INTRODUO Muitas vezes para designar com clareza certas situaes,necessrioumgrupoordenadode nmero e colunas (j), formando que chamamos de matriz. Observe a seguinte situao: As temperaturas mdias de quatro cidades em relaoaosmesesdejaneiro,fevereiro, maro e abril. Janeiro Fevereiro MaroAbril Vitorino Freire 30283129 Bacabal 31323328 Santa Ins 33312934 So Lus 25263028 QualatemperaturamdiadeSantaInsem maro? ________________________________________ QualatemperaturamdiadeBacabalem fevereiro? ________________________________________ QualatemperaturamdiadeVitorinoFreire em abril? ________________________________________ Qual a cidade e o ms na posio a43? ________________________________________ Qual a cidade e o ms na posio a34? ________________________________________ DEFINIO Sejam M e N dois nmeros inteiros maiores ou iguaisa1.Denomina-sematrizumatabela retangular formada m n nmeros reais, dispostos emMlinhaseNcolunas.Cadaelementoocupa umaposioqueindicadaparaaij,ondeia linhaejacolunaqueoelementoocupana matriz. 2 Notao: A = (((((

mn 2 m 1 mn 2 22 21n 1 12 11a a aa a aa a a REPRESENTAO DE UMA MATRIZ As matrizes so indicadas de trs formas: usando-separnteses(),colchetes[]oubarras duplas || ||. Ex.: ||.|

\|d cb a ou ((

d cb a ou d cb a REPRESENTAO GENRICA Pararepresentaroelementousamosuma letracom dois ndices: o 1 indicaque linha (i) e o 2 que coluna (j) o elemento ocupa. O elemento genrico indicado por aij. A = ((((

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a ou a(ij)3x3 REPRESENTAO SIMPLIFICADA Podemos escrever A = (aij)mxn D = ((

23 22 2113 12 11a a aa a a D = (dij)2x3 MATRIZES PARTICULARES MatrizLinha:amatrizformadaporuma nica linha. Ex.: A =| | c b a(matriz linha 1 x 3) MatrizColuna:amatrizformadaporuma nica coluna. Ex.:B=((((

cba (matriz coluna 3 x 1) MatrizQuadrada:amatrizemqueo nmerodelinhasigualaonmerode colunas(m=4).Omoundenominada ordem da matriz. -___________________________________ -___________________________________ -___________________________________ MatrizDiagonal:todamatrizquadradaem queoselementosnopertencentes dioagonal principal so iguais a 0 (zero). A = ((((

2 0 00 4 00 0 1 Genericamente: A = (aij) = mxn; aij = 0, se i = j. MatrizIdentidade(In):umtipodematriz diagonalemquetodososelementosda diagonal principal so iguais a 1. I2 = ((

1 00 1I3 = ((((

1 0 00 1 00 0 1 Matriz Nula (0mxn): aquela cujos elementos so todos iguais a zero. A = (aij)mxn tal que aij = 0 1 s i s m e 1 s j s n Ex.: Amatriznuladeordem2indicadapor ((

0 00 0. MatrizTransposta(At):transporumamatriz significatransformartudoquelinhaem coluna e vice-versa. At = (aij)mxn tal que aij = aji PROPRIEDADES 3 I.A = B At = Bt II.(At)t = A III.(A + B)t = At + Bt IV.(A B)t = Bt At Matriz Simtrica: uma matriz quadradade ordem n. simtricaquando At = A. MatrizOposta:denominamosmatrizoposta deA = (aij)mxn a matriz obtidaa partir de A. Trocando-seosinaldetodososseus elementos. Notao: A MatrizAnti-Simtrica:umamatriz quadradadeordemn.anti-simtrica quando At = A. IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizesA e B do mesmo tipo m x n so iguais se, e somente se, todos os elementosque ocupam a mesma posio so idnticos. Ex.:Se A= ((

b 10 2,B= ((

3 1c 2e A=B,ento os valores de b e c so ... OPERAO COM MATRIZES Adio de Matrizes DadasasmatrizesA=(aij)mxneB=(bij)mxn, chamamosdesomadasmatrizesAeBamatriz C = (cij)mxn tal que cij = aij + bij para todo 1 s i s m e todo 1 s j s n. Ex.: 1. ((

