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Apostila: Matrizes e Determinantes Prof. André Luís Rossi de Oliveira 1 Matrizes 1.1 Conceitos Básicos Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplos: (1) Considere a tabela abaixo: Altura (metros) Peso (quilos) Idade (anos) Pessoa 1 1,70 70 23 Pessoa 2 1,75 60 45 Pessoa 3 1,60 52 25 Pessoa 4 1,81 72 30 Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz 1, 70 70 23 1, 75 60 45 1, 60 52 25 1, 81 72 30 (2) Os elementos de uma matriz podem ser números, funções etc, como nas matrizes abaixo: [ ] 2 3 1 0 5 2 2 3 1 3 x sen x e x x x + 1

Apostila Matrizes e Determinantes

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Apostila: Matrizes e DeterminantesProf. Andr Lus Rossi de Oliveira

1 Matrizes1.1 Conceitos BsicosChamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplos: (1) Considere a tabela abaixo:

Altura (metros) Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 Pessoa 4 1,70 1,75 1,60 1,81

Peso (quilos) 70 60 52 72

Idade (anos) 23 45 25 30

Ao abstrarmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz 1, 70 1, 75 1, 60 1,81 (2) 23 45 25 30

70 60 52 72

Os elementos de uma matriz podem ser nmeros, funes etc, como nas matrizes abaixo: x2 1 x 2 x + 1 3

[5

sen x 2]

0 e3 3 x

1

Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por

Amn

a11 a = 21 am1

a12 a22 am 2

a1n a2 n = a , ij mn amn

onde aij o elemento caracterstico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna. Definio: Duas matrizes Amn = aij mn e Brs = bij rs so iguais, ou seja, A = B , se elas tm o mesmo nmero de linhas ( m = r ) e colunas ( n = s ) e todos os seus elementos correspondentes so iguais ( aij = bij ).

Exemplo: 22 3 cos 900 ln1 sen 90o 4 0 1 0 9 = 3 0 3 1 3 0 1 3

1.2 Tipos Especiais de Matrizes

Seja Amn uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes so os seguintes:

(a)

Quadrada: aquela cujo nmero de linhas igual ao nmero de colunas ( m = n ).

2 0 9 4 8 7 2 8 6 33

[ 4]11

2

(b)

Nula: aij = 0 i, j .

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(c)

Coluna: n = 1 . 1 4 3 6 0 8 7

Uma matriz coluna chamada de vetor-coluna. Linha: m = 1 .

(d)

[3

7 4]

[6

4 1 8]

Uma matriz linha chamada de vetor-linha. Diagonal: uma matriz quadrada onde aij = 0 i j .

(e)

2 0 0 0 1 0 0 0 4 (f) Identidade: uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal so iguais a 1, ou seja, aii = 1 e aij = 0 i j .

3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 (g) Triangular Superior: uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal so nulos, isto , aij = 0 i > j . 4 3 2 9 0 1 0 1 0 0 3 4 0 0 0 1 (h) Triangular Inferior: uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal so iguais a zero, isto , aij = 0 i < j .

2 0 0 3 2 0 3 3 4 2 4 8 (i)

0 0 0 9

Simtrica: uma matriz quadrada onde aij = a ji i, j .

1 2 4 2 3 1 4 1 2

1.3 Operaes com Matrizes

Adio: A + B = aij + bij

mn

, onde Amn = aij e Bmn = bij .

4

1 5 0 8 1 Exemplo: 3 3 + 7 1 = 4 4 2 9 0 13

13 2 2

Propriedades da adio: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: (i) A + B = B + A (comutatividade) (ii) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (associatividade) (iii) A + 0 = A , onde 0 a matriz nula mxn.

Demonstrao: Exerccio!

Multiplicao por escalar: k . A = kaij 0 3 0 21 Exemplo: 7 = 4 5 28 35

mn

, onde A = aij e k um nmero real. mn

Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem mxn e nmeros reais k , k1 e k2 , temos: (i) k ( A + B ) = kA + kB (ii) ( k1 + k2 ) A = k1 A + k2 A (iii) 0. A = 0 (iv) k1 ( k2 A) = ( k1k2 ) A

Demonstrao: Exerccio!

Transposio: Dada uma matriz A = aij , a matriz transposta de A definida como mn

AT = bij , cujas linhas so as colunas de A, isto , bij = a ji i, j . nm

Exemplos:

5

3 8 0 0 3 A = 0 7 AT = 8 7 3 0 3 4 2 4 2 B= BT = 2 1 2 1

Propriedades: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Uma matriz simtrica se, e somente se, ela igual sua transposta, ou seja, A = AT .

(A )T

T

=AT

( A + B)

= AT + BT

( kA)

T

= kAT= BT AT

( AB )

T

Demonstrao: Exerccio!

Multiplicao de Matrizes: Sejam matricial AB = [ cuv ]m p por

A = aij

mn

e B = [brs ]n p . Definimos o produto

cuv = auk bkv = au1b1v +k =1

n

+ aunbnv

Perceba que s possvel efetuar o produto de duas matrizes Amn e Bl p se n = l , ou seja, se o nmero de colunas da matriz que aparece pr-multiplicando for igual ao nmero de linhas da matriz que aparece ps-multiplicando.

