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GUIDG.COM 1 5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Tags: Matrizes, Determinantes, Sistemas, Definições, Teoria, Teoremas, Propriedades, Exemplos, Exercícios, Passo à Passo... I - Este texto foi escrito com objetivo englobar todo o conteúdo de Matrizes e Determinantes para o estudo e resolução de Sistemas Lineares, entretanto o estudante deve consultar as referências bibliográficas. II - Esse estudo está limitado aos números reais ( R ) , mas é importante saber que esta teoria é valida também para conjuntos superiores como no caso dos números complexos ( C ) . III - Muitos assuntos estão relacionados e quando algum requisito for necessário faremos uma indicação, por exemplo: [1.21 Submatriz] , desta forma o estudante é informado que deve ter conhecimento deste tópico. Sumário 1 MATRIZES ......................................................................................................................................................................... 3 1.1 Fila de uma matriz ....................................................................................................................................................... 3 1.2 Matriz linha (vetor-linha) ............................................................................................................................................ 3 1.3 Matriz coluna (vetor-coluna) ....................................................................................................................................... 3 1.4 Matriz zero (matriz nula)............................................................................................................................................. 3 1.5 Vetor nulo (vetor zero) ................................................................................................................................................ 4 1.6 Matriz quadrada .......................................................................................................................................................... 4 1.7 Matriz retangular ......................................................................................................................................................... 5 1.8 Matriz diagonal ........................................................................................................................................................... 5 1.9 Matriz identidade (matriz unidade) ............................................................................................................................. 5 1.10 Igualdade de matrizes .................................................................................................................................................. 6 1.11 Matriz transposta (transposição) ................................................................................................................................. 6 1.12 Matriz oposta............................................................................................................................................................... 6 1.13 Matriz simétrica .......................................................................................................................................................... 6 1.14 Matriz anti-simétrica ................................................................................................................................................... 6 1.15 Matrizes comutativas................................................................................................................................................... 6 1.16 Matrizes anti-comutativas ........................................................................................................................................... 8 1.17 Matriz involutiva ......................................................................................................................................................... 8 1.18 Matriz idempotente ..................................................................................................................................................... 8 1.19 Matriz triangular.......................................................................................................................................................... 8 1.20 Traço de uma matriz.................................................................................................................................................... 9 1.21 Submatriz .................................................................................................................................................................... 9 1.22 Operações com matrizes............................................................................................................................................ 10 1.23 Operações elementares das matrizes ......................................................................................................................... 11 1.24 Equivalência de matrizes ........................................................................................................................................... 11 1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida ................................................................................................................ 12 1.26 Posto de uma matriz .................................................................................................................................................. 16 1.27 Nulidade de uma matriz ............................................................................................................................................ 16 1.28 Propriedades de operações com matrizes .................................................................................................................. 19 1.29 Potência de uma matriz ............................................................................................................................................. 23 1.30 Matriz inversa............................................................................................................................................................ 23 1.31 Matriz ortogonal ........................................................................................................................................................ 32 2 DETERMINANTES ......................................................................................................................................................... 34 2.1 Conceito de determinante .......................................................................................................................................... 34 2.2 Determinante de uma matriz ..................................................................................................................................... 36 2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes ....................................................................................................... 38 2.4 Propriedades dos determinantes ................................................................................................................................ 40 2.5 Menor complementar ................................................................................................................................................ 45 2.6 Co-fator ..................................................................................................................................................................... 45 2.7 Matriz co-fatora ......................................................................................................................................................... 45 2.8 Matriz adjunta ........................................................................................................................................................... 45 2.9 Teorema de Laplace .................................................................................................................................................. 46 2.10 Determinante por triangulação .................................................................................................................................. 48 2.11 Determinante de Vandermonde (determinante das potências) .................................................................................. 49 2.12 Regra de Chió............................................................................................................................................................ 49

Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

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GUIDG.COM 1 5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Tags: Matrizes, Determinantes, Sistemas, Definições, Teoria, Teoremas, Propriedades, Exemplos, Exercícios, Passo à Passo...

I - Este texto foi escrito com objetivo englobar todo o conteúdo de Matrizes e Determinantes para o estudo e resolução de Sistemas Lineares, entretanto o estudante deve consultar as referências bibliográficas.

II - Esse estudo está limitado aos números reais ( R ) , mas é importante saber que esta teoria é valida também para conjuntos superiores como no caso dos números complexos (C ) .

III - Muitos assuntos estão relacionados e quando algum requisito for necessário faremos uma indicação, por exemplo: [1.21 Submatriz] , desta forma o estudante é informado que deve ter conhecimento deste tópico.

Sumário 1 MATRIZES.........................................................................................................................................................................3

1.1 Fila de uma matriz.......................................................................................................................................................3 1.2 Matriz linha (vetor-linha) ............................................................................................................................................3 1.3 Matriz coluna (vetor-coluna).......................................................................................................................................3 1.4 Matriz zero (matriz nula).............................................................................................................................................3 1.5 Vetor nulo (vetor zero)................................................................................................................................................4 1.6 Matriz quadrada ..........................................................................................................................................................4 1.7 Matriz retangular .........................................................................................................................................................5 1.8 Matriz diagonal ...........................................................................................................................................................5 1.9 Matriz identidade (matriz unidade) .............................................................................................................................5 1.10 Igualdade de matrizes..................................................................................................................................................6 1.11 Matriz transposta (transposição) .................................................................................................................................6 1.12 Matriz oposta...............................................................................................................................................................6 1.13 Matriz simétrica ..........................................................................................................................................................6 1.14 Matriz anti-simétrica ...................................................................................................................................................6 1.15 Matrizes comutativas...................................................................................................................................................6 1.16 Matrizes anti-comutativas ...........................................................................................................................................8 1.17 Matriz involutiva.........................................................................................................................................................8 1.18 Matriz idempotente .....................................................................................................................................................8 1.19 Matriz triangular..........................................................................................................................................................8 1.20 Traço de uma matriz....................................................................................................................................................9 1.21 Submatriz ....................................................................................................................................................................9 1.22 Operações com matrizes............................................................................................................................................10 1.23 Operações elementares das matrizes .........................................................................................................................11 1.24 Equivalência de matrizes...........................................................................................................................................11 1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida................................................................................................................12 1.26 Posto de uma matriz ..................................................................................................................................................16 1.27 Nulidade de uma matriz ............................................................................................................................................16 1.28 Propriedades de operações com matrizes ..................................................................................................................19 1.29 Potência de uma matriz .............................................................................................................................................23 1.30 Matriz inversa............................................................................................................................................................23 1.31 Matriz ortogonal........................................................................................................................................................32

2 DETERMINANTES .........................................................................................................................................................34

2.1 Conceito de determinante..........................................................................................................................................34 2.2 Determinante de uma matriz .....................................................................................................................................36 2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes .......................................................................................................38 2.4 Propriedades dos determinantes ................................................................................................................................40 2.5 Menor complementar ................................................................................................................................................45 2.6 Co-fator .....................................................................................................................................................................45 2.7 Matriz co-fatora.........................................................................................................................................................45 2.8 Matriz adjunta ...........................................................................................................................................................45 2.9 Teorema de Laplace ..................................................................................................................................................46 2.10 Determinante por triangulação ..................................................................................................................................48 2.11 Determinante de Vandermonde (determinante das potências) ..................................................................................49 2.12 Regra de Chió............................................................................................................................................................49

Page 2: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 2 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES.....................................................................................................................52

3.1 Equação linear...........................................................................................................................................................52 3.2 Sistema de equações lineares (sistema linear)...........................................................................................................52 3.3 Sistema linear homogêneo ........................................................................................................................................53 3.4 Sistemas e matrizes ...................................................................................................................................................53 3.5 Posto de um sistema (característica de um sistema)..................................................................................................54 3.6 Grau de liberdade do sistema ....................................................................................................................................54 3.7 Operações linha sobre um sistema linear ..................................................................................................................55 3.8 Solução de um sistema por matriz inversa ................................................................................................................55 3.9 Regra de Cramer .......................................................................................................................................................58

4 NOTAS FINAIS ................................................................................................................................................................65

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .. ...............................................................65

Page 3: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 3 1 MATRIZES Matriz de ordem m×n ( m por n ) é um agrupamento retangular de números dispostos em m linhas (horizontais) por n colunas (verticais), entre colchetes, parênteses ou barras duplas.

AmBn = aij

B CmBn

=

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

HLLLLJ

IMMMMK =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

hlllj

immmk =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

LLLLLLLLLL

MMMMMMMMMM

LLLLLLLLLLL

MMMMMMMMMMM

I - As letras maiúsculas itálicas A,B,C... representam as matrizes, os respectivos índices inferiores indicam a ordem da matriz, e lê-se: Matriz A de ordem m por n . II - Os números (ou incógnitas) neste agrupamento são chamados de elementos ou entradas da matriz, e são representados pelas letras minúsculas aij , bij , cij , … .

III - O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna ,localizando assim as entradas na matriz. IV - O conjunto das Matrizes Reais de ordem m×n é denotado por:

M m,n` a

= AmBn = aij

B CmBn

| aij 2 R , 1 ≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ nT U

1.1 Fila de uma matriz Entende-se por fila de uma matriz o mesmo que uma linha ( L ) ou coluna ( C ) dessa matriz. 1.2 Matriz linha (vetor-linha) Disposição em apenas uma linha (m = 1) ou ordem 1× n . 1.3 Matriz coluna (vetor-coluna) Disposição em apenas uma coluna (n = 1) ou ordem m × 1 . 1.4 Matriz zero (matriz nula) É a matriz onde todas as entradas são iguais a zero, denotada por O , independente do tipo ou ordem.

O = aij

b cmBn

com aij = 0 8 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n

Exemplo 1: Matriz linha:

A = 3 2 x 0@ A

Matriz coluna:

AT =32x0

HLLLLJ

IMMMMK

Matriz zero:

O3 =0 0 00 0 00 0 0

HLJ

IMK O2B3 = 0 0 0

0 0 0

D E

Page 4: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 4 1.5 Vetor nulo (vetor zero)

O vetor nulo (0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

) será definido agora pois é um conceito simples de entender e de grande importância em nossos estudos e diversas questões no desenvolvimento da Álgebra Linear. O vetor nulo pode assumir diversas formas, dependendo do conjunto (ou Espaço Vetorial) que estivermos trabalhando e da sua respectiva aplicação. I – Se estivermos trabalhando com matrizes, então o vetor nulo indica a matriz nula O de ordem m×n .

Ordem 2×2 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= 0 00 0

D E , ordem 3×1 0

jjjjjjjjjjjjjjjjjjk=

000

HLJ

IMK , ordem m×n 0

jjjjjjjjjjjjjjjjjjk=

0 0 … 00 0 … 0(( …(0 0 … 0

HLLLLJ

IMMMMK .

II – No plano ou no espaço o vetor nulo indica a origem do sistema com n-coordenadas.

Duas coordenadas 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= 0,0b c

, três coordenadas 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= 0,0,0b c

, n-coordenadas 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= 0,0,0, … ,0b c

.

III – Se estivermos trabalhando com polinômios, então o vetor nulo indica o polinômio nulo (polinômio zero) de n-ésimo grau em relação a sua respectiva variável.

Segundo grau, variável t 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= p 0` a

= 0t2 + 0t + 0 .

Terceiro grau, variável x 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= p 0` a

= 0x3 + 0x2 + 0x + 0 .

N-ésimo grau, variável x 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= p 0` a

= 0xn + 0xn@ 1 + …+ 0x + 0 . 1.6 Matriz quadrada Número de linhas igual ao número de colunas ( m = n ) , ordem n×n ou apenas n . Existem varias definições para a matriz quadrada, veremos as principais a seguir. 1.6.1 Diagonal principal São os elementos aij | i = j .

1.6.2 Termo principal É o produto dos elementos da diagonal principal. 1.6.3 Diagonal secundária São os elementos aij | i + j = n + 1 .

*Note que a soma dos índices dos elementos da diagonal secundária é sempre constante.

Page 5: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 5 1.6.4 Termo secundário É o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo 2: Identifique as diagonais da matriz A de ordem 4 e o termo principal e secundário.

Diagonal secundária, conjunto de elementos { a41 , a32 , a23 , a14 } .

A4 =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

HLLLLJ

IMMMMK

Diagonal principal, conjunto de elementos { a11 , a22 , a33 , a44 } .

Termo principal = a11Aa22Aa33Aa44 e termo secundário = a41Aa32Aa23Aa14 . 1.7 Matriz retangular Toda matriz onde m ≠ n . 1.8 Matriz diagonal É a matriz quadrada onde os elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos.

Am = aij

B Cm

| aij = 0 se i≠ j

Como a matriz diagonal só possui elementos na diagonal principal (os demais são zero), podemos denotá-la através de um conjunto. Se Am é uma matriz diagonal então diag Am

b c= a11 , … , amm

P Q .

Exemplo 3: Se diag ( A4 ) = { 1, 3, 0, 7 } , então A4 =1 0 0 00 3 0 00 0 0 00 0 0 7

HLLLLJ

IMMMMK .

1.9 Matriz identidade (matriz unidade) É uma matriz diagonal de ordem n onde todos os elementos são iguais a 1 , denotada por I .

I n = aij

B Cn

|aij = 1 se i= j

aij = 0 se i≠ j ou diag I n

b c= 1, … , 1P Q

X̂\̂^̂Z

Exemplo 4: diag I 3

b c= 1,1,1P Q

Q I 3 =1 0 00 1 00 0 1

HLJ

IMK

Page 6: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 6 1.9.1 Observações I - A matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes, por isso é também chamada de matriz unidade, isto é, BI = IB = B . Sendo B uma matriz quadrada . II - O determinante da matriz identidade é unitário det( I ) = 1 . III - A matriz identidade é classificada como: matriz diagonal, matriz quadrada, matriz simétrica, matriz não-singular, matriz ortogonal... (verifique as afirmações que não forem imediatas). 1.10 Igualdade de matrizes Duas matrizes são iguais quando seus elementos correspondentes forem iguais.

A = aij

B CmBn

e B= bij

B CpBq

então A= B ^ aij = bij 8 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n

*Note que as matrizes devem ser de mesma ordem, isto é, m = p e n = q . 1.11 Matriz transposta (transposição)

Trocam-se as linhas pelas colunas, gerando uma nova matriz. Indica-se AT a matriz transposta de A.

Exemplo 5: A = aij

B CmBnQ AT = B = b ji

B CnBm

com aij = b ji

1.12 Matriz oposta Seja A uma matriz, então -A é sua matriz oposta tal que A + @A

` a= O .

*Basta trocar os sinais dos elementos da matriz. 1.13 Matriz simétrica

AT = A , isto é, aij = a ji .

1.14 Matriz anti-simétrica

AT =@A , isto é, aij =@a ji e aij = 0 se i = j (diagonal principal nula).

*Veja os exemplo 22 e 23. 1.15 Matrizes comutativas I - Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = BA = C , sendo C uma matriz qualquer diferente da matriz identidade I , dizemos que A e B são matrizes comutativas. II - Se A e B são matrizes comutativas tais que AB = BA = I , sendo I a matriz identidade, defini-se A como a matriz inversa de B , ou B como a matriz inversa de A . [1.30 Matriz inversa]

Page 7: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 7 Exemplo 6: Determine duas matrizes comutativas de segunda ordem, tais que o produto entre essas matrizes seja diferente da matriz identidade. Solução: Sejam as matrizes A2B2 e B2B2 , queremos determinar estas duas matrizes tais que a definição de comutatividade seja verificada, isto é, queremos A e B | AB = BA = C .