+((

2 01 27 04 1= 1. ((

+((

2 1 11 1 31 1 00 3 2= Propriedades Se A, B e C so matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes propriedades: I.(A + B) + C = A + (B + C) associativa II.A + B = B + A comutativa III.A + 0 = 0 + A = A elemento neutro IV.A + (A) = (A) + A = 0 elemento oposto Onde 0 a matriz nula m x n Subtrao de Matrizes DadasasmatrizesA=(aij)mxneB=(bij)mxn, chamamos de diferena entre as matrizes A e B a soma de A com a oposta de B. Multiplicaodeumnmerorealporuma matriz DadoumnmerorealxeumamatrizAdo tipo m x n, o produto de x por A uma matriz do tipomxn,obtidapelamultiplicaodecada elemento de A por x. Notao: B = x A bij = k aij Ex.:((

=((

=((

0 321 60 3 ) 1 ( 37 3 2 30 17 23 Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y nmeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: I.x (y A) = (x y) A (associativa) II.x(A+B)=x A+xB(distributivadeum nmero real) III.(x+y)A=xA+yA(distributivaem relao soma de nmeros reais) IV.x A = A, para x = 1 (elemento neutro) Multiplicao de Matrizes 4 O produtode uma matrizpor outra nopode serdeterminadoatravsdoprodutodeseus respectivoselementos.Especificamentenessa operao, no podemos proceder do mesmo modo comofizemosatagora,jqueamultiplicao dematrizesnoanlogamultiplicaode nmeros reais. Assim o produto das matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn a matriz C = (cij)mxn onde cada elemento Cijobtidodasomadosprodutosdoselementos correspondentesdai-simalinhadeApelos elementos da j-sima coluna de B. Nota : importante saber: 1._____________________________________ 2._____________________________________ 3._____________________________________ 4._____________________________________ Propriedades da Multiplicao I.(A B) C = A (B C) associativa II.A(B+C)=AB+ACdistributiva esquerda III.(B+C)A=BA+CAdistributiva direita IV.A In = In A = A elemento neutro Propriedades Importantes I.SendoOmxnumamatriznula, AB=Omxnno implica, necessariamente, que A = Omxn ou B = Omxn. II.A B = B A em geral no vale a comutativa III.Sendo A B = A C B = C em geral no vale a propriedade do cancelamento. Vejamos como multiplicar duas matrizes: 1. ((((

((

2 14 00 12 0 01 3 2= 2.Dada a matriz A = ((((

1 0 00 2 10 1 2, calcule A2. EQUAO MATRICIAL toda equao cuja incgnita uma matriz. 1.Considerando as matrizes A = ((

2 4 32 0 5 eB = ((

1 0 24 3 1, determine a matriz X tal que A + X = B. 2.DeterminaramatrizXtalqueXA=B,sendo A = ((

0 21 1 e B = ((

0 62 4. Matriz Inversa Considereumamatrizquadrada A,deordem n. Dizemos que A inversvel se existir a matriz B tal que: A B = B A = In A matriz inversa de A ser indicada porA1. Ento: A A1 = A1 A = In TOK!!! importante saber!!! p x m p x n n x mC B A = 5 -Uma matriz s ser inversvel se, e somente se, o determinante for diferente de 0 (zero). -Se o determinante da matriz de origemfor igual a 0 (zero), esta no admite inversa, e portanto ser dita singular. 1.SejamA=(aij)eB=(bij)matrizesde terceiraordemtaisqueaij = >stj i se , j logj i se ,2isen2e bij= j i se , j . ij i se , j ij i se , j i 22.Dessemodoovalorda matriz M tal que M = B-2At+3I3 , onde I3 indica a matrizidentidadee At indicaatranspostadeA, : a. ((((

