Apostila de Matrizes e Determinantes

1

Material Didtico Notas de Aula

Viviane Carla Fortulan

2

I MATRIZES

1. Definio: Matriz m x n uma tabela de m . n nmeros reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:

1.

240

321A uma matriz 2 x 3;

2.

11

04B uma matriz 2 x2;

3.

612

1

34 0

2 0 1

5 23

C

uma matriz 4 x 3.

Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada

por colchetes, parnteses ou duas barras verticais.

2. Representao de uma matriz:

As matrizes costumam ser representadas por letras maisculas e seus elementos por letras

minsculas, acompanhadas de dois ndices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna

ocupadas pelo elemento.

Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n representada por:

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

a aaa

a aaa

a aaa

A

ou, abreviadamente, A= n x mij

a , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o

elemento ocupa,

nj1

mi1.

Por exemplo, na matriz anterior, 23a o elemento da segunda linha com o da terceira

coluna.

Exemplo 1: Seja a matriz A= 2 x 2ij

a , onde ji2a ij :

Genericamente, temos: 2 x 22221

1211

aa

aaA

. Utilizando a regra de formao dos elementos

dessa matriz, temos:

3

ji2a ij

62)2(2a

42)1(2a

51)2(2a

31)1(2a

22

12

21

11

Assim, A=

65

43.

3. Matrizes especiais:

3.1 Matriz linha: toda matriz do tipo 1 x n, isto , com uma nica linha.

Ex: 4x1

1374A .

3.2 Matriz coluna: toda matriz do tipo n x 1, isto , com uma nica coluna.

Ex:

1x30

1

4

B

.

3.3 Matriz quadrada: toda matriz do tipo n x n, isto , com o mesmo nmero de linhas e

colunas. Neste caso, dizemos que a matriz de ordem n.

Ex:

2x212

7 4C

3x33 7 2

3 0

0 14

D

Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3

Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

Diagonal principal de uma matriz quadrada o conjunto de elementos dessa matriz, tais que

i = j.

Diagonal secundria de uma matriz quadrada o conjunto de elementos dessa matriz, tais

que i + j = n + 1..

Exemplo:

675

303

5 21

A3

4

Descrio da matriz:

- O subscrito 3 indica a ordem da matriz; - A diagonal principal a diagonal formada pelos elementos 1, 0 e 6; - A diagonal secundria a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;

- 11a = -1 elemento da diagonal principal, pois i = j = 1;

- 31a = 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.

3.4 Matriz nula: toda matriz em que todos os elementos so nulos.

Notao: n x mO

Exemplo:

000

000O 3 x 2

3.5 Matriz diagonal: toda matriz quadrada onde s os elementos da diagonal principal

so diferentes de zero.

Exemplo:

10

02A 2

700

030

004

B3 .

3.6 Matriz identidade: toda matriz quadrada onde todos os elementos que no esto na

diagonal principal so nulos e os da diagonal principal so iguais a 1.

Notao: nI onde n indica a ordem da matriz identidade.

Exemplo:

10

01I 2

100

010

001

I3

ou :

ji se 0,

ji se ,1a ,aI ijij n

3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que

obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.

Notao: tA .

Exemplo: Se

121

03 2 A ento tA =

1 0

23

12

Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, tA do tipo n x m. Note que a primeira linha de

A corresponde primeira coluna de tA e a segunda linha de A corresponde segunda coluna de tA .

5

3.8 Matriz simtrica: Uma matriz quadrada de ordem n simtrica quando A= tA .

OBS: Se A = - tA , dizemos que a matriz A anti-simtrica.

Exemplo: Se

3x3541

423

132

A

3x3

t

541

423

132

A

3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que obtida a

partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.

Notao: - A

Exemplo: Se

1-4

0 3A ento A =

14

03

3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, so iguais se,

todos os elementos que ocupam a mesma posio so idnticos.

Notao: A = B.

Exemplo: Se

b1

02A

31

c2B e A = B, ento c = 0 e b = 3

Simbolicamente: ijij baBA para todo mi1 e todo ni1 .

Resolver a primeira lista de exerccios

6

1 LISTA

1-) *Escreva a matriz A= 3x2ij

a , onde

ija =2i+3j

2-) Escreva a matriz B= 3x3ij

b , onde ijb = j

i.

3-) Escreva a matriz C= 1x4ij

c , onde

jic 2ij .

4-) * Escreva a matriz D= 3x1ij

d , onde ijd = i

j.

5-) Escreva a matriz A= 3x4ij

a , onde

jise,1

jise,2a ij


a , onde

jise,0

jise,jia ij


a , onde

jise,ji

jise,ji2a ij

8-) *Chama-se trao de uma matriz quadrada a

soma dos elementos da diagonal principal.

Determine o trao de cada uma das matrizes A

=

101

532

102

Be34

21.

9-) Dada a matriz A=

41

21, determinar:

a-) a transposta de A

b-) a oposta de A

10-) *Dadas as matrizes A=

3a

21 e

3b

3xB , determinar a, b e x para que

A=tB .

11-) Determinar os valores de a e b, tais que:

3a

2b

3b

1a2

12-) Determine x e y na igualdade:

5

9

4

5

y

xlog2

3

13-) Seja A= 3x2ij

a , onde ija =i + j. Determine

m, n e p em B=

5p2m1n

43nm a fim de

que tenhamos A=B.

14-) Determine a, b, x e y, tais que:

.11

23

yx2ba

yxba

15-) Determine x e y, tais que:

a-) .

64

5

3

x

y

xlog

2

2

b-) .y2x51

05

71

0y3x2

7

RESPOSTAS

1-) A=

13107

1185

2-) B=

13

12

1

23

32

31

21

3-) C=

17

10

5

2

4-) D= 210

5-) A=

222

222

122

112

6-) A=

600

040

002

7-)

165

213A

8-) trA = 4 e trB = 4

9-) a-)

42

11A t b-) A=

41

21

10-) a = 3, b = 2 e x = 1

11-) a = 1 e b = 1

12-) x = 81 e y= 3 13-) m = -2 n = 4 e p = -3

14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1

15-) a-) x = 8 e y = 5

b-) x = 57 e y =

1511

8

4. Adio de Matrizes:

Dadas as matrizes A= n x mij

a e B = n x mij

b , chamamos de soma das matrizes A e B a matriz

C = n x mij

c , tal que ijijij bac , para todo mi1 e todo ni1 .

Notao: A + B = C

OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n).

Propriedades : A, B e C so matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes

propriedades:

1) Associativa:

(A + B) + C = A + (B + C)

2) Comutativa

A + B = B + A

3) Elemento Neutro

A + O = O + A = A

onde O a matriz nula m x n.

4) Elemento Oposto

A + (-A) = (-A) + A = O

Exemplos:

1)

90

33

2700

1421

2 0

12

70

41

2)

10 1

145

2111 10

10 13 32

2 1- 1

1 1 3

11 0

0 3 2

5. Subtrao de Matrizes:

Dadas as matrizes A= n x mij

a e B= n x mij

b , chamamos de diferena entre as matrizes A e B

a soma de A com a matriz oposta de B

Notao: A - B = A + (-B)

OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n).