A = a bc d

D Ee B=

w xy z

D EQ AB= a b

c d

D E w xy z

D E=

w xy z

D Ea bc d

D E= BA

AB=aw + by ax+ bzcw + dy cx+ dz

F G= wa + xc wb+ xd

ya + zc yb+ zd

F G= BA

Temos um sistema com muitas variáveis livres, entretanto como veremos, ao escolhermos algumas variáveis as outras ficarão em função destas escolhidas, daí que podemos determinar todas as demais. AB = BA será uma matriz C tal que a igualdade seja verificada, isto é:

AB= BA = C =c11 c12

c21 c22

F G

c11 é tal queaw + by = wa + xcby = xc

V e c12 é tal que

ax + bz= wb + xdax@ xd = wb@bzx a@d` a

= b w@ z` a

X̂\̂^̂Z

Agora já estamos em condições de supor valores para os elementos das matrizes A e B , pois definimos uma relação entre as duas (a escolha é arbitrária, mas é preciso que a relação seja válida). Escolhendo b = 1 temos que y = xc , Escolhendo c = -2 temos que y = -2x , Escolhendo x = 5 temos que y = -10 , Logo temos os valores: b = 1 , c = -2 , x = 5 , y = -10 . Pela relação obtida em c12 , substituímos os valores b e x

x a@d` a

= b w@ z` a

5 a@d` a

= 1 w@ z` a

Escolhendo z = 2 temos que 5( a – d ) = w – 2 , Escolhendo a = -3 temos que 5( -3-d ) = w – 2 , Escolhendo d = -1 temos que -10 = w -2 , assim w = -8 . Logo temos todos os valores necessários: a = -3 , d = -1 , w = -8 e z = 2 . Agora substituímos os valores nas matrizes tal que AB = BA = C : a = -3 , b = 1 , c = -2 , d = -1 ; w = -8 , x = 5 , y = -10 , z = 2

A = @3 1@2 @1

D Ee B= @8 5

@10 2

D EQ AB= @3 1

@2 @1

D E@8 5@10 2

D E= @8 5@10 2

D E@3 1@2 @1

D E= BA

Page 8: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 8 Efetuando a multiplicação das matrizes tanto AB quanto BA temos o resultado que queríamos, isto é:

AB= 14 @1326 @12

D E= BA = 14 @13

26 @12

D E= C

Logo as matrizes A e B são comutativas. 1.15.1 Observações I - Veja que obtemos duas matrizes comutativas tais que A não é a inversa de B , e nem B é a inversa de A , isto é, AB = BA ≠ I . II - Note que desenvolvemos este resultado e que ele não é uma propriedade das matrizes, em geral o produto das matrizes AB ≠ BA , a comutatividade é raramente válida. 1.16 Matrizes anti-comutativas Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = –BA . 1.17 Matriz involutiva Se A é uma matriz quadrada tal que A² = I . 1.18 Matriz idempotente Se A é uma matriz quadrada tal que A² = A . 1.19 Matriz triangular Classificam-se triangular as matrizes que são triangular inferior ou triangular superior . Pode-se pensar que a matriz diagonal é triangular, por ser simultaneamente triangular inferior e triangular superior, mas de acordo com a definição a matriz diagonal não é triangular. 1.19.1 Matriz triangular superior A = aij

B CmBn

com aij = 0 se i> j .

Exemplo 7: A =a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

HLJ

IMK=

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

HLLJ

IMMK

Page 9: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 9 1.19.2 Matriz triangular inferior

B = bij

B CmBn

com bij = 0 se i< j .

Exemplo 8: B =b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

HLLLJ

IMMMK=

b11 0 0b21 b22 0b31 b32 b33

HLLLJ

IMMMK

1.20 Traço de uma matriz Seja A uma matriz quadrada de ordem m , o traço da matriz A que indicamos por tr (A) é a soma dos elementos da diagonal principal, isto é:

Se A = aij

B Cm

=

a11 a12 … a1m

a21 a22 … a2m

… … … …am1 am2 … amm

HLLLLJ

IMMMMK , então o traço da matriz A é dado 8 j = i assim

tr A` a

=Xi = 1

m

aii = a11 + a22 + a33 + …+ amm

Exemplo 9: Calcule o traço da matriz Z =1 5 90 2 02 6 8

HLJ

IMK .

Solução: tr (Z ) = 1 + 2 + 8 = 11 1.21 Submatriz

Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 , chama-se submatriz Aij e denota-se sub Aij

b c a

matriz de ordem n – 1 que obtemos após removermos a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A . Exemplo 10: Seja a matriz A , determine a sub A13

b c .

A =1 3 @20 1 @52 8 @3

HLJ

IMKQ sub A13

b c= 0 1

2 8

D E

*Note que só é preciso remover a linha 1 e a coluna 3.

Page 10: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 10 1.22 Operações com matrizes Nesta seção veremos as operações básicas entre as matrizes e a forma em que são realizadas. 1.22.1 Adição e subtração As matrizes devem ser do mesmo tipo (ou ordem), somar ou subtrair os elementos correspondentes.

Exemplo 11: A = aij

B CmBn

e B= bij

B CmBn

então A+ B = aij + bij

B CmBn

= CmBn

1.22.2 Multiplicação por escalar Multiplicar todos os elementos da matriz por um número k .

A = aij

B CmBn

e k um número então kAA = k Aaij

B CmBn

1.22.3 Multiplicação de matrizes

Considere as Matrizes A = aij

B CmBn

e B= bij

B CpBq

, se n = p então AmBn ABpBq = CmBq .

*Se n ≠ p a multiplicação não existe; note que este número n = p é o limite superior do somatório.

C = cij

B CmBq

onde cij =Xk = 1

n

aik Abkj = ai1Ab1j + ai2Ab2j + ai3Ab3j + …+ ain Abnj

Isto é, cada elemento cij é resultante desta soma de produtos.

Exemplo 12: Considere as matrizes A e B , então o produto AB é dado abaixo.

A2B2 B2B2 = 1 @2@3 4

D E0 56 @7

D E=

[email protected] 1.5@2A @7` a

@3.0+ 4.6 @3.5+ 4A @7` a

HJ

IK= @12 19

24 @43

D E= C2B2 = cij

B C

c21 =Xk = 1

2

a2k Abk1 = a21Ab11 + a22Ab21 =@3A0 + 4.6= 24 , da mesma forma obtemos c11 , c12 e c22 .

Page 11: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 11 1.23 Operações elementares das matrizes São três as operações elementares entre as filas de uma matriz, em nosso estudo usaremos as letras ( L ) para linha e ( C ) para coluna, referindo-se as filas da matriz. Recomenda-se o uso das notações por um melhor esclarecimento de procedimento. 1.23.1 Permutação de filas É a troca de uma linha por outra, a seta dupla indica a permuta (troca) e é usada somente nesta operação. Notação: LxT k Ly ou CxT kC y (Lê-se: A troca da fila x por k vezes a fila y ) LxT Ly ou CxTC y (Quando fazemos k = 1 , basta trocarmos as filas) 1.23.2 Multiplicação de uma fila por escalar não nulo É a multiplicação da x-ésima fila por um escalar não nulo. Notação: LxQ k ALx ou CxQ k ACx (Lê-se: A troca da fila x por k vezes fila x ) 1.23.3 Substituição de uma fila por combinação linear É a substituição da x-ésima fila pela x-ésima fila mais k vezes a y-ésima fila.

Notação: LxQ Lx + k ALy ou LxQ k ALy + Lx

CxQCx + k AC y ou CxQ k AC y + Cx

Lê-se: A troca da fila x pela fila x mais k vezes a fila y . Ou a troca da fila x por k vezes a fila y mais a fila x . Isto por que a ordem da soma não altera o resultado, mas atenção a substituição refere-se a fila que indicamos antes da seta. 1.24 Equivalência de matrizes Sendo A e B matrizes de mesma ordem, dizemos que A é equivalente a B, se for possível transformar A em B por um número finito de operações elementares sobre as filas de A. Notação: A ~ B (Lê-se: A é equivalente à B ou A é linha equivalente à B ). Exemplo 13: Seja a matriz A , obtenha a matriz I através de operações elementares.

A =2 0 10 0,5 01 0 0

HLJ

IMK L3T L1{~~~ }~~~y

Permutação

1 0 00 0,5 02 0 1

HLJ

IMK L2Q 2L2{~~~~ }~~~~y

Multiplicação por escalar

1 0 00 1 02 0 1

HLJ

IMK L3Q@2L1 + L3{~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~y

Substituição

1 0 00 1 00 0 1

HLJ

IMK= I

Usamos neste exemplo as três operações elementares, no primeiro passo substituímos a linha três pela linha um, no segundo passo multiplicamos a linha dois por duas vezes a linha dois e no terceiro passo trocamos a linha três por menos duas vezes a linha um mais a linha três, obtendo assim a matriz identidade ( I ) e de acordo com 1.24 , A ~ I , isto é, a matriz A é equivalente a matriz I .

Page 12: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 12 1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida Considere as seguintes propriedades relativas às filas de uma matriz: I – Numa linha não nula, o primeiro elemento não nulo é 1 (este é chamado de líder ou pivô). II – Em quaisquer duas linhas sucessivas não nulas, o líder da linha superior esta sempre mais à esquerda do que o líder da linha inferior. III – As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas. IV – Cada coluna que contém um líder tem seus demais elementos nulos. Com isso lembramos que sempre podemos transformar uma matriz dada numa matriz escalonada ou numa matriz linha-reduzida, utilizando as operações elementares das matrizes, e assim definimos: 1.25.1 Matriz na forma escalonada São as matrizes em que se verificam as propriedades I, II e III. 1.25.2 Matriz na forma linha-reduzida São as matrizes em que todas as propriedades (I, II, III e IV) são verificadas. 1.25.3 Escalonamento É o procedimento que leva a matriz A para a matriz escalonada de A . Também chamado de Eliminação Gaussiana ou Método de Gauss. 1.25.4 Eliminação Gauss-Jordan É o procedimento que leva uma matriz à sua forma linha-reduzida. 1.25.5 Observações I - O escalonamento e a eliminação Gauss-Jordan serão ilustrados no próximo exemplo. II - A matriz linha-reduzida é também chamada de: (1) “matriz na forma escalonada reduzida por linhas”, do inglês “matrix in reduced row echelon form”, (2) “matriz linha-reduzida à forma escada” ou “matriz escada reduzida por linhas” e (3) “matriz na forma escada”. *Diferentes autores usam nomes distintos para se referirem a mesma coisa, cabe a cada estudante decidir qual nome vai usar, neste texto usamos “linha-reduzida” por ser um dos mais curtos e objetivos. 1.25.6 Teorema Toda matriz A de ordem m×n é equivalente a uma única matriz linha-reduzida. 1.25.7 Corolário Toda matriz A inversível de ordem n , tal que detA ≠ 0 é equivalente a matriz linha-reduzida I , sendo I a matriz identidade ( An ~ I n ) .

Page 13: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 13 1.25.8 Procedimento “escalonamento” e “linha-reduzida” Não ignorando as conclusões vistas em 1.25 existe uma infinidade de caminhos para se chegar à forma escalonada e à forma linha-reduzida, entretanto queremos tornar este caminho o mais curto possível eliminando procedimentos redundantes, para isso considere o seguinte exemplo.

Exemplo 14: Seja a matriz A =5 3 @12 5 4@1 1 2

HLJ

IMK , obtenha a matriz escalonada e a matriz linha-reduzida.

Usando as operações elementares: 1 – O elemento a11 deve ser 1 . Neste caso a11 = 5 .

1.1 Podemos fazer L1Q15fffL1 ;

1.2 Ou L1T12fffL2 ;

1.3 Ou da mesma forma L1T@L3 ; 1.4 Ou L1Q@2L2 + L1 ; 1.5 Ou ainda L1Q 4L3 + L1. Essas foram as formas mais imediatas e ainda existem muitas outras maneiras de se obter a11 = 1 . Entretanto o caminho escolhido não nos interessa, desde que tenhamos a11 = 1 , então:

A =5 3 @12 5 4@1 1 2

HLJ

IMK L1Q@L3

1 @1 @22 5 45 3 @1

HLJ

IMK

2 – Os elementos abaixo de a11 = 1 na primeira coluna devem ser zeros. Neste caso a12 = 2 e a13 = 5 . 2.1 Continuando da última matriz, podemos fazer: 1 @1 @22 5 45 3 @1

HLJ

IMK L2Q@2L1 + L2

1 @1 @20 7 85 3 @1

HLJ

IMK L3Q@5L1 + L3

1 @1 @20 7 80 8 9

HLJ

IMK

3 – O procedimento 1 e 2 se repete para as linhas seguintes. Neste caso para a segunda linha temos a22 = 7 . 3.1 Continuando da última matriz, podemos fazer:

1 @1 @20 7 80 8 9

HLJ

IMK L2Q

17ffffL2

1 @1 @2

0 187ffff

0 8 9

HLLLLJ

IMMMMK

Page 14: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 14 3.2 Os elementos abaixo de a22 = 1 devem ser zeros. Neste caso a32 = 8 , podemos fazer:

1 @1 @2

0 187ffff

0 8 9

HLLLLJ

IMMMMK L3Q@8L2 + L3

1 @1 @2

0 187ffff

0 0 @17ffff

HLLLLLLLJ

IMMMMMMMK

3.3 Agora para a terceira linha temos a33 =@ 17ffff , podemos fazer:

1 @1 @2

0 187ffff

0 0 @17ffff

HLLLLLLLJ

IMMMMMMMK

L3Q@7L3

1 @1 @2

0 187ffff

0 0 1

HLLLLJ

IMMMMK

Veja que estamos de acordo com 1.25.1. Logo a matriz esta escalonada (e este foi o procedimento escalonamento). Vamos continuar até a forma “linha-reduzida”, para isso basta aplicarmos a propriedade:

“1.25 IV – Cada coluna que contém um líder tem seus demais elementos nulos.” Ou seja, precisamos zerar os elementos a23 = 8/7 , a13 = -2 e a12 = -1 . Note que neste caso é necessário que o elemento a23 seja zerado primeiro para evitar um cálculo a mais, então: 1 @1 @2

0 187ffff

0 0 1

HLLLLJ

IMMMMK L2Q@

87ffffL3 + L2

1 @1 @20 1 00 0 1

HLJ

IMK L1Q L2 + L1

1 0 @20 1 00 0 1

HLJ

IMK L1Q 2L3 + L1

1 0 00 1 00 0 1

HLJ

IMK

Resultado este que já era esperado de acordo com 1.25.6 , pois neste caso detA = -1 ≠ 0 . Veja que estamos de acordo com 1.25.2 e neste caso dizemos que a matriz A esta na forma linha-reduzida.

Page 15: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 15 Exemplo 15: Considere o sistema abaixo, dado na forma matricial ampliada, obtenha a matriz escalonada e a matriz linha-reduzida, sendo essas equivalentes à M a .

0 0 -2 0 7 | 12 2 4 -10 6 12 | 28 M a =

2 4 -5 6 -5 | -1 [3.4 Sistemas e matrizes] Solução: Usando as operações elementares, vamos manipular a matriz ampliada do sistema (M a ) com o objetivo de cumprir as exigências para se obter a matriz escalonada e a matriz linha-reduzida. Note que dada uma instrução de operação elementar, ela é sempre cumprida no próximo passo. .

0 0 -2 0 7 | 12 2 4 -10 6 12 | 28 L1T

12fffL2

2 4 -5 6 -5 | -1

1 2 -5 3 6 | 14 0 0 -2 0 7 | 12 L3Q@2L1 + L3

2 4 -5 6 -5 | -1 .

1 2 -5 3 6 | 14 0 0 -2 0 7 | 12 L2Q@

12fffL2

0 0 5 0 -17 | -29

1 2 -5 3 6 | 14 0 0 1 0 @ 7

2ffff | -6 L3Q@5L2 + L3

0 0 5 0 -17 | -29 .