1 1 00 0 11 1 1 b. ((((

6 4 56 2 33 2 0 c. ((((

9 4 34 3 14 0 1 d. ((((

6 4 50 0 31 2 1 e. ((((

9 4 36 3 11 2 1 2.Pdua,TagorieAntniosaramparatomar Chope,debarembar,tantoSbadoquantoDomingo. Asmatrizesaseguirresumemquantoschopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: S = ((((

5 2 31 3 24 1 4 D= ((((

3 1 61 3 23 5 5 Sendo que S refere-se s despesas de Sbado eD sdeDomingo.Cadaelementoaij nosdo nmerodechopesqueipagouparaj,considere Pduaonmero1,Tagorionmero2e Antnioo nmero 3 (aij representa oelemento da linhai e colunajdecadamatriz).Dessemodopode-se afirmar corretamente que: a.DurantetodoofimdesemanaPduabebeu 2 chopes a mais que Antnio; b.DurantetodoofimdesemanaTagorificou devendo 5 chopes para Pdua; c.Durantetodoofimdesemanantniofoi quem bebeu mais chopes; d.Durante todo o fim de semana Antnio pagou 5 chopes para Tagori e.DurantetodoofimdesemanaPduabebeu 13chopespagospelosamigos(Tagorie Antnio) 3.UmamatrizAsimtricase,esomentese, for igual sua transposta, isto , A = At.Seja A =((((

++8 y x x 2y 2 x 4 93 x x 52. SeA simtrica, o valor do log6(y-2x)4: a.4 b.2 c.0 d.2 e.4 6 4.Se uma matriz quadrada A tal queAt = A, elachamadadematrizanti-simtrica.Sabe-se que A anti-simtrica e: A = ((((

++8 c 2 c ba 2 b aa a a 42313 12 Ostermosa12,a13ea23deA,valem, respectivamente: a.4, 2 e 2 b.4, 2 e 4 c.4, 2 e 4 d.2, 4 e -2 e.2, 4 e -2 5.Sejam A, B e C, matrizes de tipos 4 x n, p x 3 e2xr,respectivamente.Paraquesejapossvel determinar uma matriz X, tal que X = A (B + C), devemos ter: a.n = p = 3 e r = 2 b.n = r = 3 e r = 4 c.n = p = 4 e r = 3 d.n = r = 4 e r = 3 e.n = p = 2 e r = 3 6.(UEMA) Considere a matriz A = ((

w yz x, onde x = 0 e y, z so nmeros reais positivos. Se A At = ((

13 22 1. Ento podemos afirmar que 2y z + w igual a: a.2 b.4 c.8 d.9 e.7 7.ConsidereasmatrizesA= ((

98745657 9874565698745656 98745656 e B = ((

1 11 1. Seja A2 = A A e B2 = B B. Determine a matriz C = A2 B2 (A + B) (A B). a. ((

0 11 0 b. ((

0 11 0 c. ((

0 11 0 d. ((

0 12 0 e. ((

0 21 0 8.Sejam as matrizes = == =iij 4 x 3 ijjij 3 x 4 ijj b , ) b ( Bi a , ) a ( A. Se C = AB,entoovalordoelementoda2linhae2 coluna da matriz C : a.3 b.14 c.39 d.84 e.258 9.Seja A = ((

