2

3

Seja A uma matriz de ordem n. Chama-se determinante da matriz A, o número obtido a partir de operações entre os elementos de A.

Dada a matriz quadrada de 1° ordem M= [a11], seu

determinante é o número real a11:

Det M = a11 = a11 Por exemplo:

M = [5] det M = 5 ou 5 = 5

M = [-3] det M = - 3 ou - 3 = - 3

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

O determinante da matriz de 2° ordem é dado pelo

produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo1:

𝐴 = 4 22 3

Det A = 4.3 – 2.2 = 12 – 4 = 8

DETERMINANTES

DETERMINANTES DE 1ª ORDEM

DETERMINANTES DE 2ª ORDEM

4

Exemplo2: Calcule o determinante da matriz 𝐴 = 5 31 2

𝐴 = 5 31 2

detA = = 5.2 – 3.1 = 10 – 3 = 7

A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de 3° ordem. É um processo bem simples, que possui o seguinte procedimento:

Dada uma matriz A de 3° ordem, temos:

a) Copiamos ao lado da matriz A as duas primeiras colunas.

b) Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente os elementos das outras duas “diagonais”.

c) Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de

A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas diagonais, também trocando o sinal dos produtos.

Somamos todos os produtos obtidos nos itens b e c.

DETERMINANTES DE 3ª ORDEM

REGRA DE SARRUS

5

Ex.: Calcular o determinante da matriz A.

𝐴 = 3 1 5 2 0 −2 −1 4 −3

det 𝐴 = 3 1 5 2 0 −2 −1 4 −3

3 1 2 0−1 4

det 𝐴 = 3 ∙ 0 ∙ −2 + 1 ∙ −2 ∙ −1 + 5 ∙ 4 ∙ 2− 5 ∙ 0 ∙ −1 + −2 ∙ 4 ∙ 3 + −3 ∙ 2 ∙ 1

det 𝐴 = 0 + 2 + 20 ∙ − 0 − 24 − 6 = 22 − −30

det 𝐴 = 22 + 30 = 52

Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante será nulo, ou seja, det M = 0.

Ex: Seja a matriz 𝑀 = 1 3 8 0 0 0−2 5 −3

, o seu determinante

será:

det 𝑀 = 1 3 8 0 0 0−2 5 −3

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 ∙ 0 ∙ −3 + 3 ∙ 0 ∙ −2 + 8 ∙ 5 ∙ 0 − [8 ∙ 0 ∙ −2 + 0∙ 5 ∙ 1 + (−3) ∙ 0 ∙ 3 = 0

PROPRIEDADES

1ª Propriedade: FILA DE ZEROS

6

Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é det M=0

Seja 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑘𝑎 𝑘𝑏

Então det 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑘𝑎 𝑘𝑏

= 𝑘𝑎𝑏 − 𝑘𝑎𝑏 = 0

Observação: Se k=1, teremos duas linhas (ou duas colunas) iguais. Logo, filas iguais representam determinante nulo

Se trocarmos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida será o oposto da determinante da matriz anterior. Ex:

Sejam as matrizes 𝐴 = 1 −𝟐 34 𝟓 67 𝟖 −9

e 𝐴 = −2 1 3 5 4 6 8 7 −9

Veja que nelas estão trocadas as posições da 1ª e 2ª

colunas.

𝑑𝑒𝑡𝐴 = −45 − 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = −458𝑑𝑒𝑡𝐵 = 72 + 48 + 105 − 96 + 84 + 45 = 458

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠

2ª Propriedade: FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS

3ª Propriedade: TROCA DE FILA PARALELAS

7

Se todos os elementos de uma linha (ou colunas) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. Ex:

Seja a Matriz 𝐴 = 1 23 −2

, se multiplicarmos a 2ª linha por

3 obteremos a matriz 𝐵 = 1 29 −6

, agora iremos calcular

os determinantes dessas matrizes.

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 23 −2

= −2 − 6 = −8

𝑑𝑒𝑡𝐵 1 29 −6

= −6 − 18 = −24

𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 3 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐴

Observação: Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por k

n, isto é:

det 𝑘𝑀𝑛 = 𝑘𝑛𝑑𝑒𝑡𝑀𝑛

O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante da sua transposta, isto é, detA=detA

t

Ex:Seja a matriz 𝐴 = 2 3−1 7

,

logo sua transposta será 𝐴𝑡 = 2 −13 7

4ª Propriedade: MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE

5ª Propriedade: DETERMINANTE DA TRANSPOSTA

8

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2 3−1 7

= 14 + 3 = 17

𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡 = 2 −13 7

= 14 + 3 = 17

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡

O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal.