1 2 -5 3 6 | 14 0 0 1 0 @ 7

2ffff | -6

L3Q 2L3 0 0 0 0

12fff | 1

1 2 -5 3 6 | 14 0 0 1 0 @ 7

2ffff | -6

0 0 0 0 1 | 2

Logo o sistema esta na forma escalonada, e até aqui o procedimento é chamado Eliminação-Gaussiana ou obtenção da forma escalonada pelo Método de Gauss. Veja que estamos de acordo com 1.25.1. Agora podemos usar a forma escalonada para obter a forma linha-reduzida. .

1 2 -5 3 6 | 14 0 0 1 0 @ 7

2ffff | -6 L2Q

72ffffL3 + L2

0 0 0 0 1 | 2

1 2 -5 3 6 | 14 0 0 1 0 0 | 1 L1Q 5L2 + L1

0 0 0 0 1 | 2

.

1 2 0 3 6 | 19 0 0 1 0 0 | 1 L1Q@6L3 + L1

0 0 0 0 1 | 2

1 2 0 3 0 | 7 0 0 1 0 0 | 1

0 0 0 0 1 | 2 Logo o sistema esta na forma linha-reduzida, e agora o procedimento é chamado Eliminação Gauss-Jordan. Veja que estamos de acordo com 1.25.2.

Page 16: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 16 Exemplo 16: Algumas matrizes do tipo linha-reduzida.

A =0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

HLLLLJ

IMMMMK , B=

1 2 0 2 0 40 0 1 3 0 80 0 0 0 1 50 0 0 0 0 0

HLLLLJ

IMMMMK , C =

0 1 @3 0 20 0 0 1 20 0 0 0 0

HLJ

IMK , I 3 =

1 0 00 1 00 0 1

HLJ

IMK

1.26 Posto de uma matriz Seja A de ordem m×n e B sua matriz escalonada ou linha-reduzida ( B ~ A ) então; O posto de A ou p(A) que indicamos por p , é o número de linhas não nulas de B ; 1.26.1 Propriedade

O posto de uma matriz A é igual ao posto de sua matriz transposta AT .

p A` a

= p ATb c

A verificação é feita ao comparar a forma escalonada ou linha-reduzida tanto de A como de AT . 1.26.2 Observações I - Alguns autores se referem ao posto da matriz como sendo a Característica (C ) da matriz, logo C = p . II - A propriedade “posto da matriz” é de grande importância para o estudo de sistemas lineares, o qual é usado em muitos assuntos da álgebra linear e suas aplicações. O posto de uma matriz é o número mínimo de linhas numa matriz tal que possamos realizar combinações lineares apropriadas sobre essas linhas de forma que se possam gerar todas as demais linhas, isto é, o posto de uma matriz é um número, e este número é a resposta da seguinte pergunta: Qual o número mínimo de linhas numa matriz tal que possamos gerar as outras demais linhas através de combinações lineares apropriadas? E é por isso que alguns autores se referem ao posto de uma matriz como sendo a sua característica, pois através dessas linhas principais, todo o resto da matriz é caracterizado. 1.27 Nulidade de uma matriz A nulidade de A ou g(A) que indicamos por g , é dado por g = n – p , onde n é o número de colunas de A . 1.27.1 Observações I - Somente em matrizes quadradas a nulidade irá também indicar o número de linhas nulas da matriz; II - Em matrizes a nulidade é apenas uma relação entre as colunas e o posto da matriz, já em sistemas lineares a nulidade ganhará um sentido mais significativo para os nossos estudos, e por isso desde já a nulidade é representada pela letra g pois irá indicar o grau de liberdade do sistema, e assim não será necessário outra definição quando chegarmos lá.

Page 17: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 17 Exemplo 17: Mostre que a nulidade de uma matriz nunca é negativa. Solução: Queremos provar que a nulidade de uma matriz nunca é negativa ( g ≥ 0 ), e para isso devemos analisar os três seguintes casos quanto as possíveis ordens das matrizes. Seja A uma matriz de ordem rBs , onde r e s 2 N

C , e a nulidade de A que é dada por

g = n – p , onde n é o número de colunas de A e p é o posto de A. I ) Se r = s , isto é, o número de linhas é igual ao número de colunas de A , então: p(A) = { r, r-1, r-2, ... 1,0} , isto é, o posto máximo de A é r , podendo ser r-1, r-2, ... , 1, 0 (onde o posto mínimo de A é 0 ). Se p A

` a= r [ g = n@p = r@ r = 0 # g = 0

Se p A

` a= r@1 [ g = n@ r@1

` a= r @ r + 1 = 1 # g = 1

Se p A

` a= r@2 [ g = n@ r @2

` a= r @ r + 2 = 2 # g = 2

... Se p A

` a= 1 [ g = n@p = r@1 , como n = r e r é no mínimo 1 , temos:

p A` a

= 1 [ g = r@p = 1@1 = 0 então 8 r ≥ 1 [ g ≥ 0

p A` a

= 0 [ g = r@p = 1@0 = 1 então 8 r ≥ 1 [ g ≥ 1

Logo se A é uma matriz quadrada de ordem r a nulidade nunca é negativa. II) Se r < s , isto é, o número de linhas é menor que o número de colunas de A , então: p(A) = { r, r-1, r-2, ... 1, 0} Se p A

` a= r [ g = n@p = s@ r mas r < s [ s@ r > 0 # g> 0

Se p A

` a= r@1 [ g = n@p = s@ r@1

` a= s@ r + 1 mas r < s [ s@ r > 0 # g> 1

Se p A

` a= r@2 [ g = n@p = s@ r @2

` a= s@ r + 2 mas r < s [ s@ r > 0 # g> 2

... Se p A

` a= 1 [ g = n@p = s@1 como r < s temos que s é no mínimo 2 , por que r não pode ser

zero (a matriz para existir deve ter ao menos uma linha, isto é, r = 1 ), temos:

p A` a

= 1 [ g = s@1 = 2@1 = 1 e 8 s≥ 2 [ g ≥ 1

p A` a

= 0 [ g = s@0 = 2@0 = 2 e 8 s≥ 2 [ g ≥ 2

Logo se A é uma matriz retangular de ordem rBs tal que r < s a nulidade nunca é negativa.

Page 18: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 18 III) Se r > s , isto é, o número de linhas é maior que o número de colunas de A . Então qualquer linha r maior que s é múltipla ou combinação linear das s linhas. Portanto o posto máximo de A é p(A) = s , então: p(A) = {s, s-1, s-2, ... 1, 0} Se p A

` a= s [ g = n@p = s@ s= 0 # g = 0

Se p A

` a= s@1 [ g = n@p = s@ s@1

` a= 0 + 1 = 1 # g = 1

Se p A

` a= s@2 [ g = n@p = s@ s@2

` a= 0 + 2 = 2 # g = 2

... Se p A

` a= 1 [ g = n@p = s@1 como r > s temos que s é no mínimo 1 , por que s não pode ser

zero (a matriz para existir deve ter ao menos uma coluna, isto é, s = 1 ), temos:

p A` a

= 1 [ g = s@1 = 1@1 = 0 então 8 s≥ 1 [ g ≥ 0

p A` a

= 0 [ g = s@0 = 1@0 = 1 então 8 s≥ 1 [ g ≥ 0

Logo se A é uma matriz retangular de ordem rBs tal que r > s a nulidade nunca é negativa. As seguintes matrizes são de ordem rBs , com r > s :

A2B1 =a11

a12

F G~ 1

0

D E B3B2 =

1 2@1 2

0 5

HLJ

IMK~

1 00 10 0

HLJ

IMK C4B3 =

5 7 01 @5 02 8 71 3 2

HLLLLJ

IMMMMK~

1 0 00 1 00 0 10 0 0

HLLLLJ

IMMMMK

Veja que nas três matrizes a última linha é sempre múltipla ou combinação linear das linhas anteriores. E assim todas as r-s linhas que sucedem as s primeiras linhas de uma matriz de ordem rBs tal que r > s , são sempre múltiplas ou combinações lineares dessas s primeiras linhas. Portanto a nulidade de uma matriz é no mínimo zero, mas nunca é negativa, como queríamos demonstrar. E a explicação informal que responde este exercício é a seguinte: “A nulidade de uma matriz nunca é negativa por que não existe uma matriz linha-reduzida tal que o posto é maior que o número de colunas”.

Page 19: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 19 1.28 Propriedades de operações com matrizes 1.28.1 Propriedades da adição

1. A + B = B + A Comutatividade para adição.

2. A + (B + C) =(A + B) + C Associatividade para adição.

3. A + O = O + A = A Elemento neutro na adição, O é a matriz nula.

4. A – A = O e O – A = –A 1.28.2 Propriedades da multiplicação por escalar

5. k(A + B) = kA + kB k é uma constante.

6. k1 + k2

b cA = k1 A + k2 A

7. A0 = 0A = O Se k = 0 a multiplicação da matriz A por k gera a matriz nula.

8. k1 k2 Ab c

= k1 k2

b cA

1.28.3 Propriedades da multiplicação de matrizes

9. AI = IA = A Elemento neutro, I é a matriz identidade.

10. A(B + C) = AB + AC Distributividade à esquerda, manter esta ordem.

11. (A + B)C = AC + BC Distributividade à direita, manter esta ordem.

12. (AB)C = A(BC) Associatividade para multiplicação, manter esta ordem.

13. (kA)B = A(kB) = k(AB) A comutatividade do escalar é sempre válida.

14. AO = OA = O O é a matriz nula de mesma ordem que A .

15. AB ≠ BA A comutatividade é raramente válida na multiplicação de matrizes.

16. AB = O [+ A = O ou B = O (Contra-propriedade)

17. AB = AC [+ B = C (Contra-propriedade, a lei do cancelamento não é válida) 1.28.4 Propriedades da transposição

18. A + B` aT = A

T + BT

19. kB` aT = B

Tk k é uma constante, a comutatividade é válida.

20. ATb cT

= A A transposta da matriz transposta de A é igual a A .

21. AB` aT = B

T ΑT Manter esta ordem.

ABC` aT = C

TB

TA

T A propriedade pode ser estendida para n fatores.

Page 20: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 20 Prova de 1 (Exemplo 18) : A + B = B + A

A + B = AmBn + BmBn = aij

B CmBn

+ bij

B CmBn

= aij + bij

B CmBn

= bij + aij

B CmBn

= bij

B CmBn

+ aij

B CmBn

= BmBn + AmBn = B + A

.

Prova de 5 (Exemplo 19) : k A A + B` a

= k aij

B CmBn

+ bij

B CmBn

d e= k aij + bij

B CmBn

= k Aaij + k Abij

B CmBn

= k Aaij

B CmBn

+ k Abij

B CmBn

= k AA + k AB

Prova de 10 (Exemplo 20) : Sejam B e C matrizes de ordem n×p e A de ordem m×n . Então existem os produtos AB e AC , pois AmBn ABnBp = DmBp e AmBn ACnBp = EmBp

Logo existe a matriz resultante da soma D + E

@ AmBp

= AB + AC .

Agora considere A = aij

B C , B = bij

B C e C = cij

B C , queremos mostrar que as entradas da matriz A(B + C)

são iguais as entradas de AB + AC . Pelas definições das operações com matrizes temos que

8 i e j , A B+ C` aB C

ij= ai1 b1j + c1j

b c+ ai2 b2j + c2j

b c+ …+ aim bmj + cmj

b c

= ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aim bmj

b c+ ai1 c1j + ai2 c2j + …+ aim cmj

b c

= AB@ A

ij+ AC@ A

ij= AB+ AC@ A

ij

E ainda podemos expandir para uma soma ou produto de mais termos, pois as leis da associatividade (2) e (12) garantem que o resultado final é sempre o mesmo. Justificativa de 21 (Exemplo 21) : Vamos justificar a propriedade 21 através da ordem das matrizes.

Suponha que queremos transpor o seguinte produto de matrizes: AB , isto é, AB` aT

, mas para que o produto AB exista temos:

AB` aT = AmBn BnBq

b cT

(O nº de colunas de A deve ser igual ao nº de linhas de B )

Sabendo que AmBn

b cT

= AnBm e BnBq

b cT

= BqBn , se transpormos diretamente as matrizes já haveria o

problema da ordem, veja:

AB` aT = AnBm BqBn

z~~~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~~~xessa igualdade é falsa

( m ≠ q , logo o produto não pode existir )

Page 21: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 21 Agora se, simplesmente alterarmos a ordem do produto, o problema desaparece:

AB` aT = BqBn AnBm = CqBm

z~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xessa igualdade é verdadeira

( n = n , logo o produto existe, resultando na matriz CqBm )

Esse resultado justifica a propriedade 21 pela definição do produto de matrizes, mas ainda não é uma prova da propriedade. Exemplo 22: Aplicação das propriedades 18, 20 e 21. Sendo AmBm , mostre que AAT e A + AT são matrizes simétricas e A@ AT é anti-simétrica.

ia

B = A AT[ BT = A AT

b cT

= ATb cT

AT = A AT

Logo B = BT# A AT é simétricaA

iia

B = A + AT

BT = A + ATb cT

= AT + ATb cT

= AT + A = B

Logo B = BT# A + AT é simétricaA

iiia

B = A@ AT

BT = A@ ATb cT

= AT@ ATb cT

= AT@A =@A + AT

Logo B =@BT# A@ AT é anti@ simétricaA

Exemplo 23: Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica, ou seja, A = S + N onde S é uma matriz simétrica e N é uma matriz anti-simétrica. Solução: A chave desse exercício é um sistema que deve ser seguido para que a relação seja verificada.

Seja An = aij

B Cn , uma matriz quadrada de ordem n , se S é simétrica e N é anti-simétrica, da definição

temos que:

S= ST[ sij

B Cn

= s ji

B Cn e N =@N T

[ nij

B Cn

= @n ji

B Cn com nij = 0 se i = j , assim

aij

B Cn

= s ji

B Cn

+ @n ji

B Cn[ aij = s ji @n ji = sij + nij .

Como sempre podemos tornar essa relação válida, logo é sempre possível escrever A = S + N .

Page 22: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 22 Vamos ver como fica quando inserimos números.

Se A = 2 51 3

D E , escreva A como a soma S + N .

S= ST[ S=

s11 s12

s12 s22

F Ge N =@N T

[ N =0 n12

@n12 0

HJ

IK ,

Temos a equação matricial A = S + N para resolver:

2 51 3

D E=

s11 s12

s12 s22

F G+

0 n12

@n12 0

HJ

IK=

s11 + 0 s12 + n12

s12@n12 s22 + 0

HJ

IK

De onde vem o sistema:

s11 = 2s12 + n12 = 5s12@n12 = 1s22 = 0

X̂^̂̂̂^̂\^̂̂̂^̂̂Z

Somando a segunda equação com a terceira obtemos 2s12 = 6 e portanto s12 = 3 , decorre então que n12 = 2 . Assim obtemos os valores de S e de N .

S= 2 33 0

D Ee N = 0 2

@2 0

D E

Portanto A = S + N , sendo S simétrica e N anti-simétrica, como queríamos demonstrar. E ainda, o resultado pode ser expandido para matrizes quadradas de ordem n , entretanto o sistema à ser resolvido terá n variáveis imediatas (da matriz simétrica, conseqüência da diagonal principal da matriz anti-simétrica ser nula) mais n variáveis a serem calculadas (da matriz simétrica) e n variáveis decorrentes (da matriz anti-simétrica), lembrando que nenhuma entrada dessas duas matrizes são aleatórias, são todos números bem definidos, pois o sistema é definido (SPD).

Page 23: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 23 1.29 Potência de uma matriz Seja A uma matriz quadrada, m e n números inteiros, temos: A0 = I potência zero de A , I é a matriz identidade. An = A A … A{~~~~~ }~~~~~y

n f atores

( n > 0 ) , chamamos n-ésima potência de A .

A@ n = A@ 1b cn

= A@ 1 A@ 1 … A@ 1{~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~yn f atores

desde que exista a matriz inversa ( A@ 1) de A .