1 01 1. Se An = A A ... A.onde An

denotaoprodutode Apor Anvezes.Ovalorde =1001 nnA : a. ((

1 100100 1 b. ((

100 0550 100 c. ((

100 05050 100 d. ((

100 00 100 e. ((

100 0100 5050 10.ConsidereasmatrizesA= ((((

0 2 11 0 04 3 4eB =((

8 3 113 22 16.SendoXA=Bpodeseafirmar que: a.OselementosdaprimeiralinhadeXesto em Progresso Aritmtica; b.AsomadoselementosdeXqueocupam posies tais que a linhai igual a coluna j 10; c.OselementosdasegundalinhadeXesto em Progresso Geomtrica; d.A soma dos elementos da matriz X 17; e.X uma matriz de terceira ordem. 11.ConsidereA,BeI,matrizesquadradas,de mesma ordem e com elementos arbitrrios. Se I amatrizidentidadeeBainversadeA,ento (2A + 3B) (A B) igual a: 7 a.2A2 + 2I + 3B2 b.2A + I 3B2 c.2A2 I 3B2 d.2A2 2I 3B2 e.2a2 + 3I 3B2 12.ConsidereasmatrizesinversveisA,BeC. Pode-seafirmarqueasoluodaequao matricial(At.Bt)tXC=(CtBt)t,ondeo smbolotusadoparaindicaratranspostada matriz : a.X = (CtBt) b.X = At c.X = AB-1 d.X = B-1 e.X = A-1 13.Seja a matriz:((((

=2 0 11 2 22 1 1A . Se x, y e z so oselementosdasegundacolunadamatrizA-1, podemos afirmar que a soma 2x + 2y + z igual a: a.4 b.2 c.1 d.3 e.0 14.SejamA,BeCmatrizesreaisquadradas quaisquerdeordemn>2eOnamatriznula tambmdeordemn.Analiseasafirmaesque seguem: I.AB = BA II.Se AB = CA, ento B = C III.Se A2 = On, ento A = On IV.(AB)C = A(BC) V.(A B)2 = A2 2 AB + B2 Arespeitodessasafirmaes,qualdas alternativas abaixo est correta? a.apenas a I falsa b.II e III so verdadeiras c.apenas V verdadeira d.apenas IV verdadeira e.III e IV so verdadeiras EXERCCIOS PROPOSTOS 15.Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) esto assim definidas: = == =j i se , 0 aj i se , 1 aijij = + == + =4 j i se , 0 b4 j i se , 1 bijij onde 1 s i, j s 3, ento a matriz A + B : a. ((((

1 0 00 1 00 0 1 b. ((((

0 0 10 1 01 0 0 c. ((((

1 0 10 1 01 0 1 d. ((((

1 0 10 2 01 0 1 e. ((((

0 1 01 1 00 1 1 16.(UFMA)SejamMeBmatrizesquadradasde ordemn tais que M MT = B, onde MT a matriz transportadeMeInamatrizidentidadede ordem n. Podemos afirmar que: a.B = 3 In b.B = 2 In c.B simtrica d.B anti-simtrica e.B = In 17.(UFMA)Otraodeumamatrizquadrada definido como sendo a soma dos elementos de sua diagonal principal. Seja A uma matriz quadrada de ordem2,simtricaesingular(ouseja,com determinante nulo). Dado que a soma de todos os elementos de A igual a 5 e que o produto desses elementos igual a zero, segue-se que o trao de A igual a: a.1 b.2 c.5 d.4 e.3 18.Aigualdadematricial ((

+=((

x 2 230 6 xx 11 x x22 2, em que x e IR, verdadeira se, e somente se, x3 igual a: a.64 b.64 c.0 d.64 ou 64 e.64, 0 ou 64 8 19.Sejam as matrizesA = ((((

811log 27a16132 e B =((

c a9 23b. Para que elas sejam iguais deve ter: a.a = 3 e b = c = -4 b.a = 3 e b = c = 4 c.a = 3 e b = c = 4 d.a = 3 e b = c = 4 e.a = 3 e b = c2 = 4 20.SendoasmatrizesA= ||.|