9

Exemplo:

1)

54

22

2704

2013

2 0

2-1

74

0 3

2-0

2 1

74

0 3

6. Multiplicao de um nmero real por uma matriz:

Dados um nmero real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A uma matriz

do tipo m x n, obtida pela multiplicao de cada elemento de A por x.

Notao: B = x.A

OBS.: Cada elemento ijb de B tal que ijb = x ija

Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y nmeros reais

quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1) Associativa:

x.(y.A) = (x.y).A

2) Distributiva de um nmero real em relao a adio de matrizes:

x.(A+B) = x.A + x.B

3) Distributiva de uma matriz em relao a soma de dois nmeros reais:

(x + y).A = x.A + y.A

4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja:

1.A = A

Exemplo:

1)

03

216

0.31.3

7.32.3

01

72 .3

7. Multiplicao de matrizes:

O produto de uma matriz por outra no pode ser determinado atravs do produto dos seus

respectivos elementos. A multiplicao de matrizes no anloga multiplicao de nmeros reais.

Assim, o produto das matrizes A= p x mij

a e B= n x pij

b a matriz C= n x mij

c , onde cada

elemento ijc obtido atravs da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-sima linha

de A pelos elementos da j-sima coluna de B.

10

OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, so os elementos que

ocupam a mesma posio nas duas matrizes. Exemplo: Sejam

203

461A e

437

205B . Os

elementos 2b e 4a 1313 so elementos correspondentes.

Decorrncia da definio:

A matriz produto A.B existe apenas se o nmero de colunas da primeira matriz (A) igual

ao nmero de linhas da segunda matriz (B).

Assim: n x mn x pp x m B.AB e A Note que a matriz produto ter o nmero de linhas (m) do primeiro fator e o nmero de

colunas (n) do segundo fator.

Exemplos:

1) Se 5 x 35 x 22 x 3 B.AB e A 2) Se produto existe no que B e A 3 x 21 x 4

3) 1 x 41 x 22 x 4 B.AB e A

Propriedades : Verificadas as condies de existncia, para a multiplicao de matrizes so

vlidas as seguintes propriedades:

1) Associativa:

(A.B).C = A.(B.C)

2) Distributiva em relao adio:

a) A.(B+C) = A.B + A.C

b) (A+B).C = A.C + B.C

3) Elemento Neutro:

A. nI = nI .A = A

onde nI a matriz identidade de ordem n.

Ateno: No valem as seguintes propriedades:

1) Comutativa, pois, em geral, A.B B.A

2) Sendo n x mO uma matriz nula, A.B = n x mO no implica, necessariamente, que A =

n x mO ou B = n x mO .

11

Exemplos:

1) Sendo A=

14

32 e B=

43

21, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados

Soluo:

A.B =

14

32.

43

21

coluna 1 e linha 1aaa

11 = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11


12 = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16


21 = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7


22 = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12

Assim:

A.B =

2 x 214

32

.

2 x 243

21

=

2 x 2127

1611

4834

12492

4.12.43.11.4

4.32.23.31.2

B.A =

2 x 243

21

.

2 x 214

32

=

2 x 21322

510

49166

2382

1.43.34.42.3

1.23.14.22.1

Comparando os resultados, observamos que A.B B.A, ou seja, a propriedade comutativa para multiplicao de matrizes no vale.

2) Seja A=3 x 2

2 x 3

402

321 B e

41

10

32

, determine:

a) A.B b) B.A

Soluo:

a) A.B =

3 x 3

3 x 2

2 x 34.43.10.42.1)2.(41.1

4.13.00.12.0 )2.(11.0

4.33.20.32.2 )2.(31.2

402

321 .

41

10

32

=

=

3 x 33 x 31329

40 2

184 4

16302)8(1

40 00 )2(0

126 04 )6(2

12

b) B.A = 2 x 2

2 x 3

3 x 24.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2

)4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1

41

10

32

402

321 .

=

=

2 x 22 x 2108

171

1606)4(04

1223)3(02

Concluso: Verificamos que A.B B.A

8. Matriz Inversa:

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz 'A , de mesma ordem, tal

que A. 'A = 'A .A = nI , ento 'A matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A. 'A = 'A .A = nI ,

isto implica que 'A a matriz inversa de A, e indicada por 1A ).

Notao: 1A

Exemplo: Sendo A =

2 x 212

21

, vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.

Soluo:

Existindo, a matriz inversa de mesma ordem de A.

Como, para que exista inversa, necessrio que A. 'A = 'A .A = nI , vamos trabalhar em

duas etapas:

o

1 Passo: Impomos a condio de que A. 'A = nI e determinamos 'A :

A. 'A = nI 2 x 2

12

21

.

2 x 2dc

ba

=

2 x 210

01

2 x 22 x 2

2 x 22 x 2

10

01

d2b-ca2

d2b c2a

10

01

1.d2.b-c.1a.2

d.2b.1 c.2a.1

A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo mtodo da adio e chegamos

:

13

5

1a0

5

22a-

0c2a-

5

2c 25c

0c 2a-

24c2a

0ca2

(-2) 1c2a

__________________

5

2b1

5

12b-

1d2b-

5

1d 15d

1d 2b-

04d2b

1db2

(-2) 0d2b

__________________

Assim temos:

'A =.

2 x 2dc

ba

=

2 x 251

52

52

51

o

2 Passo: Verificamos se 'A A = 2I :

'A .A =

2 x 251

52

52

51

.

2 x 212

21

=

2

2 x 2

2 x 22 x 2

I

10

01

550

05

5

51

54

52

52

52

52

54

51

1.5

12.5

22.5

11.5

2

1..5

22.5

1 2.5

21.5

1

14

Portanto temos uma matriz 'A , tal que: A. 'A = 'A .A = 2I

Logo, 'A inversa de A e pode ser representada por:

1A =

2 x 251

52

52

51

.

Resolver a segunda lista de exerccios

2 LISTA

1-) *Sendo A=

3

2

1

0

4

1 e B=

124

103,

calcule:

a-) A + B b-) A B c-) B A

2-) Calcule x, y e z, tais que

04

z23

17

71

1yx

zx2.

3-) Sendo A= 2x3ij

a , onde ija =2i-j, e B= 2x3ijb , com ijb = ,ji

2 calcule:

a-) A B b-) B A c-) tBA

4-) *Verifique experimentalmente que, se A e B so

matrizes do mesmo tipo, ento ttt BABA . Sugesto: Considere A e B as matrizes

encontradas no exerccio 3.

5-) Sendo A=

20

02 e

30

03B , determinar as

matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X Y = A B.