Am An = Am + n

Amb cn

= AmA n

1.30 Matriz inversa A idéia de matriz inversa esta diretamente ligada ao conceito de número inverso, e para ilustrar o problema começaremos com uma matriz de primeira ordem e depois seguiremos para a definição. Considere a matriz de primeira ordem A = [ x ] , se queremos determinar a matriz A@ 1 denominada a inversa de A , precisamos determinar o número inverso de x , mas da definição de número inverso

sabemos que x A x@ 1 = x A1xffff= x@ 1A x = 1

xffffA x = 1 , sendo a comutatividade válida. Assim encontrar a

inversa de A significa encontrar uma matriz tal que quando efetuarmos o produto matricial entre a matriz e a sua respectiva inversa, sendo a comutatividade válida, cheguemos ao elemento neutro da multiplicação matricial, ou seja na matriz I identidade/unidade então:

A@ 1 = 1

xffffF G[ A A

@ 1 = x@ A 1

xffffF G

= A@ 1

A = 1xffffF G

x@ A

= 1@ A

= I

O problema que se segue é encontrar uma técnica viável para inverter matrizes de ordem maior que um, visto que as matrizes têm definições e propriedades particulares. 1.30.1 Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem m , se existir uma matriz B que satisfaça a equação AB = BA = I dizemos que B é a inversa de A e denota-se B = A@ 1 a matriz inversa de A . Ou seja, A é inversível (invertível) se, e somente se: .

AA@ 1= A@ 1A = I

Page 24: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 24 1.30.2 Cálculo da matriz inversa pela definição Calcular matrizes inversas pela definição nem sempre é fácil, pois dada uma matriz A de ordem m então precisamos encontrar uma matriz B de ordem m tal que AB = BA = I , e isto implica em resolver pelo menos m sistemas com m² incógnitas. Para exemplificar, calcularemos a inversa de uma matriz de ordem dois (m = 2) pela definição, assim precisamos resolver dois sistemas e encontrar quatro incógnitas.

Exemplo 24: Mostre pela definição que A = 3 12 1

D E é inversível.

Solução: Queremos mostrar que existe A@ 1 , tal que AA@ 1= A@ 1A = I , isto é:

A@ 1 = a bc d

D EQ 3 1

2 1

D Ea bc d

D E= a b

c d

D E3 12 1

D E= 1 0

0 1

D E no lado esquerdo temos 3a + c 3b + d

2a + c 2b + d

D E= 1 0

0 1

D E

Para resolver a equação matricial, temos que resolver dois sistemas:

3a + c = 12a + c = 0

T [ 6a + 2c = 2

@6a@3c = 0

T [ a = 1

c =@2

T 3b + d = 0

2b + d = 1

T [ 6b + 2d = 0

@6b@3d =@3

T [ b =@1

d = 3

T

Logo a inversa de A é a matriz A@ 1 = 1 @1@2 3

D E pois 3 1

2 1

D E1 @1

@2 3

D E= 1 @1@2 3

D E3 12 1

D E= 1 0

0 1

D E

Analogamente poderíamos calcular a inversa de uma matriz de ordem maior ou igual a três, entretanto precisaríamos resolver três ou mais sistemas lineares para encontrar cada uma das entradas da matriz inversa. Em 1.30.9 veremos o algoritmo de inversão [ A | I ] que simplifica o procedimento.

No estudo de matrizes inversas são necessários conhecimentos básicos da teoria de DETERMINANTES, faremos as indicações quando algum assunto for necessário.

1.30.3 Teste de inversão e cálculo da inversa por adjunta Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero, isto é:

9 A@ 1^ detA ≠ 0 pois A@ 1 = 1

det AfffffffffffffffcofA

` aT = 1det AfffffffffffffffadjA

Onde detA é o determinante da matriz A [2 Determinantes] ; cofA é a matriz co-fatora de A [2.6 Co-fator] e [2.7 Matriz co-fatora] ; adjA é a matriz adjunta de A [2.8 Matriz adjunta] ; Com este resultado podemos obter a inversa de uma matriz de ordem n. * Essa é uma justificativa para a existência da inversa. A prova para esse teorema pode ser encontrada na referência bibliográfica (1) pg. 87 .

Page 25: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 25 Demonstração para a justificativa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n com detA ≠ 0 e usando o teorema 2.8.1 segue que: AAadjA = adjAAA = detAA I n [Teorema 2.8.1] Usando esta igualdade temos A AadjA = det A A I n

A@ 1AA AadjA = A@ 1

AdetA A I n

I n AadjA = A@ 1AdetA A I n

A@ 1 = 1det AfffffffffffffffadjA

Com isso

A1

detAfffffffffffffffadjA

f g= 1

detAfffffffffffffffA AadjA

b c= 1

detAfffffffffffffffdetA A I n = I n

E analogamente prova-se que

1detAfffffffffffffffadjA

f gA = I n

Portanto pela definição de matriz inversa, o teorema 1.30.3 esta provado.

Exemplo 25: Recalcule a inversa da matriz A = 3 12 1

D E usando a propriedade 1.30.3 .

[2.6 Co-fator]

A = 3 12 1

D EQ detA = 3@2 = 1

Co-fatores de A : cof a11

` a= @1` a2

A1 = 1 , cof a12

` a=@2 , cof a21

` a=@1 , cof a22

` a= 3

Matriz co-fatora de A e matriz adjunta de A :

cofA = 1 @2@1 3

D EQ cofA` aT = adjA = 1 @1

@2 3

D E

Logo obtemos a inversa pela propriedade:

A@ 1 = 1detAfffffffffffffffAadjA =1

1ffA 1 @1@2 3

D E

A@ 1 = 1 @1@2 3

D E

Page 26: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 26 1.30.4 Determinante da matriz inversa Se a matriz A é inversível, seu determinante é diferente de zero e vale a seguinte relação:

detA@ 1 = 1det Afffffffffffffff ^ detA ≠ 0

[2.4.8.2 Teorema de Binet] 1.30.5 Matriz não-singular É a matriz cujo determinante difere de zero, ou seja, matrizes inversíveis são também chamadas de matrizes não-singulares. 1.30.6 Matriz singular É a matriz cujo determinante é zero. A matriz singular não admite inversa (é não inversível). 1.30.7 Unicidade da matriz inversa

Se a matriz A for inversível ( detA ≠ 0 ) então a inversa A@ 1 é única. Demonstração: Consideremos a existência de duas matrizes inversas de A , sendo A1 e A2 , então: Prova 1:

A A1 = I e A A2 = I

A A1 = A A2

A A1@A A2 = 0

A A1@ A2

b c= 0

Considerando a existência da inversa, então esta não pode ser nula, isto é, A ≠ 0 , logo só nos resta que A1@ A2 = 0 e assim A1 = A2 . Isto garante que se existe a matriz inversa de A , então ela é única. Prova 2: Como A1 é uma inversa de A , temos que: A1 A = I Multiplicando ambos os lados pela direita por A2 :

A1 Ab c

A2 = IA2 = A2

A1 Ab c

A2 = A1 AA2

b c= A1 I = A1

Logo A1 = A2 e assim, se existe a inversa de A , ela é única.

Page 27: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 27 1.30.8 Propriedades da matriz inversa

22. B@ 1b c@ 1

= B A inversa da matriz inversa de B é igual a B.

23. B@ 1b cT

= BTb c@ 1

A transposta da inversa é igual a inversa da transposta.

24. AB` a@ 1 = B

@ 1A@ 1 Deve-se manter esta ordem.

ABC` a@ 1 = C

@ 1B@ 1

A@ 1 A propriedade pode ser estendida para n fatores.

25. A + B` a@ 1 = A

@ 1 + B@ 1 Isto se det(A+B) ≠ 0 , ou seja a matriz A + B é inversível.

26. k A` a@ 1 = 1

kffffA@ 1 k ≠ 0

27. I @ 1 = I A inversa da matriz identidade é ela própria. Prova de 26 (Exemplo 26) : Se k é um escalar não nulo, as propriedades da multiplicação por escalar permitem escrever:

kA` a 1

kffffA@ 1

f g= 1

kffffkA` a

A@ 1 = 1

kffffk

f gAA

@ 1 = 1 I = I

Da mesma forma temos 1kffffA@ 1

f gkA` a

= I

Como isso verifica a definição de inversa, concluímos que kA é inversível, isto é: k A` a@ 1 = 1

kffffA@ 1 .

Exemplo 27: Sendo A e B matrizes inversíveis, verifique usando as propriedades de matrizes, se a equação matricial é verdadeira:

A BTb c@ 1

= B@ 1b cT

A@ 1

Resposta: Sim, use as propriedades 24 e 23 .

Page 28: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 28 1.30.9 Algoritmo de inversão [ A | I ] de matrizes inversíveis Para encontrar a inversa de uma matriz A que seja inversível, deve-se encontrar uma seqüência de operações elementares sobre as linhas da matriz A , que reduz esta à matriz identidade para depois efetuar a mesma seqüência de operações na matriz identidade, desta forma obtendo a inversa de A . Procedimento: escreve-se a matriz quadrada que se quer inverter ao lado esquerdo da matriz identidade de mesma ordem, na forma:

A | IB C

Então se efetua uma seqüência de operações elementares simultaneamente sobre as linhas desta matriz tal que façamos aparecer a identidade no lado esquerdo, e assim a matriz que a aparecer no lado direito será a inversa de A :

I | A@ 1B C

1.30.10 Observações Este procedimento é impossível se a matriz A for singular (isto é, não admitir inversa), o que irá ocorrer no algoritmo é que uma das linhas à esquerda irá ser nula no decorrer das operações sobre as linhas, logo tornando impossível de se fazer aparecer a identidade no lado esquerdo. Por isso é importante sempre calcular o determinante da matriz, antes de começar a inverter a dada matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível, caso contrário pode-se afirmar que a matriz é singular (isto é não admite inversa).

Exemplo 28: Usando o algoritmo de inversão, determine a inversa de T = 1 30 2

D E .

Solução: Vamos inverter a matriz usando o algoritmo de inversão e o procedimento descrito.

T | IB C

=1 3 | 1 00 2 | 0 1

HJ

IK

L2Q12fffL2

1 3 | 1 0

0 1 | 012fff

HLLJ

IMMK , L1Q@3L2 + L1

1 0 | 1@32fff

0 1 | 012fff

HLLLLJ

IMMMMK

Logo T @ 1 =1 @

32fff

012fff

HLLLLJ

IMMMMK

Veja que a definição é verificada, isto é, TT @ 1 = T @ 1 T = I .

Page 29: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 29 1.30.11 Fórmula da inversa da matriz de ordem dois Usando o algoritmo de inversão vamos obter uma fórmula geral para inversão de matrizes de ordem 2 que sejam inversíveis. Seja A matriz de ordem 2 , tal que o determinante é diferente de zero, isto é, A é inversível:

A = a bc d

D EQ detA = ad@bc = x ≠ 0 , queremos encontrar A@ 1 , usando o [ A | I ] , segue que:

a b | 1 0c d | 0 1

HJ

IK L2Q@

caffffL1 + L2

a b | 1 0

0 @cbafffffff+ d

f g| @

caffff 1

HLLLJ

IMMMK=

a b | 1 0

0ad@bc` a

afffffffffffffffffffffffffffff| @ c

affff1

HLLJ

IMMK=

a b | 1 0

0xaffff| @ c

affff1

HLJ

IMK

L1Q@baxffffffffL2 + L1

a 0 | @baxfffffffff g

@caffffd e

+ 1

HJ

IK @ ba

xfffffffff g

0xaffff| @

caffffd e

1

HLLLLLLLJ

IMMMMMMMK

=a 0 |

bcxfffffff+ 1

f g@

baxfffffffff g

0xaffff| @

caffffd e

1

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

~a 0 |

bc + xxfffffffffffffffffffff g

@baxfffffffff g

0xaffff| @

caffffd e

1

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

=a 0 |

bc + ad@bcx

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff g@

baxfffffffff g

0xaffff| @

caffffd e

1

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

=a 0 |

adxfffffffff g

@baxfffffffff g

0xaffff| @ c

affffd e

1

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

L1Q1affffL1 , L2Q

axffffL2

1 0 |dxffff @ b

xffff

0 1 | @cxffff a

xffff

HLLLLJ

IMMMMK= I | A@ 1B C

Q A@ 1 =dxffff @ b

xffff

@cxffff a

xffff

HLLLLJ

IMMMMK

Logo, para obter a inversa de A2B2 , sendo A inversível, basta trocar o elemento a por d , trocar o sinal de b e c , calcular e multiplicar pelo inverso do determinante de A , isto é:

A = a bc d

D EQ A@ 1 = 1

detAfffffffffffffff d @b

@ c a

D E

Page 30: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 30 1.30.12 Fórmula da inversa da matriz de ordem três (cálculo do elemento da inversa) Uma fórmula mais complexa pode ser deduzida para a inversa de matrizes de ordem três, veremos que através dessa fórmula podemos chegar ao cálculo do elemento da matriz inversa.

Seja A uma matriz inversível, isto é A =a b cd e fg h i

HLLJ

IMMK e detA = aei+ bfg + dhc@ ceg+ fha + dbi

b c≠ 0

A fórmula para a inversa de A pode ser obtida analogamente como fizemos para a inversa da matriz de ordem dois, mas desta vez omitimos o passo a passo para não estender demais este assunto.

A@ 1 = 1detAfffffffffffffff

ei@hf hc@bi bf@ecgf@di ai@gc dc@afdh@ge gb@ah ae@db

HLLJ

IMMK

{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~yB é matriz adjunta de A

A partir da dedução chega-se aos próximos resultados, na matriz B note que os elementos: b11 = ei – hf é o determinante da submatriz.....................A11 b12 = hc – bi é o oposto do determinante da submatriz...A21 b13 = bf – ec é o determinante da submatriz.................... A31 b21 = gf – di é o oposto do determinante da submatriz....A12 b22 = ai – gc é o determinante da submatriz.................... A22 b23 = dc – af é o oposto do determinante da submatriz....A32 b31 = dh – ge é o determinante da submatriz.................... A13 b32 = gb – ah é o oposto do determinante da submatriz...A23 b33 = ae – db é o determinante da submatriz.................... A33 O oposto do determinante é o determinante com sinal trocado, isto é, calcule o determinante e o resultado obtido fica multiplicado por (–1) . Daí que obtemos o seguinte esquema de troca de sinais:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

HLJ

IMK=

+ @ +@ + @+ @ +

HLJ

IMK

Para não memorizar o diagrama, veja que o sinal de cada elemento pode ser obtido com a seguinte regra:

aij = @1` ai + j

assim a11 = @1` a1 + 1 = 1 , a12 = @1

` a1 + 2 =@1 , a13 = @1` a1 + 3 = 1 , …

Além disso, note que cada elemento bij é inicialmente o determinante da submatriz Aji , então podemos finalizar a nossa análise com uma regra para o cálculo de cada elemento da matriz inversa:

Sendo a matriz A = aij

b cn e B = bij

b cn a matriz inversa, então os elementos da matriz B são dados por:

bij = 1detAfffffffffffffff@1

` ai + jdet sub A ji

b cd e

{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ycof a ji

b c

= 1detAfffffffffffffffA cof a ji

b c

Page 31: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 31

A expressão cof a ji

b c= @1` ai + j det sub A ji

b cd e

{~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~yMenor complementar Mji

é definida como co-fator do elemento a ji .

Com a prática pode-se tornar este processo mais rápido do que o uso do algoritmo de inversão [ A | I ] . Para uma melhor compreensão desta dedução veja em [2 Determinantes] as seguintes definições [2.5 Menor complementar] , [2.6 Co-fator] , [2.7 Matriz co-fatora] e [2.8 Matriz adjunta] .

