Determinação dos Parâmetros Modais de Estruturas Submetidas a Excitações Aleatórias

Flávio de Souza Barbosa

Departamento de Estruturas. UFJF - Universidade Federal de Juiz de Fora

Christian Cremona

Division Fonctionnement et Durabilité des Ouvrages d´Art. LCPC - Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, França

Resumo

A identificação das características modais de uma estrutura (freqüências, amortecimentos e modos próprios de vibração) é de importância fundamental para a análise de seu comportamento dinâmico. Assim sendo, é possível encontrar na literatura diversos artigos que visam tratar este problema nos seus inúmeros aspectos que vão desde a modelagem computacional até o tratamento de sinais obtidos de medidas “in loco”. O presente trabalho tem por objetivo a descrição de procedimentos simples e eficazes para a identificação modal a partir de resultados de ensaios e suas aplicações a uma estrutura real. 1 - Introdução As medidas dinâmicas obtidas de ensaios estruturais são, de uma maneira geral, tomadas em função do tempo: acelerações, deslocamentos, deformações, etc. Este fato motiva o desenvolvimento de técnicas de identificação modal que trabalham diretamente com estas medidas, eliminando assim erros numéricos que possam ser introduzidos no problema quando se passa do domínio do tempo para outros domínios de análise. Muitos destes algoritmos de identificação no domínio do tempo têm como dificuldade a necessidade de uma resposta em vibrações livres da estrutura, como é o caso do método de Ibrahim [1, 2, 11 e 14]. Na prática esta necessidade inviabilizaria análises envolvendo estruturas nas quais, por um motivo qualquer, estas respostas não podem ser diretamente medidas. Mas, com o surgimento de técnicas que, partindo da resposta da estrutura excitada aleatoriamente, conseguem aproximar a resposta em vibrações livres de uma forma computacionalmente eficiente e com uma boa precisão, os métodos temporais ganham uma maior potencialidade. Dentre estas técnicas podemos destacar o Decremento Aleatório [2, 3, 4, 5, 6, 7 e 15]. A técnica do Decremento Aleatório foi desenvolvida por Cole nos anos 60 [12 e 13] como uma alternativa ao algoritmo da FFT na análise de respostas dinâmicas. Esta técnica é bastante atrativa pois a sua implementação computacional é simples e seu tempo de processamento é relativamente baixo. O princípio da técnica é estimar as chamadas funções de decremento aleatório tomando-se uma média de segmentos das medidas dinâmicas segundo certos critérios. Partindo-se das funções de decremento aleatório é possível extrair os parâmetros modais utilizando-se métodos desenvolvidos para determinação destes parâmetros partindo-se de uma resposta em vibrações livres.

2 - A Técnica do Decremento Aleatório Partindo-se de dois processos (medições dinâmicas) estocásticos, estacionários e de média zero X(t) e Y(t), as funções de decremento aleatório DXX, DYX, DYY e DXY são definidas como: DXX (τ) = E [X(t + τ) | TX(t)] (1) DYX (τ) = E [Y(t + τ) | TX(t)] (2) DYY (τ) = E [Y(t + τ) | TY(t)] (3) DXY (τ) = E [X(t + τ) | TX(t)] (4) O primeiro índice se refere ao processo onde a média é calculada e o segundo ao processo onde a condição é satisfeita. As condições TX(t) e TY(t) são denominadas condições de desencadeamento (“triggering conditions”) e o tempo t onde as condições de desencadeamento são satisfeitas é denominados ponto de desencadeamento. Para o caso apresentado, onde são disponíveis duas medições, pode-se definir dois conjuntos de funções de decremento aleatório na forma:

)()(

2 Conjunto

)()(

1 Conjunto

ττ

ττ

YY

XY

YX

XX

DD

DD (5)

Caso houvesse n medições, seria possível determinar n diferentes conjuntos de n funções de decremento aleatório. Assumindo-se os processos como ergóticos as funções de decremento aleatório podem ser estimadas como:

DXX (τ) ˜ ( ) ( )∑=

+N

itXi i

TtXN 1

|1

τ (6)

DYX (τ) ˜ ( ) ( )∑=

+N

itXi i

TtYN 1

|1

τ (7)

DXX (τ) ˜ ( ) ( )∑=

+N

itYi i

TtXN 1

|1

τ (8)