\| 1 6 34 0 1,B= ||.|

\| 10 4 01 2 8eC= ||.|

\| 6 2 47 8 6,amatriz C23B21A 2 + igual a: a. ||.|

\| 6 17 03 13 11 b. ||.|

\|12 17 019 18 17 c. ||.|

\| 6 11 1219 13 11 d. ||.|

\| 6 11 123 18 17 e. ||.|

\|12 0 186 11 7 21.Resolvendo-seaequaomatricial ((

=((

((

105yx3 42 1,encontramosparaxey valores respectivamente iguais a: a.2 e 1 b.1 e 2 c.1 e 2 d.1 e 2 e.2 e 1 22.SejaamatrizA=(aij)3x3,naqualaij= < >=j i se 1j i se 1j i se 0. Ento A At + I3, resulta na matriz: a. |||.|

\|1 0 00 1 00 0 1 b. |||.|

\| 0 2 22 0 22 2 0 c. |||.|

\| 1 2 22 1 22 2 1 d. |||.|

\| 2 1 01 0 22 2 1 e. |||.|

\|1 0 00 1 00 0 1 23.Umamatriznxnchamadadequadrado mgicoquandoasomadoselementosdecada linha , de cada coluna, da diagonal principal e da outra diagonal igual.Se a matriz 4 x 4 dada por (((((

u t s rd c 8 7b 6 5 4a 3 2 1umquadradomgico,ento s r b au d t c+ + ++ + + igual a: a. 83b. 327c. 32 d. 165e.n.d.a 24.ConsidereA= ||.|

\|1 00 1.Ento,podemos concluir que: a.A2004 = I, onde I a matriz identidade 2x2 b.A2004 = A c.A2005 = A d.A2005 = 0 e. impossvel saber 25.SeA= ((((

8 8 76 5 43 2 1eB= ((((

1 11 22 1,entoo maior elemento de A B : 9 a.19 b.20 c.30 d.31 e.32 26.Sendo A uma matriz quadrada, definimos An = A A ... A. No caso de A ser a matriz ((

0 11 0, correto afirmar que a soma A + A2 + A3 + A4 + ... + A39 + A40 igual a matriz: a. ((

20 2020 20 b. ((

20 00 20 c. ((

40 4040 40 d. ((

0 4040 0 e. ((

0 100 10 27.Se ||||.|

\|410p31umamatrizinversadamatriz ||.|

\|q 01 3 ento p + q igual a:a. 1243 b. 311 c. 415 d. 623 e. 1247 28.Diz-sequeumamatrizquadradasimtrica seelaforigualsuamatriztransposta.Nessas condies,amatriz ((((

++ 2 y 2 0y 2 1 1 x4 x 1 22 simtrica, se e somente se: a.x = y = 2 b.x = y = 2 c.x = 2 e y = 2 d.x = 1 e y = 2 e.x = 2 e y = 1 29.(UEMA) Considere as matrizes A = ||.|

\|1 2 11 0 1 e B = ||.|

\| 3 8 32 4 2. A inversa da matriz X tal que XA = B : a. ||.|

\| 0211 2 b. ||.|

\|0 10 2 c. ||.|

\|2112 0 d. ||.|

\|2100 0 e. |||.|

\|1 1121 30.SejaB= ((

b 00 a,a=0,b=0,umamatriz que satisfaz a equao B1 A + 3 A = ((

0 59 0, em queA= ((

0 23 0.Asomadoselementosda diagonal principal de B : a. 31 b.1 c. 611d. 613e. 619 31.A inversa da matriz A = |||.|

\|4 3 20 1 01 0 1 a matriz A1 = |||.|

\| 1 3 20 2 01 x 421. Ento o valor de x : a.1 b.0 c.1 d.3 10 e.2 32.Considere as seguintes matrizes: A = ((((

2 0 00 1 00 1 1, B = ((((

0 1 11 1 00 0 1 e X = ((((

zyx. Se A1 BX = 2X, podemos afirmar que: a.x + y + z = 0 b.x + y + z = 1 c.x + y + z = 2 d.x + y + z = 3 e.x + y + z = 4 33.Uma matriz quadrada A diz-se simtricase A =At.Assim,seamatrizA= ((((