Exemplos:

6

3 5 1 0 ( 3)( 1) + ( 5 )( 4 ) ( 3)( 0 ) + ( 5 )( 7 ) 17 35 = 4 6 4 7 = 4 1 + 6 4 ( )( ) ( )( ) ( 4 )( 0 ) + ( 6 )( 7 ) 20 42 (1)( 5 ) + ( 3)( 9 ) 32 1 3 2 8 5 = 2 5 + 8 9 = 82 9 ( )( ) ( )( ) ( 4 )( 5 ) + ( 0 )( 9 ) 20 4 0 2 8 9 x1 2 x1 + 8 x2 + 9 x3 3 9 0 x = x Ax = 3 x + 9 x A= 1 2 2 2 1 3 x3 2 x1 x2 + 3 x3

Propriedades: (i) Em geral, AB BA .

1 1 1 Exemplo: Se A = 3 2 1 2 1 0

1 2 3 B = 2 4 6 , ento 1 2 3

0 0 0 11 6 1 0 0 0 e BA = 22 12 2 AB = 0 0 0 11 6 1 importante perceber que AB = 0 sem que A = 0 ou B = 0 . Desde que estejam bem definidas as operaes, as seguintes propriedades so vlidas: (ii)AI = IA = A

(iii) A ( B + C ) = AB + AC (iv) (v) (vi)

( A + B ) C = AC + BC ( AB ) C = A ( BC )( AB )T

= BT AT

(vii) 0. A = 0 e A.0 = 0

7

1.4 Matriz InversaDefinio: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, denotada por A1 , aquela que satisfaz a condio AA1 = A1 A = I .

Obs.: (i) Nem toda matriz quadrada possui inversa. Se uma matriz quadrada possui inversa, ela chamada de no-singular. Se ela no possui inversa, chamada de singular. (ii) Se existe a matriz inversa, ento ela nica. 1 1 3 6 3 1 Exemplos: Se A = , ento e B= 0 2 0 1 2 3 1 2 1 1 6 0 1 1 0 AB = = = = I. 0 2 0 3 6 0 6 6 0 1 Podemos verificar facilmente que BA = I , de forma que B = A1 e A = B 1 .

Propriedades: (i) (ii)

(A )( AB )

1 1

=A= B 1 A 1

1

Demonstrao: Seja C a inversa de AB. Ento CAB = I , de forma queCABB 1 A1 = IB 1 A1 = B 1 A1.

Mas tambm verdade que CABB 1 A1 = CAIA1 = CAA1 = CI = C ,

o que implica C = B 1 A1 .

8

(iii)

(A )T

1

= ( A1 )

T

1.5 Sistemas de Equaes Lineares e MatrizesUm sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas um conjunto de equaes do tipo:a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm

onde os aij , 1 i m, 1 j n , so nmeros reais. Uma soluo do sistema acima uma lista de n nmeros (n-upla) do tipo

( x1 , x2 ,, xn )

que satisfaa simultaneamente as m equaes.

O sistema pode ser escrito na forma matricial como a11 a 21 am1 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 = ou Ax = b, amn xn bn

a12 a22 am 2

onde A a matriz dos coeficientes, x o vetor das incgnitas e b o vetor dos termos independentes. Outra matriz importante a matriz ampliada do sistema: a11 a 21 am1 a1n a2 n b1 b2 bn

a12 a22

am 2 amn

9

2 x1 + 3x2 5 x3 = 7 Exemplo: Considere o sistema x1 + 7 x2 x3 = 4 . A sua forma matricial x1 + 5 x2 + 9 x3 = 3 2 3 5 x1 7 1 7 1 x = 4 . 2 1 5 9 x3 3 Operaes Elementares Permuta da i-sima e j-sima linhas ( Li L j )

(i)

Exemplo: L1 L2 2 0 4 2 4 2 2 0 5 1 5 1 (ii) Multiplicao da i-sima linha por um escalar (nmero real) no nulo k ( Li kLi )

Exemplo: L3 2 L3 2 0 2 0 4 2 4 2 5 1 10 2 (iii) Substituio da i-sima linha pela i-sima linha mais k vezes a j-sima linha ( Li Li + kL j ) Exemplo: L2 L2 + 3L1 2 0 2 0 4 2 10 2 5 1 5 1

10

Se A e B so matrizes mxn, dizemos que B linha-equivalente a A se B pode ser obtida de A atravs de um nmero finito de operaes elementares sobre as linhas de A. A notao para isso A B ou A B . 1 0 1 0 Exemplo: 4 1 0 1 , pois 3 4 0 0 1 0 1 0 1 0 4 1 0 1 0 1 L2 L2 4 L1 L3 L3 +3 L1 3 4 3 4 0 4 1 0 1 0 0 1 0 1 L2 L2 L3 L3 4 L2 0 4 0 0

Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes so equivalentes, ouseja, toda soluo de um dos sistemas tambm soluo do outro.