DYX (τ) ˜ ( ) ( )∑=

+N

itYi i

TtYN 1

|1

τ (9)

onde N é o número de pontos de desencadeamento. A estimativa das funções de decremento aleatório é bastante simples. Ela envolve a detecção de pontos de desencadeamento e o cálculo da média de segmentos das medidas. Um critério para determinação dos pontos de desencadeamento é: TX(t) = { X(t) = x } e TY(t) = { Y(t) = y } (10) sendo x e y números reais positivos. Asmussen [15] propõe outros critérios para determinação dos pontos de desencadeamento além do citado neste trabalho. O número total

de pontos de desencadeamento controla a precisão das estimativas das funções de decremento aleatório [2]. Tradicionalmente as funções de decremento aleatório de um conjunto de respostas dinâmicas de uma estrutura são interpretadas como sua reposta em vibrações livres [4, 12, 13 e 15]. A resposta dinâmica do tempo t0 ao tempo t0 + t de uma estrutura sujeita a um carregamento estocástico, estacionário e de média zero consiste em três partes: 1) A resposta devida ao deslocamento inicial no tempo t0; 2) A resposta devida à velocidade inicial no tempo t0; 3) A resposta devida à excitação durante o intervalo entre t0 e t0 + t. A parcela da resposta devido ao carregamento é também estacionária e de média zero, fazendo com que a mesma se anule à medida que se aumenta o número de pontos de desencadeamento. A curva que descreve a resposta dinâmica estrutural alterna ascendentes (velocidades positivas) e descentes (velocidades positivas) nos pontos X(t) =x e Y(t) = y fazendo com que a parcela da resposta devido à velocidade inicial no tempo t0 também se anule com o aumento do número de pontos de desencadeamento. Finalmente, pode-se dizer então que as funções de decremento aleatório, com o aumento do número de pontos de desencadeamento, tendem a se aproximar das respostas em vibrações livres de uma estrutura para um deslocamento inicial X(t0) = x (Conjunto 1 – ver equações (5)) e Y(t0) = y (Conjunto 2 – ver equações (5)). Uma vez obtido um conjunto de n repostas dentre as n2 funções Dij (i = 1.. número de sinais analisados - n e j = 1.. número de sinais analisados - n) é possível a aplicação do método de Ibrahim para determinação das freqüências, modos e amortecimentos próprios da estrutura analisada. 3 - O Método de Ibrahim A resposta em vibrações livres x de uma estrutura medida na posição i e no tempo tj pode ser escrita como o somatório de m modos de vibração:

( )[ ] ( )[ ] ∑=

==≈m

k

tikijiic

jxjtxjtD2

1

ke λϕ (11)

onde o índice c indica o conjunto de funções de decremento aleatório escolhido, λk representa a k-ésima freqüência natural complexa de vibração e ϕik a amplitude do k-ésimo modo de vibração complexo na posição i. A freqüência circular natural de vibração ωk e o amortecimento modal ξk do k-ésimo modo podem ser calculados usando:

( )k

kkkk ω

λξλω

Re , −== (12)

onde Re(λk) denota a parte real de λk.

Supondo que de deseja calcular m características modais e se disponha de n pontos de medições em s intervalos de tempo. Sendo n = 2m e partindo-se da equação (11), pode-se escrever uma matriz de respostas X na forma: X = ψ Λ (13) sendo:

=

smmm

s

s

xxx

xxxxxx

,22,21,2

,22,21,2

,12,11,1

LMOMM

LL

X ;

=

mmmm

m

m

2,22,21,2

2,22,21,2

2,12,11,1

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

L

MOMMLL

? e

=

ss

s

s

ttt

ttt

ttt

2m2m12m

22212

12111

eee

eeeeee

λλλ

λλλ

λλλ

LMOM

LL

?