2 3 41 z 0 xy 2 1 2 simtrica, entox + y + z igual a: a.2 b.1 c.1 d.3 e.5 34.ConsidereamatrizA= ||.|

\|1 33 1. Determine A1998. GABARITO 16.A 17.E 18.D 19.A 20.C 21.D 22.A 23.E 24.C 25.D 26.C 27.A 28.C 29.C 30.a) (((

1212 1, b) (((

52510 5 31.21998 I2 32.A INTRODUO Todamatrizquadradatem,associadoaela, um nmero chamado de determinante da matriz, obtidoapartirdeoperaesqueenvolvemtodos os elementos da matriz. Osdeterminantessousados,porexemplo, para resolver sistemas como o seguinte, chamado desistemalinear3X3(detrsequaes,com trs incgnitas): = += + = + +0 z 2 y x 41 z y 5 x 34 z y 2 x 11 Aqui,vamosestudarosdeterminantes (clculo,propriedades,etc.)enocaptulo seguinte,comoauxliodosdeterminantes, faremos o estudo dos sistemas lineares. Determinante de matriz quadrada de ordem 1 Seja a matriz quadrada de ordem 1 A = [a11]. Pordefinio, o determinantede A igual ao nmero a11. Porexemplo,dadaasmatrizesA=[4]eB= [2], escrevemos det A =4s e det B =2, det A+ det B = 4 + (2) = 2 Determinante de matriz quadrada de ordem 2 SeAumamatrizquadradadeordem2, calculamoseudeterminantefazendooproduto doselementosdadiagonalprincipal,menoso produto dos elementos da diagonal secundria. Dada a matriz A = ((

22 2112 11a aa a, indicamos o seu determinante assim: Det A = a11 a22 a12 a21 ou 22 2112 11a aa a = a11 a22 a12 a21 Ex: Determinante de matriz quadrada de ordem n Dadaumamatrizquadradadeordemn, possvelcalcularseudeterminanteusando determinantes de matrizes de ordem n - 1. Assim, a partir dos determinantes de ordem 2, calculamososdeordem3;comosdeordem3, calculamos os de ordem 4; e assim por diante. Paraisso,vamosantesconheceralgumas definies. Menor complementar Sendo A uma matriz quadrada de ordem n > 2, denomina-semenorcomplementardeApelo elemento aij o determinante, Dij associado matriz quadrada que se obtm de A ao se suprimir a linha e a coluna que contm o elemento aij considerado. Esse determinante indicado por Dij Observe: ||||||.|