6-) *Dadas as matrizes A=

10

32,

23

40B e

C=

180

1415 calcule:

a-) 3.(A B) + 3.(B C) + 3.(C A) b-) 2.(A - B) 3.(B C) 3.C c-) a matriz X, tal que

3.(X A) + 2.B = 4.(X A + 2.C)

7-) Sendo A=

0

3

2

e B=

2

0

1

, determine as matrizes

X e Y, tais que 3X Y = 2A B e X + Y = A B

8-) *Determine a relao existente entre as

matrizes A=

3

1

4

0

2

3 e B=

3

4

2

1

0

3

.

9-)* Sendo a matriz A=

320

y43

c32

simtrica,

determine c e y.

10-) Sendo A= 2x2ij

a , onde ija =2i-j, e

B= 2x2ij

b , com ijb = ij , determine X tal

que 3A + 2X = 3B.

11-) *Sendo A=

23

12 e

11

10B ,

calcule as matrizes X e Y no sistema

AY2X3

BY3X2.

12-) Sendo A=

112

010

321

e B=-2A,

determine a matriz X, tal que B2

1A3X2

13-) Dadas as matrizes A= 4x6ij

a , tal que

ija = i - j, B= 5x4ijb , tal que com ijb = ij e C = AB, determine o elemento

42c .

14-) *Sendo A=

21

22, calcule

22 I5A4A .

15-) Determine a matriz X, tal que

tAB.AA2X , sendo A=

10

12 e

15

16-) *Dadas as matrizes

A=

531

531

531

B,

431

541

532

3x3

e

C=

321

431

422

. Calcule:

a-) A.B

b-) B.A

c-) A.C

d-) C.A

17-) (UFPA) A matriz A= 3x3ij

a definida de tal

modo que

jise,0

jise,)1(a

ji

ij . Ento, A igual a:

a-)

011

101

110 b-)

101

011

001 c-)

011

101

110

d-)

100

010

001 e-)

011

101

110

18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ija e B= ijb , quadradas de ordem 2, com

j3i4bej4i3a ijij , se C=A + B, ento

2C igual a:

a-)

10

01 b-)

10

01 c-)

01

10 d-)

01

10 e-)

11

11

B=

01

21.

19-) *Verifique se B=

2x231

32

21 0

inversa

de A=

34

02

20-) *Determinar, se existir, 1A em cada

caso:

a-) A=

10

01 b-) A=

12

32.

11

01

21-) Sendo A=

43

21, calcule 11A .

22-) As matrizes A, B e C so invertveis e de

mesma ordem 2. Sendo B. 21 IA e C.B =

A, determine C e 1C .

23-)* (MACK) A uma matriz mxn e B

uma matriz mxp. A afirmao falsa :

a-) A + B existe se, e somente se, n = p

b-) A=tA implica m = n ( tA = transposta de

A)

c-) A.B existe se, e somente se, n = p

d-) A. tB existe se, e somente se, n = p

e-) tA .B sempre existe

16

Respostas

1) a)

2

3

3

0

8

4 b)

4

1

1

0

0

2 c)

4

1

1

0

0

2

2) x=2, y=-9 e z=-7

3) a)

7

4

3

5

2

1 b)

7

4

3

5

2

1 c)

15

15

8

8

3

3

4) -------------

5) X=

34

34

0

0 e Y=

311

311

0

0

6) a)

00

00 b)

815

144 c)

1396

101118

7) X=

1

2

49 e Y=

1

1

43

8) A= tB

9) c=0 e y=2

10) X=

3623

23

11) X=

54

511

51

56

e Y=

51

59

51

54

12) X=

112

010

321

13) 2

14)

98

169

15) X=

33

13

16) a)

000

000

000 b)

000

000

000 c) AC= A d) CA= C

17) alternativa a) 18) alternativa b) 19) Sim, B inversa de A

20) a)

10

01 b)

85

81

83

81

21) A inversa da inversa de uma matriz A a prpria matriz A.

22) C= 21 IC

23) Alternativa c)

17

II DETERMINANTES

Definio: Determinante um nmero associado a uma matriz quadrada.

Aplicaes dos determinantes na matemtica:

- Clculo da matriz inversa; - Resoluo de alguns tipos de sistemas de equaes lineares; - Clculo da rea de um tringulo, quando so conhecidas as coordenadas dos vrtices.

1. Determinante de primeira ordem

Dada uma matriz quadrada de a

1 ordem M= 11a , chamamos de determinante associado matriz M o nmero real

11a .

Notao: det M ou 11a = 11a

Exemplos:

1. 55ou 5Mdet5M 11

2. 33-ou 3Mdet3M 12

2. Determinante de segunda ordem

Dada a matriz M=

2221

1211

aa

aa, de ordem 2, por definio, temos que o determinante

associado a essa matriz, ou seja, o determinante de a

2 ordem dado por:

211222112221

1211aaaa

aa

aaMdet

Assim:

21122211 aaaaMdet

Exemplo: Sendo M=

54

32, ento:

det M= 21210435254

32

Logo: det M = -2

Concluso: O determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produto

dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.

18

3. Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e

de ordem n > 1, o determinante ijMC , de ordem n 1, associado matriz obtida de M quando

suprimos a linha e a coluna que passam por ija .

Exemplo 1: Dada a matriz M=

2221

1211

aa

aa, de ordem 2, para determinarmos o menor

complementar relativo ao elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;

MC = menor complementar

2221

1211

aa

aa, logo, 222211 aaMC

Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a dado por:

2221

1211

aa

aa, logo, 212112 aaMC e assim por diante.

Exemplo 2: Dada a matriz M=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, de ordem 3, vamos determinar:

a) 11MC

b) 12MC

c) 13MC

d) 21MC

Soluo:

OBS.: Vamos denotar menor complementar por MC

a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, temos que:

11MC = 322333223332

2322aaaa

aa

aa

b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que:

12MC =

3331

2321

aa

aa= 31233321 aaaa

c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:

19

13MC =

3231

2221

aa

aa= 31223221 aaaa

d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:

21MC =

3332

1312

aa

aa= 32133312 aaaa

4. Cofator

Chamamos de cofator (ou complemento algbrico) relativo ao elemento ija de uma matriz

quadrada de ordem n o nmero ijA , tal que ijji

ij MC)1(A .

Exemplo 1: Dada M=

2221

1211

aa

aa, os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M

so:

22222

MC

22

11

11 aa)1(a)1(A

11

;

21213

MC

21

21

12 aa)1(a)1(A

12

;

12123

MC

12

12

21 aa)1(a)1(A

21

;

11114

MC

11

22

22 aa)1(a)1(A

22

.

Assim, podemos tambm determinar a matriz dos cofatores (que ser denotada por A )

como sendo:

1112

2122

2221

1211

a a

aa

AA

AAA

Exemplo 2: Sendo M=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, vamos calcular os cofatores 312322 A e A ,A :

31133311311333114

3331

131122

22 aaaa)1(aaaa)1(aa

aa)1(A

;

31123211311232115

3231

121132

23 aaaa)1(aaaa)1(aa

aa)1(A

;

22132312221323124

2322

131213

31 aaaa)1(aaaa)1(aa

aa)1(A

.

