva.
é verdadeira
A ( ) I. B ( ) II. C ( ) III. D ( ) IV. E ( ) V.
Solução: Sejam tal que . Temos que:
Mas
(pois
). Logo:
6 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
6
Assim, é estritamente crescente e portanto bijetiva.
Questão 6. Considere o sistema de equações e as seguintes proposições
I - o sistema não possui solução para .
II - o determinante
, para .
III - é impossível para qualquer valor de .
é (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.
D ( ) apenas II e III. E ( ) apenas I e II.
Solução: Seja o determinante da matriz incompleta do sistema:
Assim, o sistema é possível indeterminado ou impossível. Para que ocorra o primeiro caso (e haja solução),
devemos ter :
Logo, o sistema não possui solução para .
Questão 7. Considere as afirmações abaixo:
7 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
7
I – se A e B são matrizes ortogonais, então (AB) é ortogonal.
II –
III – os únicos valores possíveis para o determinante de uma matriz ortogonal são e .
é (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas II e III.
D ( ) nenhuma. E ( ) todas.
Solução:
(I) Uma matriz Mé dita ortogonal se . Mas se e , então:
(II) Sabemos que . Primeiramente, se M é inversível, então e e então .
Agora, se M não for inversível, . Logo, . Se , então e está provado. Se ,
então M possui uma linha não nula, digamos . Mas como , , o que implica
que não é inversível e portanto a adjunta também não é. Com isso, e está provado.
(III) . Mas o determinante da transposta é igual ao da matriz e o da inversa é
seu inverso, logo
.
Questão 8. Os valores de para os quais a soma dos cubos das raízes da equação é igual a 1 são
A ( ) 0 e
. B ( )
e
. C ( )
e
.
D ( ) 0 e
. E ( ) Não há valores possíveis.
Solução: Sejam a e b as raízes. Das relações de Girard, temos que:
Logo:
Logo, ou
.
Questão 9. Sejam as raízes da equação e
, as raízes da equação .
O valor de é
8 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
8
A ( )
B ( )
. C ( )
.
D ( )
. E ( )
.
Solução: Das Relações de Girard, temos que:
De (I) e (II):
e
Substituindo em (III):
Questão 10. O resto da divisão do polinômio pelo polinômio , é
igual a
A ( ) 0. B ( ) 40. C ( ) 60. D ( ) 80. E ( ) 120.
Solução: Podemos escrever o polinômio dado como:
Para , temos:
Questão 11. Se e são as raízes da equação , então é igual a
A ( ) -1. B ( ) 1. C ( ) -2. D ( ) 2. E ( ) 0.
Solução: A raízes da equação são:
e
Logo:
9 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
9
Questão 12. O conjunto solução da desigualdade é igual a
A ( )
. B ( )
. C ( )
D ( )
. E ( )
Solução: Como , temos que:
Por inspeção, 3 é raíz. Logo:
Colocando tudo em um quadro de sinais:
Portanto,
e , ou seja
.
Questão 13. A reta
intersecta a elipse
nos pontos A e B. Existe o ponto P na elipse tal
que a área de PAB é vale 3. Podemos afirmar que a quantidade possível de pontos P é
A ( ) 1. B ( ) 2. C ( ) 3. D ( ) 4. E ( ) .
Solução: Se P está na elipse, então faça na elipse.Quando P e a origem não estão no
mesmo lado de AB, a distância de P a AB é
Mas , então .
10 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
10
Portanto, quando a área de PAB é 3, P e O estão do mesmo lado de AB. Existem 2 pontos P.
Questão 14. Seja
. Então o valor máximo de
é igual a
A ( )
B ( )
. C ( )
. D ( )
. E ( ) .
Solução: Seja
, então
e
. Temos que:
.
Logo:
Como
e são monótonos decrescentes neste caso, atinge o máximo em
, e
.
Questão 15. Seja um quadrilátero com área , com lado paralelo ao lado e .
Seja AD perpendicular a e . Se um círculo é desenhado dentro de tocando todos seus lados, seu
raio, em , é igual a
A ( ) 3. B ( ) 2. C ( )
. D ( ) 1. E ( )
.
Solução:
Solução:
11 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
11
Podemos verificar que é solução do sistema.
Questão 16. Se os ângulos e de um triângulo formam uma progressão aritmética e denotam os
comprimentos dos lados opostos a e respectivamente, então o valor da expressão
é
igual a
A ( )
. B ( )
. C ( ) c) . D ( )
. E ( ) .
Solução: Da Lei dos Senos:
Logo:
Mas se A, B e C estão em P.A., e , então e .
Questão 17. No triângulo PQR isósceles, com PQ = PR = 3 cm e QR = 2 cm, a tangente à sua circunferência circunscrita no ponto Q encontra o prolongamento do lado PR em X. O valor de RX, em cm, é igual a
A ( )
. B ( )
. C ( )
. D ( )
. E ( )
.