Exemplo 29: Usando os resultados de 1.30.12 , calcule o elemento b23 da matriz inversa de A =1 2 10 3 20 0 1

HLJ

IMK.

bij = 1det AfffffffffffffffA A ji Q b23 = 1

det AfffffffffffffffA A32

Como esta matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, isto é: det A = a11Aa22Aa33 = 1.3A1 = 3 Cálculo do co-fator

A32 = @1` a5

A 1 10 2

LLLLL

MMMMM= @1` a

A2 =@2

E assim b23 = 1det AfffffffffffffffA A32 = 1

3fffA @2` a

=@23fff

Exemplo 30: Determine a inversa da matriz dada utilizando o algoritmo de inversão [ A | I ] .

-1 3 5 -5 -4 1 A =

3 6 4 Solução: O primeiro passo é calcular o determinante.

detA = @1` a

@4` a

4 + 3.1A3 + @5` a

6.5@ 5 @4` a

3 + 1.6 @1` a

+ 3 @5` a

4B C

=@125@ @126` a

= 1

Como det A ≠ 0 , concluí-se que a matriz é inversível, então seguimos para o algoritmo de inversão. .

-1 3 5 | 1 0 0 -5 -4 1 | 0 1 0 L1Q@L1

3 6 4 | 0 0 1

1 -3 -5 | -1 0 0 -5 -4 1 | 0 1 0

L2Q 5L1 + L2

L3Q@3L1 + L3

3 6 4 | 0 0 1

1 -3 -5 | -1 0 0 0 -19 -24 | -5 1 0 L3Q

1519fffffffL2 + L3

0 15 19 | 3 0 1

1 -3 -5 | -1 0 0 L2Q@

119fffffffL2

0 -19 -24 | -5 1 0

Page 32: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 32

1 -3 -5 | -1 0 0 0 1

2419fffffff | 5

19fffffff @ 1

19fffffff 0 L2Q@

2419fffffffL3 + L2

0 0 1 | -18 15 19

1 -3 -5 | -1 0 0 0 1 0 | 23 -19 -24 L1Q@3L2 + L1

0 0 1 | -18 15 19

1 0 -5 | 68 -57 -72 0 1 0 | 23 -19 -24 L1Q 5L3 + L1

0 0 1 | -18 15 19

1 0 0 | -22 18 23 0 1 0 | 23 -19 -24 L1Q 5L3 + L1

0 0 1 | -18 15 19 Logo a última matriz que está no lado direito é a inversa de A . Para verificar se a matriz inversa esta correta usa-se a definição, isto é, multiplica-se a matriz pela sua inversa AA@ 1 = A@ 1 A = I , cujo resultado é a matriz identidade. Ou pode-se usar um software matemático para não perder tempo. 1.31 Matriz ortogonal

É a matriz cuja inversa coincide com a transposta M @ 1 = M T . E pela definição 1.30.1 segue que MM T = MM @ 1 = M @ 1 M = M T M = I . *O seguinte exemplo requer o conhecimento de determinantes e propriedades. Exemplo 31: Sendo AmBm uma matriz ortogonal, mostre que detA = ±1 . Solução 1: A@ 1 = AT

A A@ 1 = A AT = I

det A ATb c

= detI [ det A` a

det ATb c

= 1

det A` a

det A` a

= 1 [ detA` a2 = 1 [ detA =F 1

Solução 2: A@ 1 = AT

[ det A@ 1b c

= det ATb c

Aplicando o corolário 2.4.8.2 , det A@ 1b c

= 1det Afffffffffffffff ; e a propriedade 2.4.1 , det A = det AT

det A@ 1b c

= det ATb c

[1

detAffffffffffffff= det AT

b c

1 = detA` a2

[ detA =F 1pwwwwwwwwwwwwwww

=F 1

Page 33: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 33 1.31.1 Propriedade das matrizes ortogonais Toda matriz ortogonal tem filas (linhas e colunas) ortonormais, ou seja, os vetores-linha e vetores-coluna têm comprimento igual a um, e dois-a-dois são ortogonais.

Se A = vi | … | v j

B C é ortogonal, onde vi , ... vj são vetores-coluna, então vi ,v j

* +=

0 se i≠ j1 se i= j

V .

* vi

NN NN = vi ,vi

( )qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Exemplo 32: Seja a matriz T = v1 | v2 | v3

B C , mostre que T é ortogonal usando a propriedade 1.31.1 ,

onde v1 = 23fff, 2

3fff, 1

3ffff g

, v2 = 23fff,@1

3fff,@2

3ffff g

, v3 = 13fff,@2

3fff, 2

3ffff g

.

Solução: v1 , v1 , v3 são vetores-coluna, precisamos mostrar que

v1

NN NN = v2

NN NN= v3

NN NN = 1 e v1 ,v2

( )= v1 ,v3

( )= v2 ,v3

( )= 0

Ou seja, que a norma (comprimento) dos vetores é um, e que o produto escalar (produto interno usual) entre os vetores (dois-a-dois) é igual à zero.

Se vi = x,y,z` a

então viNN NN = vi ,vi

( )qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

= x,y,z( )

x,y,z( )q

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x2 + y2 + z2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

v1

NN NN= 23ffff g2

+ 23ffff g2

+ 13ffff g2

vuuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

= 1 , v2

NN NN = 23ffff g2

+ @13ffff g2

+ @23ffff g2

vuuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

= 1

v3

NN NN = 13ffff g2

+ @23ffff g2

+ 23ffff g2

vuuut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

= 1

v1 ,v2

( )= 2

3fff, 2

3fff, 1

3fff. /

23fff,@1

3fff,@2

3fff. /

= 49ffff@2

9fff@2

9fff= 0 , v1 ,v3

( )= 2

3fff, 2

3fff, 1

3fff. /

13fff,@2

3fff, 2

3fff. /

= 29fff+ 2

9fff+ 4

9ffff= 0

v2 ,v3

( )= 2

3fff,@1

3fff,@2

3fff. /

13fff,@2

3fff, 2

3fff. /

= 29fff+ 2

9fff@ 4

9ffff= 0

Portanto a matriz T é ortogonal. Curiosidade: a matriz T se denotada por [ T ] representa em transformações lineares um operador linear ortogonal T : R3

QR3 onde cada linha da matriz [ T ] determina a lei de associação e assim a imagem da transformação, neste caso:

T@ A

=

23fff 2

3fff 1

3fff

23fff@1

3fff@2

3fff

13fff@2

3fff 2

3fff

HLLLLLLLLLLJ

IMMMMMMMMMMK

[ T : R3QR3 | T x,y,z

` a= 2

3fffx + 2

3fffy + 1

3fffz ,

23fffx@1

3fffy@2

3fffz ,

13fffx@2

3fffy + 2

3fffz

f g

Page 34: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 34 2 DETERMINANTES Nesta seção estudaremos a teoria dos determinantes, inicialmente com o conceito de determinante, passando por todo o conteúdo necessário para a definição e então formalizando a definição com suas propriedades e aplicações. 2.1 Conceito de determinante Podemos dizer inicialmente que o determinante de uma matriz é o número que representa ou resolve a matriz. Não existe determinante de matrizes retangulares, isto é, a ordem das matrizes será sempre n×n . O determinante de uma matriz quadrada A é indicado por detA :

A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

HLLLLJ

IMMMMK então detA = det

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

HLLLLJ

IMMMMK= ALL MM=

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

LLLLLLLLLL

MMMMMMMMMM

(Conteúdo opcional) Como nem sempre a definição de determinante é cobrada em prova, esta se restringindo apenas a aplicações de regras práticas, o teorema de Laplace e a regra de Chió. Portanto esta parte fica como apêndice de conteúdo somente para os mais interessados na teoria, você pode seguir direto para 2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes . 2.1.1 Permutação Dado um conjunto de elementos a1 , a2 , a3 , … , an

P Q , defini-se como permutação desse conjunto um

rearranjo destes elementos em alguma ordem sem omissões ou repetições. 2.1.2 Permutação principal É a permutação em que os elementos estão organizados segundo uma ordem seqüencial definida. Exemplo 33: i ) A ordem crescente dos inteiros:

Dado o conjunto {2, 1, 4, 3}, então a permutação principal é 1234 .

ii ) A ordem alfabética das letras: Dado o conjunto {d, b, a, c}, então a permutação principal é abcd .

2.1.3 Número de permutações Dado o conjunto de inteiros {1, 2, 3, ... , n} então o número de permutação é dado por n! (n fatorial). Exemplo 34: No conjunto {1, 2, 3} o número de permutação possíveis é 3! = 3.2.1 = 6 . Podemos visualizar isto através de uma árvore de permutações . Por exemplo para o conjunto {1, 2, 3} temos: Vemos que as possíveis permutações são: 123, 132, 213, 231, 312, 321 .

1

3 2

2 3

3

2 1

1 2

2

3 1

1 3

Page 35: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 35 E também fica claro que o número de permutações é dado por n! pois temos para o conjunto {1, 2, 3} três possibilidades de permutações para o primeiro elemento, e assim escolhido o primeiro, teremos duas possibilidades para o segundo, e então escolhido o segundo teremos apenas uma possibilidade para o terceiro, de forma que teremos 3.2.1 possibilidades de permutações, totalizando 6 permutações possíveis. Daí que o fatorial entra eliminando a necessidade de construir diagramas, por exemplo. Exemplo 35: No conjunto {1, 2, 3, 4} o número de permutações possíveis é 4! = 4.3.2.1 = 24 .

... E assim sucessivamente até completar as 4 arvores de permutações relativas ao conjunto { 1, 2, 3, 4 } onde se obteria as 24 permutações possíveis. 2.1.4 Inversão Definida uma ordem seqüencial dos elementos de um conjunto, ocorre uma inversão entre dois elementos sempre que esta ordem for alterada (invertida). Exemplo 36: Dado o conjunto a1 , a2 , a3

P Q e seja a1 a2 a3 a ordem principal, então na permutação

a1 a3 a2 ocorre uma inversão. 2.1.5 Número de inversões de uma permutação Considere a permutação a3 a2 a1 a4 e seja a1 a2 a3 a4 a permutação principal, então para determinar o número de inversões (ni ): 1 – Determine o número de elementos que estão depois de ai e que são menores que ai . 2 – Siga este procedimento da esquerda para a direita para cada um dos elementos. Então a soma destes números será o número de inversões na permutação. Exemplo 37: ni a3 a2 a1 a4

` a= 2 + 1 + 0 = 3

2.1.6 Classe de uma permutação Uma permutação é de classe par se o número de inversões é um inteiro par e é de classe impar se o número de inversões for impar.

1

2

3 4 2 4 2 3

4 3

4 3 4 2 3 2

2

1

3 4 1 4 1 3

4 3

4 3 4 1 3 1

Page 36: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 36 Exemplo 38: Determine o número de inversões nas seguintes permutações: a) 613452 Q ni = 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8 par

b) 2413 Q ni = 1 + 2 + 0 = 3 impar

c) 4321 Q ni = 3 + 2 + 1 = 6 par

d) acb Q ni = 0 + 1 = 1 impar

d) adcb Q ni = 0 + 2 + 1 = 3 impar

e) 1234 Q ni = 0 + 0 + 0 = 0 par 2.1.7 Produto elementar Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Um produto elementar de A é o produto de n entradas de A tais que existem apenas uma entrada de cada fila (linha ou coluna). 2.1.8 Produto elementar com sinal Se um produto elementar for de classe impar o produto leva o sinal - e se for de classe par o produto leva o sinal + . 2.2 Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz é a soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal , fixados os primeiros índices e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou - , conforme a permutações dos segundos índices seja de classe par ou de classe impar. Exemplo 39: Calcular o determinante usando a definição:

a) A =a11 a12

a21 a22

F G

Solução: i ) Primeiro escrevemos os elementos que compõe o termo principal omitindo os segundos índices e um conjunto com n elementos, sendo n a ordem da matriz. Termo principal de A : a11 a22 → omitindo os segundos índices → a1… a2… Conjunto com n elementos conforme a ordem da matriz A : { 1,2 } ii ) Agora tomamos as permutações de { 1, 2 } que são 12 e 21 , e substituímos na seguinte forma: 12 → a1… a2… e assim obtemos o produto elementar a11 a22

Page 37: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 37 Como a permutação 12 dos segundos índices é de classe par, temos o produto elementar com sinal + , portanto temos o produto a11 a22 21 → a1… a2… e assim obtemos o produto elementar a12 a21 Como a permutação 21 dos segundos índices é de classe impar, temos o produto elementar com sinal - , portanto temos o produto @a12 a21 iii ) Logo o determinante de A é dado pela soma algébrica dos produtos elementares com sinal, isto é: det A = a11 a22@a12 a21

b) B =b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

HLLLJ

IMMMK

Solução: i ) Termo principal de B : b11 b22 b33 → omitindo os segundos índices → b1… b2… b3… Conjunto com n elementos conforme a ordem da matriz B : { 1,2, 3 } ii ) Permutações de { 1, 2, 3 } : 123, 132, 213, 231, 312, 321 123 → b1… b2… b3… e assim obtemos o produto elementar b11 b22 b33 Como a permutação 123 dos segundos índices é de classe par, temos o produto elementar com sinal + , portanto temos o produto + b11 b22 b33 132 → b1… b2… b3… e assim obtemos o produto elementar b11 b23 b32 Como a permutação 132 dos segundos índices é de classe impar, temos o produto elementar com sinal - , portanto temos o produto @b11 b23 b32 E assim sucessivamente temos todos os outros produtos elementares com sinal: 213Q b12 b21 b33Q@b12 b21 b33

231Q b12 b23 b31Q + b12 b23 b31

312Q b13 b21 b32Q + b13 b21 b32

321Q b13 b22 b31Q@b13 b22 b31

Page 38: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 38 iii ) Logo o determinante de B é dado pela soma algébrica dos produtos elementares com sinal, isto é: det B = b11 b22 b33@b11 b23 b32@b12 b21 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@b13 b22 b31

= b11 b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@b11 b23 b32@b12 b21 b33@b13 b22 b31

= b11 b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@ b11 b23 b32 + b12 b21 b33 + b13 b22 b31

b c

2.2.1 Observações Calcular determinantes diretamente da definição leva a dificuldades computacionais. De fato, calcular um determinante de ordem 4×4 diretamente envolveria calcular 4! = 24 produtos elementares com sinal e um determinante 10×10 envolveria calcular 10! = 3.628.800 produtos elementares com sinal. Mesmo os mais rápidos computadores digitais não conseguem dar conta em um tempo razoável dos cálculos de um determinante de ordem 25×25 por este método. E, portanto muito do que se segue, será o desenvolvimento de métodos que simplifiquem o cálculo de determinantes. 2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes Com o objetivo de tornar viável o cálculo de determinantes, estudaremos algumas regras práticas a seguir. 2.3.1 Determinante de uma matriz de primeira ordem A = a11

@ AQ det A = a11

LL MM= a11 * Não é o módulo do elemento, e sim o próprio elemento. 2.3.2 Determinante de uma matriz de segunda ordem

A =a11 a12

a21 a22

F GQ detA =

a11 a12

a21 a22

LLLLLMMMMM= a11Aa22@ a21Aa12

` a

O determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pelo “produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária”, isto é, “o termo principal menos o termo secundário”.

Page 39: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 39 2.3.3 Determinante de uma matriz de terceira ordem Nesta seção veremos varias formas práticas de se calcular o determinante de uma matriz de ordem três. 2.3.3.1 Desenvolvimento do determinante pela primeira linha A partir do desenvolvimento pela definição, se colocarmos os três primeiros elementos a11 , a12 e a13 em evidência chegamos a esta regra.