20

5. Matriz Adjunta

A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A chamada adjunta de A.

Assim: tAadjA

6. Teorema de Laplace

Definio: O determinante de uma matriz quadrada 2m aMm x mij

pode ser obtido

pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos

respectivos cofatores.

Assim, fixando mj1 que tal,Nj , temos:

m

1i

ijijAaMdet

onde,

m

1i

o somatrio de todos os termos de ndice i, variando de 1 at m, Nm e ijA o

cofator ij.

Exemplo : Calcular com o auxlio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes:

a)

3 2 0 1

1 1 13

0 2 0 0

14 3 2

D b)

6 5 0

2 1 2

43 2

D 21

Soluo:

a)

6 5 0

2 1 2

43 2

D1

Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

2 1

43(-1)0

6 5

43(-1))2(

65

21(-1)2D

31

31

21

21

11

11

CofatorA

13

a

CofatorA

12

a

)11cofator(A

11

a

1

06 5

432

65

212D1

2(38)2(-4)20)2(1810)-2(6D1

68768D1

21

b) Como trs dos quatro elementos da a

2 linha so nulos, convm aplicar Laplace nessa

linha.

3 2 0 1

1 1 13

0 2 0 0

14 3 2

D 2

3 0 1

1 13

13 2

)1(200D

23MCD

32

2

OBS.: Ento podemos rescrever 2D como:

(I) D2D 2

Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos

Laplace na a

3 linha (mais conveniente, pois um dos elementos nulo), e obtemos:

3331 MC

33

MC

13

1-3

3 2)1(3

1 1-

1-3 )1(1D

332)11(3)2(1)92(3)13(1D

35D

Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos:

-2(-35)DD2D 22

70D 2

7. Regra de Sarrus

Dispositivo prtico para calcular o determinante de a

3 ordem.

Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante atravs da Regra de Sarrus.

D=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

22

Soluo:

a

1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da a

3 :

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

a

2 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois

produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.

OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:

322113312312332211 aaaaaaaaa

a

3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundria com os dois

produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.

OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:

332112322311312213 aaaaaaaaa

Assim:

332112322311312213 aaaaaaaaaD 322113312312332211 aaaaaaaaa

OBS.: Se desenvolvssemos esse mesmo determinante de a

3 ordem com o auxlio do

teorema de Laplace, veramos que as expresses so idnticas, pois representam o mesmo nmero

real.

Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes:

a)

0 1 1 0

0 1 - 0 1

2 1 0 0

1 0 1- 2

D b)

1 2 3

2 1 4

13 2

D 21

Soluo:

a)

47242381821283

2

1

3

3-

4

2

1 2 3

2 1 4

13 2

D1

23

b)

0 1 1 0

0 1 - 0 1

2 1 0 0

1 0 1- 2

D 2

Aplicando Laplace na a

2 linha, temos:

''2

'2 D

42

D

32

2

1 1 0

1-0 1

0 12

)1(2

0 1 0

0 0 1

1 12

)1(100D

''

2

'

22 D2D)1(D

- Clculo de '2D : Como, na a

2 linha, dois elementos so nulos, conveniente aplicar

Laplace; assim:

1)10(101

11)1(1D 12'2

- Clculo de ''2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos:

''2D

1

0

1-

0

1

2

1 1 0

1- 0 1

0 1- 2

3)000()120(

Portanto,

5D

61)3(2)1(1D

D2D)1(D

2

2

''

2

'

22

24

8. Matriz de Vandermonde

Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem 2n , com a seguinte forma:

1n

n

1n

2

1n

1

3

n

3

2

3

1

2

n

2

2

2

1

n21

a aa

a a a

a a a

a a a

1 1 1

V

Observe que cada coluna dessa matriz formada por potncias de mesma base com

expoentes inteiros, que variam de 0 at n-1.

O determinante da matriz de Vandermonde dado por:

1n1nn142434132312 aaaaaaaaaaaaaaaaVdet

Exemplo: Calcular o determinante da matriz

1694

432

111

M

Soluo:

Como podemos escrever a matriz M na forma:

222

111

432

432

111

M

Ento dizemos que a matriz M uma Matriz de Vandermonde com 4a e 3a ,2a 321 .

Assim,

2211243423aaaaaaMdet 132312

25

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:

(de matriz quadrada de ordem n)

As propriedades a seguir so relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de

ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os clculos.

P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) so nulos, o determinante dessa

matriz nulo.

Exemplos:

1-) 0

391218

3123

0000

7894

2-) 0

701

302

1503

P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo.

Exemplo:

1-) 0

3479

5352

8924

5352

pois, L1 = L3

P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz so proporcionais, ento o seu determinante nulo.

Exemplo:

1-) 0

623

412

241

pois C3 = 2C1

P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz so combinaes lineares dos elementos

correspondentes de filas paralelas, ento o seu determinante nulo.

Exemplos:

1-) 0

523

642

431

pois C1 + C2 = C3 2-) 0

5107

321

143

pois 2L1 + L2 = L3

OBS.: Definio de combinao linear:

Um vetor v uma combinao linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal

que:

v= a1. v1+...+ ak. vk

26

P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz no se altera quando somamos aos

elementos de uma fila uma combinao linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

1-) 9

342

212

321

Substituindo a 1 coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2, temos:

9

3410

214

325

34242

21212

32221

2C2 C1

P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta so iguais.

Exemplo:

Det A = 9

342

212

321

Det At = 9

323

412

221

P7-) Multiplicando por um nmero real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o

determinante dessa matriz fica multiplicado por esse nmero.

Exemplos:

1-) 4

123

112

321

Multiplicando C1 por 2, temos: 842126

114

322

2-) 145

102

473

0105

Multiplicando L1 por 5

1, temos: 29145

5

1

102

473

021

P8-) Quando trocamos as posies de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de

sinal.

Exemplo:

4

123

112

321

27

Trocando as posies de L1 e L2, por exemplo, temos:

4

123

321

112

P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, o

determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

1-) cba

cfe

0bd

00a

2-) zyx

z00

iy0

hgx

P10-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundria so todos

nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por 2

1nn

1

.

Exemplos:

1-) baxb

a0 2-) cba

zyc

xb0

a00

P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:

Observao: Como A A-1 = I, na propriedade acima, temos:

Exemplo:

Se A = ,43

12B =

22

01 e AB =

811

24, ento:

2510

BdetAdetABdet

det (AB) = det A det B

det (A-1

) = Adet

1

28

P12-) Se k , ento det (kA) = kn detA.

Exemplo:

Sendo k=3, A = 54

12e kA =

1512

36, temos:

623

n

54

AdetkAkdet

P13-) det (A+B) detA + detB

9. Regra de Chi

A regra de Chi mais uma tcnica que facilita muito o clculo do determinante de uma

matriz quadrada de ordem n ( 2n ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual

determinante.