Solução:
Primeiramente, vamos calcular o raio da circunferência circunscrita:
12 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
12
Montamos agora as equações de e :
Como :
E:
Igualando (I) e (II):
Voltando em (II):
Logo:
Questão 18. Seja um triângulo e seja o ponto no semi – plano contrário ao do vértice , gerado pela
reta , tal que , e . Então o ângulo é igual a
A ( ) . B ( ) . C ( ) . D ( ) . E ( ) .
Solução:
13 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
13
Teorema do Ângulo Externo:
Teorema do Ângulo Externo:
Substituindo (II) em (I):
Questão 19. A região definida pelas curvas , , e . é o volume do sólido
obtido rotacionando-se a região descrita em torno do eixo . Uma outra região é formada pelos pontos que satisfazem , e . é o volume do sólido obtido
rotacionando-se esta região em torno do eixo . A relação entre e é igual a
A ( )
. B ( )
. C ( ) . D ( ) . E ( ) .
Solução:
Como mostrado no diagrama acima, os dois sólidos de rotação obtidos rotacionando-se respectivamente as duas
regiões em torno do eixo y estão entre dois planos paralelos, distantes 8 unidades um do outro. Cortamos os dois sólidos de rotação por qualquer plano perpendicular ao eixo y. Suponha que a distância do plano à origem é
. Assim, as áreas hachuradas são:
Pelo princípio de Cavalieri, temos que .
Questão 20. A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de de diâmetro. Se
a área da base é a décima parte da área lateral, então a altura da pirâmide, em , é igual a
A ( )
. B ( ) . C ( )
. D ( ) . E ( ) .
Solução: Seja g a geratriz das faces e h a altura buscada.
14 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
14
Mas
AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER
RESOLVIDAS E REPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.
Questão 21. Sabendo que
:
a) prove que .
b) calcule
.
Solução:
a)
b) Do item anterior, temos que
.
Logo:
Questão 22. Determine todos os números complexos tais que
.
Solução: . Logo:
Assim, o conjunto solução é formado por todos os reais diferentes de 0 e todos os complexos de módulo unitário.
Questão 23. Um torneio é disputado por quatro times A, B, C e D. É três vezes mais provável que A vença do
que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e três vezes mais provável que C vença do que D. Quais são as probabilidades de ganhar para cada um dos times?
Solução: A soma de um evento com seu complementar é igual a 1. Logo:
15 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
15
Do enunciado,
Com isso,
Questão 24. Resolva a inequação em : .
Solução: Façamos as condições de existência:
Para a última condição:
Montamos o quadro de sinais para determinar o intervalo buscado:
Logo, ou . Das outras condições, temos que . Assim:
Portanto, .
Questão 25. Sendo A, B e C matrizes inversíveis de ordem , prove que:
a) .
16 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
16
b) .
c) .
Solução:
a)
Logo: .
b) .
c) .
Questão 26. Resolva a equação em :
.
Solução:
Mas
. Logo:
Voltando em
De fato, para par
logo as condições de existência são atendidas. Assim, o conjunto
solução é
.
Questão 27. O triângulo , cujos lados medem , , é base de uma
pirâmide de vértices S, cujas faces laterais , e formam diedros de com o plano da base.
a) Calcule o volume da pirâmide.
17 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
17
b) Calcule o raio da esfera inscrita na pirâmide.
Solução:
a) Sejam , o vértice da pirâmide e sua projeção sobre o plano da base, respectivamente e o ponto em que o
raio da circunferência inscrita ao toca a aresta . O raio da cinrcunferência inscrita ao triângulo é
. Como projeção de V conincide com o incentro da base e se H é a altura da pirâmide:
Logo:
b) Seja O o centro da esfera inscrita:
18 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
18
Questão 28. Mostre que
.1
Solução: Sejam
e
. Logo:
Igualando as expressões:
Considerando apenas as primeiras determinações positivas:
Questão 29. Dado um quadrado de lado unitário e um um ponto O interno a tal que .
a) Prove que é equilátero.
b) Calcule o comprimento de .
Solução:
a) .
Por simetria, e .
:
:
. Logo, é equilátero.
b)
.
1 A questão original estava errada.
19 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
19
Questão 30. Conforme ilustrado nas figuras abaixo, existe uma sequência de curvas , , , .... Sabe-se que a
área definida por vale 1 e que é um triângulo equilátero. Obtemos de pelo seguinte procedimento:
Dividimos cada lado de e construímos um trângulo equilátero externamente a cada lado de sobre o
segmento do meio e depois retiramos esse segmento ( ).
a) Escreva como a área da região limitada por e determine uma fórmula fechada para a mesma.
b) Determine o valor de para quando assume valores muito grandes.
Solução:
a) Primeiramente, note que cada lado de vira 4 lados de e cada lado de vira mais 4 de e assim
sucessivamente, o que nos dá o número de lados em igual a .
A cada passo, estamos ainda adicionando um triângulo equilátero de área
a cada lado de . Logo:
,
,
,
.
Vamos provar essa conjectura via indução finita. Para a expressão é válida. Suponha para e
.
Para , é fácil perceber que, após operações, teremos adicionado um triângulo de área
a
cada lado de este possui lados. Assim:
.
b) De a) temos que
. Logo:
20 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
20
.