DETERMINANTES

1

CAP. 5 – DETERMINANTES

5.1 DEFINIÇÕES

DETERMINANTE DE ORDEM 2

O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação:

122122112221

1211

2221

1211

22

det

:det

aaaaaa

aaA

aa

aaA

IKIKM

EXEMPLO

1325152

31)det(A

DETERMINANTES

2

DETERMINANTE DE ORDEM 3

O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é por definição a aplicação:

A

aaa

aaa

aaa

A

IKIKM

det

:det

333231

232221

131211

33

em que det(A) = 3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

= )det()det()det( 131312121111 AaAaAa

onde jA1 é a matriz de ordem 2 que se obtém eliminando a linha 1 e a coluna j, j = 1, 2, 3

DETERMINANTES

3

EXEMPLO

14347)1(3)2(2)81(1

41

103

11

20)2(

14

211

141

210

321

DETERMINANTES

4

DETERMINANTE DE ORDEM N

O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é por definição a aplicação

nnn

nn

AaAaAaAA

IKIKM

111

12121111 det1detdetdet

:det

onde ijA é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.

EXEMPLO

4114102304

21

1011

32

1111

43

0111

321

110

101

1

431

010

011

1

4321

0110

0101

1010

DETERMINANTES

5

PROPRIEDADES

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.

1) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é igual ao produto

dos elementos da diagonal principal.

2) TAA detdet .

3) Se A tiver uma linha ou coluna nula, então det(A) = 0.

4) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0.

5) O determinante de A não se altera quando se adiciona a uma linha (ou coluna) de A

uma combinação linear das outras linhas (ou colunas).

DETERMINANTES

6

6) det(AB) = det(A) det(B).

7) Se B é uma matriz obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou duas colunas)

entre si, então AB detdet .

8) Seja A = [A1 ... Aj+Bj ... An ] uma representação de A indicando as suas colunas.

Então:

det(A) = det([A1 ... Aj ... An ]) + det([A1 ... Bj ... An ])

A mesma propriedade aplica-se às linhas.

9) Seja A = [A1 ... Aj ... An ] uma representação de A indicando as suas colunas.

Então:

det(A) = det([A1 ... Aj ... An ])

A mesma propriedade aplica-se às linhas.

DETERMINANTES

7

10) As linhas (ou colunas) de uma matriz A são linearmente dependentes se e só se

det(A) = 0. Logo,

A invertível A é não singular det (A) 0

11) Se A é invertível então )det(

1det 1

AA .

NOTA

Em geral:

BABA detdetdet

AA detdet . De facto, AA n detdet

DETERMINANTES

8

5.2 TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DE DETERMINANTES

REGRA DE SARRUS (só para matrizes de ordem 3)

Os "termos positivos" de uma matriz A de ordem 3 obtêm-se do produto dos elementos

da diagonal principal e dos produtos dos vértices dos triângulos que têm um dos lados

paralelo à diagonal principal:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Assim, os "termos positivos" são:

a11a22a33, a12a23a31, a21a13a32

DETERMINANTES

9

Os "termos negativos" da matriz A obtêm-se multiplicando os elementos da diagonal

secundária e multiplicando os vértices dos triângulos que têm um dos lados paralelo à

diagonal secundária:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Assim, os "termos negativos" são:

a13a22a31, a21a12a33, a11a23a32

Então:

det(A) = + a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 a13a22a31 a21a12a33 a11a23a32

DETERMINANTES

10

EXEMPLO

6210210

)1(1211)1(102)1(2)1(111102

111

101

212

2-1-0210

DETERMINANTES

11

ELIMINAÇÃO DE GAUSS

Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa matriz triangular

aplicando algumas das propriedades enunciadas anteriormente.

EXEMPLO

1321 4

654

320

321

3

1

654

320

13

23

1

654

13

23

1

320

LLLL

12

321

3

1

2300

320

321

3

1

630

320

321

3

1

232

3LL

DETERMINANTES

12

FÓRMULA DE LAPLACE

Na definição, o determinante é calculado usando o desenvolvimento segundo a primeira

linha. Este, no entanto, pode ser calculado usando o desenvolvimento segundo qualquer

linha i ou qualquer coluna j do seguinte modo:

Fórmula de Laplace segundo a linha i

inni

inii

iii

i AaAaAaA det1det1det1det 22

211

1

n

jij

jiij Aa

1

det1

Fórmula de Laplace segundo a coluna j

njjn

njjj

jjj

j AaAaAaA det1det1det1det 22

211

1

n

iij

jiij Aa

1

det1

onde ijA é a matriz de ordem 1n obtida de A por eliminação da linha i e da coluna j.

DETERMINANTES

13

Chama-se a ijA o menor-ij da matriz A e chama-se a ijji

Adet1 o cofactor-ij ou

complemento algébrico ij de A.

Os sinais ji

1 podem ser obtidos da seguinte matriz de sinais: .

EXERCÍCIO

Calcule

0100

1010

0101

0010

usando a fórmula de Laplace, desenvolvendo segundo a 3ª coluna.

DETERMINANTES

14

5.3 APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES

CÁLCULO DA INVERSA

Dada uma matriz A de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e denota-se por adj A, à

matriz de ordem n

adj A = ijji

Adet1

onde ijA é o menor-ij da matriz A, ou seja, os elementos de adj A são os complementos

algébricos de A.

Se A for invertível, det(A) 0 e a inversa de A é dada por

TT

AAA

AA adj

det

1

det

adj1

DETERMINANTES

15

EXEMPLO

213

102

211

A 2)det(A

121

10det 11A 1

23

12det 12A 2

13

02det 13A

021

21det 21A 4

23

21det 22A 2

13

11det 23A

110

21det 31A 3

12

21det 32A 2

02

11det 33A

231

240

211

detdetdet

detdetdet

detdetdet

adj

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

A

111

2/322/1

2/102/1

222

341

101

2

1

231

240

211

2

11

T

A

DETERMINANTES

16

REGRA DE CRAMER

Seja A uma matriz não singular, isto é, car(A) = n det(A) 0

A solução do sistema de equações lineares Ax = b, com T

nxxxx 21 , é dada

por

A

Cx

j

jdet

det

onde Cj é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j de A pela coluna b.

DETERMINANTES

17

EXEMPLO

23

12

2

321

321

321

xxx

xxx

xxx

A matriz dos coeficientes do sistema é:

113

112

111

A

det(A) = 6 0 A é não singular

A solução do sistema é:

16

6

6

112

111

112

1x , 26

12

6

123

112

121

2x , 36

18

6

213

112

211

3x