Exemplos:

1) Vamos calcular o determinante associado matriz

642

315

432

A com o auxlio da

regra de Chi:

Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus

elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se

encontra.

642

315

432

Passo 2: Em seguida subtramos do elemento restante o produto dos dois correspondentes

que foram eliminados (um da linha e outro da coluna).

618

513

)12(6)20(2

)9(4)15(2

)34(6)45(2

)33(4)35(2

Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por ji1 , onde i representa a linha e j

a coluna retiradas (neste caso, a

2 linha e a

2 coluna).

29

12Adet

9078)1(618

513)1(Adet 422

10. Inverso de matrizes com o auxlio da teoria dos determinantes

A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicao do seguinte

teorema:

A matriz inversa 1A de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se,

0Adet e dada por:

adjAAdet

1A 1

OBS.: adj A a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = tA

Exemplos:

1) Verificar se a matriz

31

0 6A admite inversa

Soluo:

A matriz A admite inversa se, e somente se, 0Adet . Assim, como:

0183-1

0 6Adet , existe a matriz inversa de

2) Calcular x para que exista a inversa da matriz

x1 2

01x

233

A

Soluo:

Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA -1 )

Ento:

1

1

3

2

x

3

x1 2

01x

233

04x3x

x3042x03x-

2

2

30

Assim, -1 xe 3

4xA 1-

3) Calcular, se existir, a inversa da matriz

41

32A com o auxlio da frmula

adjAAdet

1A 1

Soluo:

Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa.

538)1(342Adet

Como 1A05

Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A.

44)1( 1111 A

11)1( 2112 A

33)1( 1221 A

22)1( 2222 A

Assim, a matriz dos cofatores dada por:

2- 3

1 4 A

Passo 3: Clculo da matriz adjunta de A.:

2-1

34 adjAAadjA

t

Passo 4: Clculo da matriz inversa de A ( 1A ):

2 -1

34

5

1

det

1 11 AadjAA

A

:

52

51

53

54

1A

31

3 LISTA

1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes:

a) A=

83

3,021

b) A= .jia onde ,a ij2x2ij

2) *Calcular o valor de Rx na igualdade

3x4

3x3

=0

3) *O conjunto soluo de 1x

11

1x

11

11

x1

:

a) 1x|Rx b){0;1} c){1} d){-1} e) {0}

4) Determinar a matriz formada pelos cofatores dos elementos da matriz

A=

2 2 1

0 1 4

1 23

.

5) Dada a matriz A=

31

32

32

32

31

32

32

32

31

.

Calcule A , conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de A.

6) *Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace:

a)

987

654

321

b)

0010

1000

2002

3110

7) O determinante

0 300

x 2 10

0 x 21

10 x0

representa o polinmio:

a) 1x 2

b) 1x 2

c) 1x32

d) )1x(3 2

e) )1x)(1x(3

8) (Fuvest SP) O determinante da matriz

ab

ba, onde

xxxx ee2b e eea2 igual a:

a) 1 b) 1 c) xe d)

xe e) 0

9) Utilizando a regra de Sarrus, calcule:

081

112

15,03,0

321

20

10) *Sendo A=

231

210

032

, calcule:

a) det A

b) det tA

11) *Calcular x na igualdade 0

3x1

31x

101

12) Calcular x na igualdade

0

9x6x4x

3x2x

111

22

13) *Sendo A=

164278

11694

1432

1111

, calcular

det A.

14) *Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes

justificando os valores obtidos:

a)

152

311

243

b)

1302

2804

4903

5102

32

c)

3201

81264

3124

4632

d)

5000

3400

9230

5421

e)

431

220

100

17218

134

892

097

022

043

54827

723428

184255

15) (MACK-SP) Se

4x

b1

y3

2a,

A=

yx

ba e B =

tA , ento det(A.B) vale:

a) 8 b) 4 c) 2 d) 2 e) 4

16) *(FAAP-SP) Dada a matriz A=

30

21,

calcule o determinante da matriz inversa de A.

17) Determine, se existir, a inversa de cada uma

das matrizes:

a) A=

23

10 b) B=

207

135

064

Respostas

1) a) 3 b) 1 c) 1 2) x= -4 ou x=1

3) alternativa c)

4)

541

476

782

A

5)

31

32

32

32

31

32

32

32

31

A e

adjA= tA

31

32

32

32

31

32

32

32

31

-

-

6) a) 0 b) 2 7) alternativa d) 8) alternativa a)

9) 12

5

10) a) 2 b) 2 11) x=1 ou x=-4

12) x=2 ou x=5

13) 600

14) a) 0 b) 0 c) 0 d) 60 e) 2 15) alternativa b)

16) 3

1

17) a)

01A 3

132

1

b)

11

B

21

212

214

141

71

72

71

1

33

III SISTEMAS LINEARES

1 Equao linear

Toda equao da forma:

bxaxaxa nn 2211

onde naaa ,,, 21 so nmeros reais que recebem o nome de coeficientes das incgnitas

nxxx ,, 21 e b um nmero real chamado termo independente.

OBS: Quando b = 0, a equao recebe o nome de linear homognea.

Exemplos:

Equaes Lineares Equaes No-Lineares

1) 3x 2y + 4z = 7

1) xy 3z + t = 8

2) x + y 3z - 7 t = 0 (homognea) 2) x2 - 4y = 3t - 4

3) 2x + 4z = 3t y + 4 3) x - y + z = 7

2 Sistema Linear

Definio: Um conjunto de equaes lineares da forma:

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

332211

22323222121

11313212111

um sistema linear de m equaes e n incgnitas.

2.1 Soluo do Sistema Linear

Chamamos de soluo do sistema a n-upla de nmeros reais ordenados nrrr ,,, 21 que , simplesmente, soluo de todas equaes do sistema.

2.2 Matrizes associadas a um Sistema Linear

2.2.1 Matriz incompleta

a matriz A, formada pelos coeficientes da incgnitas do sistema.

34

Exemplos:

Seja o sistema:

42

74

032

zyx

zyx

zyx

Matriz incompleta:

A=

1 12

1 14

132

2.2.2 Matriz Completa

a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos matriz incompleta uma ltima coluna formada

pelos termos independentes das equaes do sistema. Assim a matriz completa referente ao sistema

anterior :

B =

4

7

0

1

1

1-

1

1

3

2-

4

2

2.3 Sistemas Homogneos Um sistema homogneo quando os termos independentes de todas as equaes so nulos.

Exemplo:

0 3 2

034

0 23

yx

zyx

zyx

2.3.1 Solues de um Sistema Homogneo

A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) sempre soluo de um sistema linear homogneo com n incgnitas e

recebe o nome de soluo trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-triviais.

2.4 Classificao de um sistema linear quanto ao nmero de solues

possvel

solues) (infinitas adoindetermin

nica) (soluo odeterminad

impossvel (no tem soluo)

Exemplos:

1.

12

8

yx

yx

Tem soluo nica: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema possvel e determinado.