De maneira similar, pode-se escrever a matriz X

)correspondente ao mesmo conjunto de

medidas defasados de ∆t com relação àquelas da equação (11) como:

??X))

= (14) sendo:

∑=

=m

k

tikij

jx2

1

ke λϕ)) , t

ikikk ∆= λϕϕ e ) (15)

A eliminação da matriz ? das equações (13) e (14) produz:

AXX??X == −1)) (16) e

? aA? = (17)

onde A é definida como a matriz (2m x 2m) do sistema e a é uma matriz diagonal de elementos t

k∆= keλα . A equação (16) geralmente possui diversas equações linearmente

dependentes e a solução para obtenção da matriz A não é única. Várias aproximações usando método dos mínimos quadrados e decomposições em valores singulares podem ser usadas. Utilizando uma solução por mínimos quadrados, Ibrahim [14] determina a matriz A como sendo:

1TT ))(( −= XXXXA)

(18) Determinada a matriz A, passa-se para a solução do problema de auto-valor padrão da equação (17) utilizando-se um método convencional para solução deste tipo de problema resultando na determinação dos coeficientes da matriz a (auto-valores de A) e nos auto-vetores ? . Para kk

tk Iγβα λ +== ∆ke (I é a unidade imaginária) e kkk Iba +=λ , pode-se chegar as

relações entre os coeficientes ak, bk βk e γk na forma:

( )22ln2

1kkk t

γβα +∆

= e

∆

= −

k

kk t

bβγ1tan

1 (19)

Uma vez determinados os valores de kkk Iba +=λ , através das equações (12) pode-se chegar às freqüências naturais e amortecimentos modais da estrutura. Baseado no exposto, conclui-se também que os auto-vetores ? são os modos complexos de vibração da estrutura. 4 - Aplicação Apresenta-se aqui a identificação modal da ponte Z24 na Suíça. O algoritmo de identificação utilizado foi a aplicação da técnica do decremento aleatório com o método de Ibrahim aplicados às respostas dinâmicas obtidas sob excitações aleatórias estacionários e de média zero. 4.1 - Descrição da ponte A ponte Z24 (figura 2) era uma obra de arte entre Utzenstorf e Koppigen na Suíça que foi construída entre 1961 e 1963 e que se situava sobre a auto-estrada de ligação entre Berna a Zurique (auto-estrada A1). As principais características geométricas da ponte são mostradas na figura 3. Esta ponte foi destruída para dar lugar a uma outra (ponte A36) construída paralelamente à Z24. Mas antes da sua destruição vários ensaios dinâmicos foram nela realizados, incluindo ensaios da estrutura sujeita a danos provocados. Estes experimentos foram feitos dentro de um projeto europeu denominado SIMCES (System Identification to Monitor Civil Engineering) [8].

Figura 2: Ponte Z24

Figura 3: Geometria da Ponte Z24

4.2 - Descrição dos ensaios A figura 4 mostra o plano de instrumentação da ponte. Foram utilizados um total de 154 pontos de medidas com acelerômetros, sendo: 35 pontos com acelerômetros tridimensionais, 27 pontos com acelerômetros bidimensionais e 92 pontos com acelerômetros unidimensionais As acelerações foram tomadas em 9 grupos de medições denominados “Setups”, guardando-se sempre 3 pontos de medidas em comum de referência : R1, R2 e R3 (ver figura 4)

Figura 4: Plano de Instrumentação da Ponte Z24

A excitação foi aplicada na ponte de duas formas: Excitação ambiente (AVT – Ambient Vibration Test) e Excitação imposta por excitadores de forma aleatória (FVT– Forced Vibration Test). No presente trabalho apresentam-se os resultados obtidos para a solicitação FVT. Uma resposta típica obtida para um dos sinais é mostrada na figura 5.

Figura 5: Resposta Típica Obtida nos Ensaios

4.3 - Determinação das freqüências, amortecimentos e modos naturais de vibração Aplicando a técnica do decremento aleatório e o método de Ibrahim a várias partes dos sinais devidos à excitação FVT, gerando assim diversas realizações na determinação das características modais, pode-se montar histogramas destas realizações onde se observam claramente as freqüências e amortecimentos modais e os valores de amplitudes modais para cada ponto observado. A figura 6 mostra o histograma de realizações para as freqüências naturais. Pode-se inclusive, a partir dos histogramas, determinar parâmetros estatísticos (média, desvios, etc) que possibilitem avaliações com maior confiabilidade.