Demonstrao: No ser apresentada.

Forma Escada

Definio: Uma matriz mxn linha-reduzida forma escada se:(a) (b) O primeiro elemento no nulo de uma linha no nula 1; Cada coluna que contm o primeiro elemento no nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero; (c) (d) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linha no nulas; Se as linhas 1, , r so as linhas no nulas, e se o primeiro elemento no nulo da linha i ocorre na coluna ki , ento k1 < k2 0 . Sabemos que para isso ser verdade preciso que u1 ( ss, 2 ) = u1 ( sw, 2 ) , onde

u1 ( ss, 2 ) = y1 y2 21y3 21y4 = ( y1 + y2 ) 21( y3 + y4 ) u2 ( sw, 2 ) = 2 y1 + 0 y2 20 y3 18 y4 = 2 y1 20 y3 18 y4 . Lembrando que y3 = 0 , obtemos a seguinte equao: ( y1 + y2 ) 21 y4 = 2 y1 18 y4 y1 y2 3 y4 = 0.

Combinando essa equao com y1 + y2 + y4 = 1 , obtemos um sistema de equaes que pode ser resolvido como a seguir: 1 1 3 0 1 1 3 1 1 1 1 0 2 4 L2 L2 L1 1 1 3 0 1 L L2 2 0 1 2 1 L1 L1 + L2 2 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 1 2

Esse sistema tem uma infinidade de solues. Fazendo y4 = , obtemos

26

y1 =

1 1 + , y2 = 2 . 2 2

Se = 1 10 , por exemplo, ento y1 = 6 10 e y2 = 3 10 .

2.5.2 EconometriaSuponha que a relao entre a varivel dependente e vrias variveis independentes (explicativas) seja a seguinte: yi = 1 xi1 + 2 xi 2 + + K xiK + i , i = 1, , n.

A relao acima chamada de equao de regresso, onde a varivel dependente, y, explicada pelas variveis x1 , , xK . O subndice i indexa as observaes, que totalizam n. O termo o erro aleatrio. Esse erro surge por diversas razes, sendo a principal o fato de que no possvel captar todas as influncias sobre uma determinada varivel y. O resultado lquido de todos os fatores omitidos est refletido no erro. Outro elemento capturado pelo erro aleatrio so os erros de medio, que esto presentes em qualquer amostra. Por exemplo, suponha que estejamos interessados em estudar o comportamento da renda dos indivduos e que tenhamos postulado o seguinte modelo de regresso simples: renda = 0 + 1educao + . Esse modelo no leva em considerao que outros fatores alm do nvel de educao podem afetar a renda do indivduo, como idade e nvel de educao dos pais. Portanto, o erro aleatrio refletir a omisso dessas variveis. Alm disso, bastante provvel que a varivel educao esteja medida com erro, mesmo porque no h consenso sobre como ela deve ser medida. Isso tambm capturado pelo erro aleatrio. A equao de regresso na verdade um conjunto de equaes, uma para cada observao: y1 = 1 x11 + 2 x12 + y2 = 1 x21 + 2 x22 + + K x1K + 1 + K x2 K + 2

yn = 1 xn1 + 2 xn 2 + + K xnK + n

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Essas equaes podem ser representadas na forma matricial como a seguir:

y = X +, onde y1 x11 y x y = 2 , X = 21 yn xn1 x12 x22 xn 2 x1K 1 1 x2 K , = 2 , = 2 xnK K n

O objetivos principais de uma anlise de regresso so estimar os parmetros desconhecidos i , usar os dados disponveis para estudar a validade de proposies tericas e usar o modelo para testar hipteses e fazer previses sobre a varivel dependente. Para obter estimativas dos parmetros, o mtodo mais utilizado o de mnimos quadrados ordinrios. Esse mtodo procura encontrar os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resduos

ei =1

n

2 i

= eT e,

e1 e onde e = 2 o vetor de resduos, sendo o resduo da i-sima observao definido por en ei = yi ( xi1b1 xi 2b2 xiK bK ) e bi a estimativa de i .

A soluo do problema de minimizao b = ( X T X ) X T y.1

Podemos ento calcular os resduos como e = y Xb = y X ( X T X ) X T y1

= I X ( X T X ) X T y = My.1

(

)

A matriz M tem grande importncia para a anlise de regresso, e apresenta propriedades interessantes. Alm de ser simtrica, essa matriz idempotente, o que significa que M 2 = M . De fato,

28

1 1 M 2 = I X ( X T X ) X T I X ( X T X ) X T

= I X (XT X ) XT X (XT X ) XT + X (XT X ) XT X (XT X ) XT1 1 1 1

= I 2 X ( X T X ) X T + X ( X T X ) IX T1 1 1 1

= I 2X ( X T X ) X T + X ( X T X ) X T = I X (XT X ) XT = M e1 1 M T = I X ( X T X ) X T = I X ( X T X ) X T T T T

1 T T = I ( X T ) ( X T X ) X T = I X ( X T X ) X T

1

= I X ( X T X ) X T = M.1

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