35

2.

1622

8

yx

yx

Tem infinitas solues: algumas so dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4,

4), (5, 3),. Portanto o sistema possvel e indeterminado.

3.

10

10

yx

yx

4. No tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equaes. Portanto o sistema

impossvel.

2.5 Sistema Normal

Um sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de incgnitas (n) e o

determinante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero, ou seja, se m = n e det

A 0, o sistema normal.

OBS.: Todo sistema normal possvel e determinado e portanto tem soluo nica.

Exemplo: Determinar Rk , de modo que o sistema

5

3

kyx

ykx seja normal.

Soluo: Para o sistema ser normal temos que observar duas condies: m=n e detA 0

1 condio: m = 2 e n = 2 nm

No sistema, o nmero de equaes (m = 2) igual ao nmero de incgnitas (n = 2)

2 condio: det A 0

det A = 1011

12 kk

k

k

Logo, o sistema normal para qualquer k real diferente de 1 e de 1.

36

2.6 Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma nica soluo dada por D

Dx ii , onde ni , 3, ,2 ,1 , D= detA

o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD o determinante obtido atravs da

substituio, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Exemplo: Resolver com o auxlio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas:

a)

332

72

yx

yx

Soluo:

Temos: m = n = 2 (1 condio) e condio) (2 082632

1 2

D

Portanto, como o sistema normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolv-lo.

1 Passo: Calcular yx DD e

- Substituindo, na matriz incompleta

32

1 2, a coluna

1c pela coluna formada pelos termos

independentes, encontramos:

2432133

1 7

xD

- - Substituindo, agora, 2c pela coluna dos termos independentes, encontramos:

814632

72yD

2 Passo: Encontrar x e y:

Assim:

18

8

38

24

D

Dy

D

Dx

y

x

Logo, (x, y) = (3, 1) a soluo do sistema dado.

37

b)

2222

9222

7222

11

1

zyx

zyx

zyx

ou

22.22.22

9222.2

7222

11

1

zyx

zyx

zyx

Soluo:

Da maneira como apresentado o sistema no linear. Assim, para torn-lo linear, fazemos as

substituies:

cba yx z2 e 2,2 , obtendo:

222

92

7

cba

cba

cba

Agora temos um sistema linear com 3 equaes e 3 incgnitas (m = n) e determinante da matriz

incompleta diferente de zero, veja:

01037412421

2

1

1

1

2

1

2 21

11 2

1 1 1

D

1 Passo: Calcular cD e , ba DD substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos

termos independentes:

406341821418142

2

1

1

2

9

7

2 22

11 9

1 1 7

aD

20153547182829

2

9

7

1

2

1

2 2 1

19 2

1 7 1

bD

1017728924187

2

1

1

1

2

1

2 21

9 1 2

7 1 1

cD

Portanto, por Cramer vem:

410

40

D

Da a 2

10

20

D

Db b 1

10

10

D

Dc c

Voltando a transformao feita anteriormente (afinal queremos os valores de x, y e z) temos:

38

222422 2 xa xxx

122222 1 yb yyy

022122 0 zc zzz

Logo, (x, y, z) = (2, 1, 0) a soluo do sistema dado.

c)

03

0 2

043

zyx

zyx

zyx

Soluo:

Temos m = n = 3 e 029643891

3

1-

4

1

2

3

1-3 1

11- 2

1 4 3

D

Portanto, como o sistema normal, apresentando uma nica soluo e, alm do mais, o sistema

homogneo, esta soluo nica ser a soluo trivial (0, 0, 0).

Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0).

39

2.7 Discusso de um Sistema Linear

Para discutir um sistema linear de n equaes e n incgnitas, calculamos o determinante D

da matriz incompleta. Assim, se

0D Sistema possvel e determinado (SPD), ou seja tem soluo nica.

0D Sistema pode ser possvel e indeterminado (SPI) (ter infinitas solues) ou impossvel (SI) (no ter soluo).

Observaes:

1) Se o 0D , o sistema ser SPD e portanto teremos uma nica soluo para o problema. 2) Se o 0D , sistema poder ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele SPI ou SI

teremos que encontrar todos os iD s para saber se o sistema possvel e indeterminado

ou impossvel. De que forma?

Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI

Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI.

Exemplos:

1)

623

432

3

zyx

zyx

zyx

Temos:

m = n = 3

03

2 13

11 2

1 11

D

Logo, o sistema possvel e determinado, apresentando soluo nica.

2)

0233

43 2

1 2

zyx

zyx

zyx

Temos:

m = n = 3

0

2-33

312

1 21

D

40

035

2-30

314

1 21

xD

Sendo D = 0 e 0xD , o sistema impossvel, no apresentando soluo.

3)

134

2 2

12 3

zyx

zyx

zyx

Temos:

m = n = 3

0

341

112

2 31

D

0

341

112

2 31

xD

0

311

12-2

2 1 1

yD

0

1-41

212

1 31

zD

Logo temos, D = 0, 0xD , 0yD , 0zD . Portanto, o sistema possvel e

indeterminado, apresentando infinitas solues.

41

2.8 Sistemas equivalentes

Dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo.

Exemplo: Sendo

832

3 1

yx

yxS e

52

3 2

yx

yxS

o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e nico. Logo, 21 e SS so equivalentes: . ~ 21 SS

2.8.1 Propriedades dos sistemas equivalentes

1) Trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente.

Exemplo:

Sendo:

Izyx

III zy

II - zx

S

III z y

II - zx

Izyx

S

)(12

)(2

)(3

e

)(2

)(3

)(12

21

temos, . ~ 21 SS

2) Multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmero k, k *R , obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Exemplo:

Dado

IIyx

IyxS

0

32 1 , multiplicando a equao (II) por 3, obtemos:

03 3

32

3)0 (

32 22

yx

yxS

yx

yxS

Assim, temos . ~ 21 SS

3) Adicionando a uma das equaes de um sistema o produto de outra equao desse mesmo

sistema por um nmero k, k *R , obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Exemplo:

Dado

IIyx

IyxS

1

42 1 , substituindo neste sistema a equao (II) pela soma da equao (I),

multiplicada por (-1), com a equao (II), obtemos:

-33y-

1

42

1

)1()42 ('

1

'

1

yx

yx

Syx

yxS

42

Logo:

33

42 2

y

yxS

Assim, , pois (x, y) = (2, 1) soluo de ambos os sistemas.

2.9 Sistemas escalonados

A tcnica de escalonar um sistema linear muito mais utilizada, pois com essa tcnica

podemos encontrar solues para sistemas que no tenham o mesmo nmero de equaes e

incgnitas (o que no permitido na Regra de Cramer). Alm disso, quando queremos resolver

sistemas lineares cujo nmero de equaes (e de incgnitas) excede trs, no conveniente utilizar

a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equaes e

quatro incgnitas requer o clculo de cinco determinantes de 4 ordem. Neste caso, usamos a

tcnica de escalonamento, que facilita a resoluo e a discusso de um sistema.