A3Q detA = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32@ a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31

b c

= a11 a22 a33@a23 a32

` a+ a12 a23 a31@a21 a33

` a+ a13 a21 a32@a22 a31

` a

= a11a22 a33@a32 a23{~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~y

M 11

f g@a12

a21 a33@a31 a23{~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~yM 12

f g+ a13

a21 a32@a31 a22{~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~yM 13

f g

Veja que os produtos entre parênteses (a22a33 – a32a23) , (a21a33 – a31a23) e (a21a32 – a31a22) são os determinantes das submatrizes A11 , A12 e A13 respectivamente , e isto é equivalente a dizer que os produtos entre parênteses são os menores complementares de a11 , a12 e a13 , logo temos a regra:

detA =a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

LLLLLLLL

MMMMMMMM= a11 M 11@a12 M 12 + a13 M13

[2.5 Menor complementar]

Curiosidade: Substituindo a11 = ijjjjjjjjjjjjjjk

, a12 = jjjjjjjjjjjjjjjk

, a13 = kjjjjjjjjjjjjjjk

temos o produto vetorial no R3 , e é a partir

daqui que a regra é extraída, consulte “ALGA-I: Exercícios Resolvidos – Vetores, PG. 3” para verificar. 2.3.3.2 Desenvolvimento do determinante por fila Analogamente ao desenvolvimento pela primeira linha podemos criar regras para qualquer fila que desejarmos bastando que evidenciemos os elementos dessa fila, cuidando com a troca de sinais. Exemplo 40: Se quisermos desenvolver o determinante pela segunda coluna temos a seguinte regra: det A =@a12 M 12 + a22 M 22@a32 M 32 2.3.3.3 Regra de Seki Kowa

A =a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

HLJ

IMKQ detA =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

LLLLLLLL

MMMMMMMM=

a11Aa22Aa33 + a12Aa23Aa31 + a21Aa32Aa13

@ a13Aa22Aa31 + a23Aa32Aa11 + a12Aa21Aa33

b c

O diagrama de linha pode ser imaginado conforme a ordem em que os elementos são multiplicados.

Page 40: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 40 2.3.3.4 Regra de Sarrus Existem duas formas (A e B) de se aplicar a regra de Sarrus. A - Repetindo as duas primeiras colunas: I) Repetir a primeira e a segunda coluna. II) Somar os produtos das diagonais descendentes e subtrair os produtos das diagonais ascendentes.

@a31Aa22Aa13@a32Aa23Aa11@a33Aa21Aa12

detA =a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

LLLLLLLL

MMMMMMMM

a11Aa22Aa33 + a12Aa23Aa31 + a13Aa21Aa32

detA = a11Aa22Aa33 + a12Aa23Aa31 + a13Aa21Aa32@ a31Aa22Aa13 + a32Aa23Aa11 + a33Aa21Aa12

b c

B - Repetindo as duas primeiras linhas. I) Repetir a primeira e a segunda linha. II) Somar o produto das diagonais descendentes e subtrair o produto das diagonais ascendentes.

detA =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

LLLLLLLLLLLLL

MMMMMMMMMMMMM

@a31Aa22Aa13@a11Aa32Aa23@a21Aa12Aa33

a11Aa22Aa33 + a21Aa32Aa13 + a31Aa12Aa23

detA = a11Aa22Aa33 + a21Aa32Aa13 + a31Aa12Aa23@ a31Aa22Aa13 + a11Aa32Aa23 + a21Aa12Aa33

b c

*Apesar de fácil, a regra de Sarrus é muito trabalhosa em ter de reescrever as linhas ou as colunas. Recomendamos aprender as duas primeiras regras e realizar os cálculos mentalmente. 2.4 Propriedades dos determinantes Nesta seção seguem várias propriedades e conseqüências importantes para o estudo e aplicação de determinantes em sistemas lineares e também em diversos outros assuntos da álgebra linear. 2.4.1 Propriedade

O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta AT .

det A = det AT

Page 41: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 41 2.4.2 Propriedade Sendo A uma matriz quadrada, então a troca de duas filas paralelas gera uma matriz B tal que o determinante de B difere do determinante de A apenas pelo sinal. Exemplo 41:

A = a b

c d

D EQ detA = ad@ cb e B= c d

a b

D EQ detB = cb@ad =@ ad@ cb

` a

det B =@det A

2.4.2.1 Corolário Se a matriz A tem duas filas paralelas iguais, então o detA é igual a zero.

Exemplo 42: A =a x ab y bc z c

HJ

IKQ detA = ayc+ xbc+ bza@ ayc+ bza+ xbc

b c= 0

2.4.3 Propriedade Se B é uma matriz tal que uma de suas filas é nula, então detB = 0 .

Exemplo 43: B =a x 0b y 0c z 0

HLJ

IMKQ detB = 0

2.4.4 Propriedade Se B é uma matriz tal que uma de suas filas é proporcional à outra, então detB = 0 . Exemplo 44:

B =a x 2ab y 2bc z 2c

HLJ

IMKQ detB = aA yA2c + x A2bA c + bA zA2a@ 2aA yA c + 2bA zAa + x AbA2c

b c

detB = 2AaA cA y + 2AbA cA x + 2AaAbA z@ 2AaA cA y + 2AaAbA z+ 2AbA cA xb c

det B = 0

2.4.5 Propriedade Se B é uma matriz tal que uma de suas filas está multiplicada por uma constante k , então podemos colocar k em evidencia multiplicando o determinante B .

Page 42: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 42 Exemplo 45:

B = kx y

kz w

F GQ detB = kxAw@ kzA y = k xAw@ zA y

` a

detB = k AdetB = k Ax yz w

LLLLMMMM= k xAw@ zA y

` a

2.4.5.1 Corolário Se B é uma matriz de ordem n que esta multiplicada por k , então

det k AB` a

= kn detB Exemplo 46:

k AB = kx kykz kw

F GQ det k AB

` a= kxA kw@ kzA ky = k

2A xw@ k

2A zy= k

2xw@ zy` a

det k AB` a

= k A k AdetB = k2AdetB = k2

Ax yz w

LLLLMMMM= k2 x Aw@ zA y

` a

2.4.6 Propriedade Se numa das filas dum determinante tivermos uma soma de termos, então podemos separar esta soma em dois determinantes, tal que a soma destes é igual ao primeiro. Exemplo 47:

det A = det B + det C

a b u+ vc d x + ye f z+ w

LLLLLLLL

MMMMMMMM=

a b uc d xe f z

LLLLLLLL

MMMMMMMM+

a b vc d ye f w

LLLLLLLL

MMMMMMMM

Exemplo 48: Verifique a relação entre os seguintes determinantes:

detA = 2 13 0

LLLLLMMMMM=@3 detB = 2 1

3 @2

LLLLLMMMMM=@4@3 =@7 detC = 2 2

3 @2

LLLLLMMMMM=@4@6 =@10

detC = detA + detB

2 1 + 13 0@2

LLLLLMMMMM= 2 1

3 0

LLLLLMMMMM+ 2 1

3 @2

LLLLLMMMMM

@10 =@3@7

Page 43: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 43 2.4.7 Teorema de Jacobi O determinante não se altera quando adicionamos a uma de suas filas, uma combinação linear das demais filas paralelas.

Exemplo 49: detD =1 0 23 @1 62 4 8

LLLLLLL

MMMMMMM=@8 + 0 + 24@ @4 + 24 + 0

` a= 16@20 =@4

Trocando a primeira coluna por menos a metade da terceira coluna somada com a primeira:

C1Q@

12fffC3 + C1

2A @12ffff g

+ 1 0 2

6A @12ffff g

+ 3 @1 2

8A @12ffff g

+ 2 4 8

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

=@1 + 1 0 2@3 + 3 @1 2@4 + 2 4 8

LLLLLLL

MMMMMMM=

0 0 20 @1 2@2 4 8

LLLLLLL

MMMMMMM

detD = 0 + 0 + 0@ 4 + 0 + 0` a

=@4

Exemplo 50: detE =4 9 27 @1 42 6 1

LLLLLLL

MMMMMMM=@4 + 72 + 84@ @4 + 96 + 63

` a= 152@155=@3

Trocando a primeira linha por menos duas vezes a terceira linha somada com a primeira.

L1Q@2L3 + L1

2A @2` a

+ 4 6A @2` a

+ 9 1A @2` a

+ 27 @1 42 6 1

LLLLLLLL

MMMMMMMM=@4 + 4 @12 + 9 @2 + 2

7 @1 42 6 1

LLLLLLL

MMMMMMM

=0 @3 07 @1 42 6 1

LLLLLLL

MMMMMMM= detE = 0@24 + 0@ 0 + 0@21

` a=@24 + 21 =@3

2.4.7.1 Corolário Seu uma fila de um determinante é igual a uma combinação linear de filas paralelas, o determinante é igual a zero.

Exemplo 51: D =1 2 83 2 124 @1 5

LLLLLLL

MMMMMMM= 10 + 96@24@ 64@12 + 30

` a= 82@82 = 0

Veja que cada elemento da terceira coluna é igual à primeira coluna multiplicada por 2 somada com a segunda coluna multiplicada por 3 , isto é: C3 = 2C1 + 3C2 8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 5 = 2(4) + 3(–1) = 8 – 3 Neste caso não seria necessário calcular o determinante, pois por 2.4.7.1 o determinante é igual a zero.

Page 44: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 44 2.4.8 Teorema de Binet Sendo A e B matrizes de mesma ordem então o determinante:

det A AB` a

= det A Adet B

2.4.8.1 Corolário

Sendo A uma matriz quadrada e n2NC , então: det A A…A{~~~~ }~~~~y

n f atores

d e= det An

b c= detA` an

2.4.8.2 Corolário

Sendo A uma matriz inversível, então: det A@ 1b c

= 1det Afffffffffffffff

Justificativa de 2.4.8.2:

A@ 1AA = I [ det A@ 1

AAb c

= detI [ detA@ 1AdetA = detI

detA@ 1 = 1det Afffffffffffffff

I é a matriz identidade e det I = 1 . 2.4.9 Resumo das propriedades dos determinantes Nesta seção listamos as principais propriedades dos determinantes com suas respectivas demonstrações indicadas. I - O determinante de ordem n é nulo se tiver: (2.4.2.1) – Duas filas paralelas iguais. (2.4.3) – Uma fila nula. (2.4.4) – Duas filas paralelas proporcionais. (2.4.7.1) – Uma fila que for combinação linear de outras filas paralelas. II - O determinante de ordem n se altera: (2.4.2) – Trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição; (2.4.5) – Ficando multiplicado por k , quando os elementos de uma fila estão multiplicados por k ; (2.4.5.1) – Ficando multiplicado por kn , quando a matriz está multiplicada por k . III - O determinante de ordem n não se altera quando: (2.4.1) – Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas ( det A = det AT ). (2.4.7) – Somarmos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas (Teorema de Jacobi).

Page 45: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 45 2.5 Menor complementar Sendo A uma matriz quadrada de ordem n com n ≥ 2 , chama-se menor complementar do elemento aij , e indicamos por M ij , o determinante da submatriz Aij , isto é:

M ij = det sub Aij

b cd e

[1.20 Submatriz] Exemplo 52: Dada a matriz A , calcular M 11 , M 12 , M 32 , M 33 .

A =1 0 23 6 1@1 2 4

HLJ

IMK

M 11 = det sub A11

b cd e= 6 1

2 4

LLLLL

MMMMM= 24@2 = 22 M 32 = det sub A32

b cd e= 1 3

2 1

LLLLL

MMMMM= 1@6 =@5

M 12 = det sub A12

b cd e= 3 1@1 4

LLLLL

MMMMM= 12@ @1` a

= 13 M 33 = det sub A33

b cd e= 1 0

3 6

LLLLL

MMMMM= 6@0 = 6

2.6 Co-fator

Chama-se co-fator do elemento aij , e denota-se cof aij

b c= @1` ai + j

AM ij , onde M ij é o menor

complementar de aij .

2.7 Matriz co-fatora Sendo A uma matriz quadrada de ordem n com n ≥ 2 , chama-se matriz co-fatora de A e indica-se por cofA a matriz cujos elementos são os co-fatores dos elementos da matriz A. 2.8 Matriz adjunta Dada uma matriz A , chama-se matriz adjunta de A , a matriz transposta da matriz co-fatora de A e

indica-se por adjA = cofA` aT

.

Page 46: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 46

Exemplo 53: Dada a matriz A =7 1 24 3 06 1 4

HLJ

IMK obter os co-fatores dos elementos de A , cofA e adjA .

Solução: Cálculo dos co-fatores.

cof a11

` a= @1` ai + j Μ11 = @1

` a2A 3 0

1 4

LLLLL

MMMMM= 1A 12@0` a

= 12

cof a12

` a= @1` a3

A 4 06 4

LLLLL

MMMMM= @1` a

16@0` a

=@16

cof a13

` a= @1` a4

A 4 36 1

LLLLL

MMMMM= 1 4@18` a

=@14

cof a21

` a=@2 , cof a22

` a= 16 , cof a23

` a=@1 , cof a31

` a=@6 , cof a32

` a= 8 , cof a33

` a= 17

cofA =12 @16 @14@2 16 @1@6 8 17

HLJ

IMKQ cofA` aT = adjA =

12 @2 @6@16 16 8@14 @1 17

HLJ

IMK

2.8.1 Teorema da matriz adjunta Seja A uma matriz quadrada de ordem n e I n a matriz identidade de ordem n , então:

A Aadj A = adj A AA = det A` aA I n

*Demonstração omitida, consulte a referência bibliográfica (5) pg. 110-D . 2.9 Teorema de Laplace Seja A uma matriz quadrada de ordem n com n ≥ 2 , o determinante de A é dado pela soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores, isto é:

A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …an1 an2 … ann

HLLLLJ

IMMMMK

detA =Xj = 1

n

aij A Aij = ai1A Ai1 + ai2A Ai2 + …ain A Ain

Sendo i uma linha qualquer da matrizA

ou detA =Xi = 1

n

aij A Aij = a1j A A1j + a2j A A2j + …anj A Anj

Sendo j uma coluna qualquer da matrizA

*Demonstração omitida, consulte a referência bibliográfica (5) pg. 105-D .

Page 47: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 47 2.9.1 Observações I - No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n , recaímos em determinantes de matrizes de ordem n – 1 , e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n – 2 , e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3 , que sabemos calcular facilmente, aplicando a regra de Sarrus, Seki Kowa, etc. II - Para facilitar o cálculo do determinante é aconselhável escolher uma linha ou coluna com o maior número de zeros. III - A aplicação conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace, por exemplo, efetuando-se uma combinação linear conveniente tal que gere uma linha ou coluna com maior número de zeros que o determinante inicial.

Exemplo 54: Calcule o determinante da matriz A =1 2 3 10 @1 2 1@2 3 1 2

3 4 6 3

HLLLLJ

IMMMMK .