\|=nn 3 n 2 n 1 nn 3 33 32 31n 2 23 22 21n 13 12 11nxna ... a a aa ... a a aa ... a a aa ... a a aA O menor complementar de A pelo elemento a23 o nmero que indicamos assim: nn 3 n 2 n 1 nn 3 33 32 31n 2 23 22 21n 13 12 1123a ... a a aa ... a a aa ... a a aa ... a a aD = Cofator Sendo A uma matriz quadrada de ordem n > 2, determina-secofatordoelementoaijdeAo nmerorealAij=(s1)i+j.Dij,emqueDijo menor complementar de A pelo elemento aij. Definio de laplace Odeterminanteassociadoaumamatriz quadradaAdeordemn>2onmeroquese obtmpelasomadosprodutosdoselementosde umalinha(oudeumacoluna)qualquerpelos respectivos cofatores. Ex: PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Usando a definio de Laplace, medida que aumentaaordemdamatriz,maiscomplicadose tornaoclculododeterminante.Porexemplo, paracalcularumdeterminantedeordem5, preciso calcular cinco determinantes de ordem 4. O estudo das propriedades dos determinantes facilitar,emmuitoscasos,oclculodos determinantes. 12 1 Propriedade Se todos os elementos dema linha ou coluna deumamatrizquadradaMforemiguaisazero, seu determinante ser nulo, isto , det M = 0. Parademonstraressapropriedade,vamos considerarumamatrizgenricaA,deordemn, com a 2a coluna formada s de zeros. Usando a definio de Laplace, pela coluna de zero temos: det A = 0 a12 + 0 a22 + 0 a32 + ... + an2 = 0 Ex.: Oselementosde1aeda3alinhasso proporcionais: det A = aekc + fbka cdkb ceka bdkc afkb = 0 2 Propriedade Seoselementosdeduasfilasparalelasde umamatrizquadradaAforemiguais,seu determinante ser nulo, isto det A = 0. Ex.: 3 Propriedade SeumamatrizApossuifilasparalelas proporcionais,seudeterminantesernulo,isto, det A = 0 Ex.: 4 Propriedade Setodososelementosdeumalinha(ou coluna) de uma matriz quadrada so multiplicados porummesmonmerorealk,entoseu determinante fica multiplicado por k. Observe as matrizesA e B, de ordem n; B foi obtido,apartirdeA,multiplicandoportodosos elementos da 2 linha por k. nn 3 n 2 n 1 nn 3 33 32 31n 2 23 22 21n 13 12 11a ... a a aa ... a a aa ... a a aa ... a a aA = nn 3 n 2 n 1 nn 3 33 32 31n 2 23 22 21n 13 12 11a ... a a aa ... a a aka ... ka ka kaa ... a a aB = Demonstrao: UsandoadefiniodeLaplace,pelasegunda linha temos: Det A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 + ... a2n A2n Det B = ka21 A21 + ka22 A22 + ka23 A23 + ... ka2n A2n DetC=k(a21 A21+a22 A22+a23 A23+...a2n A2n) = k det A Veja como indicamos essa propriedade para o determinante de uma matriz de ordem 3. i h gf e dkc kb ka = i h gf e dc b ak , como k e IR 5 Propriedade SemamatrizquadradaMdeordemn multiplicadaporumnmerorealk,oseu determinante fica multiplicado por kn, isto : det (kMn) = kn. det Mn Observequeessapropriedadeuma aplicao da propriedade anterior. Quando multiplicamos a matrizM por k, todos os elementos de N so multiplicados por k. Assim, aomultiplicamosumalinha(oucoluna),o determinantedeMficamultiplicadopork;ao multiplicarmosduaslinhas,eleficamultiplicado porkkouk2;aomultiplicarmosasnlinhas,o determinante fica multiplicado por kn. Ex.: 13 6 Propriedade Vamos demonstrar para as matrizes de ordem 2 e de ordem 3. 1. ((

=d cb aA((

=d bc aAt ttA det A detbc ad ) a det(cb ad A det=)` = = 2. ((((

=i h gf e dc b aA((((

=i f ch e bg d aAt ttA det A detafh bdi cge cdh bfg aei ) A det(afh bdi cge cdh bfg aei A det=)` + + = + + = 7 Propriedade Setrocarmosdeposioentresiduaslinhas (ouduascolunas)deumamatrizquadradaM,o determinantedanovamatrizobtidaopostodo determinante da matriz anterior. Vejaademonstraoparaamatrizdeordem 3. ((((

=i f ch e bg d aAdet A = aei + cdh + bfg ceg bdi afh Trocando,porexemplo,aposioda1e2 colunas, obtemos: ((((

=i c fh b eg a dB detB=bdi+afh+cegbfg aei cdh Comparando: det A = det B 8 Propriedade Odeterminantedeumamatriztriangular igualaoprodutodoselementosdadiagonal principal. Ex.: 9 Propriedade SendoAeBduasmatrizesquadradasde mesmaordemeABamatriz-produto,entaodet (AB). (det A) (det B) (teorema de Binat) Vamosdemonstraressapropriedadepara matrizes de ordem 2. ((