Dado um sistema linear:

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

S

332211

22323222121

11313212111

onde existe pelo menos um coeficiente no-nulo em cada equao, dizemos que S est escalonado

se o nmero de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente no-nulo aumenta de equao para

equao.

Exemplos:

32

6 3)1 1

y

yxS

-54z

2 32

9 z 4

)2 2 zy

yx

S

0z 4

8542)3 3

y

zyxS

73

422

1232

)4 4

t

tzy

tzyx

S

2.9.1 Procedimentos para escalonar um sistema

1) Fixamos como 1 equao uma das que possuam o coeficiente da 1 incgnita diferente de zero.

2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita das demais equaes.

3) Anulamos todos os coeficientes da 2 incgnita a partir da 3 equao. 4) Repetimos o processo com as demais incgnitas, at que o sistema se torne escalonado.

Exemplos:

43

1) Vamos escalonar o sistema

2z 2y- x

0 423x

5 z 2

zy

yx

1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao, aplicando as

propriedades:

Trocamos de posio a 1 e a 3 equaes:

5 z 2

0 423x

2z 2y- x

yx

zy

Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por (-3) com a 2 equao:

5 2

678

22

5 z 2

0423

3-)22 (

zyx

zy

zyx-

yx

zyx

zy-x


1 z 3

678

22

5 z 2

6- 78

2-)22(

y

zy

zyx-

yx

zy

zyx-

2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao:

Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por

8

3 com a 3 equao:

67 8

2 2

1 3

6)- 78(

22

8 26

813

83

z

zy

zyx-

zy

zy

zyx-

Agora, como o sistema est escalonado, podemos resolv-lo:

28

26

8

13 zz

Substituindo este valor em 678 zy , vem:

1886278 yyy

Substituindo, agora, 22 em 2 e1 zyxzy , vem:

44

22212 xx

Portanto, o sistema possvel e determinado, admitindo uma nica soluo que dada por: (x, y, z)

= (2, 1, 2).


22 3

12

32

z - yx

z yx

zy x

1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao, aplicando as

propriedades:


2 2z 3

5 5

32

2 2z 3

1 2

2-)32 (

yx

zy

zyx-

yx

zyx

zy-x


7- z 5

5 5

32

2 2z 3

5- 5

3-)3 2 (

y

zy

zyx-

yx

zy

zyx-


Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por 1 com a 3 equao:

2- 0

5 5

3 2

7- 5

15)- 5(

3 2

zy

zyx-

zy

zy

zyx-

Dessa forma fica escalonado. Como no existe valor real de z, tal que 20 z , o sistema impossvel e portanto no tem soluo.


322

1 22

6

t zy- x

tz yx

t zy x

1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao:


45

3- 2 2

13- 3 4

6

3- 2 2

1- 2 2

2-)6 (

tzyx

tzy

t z yx

tzyx

tzyx

t z yx


9- 3 0 3

13- 3 4

6

3- 2 2

13- 3 4

1- 6

tzy

tzy

t z yx

tzyx

tzy

t z yx


Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por 3 com a 3 equao:

30 612

13- 3 4

6

9- 3 0 3

3-13)- 3 4 (

6

tz

tzy

t z yx

tzy

tzy

t z yx

O sistema est escalonado. Entretanto, o nmero de equaes (m) menor que o nmero de

incgnitas (n). Assim, o sistema possvel e indeterminado, admitindo infinitas solues. A

diferena entre o nmero de incgnitas (n) e o nmero de equaes (m) de um sistema nessas

condies chamada grau de indeterminao (GI):

Para resolvermos um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

30 612

13- 3 4

6

tz

tzy

t z yx

Calcular o grau de indeterminao do sistema nessas condies:

GI = n m = 4 3 = 1

Como o grau de indeterminao 1, atribumos a uma das incgnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em funo desse valor.

Fazendo t e substituindo esse valor na 3 equao, obtemos:

2

5

12

6306301230612

zzzz

mnGI

46

Conhecidos z e t, substitumos esses valores na 2 equao 1334 tzy :

3

310131332101332

54

y

yyyy

Conhecidos z e t e y, substitumos esses valores na 1 equao 6 tzyx :

2

1

1212112122562262

53

x

xxxx

Assim, a soluo do sistema dada por:

,

2

5,3,

2

1S ,

sendo R .

Para cada valor que seja atribudo a , encontraremos uma qudrupla que soluo para o sistema.

OBS.: Se GI >1, ento daremos valores , , a todas as incgnitas livres (que no iniciam

equaes).

47

4 LISTA

1) Verifique se os sistemas abaixo so normais:

a)

4z2yx

5z2y3x2

1zyx

b)

19z6y6x

17z7y4x

6zy3x

c)

9y4x3

0zyx

8zy3x2

2) Determine os valores de kR, para que os sistemas sejam normais:

a)

0kzyx2

0z3kyx

0z2kyx

b)

k31y2x)1k(

k2y4x)1k(

c)

1z9y4xk

7z3y2kx

1zyx

2

3) *Resolva os seguintes sistemas lineares:

a)

4y3x2

5yx3 b)

0zyx2

5z4yx3

9z3y2x

c)

1

3x5

2y7

y3

x21

4) *Determine para quais valores de k o sistema

2kyx2

3y2x :

a) possvel e determinado; b) possvel e indeterminado; c) impossvel.

5) (UFPR) O sistema de equaes

QPzyx4

6zyx

10z3yx7

:

a) Impossvel, se P -1 e Q 8. b) Indeterminado, se P -1 e Q 8. c) Indeterminado, se P -1 e Q=8. d) Impossvel, se P=-1 e Q 8. e) Impossvel, se P -1 e Q=8.

6) *Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:

a)

2yx5

1y3x b)

0zyx4

62

zyx2

c)

8z3yx3

5z2y2x

9zy3x2

d)

6zy4x3

4z2y3x2

2zyx

e)

1

3x4

1y5

y2

x21 f)

34y3x5

3yx3

7y4x

7) *(Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de

refrigerante e uma poro de batatas fritas. O

segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de

refrigerante e 2 pores de batatas fritas.

Nesse local e nesse dia, a diferena entre o

preo de uma poro de batas fritas e o preo

de uma lata de refrigerante era de:

a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75

d)R$1,50 e)R$1,20

8) *(Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas de hortel e as demais de laranja. Se

a tera parte do dobro do nmero de balas de

hortel excede a metade do de laranjas em 4

unidades, ento nesse pacote h:

a) igual nmero de balas dos dois tipos b) duas balas de hortel a mais que de

laranja

c) 20 balas de hortel d) 26 balas de laranja e) duas balas de laranja a mais que de

hortel

9) *(UCDB-MT) O sistema

02572

06104

022

022

zyx

zyx

zyx

zyx

:

a) impossvel b) homogneo c) determinado d) indeterminado com uma varivel arbitrria. e) Indeterminado com duas variveis arbitrrias.