Figura 6: Histograma de Freqüências

A figura 7 mostra um resumo das freqüências naturais médias (F) e amortecimentos modais médios (ξ), incluindo os desvios padrões obtidos para as freqüências naturais (σ), identificados neste trabalho (primeira coluna) e aqueles obtidos por Roeck et al [9] que utilizou um método de identificação de subespaços [10] (segunda coluna). As formas modais observadas em ambas as análises são bastante semelhantes, salvo qualquer diferença entre a normalização dos modos de vibração como fica evidente para o segundo modo natural. Quanto as freqüências naturais pode-se dizer que os valores obtidos em ambas as análises são praticamente equivalentes se considerarmos os respectivos valores de desvio padrão. Com relação aos amortecimentos próprios percebe-se diferenças mais significativas, indicando que este parâmetro modal apresenta maiores dificuldades na sua identificação [11].

F1 = 3,90 Hz σF1 = 0,03 Hz

ξ1=1,5 %

F1 = 3,92 Hz σF1 = 0,02 Hz

ξ1=0,93 %

F2 = 5,06 Hz σF2 = 0,06 Hz

ξ2=3,5 % F2 = 5,12 Hz σF2 = 0,02 Ηz

ξ2=1,4 %

F3 = 9,90 Hz σF3 = 0,03 Hz

ξ3=1,5 % F3 = 9,93 Hz σF3 = 0,02 Hz

ξ3=1,4 %

F4 = 10,63 Hz σF4 = 0,05 Hz

ξ4=1,6 % F4 = 10,52 Hz σF4 = 0,08 Hz

ξ4=2,0 %

F5 = 12,52 Hz σF5 = 0,12 Hz

ξ5=1,7 % F5 = 12,69 Hz σF5 = 0,12 Hz

ξ5=2,4 %

Figura 7: Comparação Entre a Identificação Modal deste trabalho e a de [9] 5 - Conclusões A determinação dos parâmetros modais de estruturas submetidas a carregamento aleatório via técnica do decremento aleatório e método de Ibrahim apresentou resultados semelhantes

àqueles obtidos por Roeck et al [9], indicando que o procedimento adotado neste trabalho fornece resultados coerentes. A identificação modal aqui realizada tomou como base os ensaios onde a excitação foi aleatória. Demonstra-se que o procedimento de identificação aqui adotado também fornece bons resultados quando se utiliza o carregamento ambiente [11]. 6 - Agradecimento Os autores agradecem ao prof. G. de Roeck da Universidade Católica de Louvain pela cessão dos CDs com as gravações dos ensaios da ponte Z24. 7 - Referências Bibliográficas [1] Ewins, D.J., 2000, Modal testing: theory, practice and application, Research Studies Press. [2] Asmussen, J.C., 1998, Modal Analysis Based on the Random Decrement Technique - Application

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Uncertainly, Journal of Wind Engineering and Aerodynamics, 59, 131-157. [4] Asmussen J.C., Brincker R., 1996, Estimation of Correlation Functions by Random Decrement,

International Conference on Noise and Vibration Engineering, ISMA21, Louvain, 1215-1224. [5] Asmussen J.C., Ibrahim SR., Brincker R., 1997, Application of Vector Triggering Random

Decrement, International Modal Analysis Conference XV, 1165-1171. [6] Vandiver, J. K., Dunwoody, A. B., Campbell, R. B., Cook, M. F., 1982, A Mathematical Basis for

the Random Decrement Vibration Signature Analysis Technique, Journal of Mechanical Design, 104, 307-313

[7] Jin-Min Ueng, Chi-Chang Lin, Pao-Lung Lin, 2000, System Identification of Torsionally Coupled

Buildings, Computers and Structures, 74, 667-686. [8] Delivrable A3, Long-term monitoring and bridge tests, EMPA, Contract BRITE EURAM BRPR-

CT96-0277 [9] De Roeck G., Peeters B., Maeck, J., 2000, Damage detection on a prestressed concrete bridge

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Academic Press. [11] Cremona, C. Barbosa, F. Alvandi, A., 2002, Identification Modale Sous Excitation Ambiente:

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Structure. United States Patent No. 3,620,069, Nov. 16. [14] Ibrahim, S. R., An Upper Hessenberg Sparse Matrix Algorithm for Modal Identification on

Microcomputers, 1987, Journal of Sound and Vibration, 113(1), 47-57 [15] Asmussem, J. C., S. R. Ibrahim, Brincker, R., Random Decrement: Identification of Structures

Subjected to Ambient Excitation. 1998, IMAC-98, 914-921.