De acordo com as observações citadas após o teorema de Laplace, devemos escolher a primeira coluna (ou a segunda linha), mas ainda teríamos que calcular três co-fatores, então aplicamos o teorema de Jacobi, efetuando as seguintes combinações lineares. Dica: Neste caso concentre-se na coluna que devemos simplificar para poder visualizar a combinação linear conveniente. Lx = Linha, Cx = Coluna, x = indicação da linha ou coluna

Pelo teorema de Jacobi, temos que:

detA =1 2 3 10 @1 2 1@2 3 1 2

3 4 6 3

LLLLLLLLLL

MMMMMMMMMML3Q 2AL1 + L3

1 2 3 10 @1 2 10 7 7 43 4 6 3

LLLLLLLLLL

MMMMMMMMMM

L4Q@3AL1 + L4 , detA =1 2 3 10 @1 2 10 7 7 40 @2 @3 0

LLLLLLLLLL

MMMMMMMMMM

Aplicando o teorema de Laplace na primeira coluna, temos que:

det A = A11Aa11 + A21Aa21 + A31Aa31 + A41Aa41

= A11A1 + A21A0 + A31A0 + A41A0= A11

Page 48: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 48 Cálculo do co-fator:

cof A11

b c= @1` ai + j

AM 11 = @1` a2 @1 2 1

7 7 4@2 @3 0

LLLLLLL

MMMMMMM= 1A 0@16@21@ @14 + 12 + 0

` aB C=@37@ @2

` a=@35

Logo pelo teorema de Laplace detA = -35 2.9.2 Corolário: Determinante de matrizes triangulares ou diagonais Sendo A uma matriz triangular (de qualquer ordem), o determinante de A é o produto dos elementos da diagonal principal. A verificação é feita aplicando-se o teorema de Laplace na linha ou coluna que tiver maior número de zeros. Logo o determinante de uma matriz A triangular ou diagonal de ordem n é generalizado como:

detA =Yi = 1

n

aii = a11Aa22Aa33A…Aann

*Se houver duvidas verifique a notação de produtório. 2.10 Determinante por triangulação De acordo com 2.9.2 , podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem m , reduzindo esta a uma matriz triangular equivalente, e depois multiplicar os elementos da diagonal principal, assim obtendo o determinante da matriz. Exemplo 55: Calcule o determinante de A por triangulação:

A =1 5 79 5 @1@5 4 @3

HLJ

IMKQ detA =

1 5 79 5 @1@5 4 @3

LLLLLLL

MMMMMMM

L2Q@9L1 + L2 , L3Q 5L1 + L3 ,1 5 70 @40 @640 29 32

LLLLLLL

MMMMMMM

L3Q2940ffffffffL2 + L3 , detA =

1 5 70 @40 @64

0 0 @725fffffffff g

LLLLLLLLLLLL

MMMMMMMMMMMM

= 1 @40` a

@725fffffffff g

= 576

Page 49: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 49 2.11 Determinante de Vandermonde (determinante das potências) O determinante de ordem n ≥ 2 é assim chamado se, e somente se, na primeira linha os elementos forem todos iguais a 1 ; na segunda linha números quaisquer; na terceira linha os quadrados da segunda linha; na quarta linha os cubos da segunda linha, e assim sucessivamente. * Os elementos da segunda linha são denominados elementos característicos. Exemplo 56:

I – Determinante de Vandermonde de ordem 3. detD =1 1 1a b c

a2 b2 c2

LLLLLLLL

MMMMMMMM

II – Determinante de Vandermonde de ordem 4. detD =

1 1 1 1a b c d

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

LLLLLLLLLLL

MMMMMMMMMMM

2.11.1 Propriedade Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante. Exemplo 57:

detA =1 2 41 4 161 7 49

LLLLLLL

MMMMMMM= detAT =

1 1 12 4 74 16 49

LLLLLLL

MMMMMMM

Elementos característicos: a = 2 , b = 4 , c = 7 , detA = (4-2).(7-4).(7-2) = 2.3.5 = 30 2.12 Regra de Chió Esta regra é uma aplicação do teorema de Jacobi que permite reduzir a ordem de um determinante para simplificar o seu cálculo. Para aplicar a regra de Chió, precisamos de uma matriz A , quadrada de ordem n ≥ 2 , com pelo menos um elemento aij = 1 .

Procedimento: I – Eliminamos da matriz A , a linha i e a coluna j , onde se encontra aij = 1 obtendo a submatriz Aij .

II – Subtraímos dos elementos da submatriz Aij o produto dos elementos eliminados que se encontram

na sua linha e coluna respectivamente, obtendo assim uma matriz B de ordem n – 1 .

III – O determinante de A é dado por: detA = @1` ai + j

AdetB

Page 50: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 50 Exemplo 58: Re-calcular o exemplo dado após o teorema de Laplace, utilizando a Regra de Chió.

A =1 2 3 10 @1 2 1@2 3 1 2

3 4 6 3

HLLLLJ

IMMMMK

Solução: I – Escolhendo a11 = 1 , eliminamos a primeira linha e a primeira coluna.

A =1 2 3 10 @1 2 1@2 3 1 2

3 4 6 3

HLLLLJ

IMMMMK

II – Subtraindo dos elementos da submatriz A11 o produto dos elementos eliminados na respectiva linha e coluna.

B =@1@ 0.2

` a2@ 0.3` a

1@ 0.1` a

3@ @2.2` a

1@ @2.3` a

2@ @2.1` a

4@ 3.2` a

6@ 3.3` a

3@ 3.1` a

HLLLJ

IMMMK=@1 2 1

7 7 4@2 @3 0

HLJ

IMK

III – Assim o determinante de A é dado por:

detA = @1` ai + j

AdetB = @1` a1 + 1

A@1 2 1

7 7 4@2 @3 0

LLLLLLL

MMMMMMM= 1A 0@16@21@ @14 + 12 + 0

` aB C=@35

Logo, pela regra de Chió detA = -35 .

Page 51: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 51 Exemplo 59: Calcule o determinante da matriz W , usando a Regra de Chió.

W=2 3 0 24 2 1 5@1 7 2 9@2 0 4 7

HLLLLJ

IMMMMK

Solução: I – Escolhendo a23 = 1 .

W=2 3 0 24 2 1 5@1 7 2 9@2 0 4 7

HLLLLJ

IMMMMK

II – Subtraindo dos elementos da submatriz W23 o produto dos elementos eliminados na respectiva linha e coluna.

X =2@ 4.0` a

3@ 2.0` a

2@ 5.0` a

@1@ 4.2` a

7@ 2.2` a

9@ 5.2` a

@2@ 4.4` a

0@ 2.4` a

7@ 5.4` a

HLLLJ

IMMMK=

2 3 2@9 3 @1@18 @8 @13

HLJ

IMK

III – Assim o determinante de W é dado por:

detW= @1` ai + j

AdetX = @1` a2 + 3

A2 3 2@9 3 @1@18 @8 @13

LLLLLLL

MMMMMMM=@1A @78 + 54 + 144@ @108+ 16 + 351

` aB C

=@1A 120@259@ A

=@ @139@ A

= 139

Logo, pela regra de Chió detW = 139 .

Page 52: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 52 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 3.1 Equação linear São as equações onde as incógnitas tem grau de expoente igual à 1 , na forma:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + …+ an@ 1 xn@ 1 + an xn = b xi são as variáveis (incógnitas); ai são os respectivos coeficientes;

b é o termo independente. 3.1.1 Raízes (ou identidade) da equação linear São os valores das variáveis que tornam a equação linear verdadeira; 3.1.2 Conjunto solução da equação linear É o conjunto formado pelas raízes da equação linear. 3.2 Sistema de equações lineares (sistema linear) É um conjunto de equações lineares, e tem a seguinte representação:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + …+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + …+ a2n xn = b2( ( ( … ( ( (

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + …+ amn xn = bm

X̂^̂̂̂\̂^̂̂̂^̂Z

3.2.1 Conjunto solução de um sistema linear São os valores das variáveis que tornam o sistema linear verdadeiro. Esses valores são as raízes do sistema linear. Um sistema linear pode apresentar três casos de soluções, então se: I – Possui uma única solução, dizemos que o Sistema é Possível e Determinado (SPD) . II – Possui infinitas soluções, dizemos que o Sistema é Possível e Indeterminado (SPI) . III – Não possui solução, dizemos que o Sistema é Impossível (SI) . 3.2.2 Discussão de sistemas Discutir um sistema linear é determinar se ele é (ou quando é) SPD , SPI ou SI , estes casos ocorrem conforme for o número de soluções do sistema. Para discutir um sistema o estudante deve ter conhecimento dos teoremas 3.5.1 , 3.6.1 e 3.6.2 . Veremos alguns exemplos a seguir. 3.2.3 Sistemas equivalentes Dados dois ou mais sistemas lineares, dizemos que estes sistemas são equivalentes se admitirem o mesmo conjunto solução.

Page 53: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 53 3.3 Sistema linear homogêneo É o sistema linear cujos termos independentes são todos nulos.

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1 = 0a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … + a2n xn = b2 = 0( ( ( … ( ( (

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + … + amn xn = bm = 0

X̂^̂̂̂\̂^̂̂̂^̂Z

Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos uma solução, denominada Solução trivial, isto é, quando fazemos xi = 0 . Além da Solução trivial o sistema pode ter outras soluções, denominadas Soluções próprias. 3.4 Sistemas e matrizes Todo sistema de equações lineares pode ser representado na forma matricial, isto facilita a visualização e também a resolução do sistema. Considere as matrizes abaixo:

A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

HLLLLJ

IMMMMK , X =

x1

x2(

xn

HLLLLJ

IMMMMK , B=

b1

b2(

bm

HLLLLLJ

IMMMMMK

Note então que o sistema de equações lineares pode ser escrito através da equação matricial:

AX = B

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …am1 am2 … amn

HLLLLJ

IMMMMK

x1

x2(

xn

HLLLLJ

IMMMMK=

b1

b2(

bm

HLLLLLJ

IMMMMMK[

a11 x1 a12 x2 … a1n xn

a21 x1 a22 x2 … a2n xn

… … … …am1 x1 am2 x2 … amn xn

HLLLLJ

IMMMMK=

b1

b2(

bm

HLLLLLJ

IMMMMMK

Notações: de forma geral, temos que:

A é a matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema ( M c) ; X é a matriz das variáveis ou incógnitas ( M v) ; B é a matriz dos termos independentes ( M t i ) .

E ainda, a partir da última equação matricial temos a matriz ampliada do sistema (também chamada de matriz aumentada, matriz estendida ou matriz completa do sistema):

M a =

a11 a12 … a1n | b1

a21 a22 … a2n | b2

… … … … | …am1 am2 … amn | bm

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

Esta que se obtém omitindo X e colocando A e B juntas numa única matriz, separadas por esse traço vertical que simboliza a igualdade do sistema, que por sua vez é dispensável, mas facilita a interpretação. Usaremos a notação M e para indicar a matriz linha-reduzida equivalente à M a , isto é, ( M e ~M a ) 3.4.1 Teorema Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.

Page 54: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 54 3.5 Posto de um sistema (característica de um sistema) A propriedade posto de uma matriz é muito útil na resolução de sistemas e pode ser aplicada à matriz que representa este sistema linear. Considere a matriz ampliada do sistema, então: I - Posto da matriz dos coeficientes (pc) : É o número de linhas não nulas de M c . II - Posto da matriz ampliada (pa ) : É o número de linhas não nulas de M a , que inclui M c e M t i . III - Posto do sistema ( p ) : quando pa = pc , costuma-se chamar este número de p , isto é pa = pc = p . [1.26 Posto de uma matriz] , [1.27 Nulidade de uma matriz] 3.5.1 Teorema Um sistema possui solução se, e somente se, pa = pc = p . 3.5.2 Corolário Decorre de 3.5.1 que se pa ≠ pc o sistema não possui solução (SI) . 3.6 Grau de liberdade do sistema É o número g = n – p onde n é o número de colunas da matriz dos coeficientes ou o número de variáveis do sistema. 3.6.1 Teorema Se g = n – p = 0 o sistema possui solução única (SPD) . 3.6.2 Teorema Se g = n – p > 0 (isto é se g = 1, g = 2 ... ) o sistema possui grau de liberdade, e assim este terá infinitas soluções (SPI) .

Page 55: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 55 3.7 Operações linha sobre um sistema linear Um sistema linear se transforma num sistema linear equivalente quando efetuamos operações elementares sobre as suas linhas. Note que só podemos realizar operações sobre as linhas do sistema linear e não sobre as colunas (do contrario estaríamos somando quantidades diferentes). Vamos às três operações possíveis. 3.7.1 Permutação entre linhas Notação: LxT Ly (Lê-se: A troca da linha x pela linha y ). *A dupla-seta indica a permuta (troca). 3.7.2 Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo Notação: LxQ k ALx (Lê-se: A troca da linha x por k vezes linha x ) 3.7.3 Substituição de uma linha por combinação linear Notação: LxQ Lx + k ALy ou LxQ k ALy + Lx Lê-se: A troca da linha x pela linha x mais k vezes a linha y . Ou a troca da linha x por k vezes a linha y mais a linha x . 3.8 Solução de um sistema por matriz inversa Para o caso particular onde o número de equações do sistema linear é igual ao número de variáveis (isto é, o número de colunas de M c é igual ao número de equações do sistema linear), e quando o determinante de M c é diferente de zero, podemos resolver o sistema pelo seguinte método: Usando a notação matricial para sistemas lineares temos que:

AX = B

A@ 1 AX = A@ 1 B

IX = A@ 1 B

X = A@ 1 B

Assim para determinar a solução ( X ) desse tipo de sistema basta encontrar a inversa da matriz dos coeficientes (A @ 1 ), pois X = A@ 1 B .

Page 56: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 56 Exemplo 60: Resolva o sistema.

@ x + 3y + 5z= 2@5x@4y + z= 33x + 6y + 4z=@1

X̂^̂\^̂̂Z

Solução 1: Vamos colocar o sistema na forma matricial M a e resolve-lo usando as operações elementares. .

-1 3 5 | 2 -5 -4 1 | 3 L1Q@L1

3 6 4 | -1

1 -3 -5 | -2 -5 -4 1 | 3

L2Q 5L1 + L2

L3Q@3L1 + L3

3 6 4 | -1 .

1 -3 -5 | -2 0 -19 -24 | -7 L3Q

1519fffffffL2 + L3

0 15 19 | 5

1 -3 -5 | -2 0 -19 -24 | -7

L2Q@119fffffffL2

L3Q 19L3

0 0 1

19fffffff | @ 10

19fffffff

.

1 -3 -5 | -2 0 1

2419fffffff |

719fffffff

L2Q@2419fffffffL3 + L2

0 0 1 | -10

1 -3 -5 | -2 0 1 0 | 13 L1Q 3L2 + L1

0 0 1 | -10

.

1 0 -5 | 37 0 1 0 | 13 L1Q 5L3 + L1

0 0 1 | -10

1 0 0 | -13 0 1 0 | 13

0 0 1 | -10 Com isso vemos que pa = 3 = pc = p assim o sistema é possível e, g = n – p = 3 – 3 = 0 então o sistema é possível e determinado, isto é, possui solução única. Podemos dizer também que o sistema dado é equivalente a esta última forma encontrada, e os valores que tornam o sistema verdadeiro são: x = -13 , y = 13 , z = -10

Page 57: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 57 Solução 2: Agora vamos resolver o sistema usando o método da inversa. @ x + 3y + 5z= 2@5x@4y + z= 33x + 6y + 4z=@1

X̂^̂\^̂̂Z

Colocando o sistema na forma matricial AX = B , temos:

@1 3 5@5 @4 1

3 6 4

HLJ

IMK

xyz

HJIK=

23@1

HLJ

IMK

AX = B

A@ 1 AX = A@ 1 B

IX = A@ 1 B

X = A@ 1 B

Este exemplo foi usado para mostrar o método do algoritmo de inversão, vimos que a matriz A é inversível, isto é, det A ≠ 0 , e:

-22 18 23 23 -19 -24 A@ 1 = -18 15 19

Assim basta calcularmos o produto A@ 1 B para obter X a matriz das variáveis ( M v ).

X = A@ 1 B

xyz

HJIK=@22 18 23

23 @19 @24@18 15 19

HLJ

IMK

23@1

HLJ

[email protected]+ 18.3+ 23 @1

` a

[email protected]@24 @1` a

@18.2+ 15.3+ 19 @1` a

HLLLJ

IMMMK=@13

13@10

HLJ

IMK

xyz

HJIK=@13

13@10

HLJ

IMK

Este método é útil quando a inversa é dada, do contrário recomenda-se usar o método anterior.

Page 58: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 58 3.9 Regra de Cramer Outra forma de se resolver sistemas lineares onde o número de equações é igual ao número de variáveis, isto é, sistemas de ordem nBn (n equações por n variáveis), é a resolução por determinantes. Entretanto por usar determinantes este método não se aplica a sistemas de ordem mBn (onde o número de equações m é diferente do número de variáveis n ), logo tornando-se inviável computacionalmente, mas ainda é um método prático para particulares questões teóricas.