Ex: Sejam as matrizes 𝐴 = −1 2 0 3

e 𝐵 = 1 0 02 2 03 −1 3

os

seus determinantes são:

𝑑𝑒𝑡𝐴 = −1 2 0 3

= −3 + 0 = −3

𝑑𝑒𝑡𝐵 = 1 0 02 2 03 −1 3

= 6 + 0 + 0 − 0 + 0 + 0 = 6

Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma

ordem e AB a matriz produto, então 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵

Sendo as matrizes 𝐴 = 1 24 3

e B= 2 −11 0

temos:

𝐴 ∙ 𝐵 = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 1 ∙ −1 + 2 ∙ 04 ∙ 2 + 3 ∙ 1 4 ∙ −1 + 3 ∙ 0

= 4 −1

11 −4

6ª Propriedade: DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR

7ª Propriedade: TEOREMA DE BINET

9

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 24 3

= 3 − 8 = −5

𝑑𝑒𝑡𝐵 = 2 −11 0

= 0 − −1 = 1

det 𝐴𝐵 = 4 − 1

11 −4 = −16 − −11 = −5

𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵)

−5 ∙ 1 = −5

Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, então det A = det B Ex:

𝐴 = 1 54 9

⟹ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 9 − 20 = −11

Multiplicando a 1ª linha por (– 2 ) e somando os

resultados à 2ª linha obtemos:

𝐵 = 1 52 −1

⟹ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = −1 − 10 = −11, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎

𝑑𝑒𝑡𝐴 − 𝑑𝑒𝑡𝐵

Vamos indicar assim:

∙ −2 ↳ +

1 54 9

= 1 52 −1

= −11

8ª Propriedade: TEOREMA DE JACOBI

10

Se A é uma matriz quadrada invertível e A-1

sua inversa. Então:

𝑑𝑒𝑡𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡𝐴

Seja A uma matriz quadrada com determinante não nulo e A

-1 a sua inversa, logo sabemos que:

𝐴 × 𝐴−1 = 𝐼, desta forma

det 𝐴𝐴−1 = 𝑑𝑒𝑡𝐼 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 = 1 Teorema de Binet Daí, Concluímos que:

𝑑𝑒𝑡𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡𝐴

Se uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada for uma combinação linear das outras, o determinante será nulo.

Ex: Veja a matriz 𝐴 = −1 2 1−2 3 51 −1 −4

, observe que os

elementos da 3ª linha é o resultado da subtração entre os elementos da 1ª com a 2ª linha. Vamos calcular o seu determinante

𝑑𝑒𝑡𝐴 = −1 2 1−2 3 51 −1 −4

= 12 + 10 + 2 − 3 + 16 + 5 = 0

9ª Propriedade: DETERMINANTE DA INVERSA

10ª Propriedade: COMBINAÇÃO LINEAR

11

01.(UNITAU) Sendo B=(bij)2x2, onde,

𝑏𝐼𝐽 =

1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗−2𝑖𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗

3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗

Calcule o det Bt :

a) 13. b) - 25. c) 25. d) 20. e) - 10. 02. (FEI) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

𝑒 −2𝑎 2𝑏−3𝑐 3𝑑

podemos afirmar que x/y vale: a) -12 b) 12 c) 36 d) -36 e) -1/6 03. (PUCAMP) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A 0 e det B 0, então é correto afirmar que a) B = A

­1 det B = det A

b) B = A det B = det A c) det A

2 = det B

2 det A = det B

d) det (A+B) = det A + det B e) det (3A) = 3.det A

EXERCÍCIOS

12

04. (UNESP) Considere as matrizes reais

𝐴 = 𝑥2 02 𝑦 + 𝑧

𝑒 𝐵 = 4 𝑧𝑦 −𝑥

Se A=B

t (transposta de B), o determinante da matriz

𝑥 𝑦 −1𝑧 1 14 5 2

é igual a:

a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3. 05. (UEG) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

𝑒 −4𝑎 −4𝑐5𝑏 3𝑑

é verdade que y/x é igual a a) 1/20 b) - 1/20 c) 20 d) – 20 e) 3/20 06. (UFSM) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B 0, então det [(1/2) . A . B

­1] é

igual a a) 1/(2

n) b) 1/2 c) (1/2) . det A

d) [1/(2n)] . det A e) 2

n

07. (PUCMG) A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Na equação det(2A) = 2x -150, o valor de x é: a) 11 b) 16 c) 43 d) 67

13

08. (MACKENZIE) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A

­1 a sua inversa. Se

16 . det A­1

= det (2A), então o determinante de A vale: a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 16 09. (UFC) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que detA = 3 e detB = 4. Então det(A × 2B) é igual a: a) 32 b) 48 c) 64 d) 80 e) 96 10. (UFES) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e se k é um número real tal que det(kA)=192, então o valor de k é a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 96 11. (FGV) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A)=7. Nessas condições, det(3A) e det(A

­1) valem

respectivamente: a) 7 e -7 b) 21 e 1/7 c) 21 e -7 d) 63 e -7 e) 63 e 1/7 12. (UFSM) Sejam A, B e C matrizes reais 3 × 3, tais que A.B=C

­1 , B=2A e det C= 8.

Então o valor do |det A| é: a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16 13. (UNESP) Dadas as matrizes mostradas na figura adiante

𝐴 = 1 32 4

𝑒 𝐵 = −1 2 3 1

o determinante da matriz A . B é a) -1. b) 6. c) 10. d) 12. e) 14.

14

14. (FUVEST) Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz A

2=2A, então o determinante de A será:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15. (UNIOEST) O valor de "a" para o qual o determinante adiante se anula é:

14 32 42−1 2 028 𝑎 84

GABARITO [1] A [2]E [3]B [4]B [5]D [6]A [7]A [8]D [9] E [10]A [11]E [12]B [13]E [14]E [15]64

15

16