10) (Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma crche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma

48

doao de R$370,00. Esperava-se comprar

carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$3,00 e

bolas a R$3,50. Se o nmero de bolas deveria

ser igual ao nmero de bonecas e carrinhos

juntos, a soluo seria comprar:

a) 60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas b) 20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas c) 30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas d) 25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas

11) (Unificado- RJ) Para que valores de k existe

uma nica matriz

y

x, tal que

?0

0

1

21

y

x

k

k

a) k -1 b) k=-2

c) k=-2 ou k=1

d) k -2 e k 1 e) k 2 e k -1

12) (UF-AL) O sistema

1

32

ybx

yax, nas

variveis reais x e y, :

a) possvel e determinado, a, bR. b) possvel e indeterminado se a = 2b.

c) possvel e determinado se a 2b. a, bR. d) possvel e indeterminado se a = -2b. e) impossvel se a = -2b.

13) *(F. M. Tringulo Mineiro-MG) Em trs mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu

da seguinte forma:

Mesa Hambrguer Refrigerante Poro de

fritas

1 4 2 2

2 6 8 3

3 2 3 1

A conta da 1 mesa foi R$18,00 e da 2 mesa

R$30,00. Com esses dados:

a) possvel calcular a conta da 3 mesa e apenas o preo unitrio do refrigerante.

b) possvel calcular a conta da 3 mesa, mas nenhum dos preos unitrios dos trs

componentes do lanche.

c) possvel calcular a conta da 3 mesa e alm disso, saber exatamente os preos unitrios de

todos os componentes do lanche.

d) no possvel calcular a conta da 3 mesa, pois deveriam ser fornecidos os preos

unitrios dos componentes do lanche.

e) impossvel calcular a conta da 3 mesa e os preos unitrios dos componentes do lanche,

pois deve ter havido um erro na conta da 1 ou

da 2 mesa.

Respostas

1) a) Sim b) Sim c) No

2) a) S={kR | k2

111}

b) S={kR | k3

1 }

c) S={kR | k 2 e k 3} 3) a) S={(1, 2)} b) S={(2, -1, -3)}

c)S={(-4, -3)}

4) a) k 4 b) k R c) k = 4

5) alternativa d)

6) a) possvel e determinado; S=

14

3,

14

5

b)possvel e indeterminado;

S=

R p/ ,4 ,

4

4

c) possvel e determinado; S= 1 ,2,1 d)possvel e indeterminado;

S= R p/ ,4 ,52

e) possvel e determinado; S=

2 ,

2

3

f) sistema impossvel; S=

7) alternativa b)

8) alternativa a)

9) alternativa c)

10) alternativa e)

11) alternativa e)

12)alternativa e)

13) alternativa a)

49

LISTA EXTRA DE SISTEMAS LINEARES

1-) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.

a-)

12274

5432

432

zyx

zyx

zyx

b-)

13427

5423

432

xzy

zxy

zyx

c-)

12962

5642

432

zyx

zyx

zyx

d-)

11464573221342134

670213457322134

7866213421345732

zyx

zyx

zyx

e-)

16537

4375

0753

12753

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

f-)

0

5

4

2

zyx

yx

zy

zx

g-)

26

0222

12

yx

tzyx

tzyx

2-) Determine para que valores de m e n o sistema

nmzyx

zyx

zyx

3

42

132

seja:

a-) Indeterminado

b-) impossvel

Respostas

1-) a-) SI (0 = -1) b-) SPI S={(x, y, z) = ,103,172 }

c-) SI (0 = -3) d-) SPD S={(x, y, z) = (1, -1, 2)}

e-) SPD S={(x, y, z, w) = (1, -1, 0, 2)} f-) SI (0 = -11/2)

g-) S={(x, y, z, t) =

,

27

51,

27

410,

27

246}

2-) a-) m = 2 e n = 5

b-) m = 2 e n 5

IV - APLICAES DE SISTEMAS LINEARES

Exemplos

1) Trs irmos, Paula, Jlia e Andr, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligao realizada. As rrs contas

apresentaram ligaes para telefones fixos e mveis (celulares) e ligaes internacionais para

Buenos Aires, onde moram seus primos.

A tabela informa o tempo (em minutos) das ligaes que cada um efetuou e o valor

correspondente da conta, j descontado o preo da assinatura.

50

Fixo Mvel Internacional

(Buenos Aires)

Valor

Paula 10 min 6 min 2 min 12,20

Jlia 14 min 4 min 3 min 13,40

Andr 8 min 5 min 5 min 14,70 Vamos denominar x, y e z os preos do minuto de ligao para telefones fixos, para telefones mveis e

para Buenos Aires, respectivamente.

Desta forma,

A conta de Paula dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20

A conta de Jlia dada por: 14x + 4y + 3z = 13,40

A conta de Andr dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70 As trs equaes acima constituem um exemplo de aplicao de sistema linear.

2) (EU-RJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana:

Loja Produtos Preo unitrio

(R$)

Despesa (R$)

A Caneta 3,00 50,00

Lapiseira 5,00

B Caderno 4,00 44,00

Corretor 2,00

Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, alm do maior nmero possvel de

lapiseiras, o nmero de corretores comprados foi igual a:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14

3) (PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre trs tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00,

respectivamente.

Sejam as matrizes:

z

y

x

XeA

012

501

430

tais que:

os elementos de cada linha de A correspondem s quantidades dos trs tipos de camisas compradas por Alfeu (1 linha), Bento (2 linha) e Cntia (3 linha);

os elementos de cada coluna de A Correspondem s quantidades de um mesmo tipo de camisa;

os elementos de X correspondem aos preos unitrios, em reais, de cada tipo de camisa. Nessas condies, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa :

a) R$53,00 b) R$55,00 c) R$57,00 d) R$62,00 e) R$65,00

4) (Vunesp-SP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuda entre as crianas. Se cada criana receber trs brinquedos, sobraro 70 brinquedos para serem

distribudos; mas, para que cada criana possa receber cinco brinquedos, sero necessrios mais

40 brinquedos. O nmero de crianas do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato

recebeu so, respectivamente:

a) 50 e 290 b) 55 e 235 c) 55 e 220 d) 60 e 250 e) 65 e 265

51

5) (U.F. Uberlndia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois filhos Joo e Jos. Essa diviso seria diteramente proporcional produo que cada filho

conseguisse em uma plantao de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que

Jos produziu 250 kg a mais que Joo. Como foi dividida a Fazenda?

6) Ao ser indagado sobre o valor do pedgio, um caixa respondeu: Quando passaram 2 carros de passeio e 3 nibus, arrecadou-se a quantia de R$26,00; quando passaram 2 nibus e 5

caminhes, a quantia arrecadada foi de R$47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4

caminhes, arrecadou-se a quantia de R$52,00. Qual foi o valor do pedgio para cada tipo de veculo citado?

Documents

Apostila de Matrizes e Determinantes