Considere inicialmente o sistema a11 x1 + a12 x2 = b1

a21 x1 + a22 x2 = b2

X\Z . Em forma matricial temos:

a11 a12

a21 a22

F G x1

x2

F G=

b1

b2

HJIK ou seja AX=B

Supondo que detA ≠ 0 e assim existe a inversa de A e podemos fazer a seguinte multiplicação matricial:

A@ 1 AX = A@ 1 B

X = A@ 1 B

E assim podemos aplicar a relação 1.30.3 onde A@ 1 = 1det AfffffffffffffffadjA , substituindo temos:

X = 1det AfffffffffffffffadjA AB onde det A = D

Vamos calcular a matriz adjA :

A =a11 a12

a21 a22

F GQ cof aij

b c= @1` ai + j

M ij , cof a11

` a= @1` a1 + 1

det sub A11

b cd e= 1Aa22 = a22

cof a12

` a=@1Aa21 =@a21 , cof a21

` a=@a12 , cof a22

` a= a11

então cofA =a22 @a21

@a12 a11

F GQ adjA = cofA

` aT =a22 @a12

@a21 a11

F G

Substituindo os resultados:

X = 1detAfffffffffffffffadjA AB [

x1

x2

F G

2B1

= 1Dffffff a22 @a12

@a21 a11

F G

2B2

b1

b2

HJIK

2B1

= 1Dffffff b1 a22@b2 a12

@b1 a21 + b2 a11

HJ

IK

x1

x2

F G=

b1 a22@b2 a12

Dfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

b2 a21@b1 a21

Dffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

HLLLLLJ

IMMMMMK

ou seja x1 =b1 a22@b2 a12

Dfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff e x2 =

b2 a21@b1 a21

Dffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Page 59: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 59 Note que o resultado b1 a22@b2 a12 é obtido quando substituímos ordenadamente os elementos da matriz B na primeira coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:

A =a11 a12

a21 a22

F G, B=

b1

b2

HJIK , C1 =

b1 a12

b2 a22

HJ

IK Q Dx1

= detC1 = b1 a22@b2 a12

E da mesma forma o resultado a11 b2@a21 b1 é obtido quando substituímos ordenadamente os elementos da matriz B na segunda coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:

A =a11 a12

a21 a22

F G, B=

b1

b2

HJIK , C2 =

a11 b1

a21 b2

HJ

IK Q Dx2

= detC2 = a11 b2@a21 b1

Portanto se o determinante da matriz A for diferente de zero o sistema é possível e determinado (isto é, possui solução única), cuja solução é dada por:

x1 =Dx1

Dffffffffff e x2 =

Dx2

Dfffffffffff

De forma análoga vamos mostrar que a regra de Cramer é válida para um sistema nBn .

Considere o sistema

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2( ( ( ( (

an1 x1 + an2 x2 + …+ ann xn = bn

X̂^̂̂̂\̂^̂̂̂^̂Z

, em forma matricial temos

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …an1 an1 … ann

HLLLLJ

IMMMMK

x1

x2

…xn

HLLLJ

IMMMK=

b1

b2

…bn

HLLLLLJ

IMMMMMK ou seja AX = B

Supondo que detA ≠ 0 e assim existe a inversa de A e podemos fazer a seguinte multiplicação matricial:

A@ 1 AX = A@ 1 B

X = A@ 1 B

E assim podemos aplicar a relação 1.30.3 onde A@ 1 = 1det AfffffffffffffffadjA , substituindo temos:

X = 1det AfffffffffffffffadjA AB onde det A = D

Vamos calcular a matriz adjA , seja A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …an1 an1 … ann

HLLLLJ

IMMMMK , então os co-fatores de A são:

cof aij

b c= @1` ai + j

M ij

Page 60: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 60

cof a11

` a= @1` a1 + 1

M 11 = M 11 , cof a12

` a=@M 12 , cof a1n

` a= @1` a1 + n

M 1n =@ @1` an

M 1n

cof a21

` a=@M 21 , cof a22

` a= M 22 , cof a2n

` a= @1` a2 + n

M 2n = @1` an

M 2n

cof an1

` a= @1` an + 1

M n1 =@ @1` an

M n1 , cof an2

` a= @1` an + 2

M n2 = @1` an

M n2

cof ann

` a= @1` an + n

M nn = @1` a2n

M nn = @1` a2b cn

M nn = M nn

A matriz co-fatora de A é:

cofA =

M 11 @M 12 … @ @1` an

M 1n

@M 21 M 22 … @1` an

M 2n

… … … …@ @1` an

M n1 @1` an

M n2 … M nn

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

cofA` aT = adjA =

M 11 @M 21 … @ @1` an

M n1

@M 12 M 22 … @1` an

M n2

… … … …@ @1` an

M 1n @1` an

M 2n … M nn

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

Voltando em X = 1det AfffffffffffffffadjA AB onde det A = D substituindo os valores encontrados:

x1

x2

…xn

HLLLJ

IMMMK

nB1

= 1Dffffff

M 11 @M 21 … @ @1` an

M n1

@M 12 M 22 … @1` an

M n2

… … … …@ @1` an

M 1n @1` an

M 2n … M nn

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

nBn

b1

b2

…bn

HLLLLLJ

IMMMMMK

nB1

x1

x2

…xn

HLLLJ

IMMMK

nB1

= 1Dffffff

b1 M 11 @b2 M 21 … @ @1` an

bn M n1

@b1 M12 b2 M 22 … @1` an

bn M n2

… … … …@ @1` an

b1 M1n @1` an

b2 M 2n … bn M nn

HLLLLLLJ

IMMMMMMK

nB1

Com isso temos a solução do sistema dada por:

x1 = 1Dffffffb1 M 11@b2 M 21 + …@ @1

` anbn M n1

b c

x2 = 1Dffffff@b1 M 12 + b2 M 22 + …+ @1

` anbn M n2

b c

xi = 1Dffffff@1` ai + 1

b1 M 11 + @1` ai

b2 M 2i + …+ @1` ai

@1` an

bn M ni

b c

Page 61: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 61 Note que b1 M 11@b2 M 21 + …@ @1

` anbn M n1

b c é obtido quando substituímos ordenadamente os

elementos da matriz B na primeira coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:

A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …an1 an1 … ann

HLLLLJ

IMMMMK , B=

b1

b2

…bn

HLLLLLJ

IMMMMMK

, C1 =

b1 a12 … a1n

b2 a22 … a2n

… … … …bn an1 … ann

HLLLLLJ

IMMMMMKQ Dx1

= detC1

Neste caso detC1 é obtido pelo desenvolvimento do determinante pela primeira coluna. Da mesma forma o resultado @b1 M 12 + b2 M 22 + …+ @1

` anbn M n2

b c é obtido quando substituímos

ordenadamente os elementos da matriz B na segunda coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:

A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …an1 an1 … ann

HLLLLJ

IMMMMK , B=

b1

b2

…bn

HLLLLLJ

IMMMMMK

, C2 =

a11 b1 … a1n

a21 b2 … a2n

… … … …an1 bn … ann

HLLLLLJ

IMMMMMKQ Dx2

= detC2

Neste caso detC2 é obtido pelo desenvolvimento do determinante pela segunda coluna.

E assim o resultado @1` ai + 1

b1 M 11 + @1` ai

b2 M 2i + …+ @1` ai

@1` an

bn M ni

b c é obtido quando

substituímos ordenadamente os elementos da matriz B na i-ésima coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:

A =

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …an1 an1 … ann

HLLLLJ

IMMMMK , B=

b1

b2

…bn

HLLLLLJ

IMMMMMK

, Ci =

a11 … b1 … a1n

a21 … b2 … a2n

… … … …an1 … bn … ann

HLLLLLJ

IMMMMMKQ Dxi

= detCi

Neste caso detCi é obtido pelo desenvolvimento do determinante pela i-ésima coluna, sendo i = 1, 2, 3, ... n . Portanto podemos obter a solução de um sistema linear nBn usando a regra de cramer que consiste numa resolução através de determinantes.

x1 =DX 1

Dffffffffffff , x2 =

Dx2

Dfffffffffff , xi =

Dxi

Dffffffffff

3.9.1 Classificando sistemas pela regra de Cramer Usando a relação de Cramer a classificação de um sistema linear nBn é definida da seguinte forma. 3.9.1.1 Se D ≠ 0 então o sistema é possível e determinado (SPD).

3.9.1.2 Se D = 0 e algum dos Dxi

≠ 0 então o sistema é impossível (SI).

3.9.1.3 Se D = 0 e todos os Dxi

= 0 então o sistema é possível e indeterminado (SPI).

Page 62: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 62 3.9.2 Classificando sistemas lineares homogêneos pela regra de Cramer Considere o sistema linear homogêneo.

S

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 = 0a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 = 0( ( ( ( (

an1 x1 + an2 x2 + …+ ann xn = bn = 0

X̂^̂̂̂\̂^̂̂̂^̂Z

~

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … … …an1 an1 … ann

HLLLLJ

IMMMMK

x1

x2

…xn

HLLLJ

IMMMK=

00…0

HLLLLJ

IMMMMK ~ AX = 0 ~ AX = 0

jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

Note que esse sistema é sempre possível, pois admite ao menos a solução trivial isto é quando X = 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

. Então não existe o caso onde o sistema linear homogêneo será impossível (SI). 3.9.2.1 Então de acordo com 3.9.1.1 se detA ≠ 0 o sistema é possível e determinado (SPD) cuja

solução é a trivial, isto é, quando fazemos X = 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

ou o mesmo que x1 = x2 = …= xn = 0 .

3.9.2.2 Mas se para algum dos aij tivermos o detA = 0 então o sistema é possível e indeterminado

(SPI), pois a solução será nula antes mesmo de fazermos X = 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk

e ainda irá admitir solução trivial.

Exemplo 60: Classifique o sistema S

2x + 3y@4z= 15x@ y + z= 3x + y@ kz= 2

X̂^̂\^̂̂Z

usando a regra de Cramer.

Solução: Inicialmente passamos o sistema para a forma matricial.

AX = B ~2 3 @45 @1 11 1 @ k

HLJ

IMK

xyz

HJIK=

132

HLJ

IMK

D = detA = 2k + 3 – 20 – (4+2–15k) = 17k–23 = 0

Então para todo k2R | k ≠ 2317fffffff o sistema é possível e determinado (SPD).

Se k = 2317fffffff implica que D = 0 , agora se algum Dxi

≠ 0 o sistema é impossível (SI) e se todos os

Dxi= 0 o sistema será possível e indeterminado (SPI).

Dx = detC1 =

1 3 @43 @1 1

2 12317fffffff

LLLLLLLLLL

MMMMMMMMMM=@ 485

17ffffffffffff≠ 0

Como Dx ≠ 0 temos que para k = 2317fffffff o sistema é impossível (SI), e como visto para todo

k2R | k ≠ 2317fffffff o sistema é possível e determinado. Portanto o sistema S esta classificado, como

queríamos demonstrar.

Page 63: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 63 Analogamente poderíamos calcular os determinantes Dy e D z .

D y = detC2 =

2 1 @45 3 1

1 22317fffffff

LLLLLLLLLL

MMMMMMMMMM=@504

17fffffffffff≠ 0 , D z = detC3 =

2 3 15 @1 31 1 2

LLLLLLL

MMMMMMM=@25 ≠ 0

Veja que este último determinante D z é mais simples de calcular, pois não envolve frações, portanto é viável escolher este na hora de provar que o sistema é impossível, ao invés dos outros dois Dx e D y .

Exemplo 61: Classifique o sistema S3 + 2k` a

x + ky + 3z = 0x + 2y + z = 0

kx + y + z = 0

X̂^̂\^̂̂Z

usando a regra de Cramer.

Solução: Inicialmente passamos o sistema para a forma matricial.

AX = 0 ~3 + 2k k 3

1 2 1k 1 1

HLJ

IMK

xyz

HJIK=

000

HLJ

IMK ~

3 + 2k k 3 | 01 2 1 | 0k 1 1 | 0

HLLLJ

IMMMK

detA = k² – 5k + 6 = 0 , k1 = 2 , k2 = 3 Como detA = 0 para k1 = 2 e k2 = 3 , concluímos por 3.9.2.2 que o sistema é possível e indeterminado (SPI). Veja que não podemos determinar os xi pela regra de Cramer pois substituindo a matriz nula em qualquer coluna de A o determinante Dxi

será sempre nulo. Portanto o único método para encontrar a

solução desse sistema é o escalonamento. Substituindo k1 = 2 temos:

7 2 3 | 01 2 1 | 02 1 1 | 0

HLLLJ

IMMMKQ passando para a forma linha-reduzida temos Q

1 013fff| 0

0 113fff| 0

0 0 0 | 0

HLLLLLLLJ

IMMMMMMMK

Isto é, x =@13fffz e y=@1

3fffz [ x = y , podemos denotar a solução da seguinte maneira.

Se k1 = 2 o sistema é possível e indeterminado cuja solução é S= x,x,z` a

2 R3

| x, z 2 RR S

.

Page 64: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 64 Da mesma forma obtemos a solução substituindo k2 = 3 temos:

9 3 3 | 01 2 1 | 03 1 1 | 0

HLLLJ

IMMMKQ passando para a forma linha-reduzida temos Q

1 015fff| 0

0 115fff| 0

0 0 0 | 0

HLLLLLLLJ

IMMMMMMMK

Isto é, x =@15fffz e y=@1

5fffz [ x = y , podemos denotar a solução da seguinte maneira.

Se k1 = 3 o sistema é possível e indeterminado cuja solução é S= x,x,z` a

2 R3

| x, z 2 RR S

.

Exemplo 62: Vamos classificar o exemplo 60 S

2x + 3y@4z= 15x@ y + z= 3x + y@ kz= 2

X̂^̂\^̂̂Z

usando o escalonamento.

Solução: Passando o sistema para a forma matriz ampliada e escalonando.

S ~

2 3 @4 | 15 @1 1 | 31 1 @ k | 2

HLLLJ

IMMMK

.

1 1 -k | 2 2 3 -4 | 1

L1T L3

L2T L3 5 -1 1 | 3

1 1 -k | 2 0 1 2k-4 | -3

L2Q@2L1 + L2

L3Q@5L1 + L3

0 -6 5k+1 | -7 .

1 1 -k | 2 0 1 2k-4 | -3 L3Q 6L2 + L3

0 0 17k-23 | -25

Pelo teorema 3.5.1 o sistema é possível se, e somente se, pa = pc , mas se:

17k@23 = 0 [ k = 2317fffffff , assim pa = 3 ≠ pc = 2 , logo para k = 23

17fffffff o sistema é impossível (SI).

E se k ≠ 2317fffffff , pa = 3 = pc = 3 , então 8 k 2 R | k ≠ 23

17fffffff o sistema é possível e determinado (SPD).

Portanto o sistema S esta classificado, como queríamos demonstrar. 3.9.2.3 Observações Não desvalorizando o método de Cramer que é muito útil e também muito elegante, entretanto só resolve sistemas nBn , assim o escalonamento é o método mais completo pois resolve sistemas, seja de ordem nBn ou mBn .

Page 65: Alga 2 Matrizes Determinantes Sistemas

GUIDG.COM 65 4 NOTAS FINAIS O objetivo desse texto foi a concentração e a revisão de toda a teoria de matrizes, determinantes e sistemas, visto que alguns livros trazem uma notação complicada demais ou são incompreensíveis por suas demonstrações resumidas. Lembrando que num estudo compacto como este não se pode demonstrar tudo, mas ao menos as demonstrações mais simples foram provadas de maneira clara e objetiva. Este texto foi escrito com base na introdução do curso de Álgebra Linear da UDESC-CCT e nos seguintes livros, onde é possível encontrar um auxílio complementar teórico. 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR (1) Anton Howard, Chris Rorres – Álgebra Linear com aplicações (8 ed.); (2) Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle – Introdução à Álgebra linear; (3) Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle – Álgebra linear; (4) José Luiz Boldrini – Álgebra Linear; (5) Gelson Iezzi, Samuel Hazzan – Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 4, Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas (2 ed.); (6) Apostila de Álgebra Linear II 2011/1 – Departamento de Matemática (UDESC – CCT)