=d cb aA ((

=w zy xB ((

=dw cy dz cxbw ay bz axAB det (AB) = (ax + bz)(cy + dw) (cx + dz)(ay + bw) =acxy+adxw+bcyz+bdzwacxybcxw adyz hdzw det A det B = (ad bc)(xw yz) = (adxw + bcyz adyz bcxw) 10 Propriedade SejaAumamatrizquadrada.Se multiplicarmostodososelementosdeumalinha (oucoluna)pelomesmonmeroesomarmosos resultadosaoselementoscorrespondentesde outra linha (ou coluna), formando a matriz B, ento det A = det B (teorema de Jacobi) Ex.: REGRA DE CHI Um importante aplicao da 10 propriedade permitidooclculodedeterminantespeloquese 14 chamadebaixaordem,queconsisteem descobrir o determinante de uma matriz de ordem natravsdodeterminantedeumamatrizde ordem menor q n. No exemplo abaixo, queremosque os demais elementosdalinhaa22=1fiquemnulas (escolheremos a22 porque esse elemento igual a 1 e j tem um zero em sua linha). Ex.: Uma importante aplicao dos determinantes Vimosque,dadaumamatrizquadradaAde ordemn,possvelsaberseexisteounoa matriz A1, inversa de A, verificando se det A = 0. Det A = 0 In A A AA | A1 1 1= = - VeremosagoraquepossveldescobrirA1, quandoexiste,usandodetAealgunsconceitos que vem a seguir: Matriz dos cofatores Seja a matriz quadrada A = (aij) de ordem n. Denomina-sematrizdoscofatoresdeA (indica-seA)amatrizqueseobtmsubstituindo cadaelementodeaijdeApeloseurespectivo cofator Aij. Matriz adjunta ConsiderandoamatrizquadradaAdeordem n,denomina-sematrizadjuntade A(indica-seA ) amatriztranspostadamatrizdoscofatoresdeA, isto : A = (A)t Determinao da matriz inversa Vimosqueamatrizinversadeumamatriz quadradadeordemn,quandoexiste,amatriz A1 tal que AA1 = A1 A = In. VimostambmqueA1existesomente quando A = 0. Veremosagoraque,quandoexisteA1= AA det1 , em queA a matriz de A. 1:.(FEI-SP)Asfacesdeumcuboforam numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubofoiregistradaumamatrizdeordem 2, com elementos definidos por: aij= == +j i se , jj i se f, 2iemquefovalor associado face correspondente: Qualovalordodeterminantedamatriz registrada na face 5? a)63 b)61 c)60 15 d)6 e)0 2:.(UFMA)ConsidereamatrizA=(aij)3x3, definidapor < = +>=j i se , jj i se , j ij i se i ,aijesejaD= det(A). Ento o valor de|.|

\|tD2sen : a) 23 b) 21 c) 22d) 1 e) 0 3:.( UFPA )O valor do determinante da matrizA = (((((

1 4 0 31 0 2 10 3 2 10 0 2 0 igual a: a)4 b)3 c)1 d)2 e)3 4:.(ITA-SP)Sejam A,B,Cmatrizesreaisde3 ordem, satisfazendo as seguintes relaes: A B = C1, B = 2 A. Se o determinante de C 32,qualovalordomdulododeterminante de At? a) 1/16 b) 1/8 c)1/4 d) 8 e) 4 5:.(UEMA)SejaAumamatrizquadradade ordem5cujodeterminanteiguala8. ConsidereumamatrizBobtidadamatrizA, dividindo-sea1colunapor2ea5linha por 4. O determinante de 2B igual a: a) 128 b) 256 c)64 d) 40 e) 32 6:.(Unesp-SP)Calculeovalork,sendokeIR em = = k 2 y zk x yafimdeque 961 x 2 z1 y 2 y1 x 2 x222=. a)1 b)2 c)5 d)2 e)3 7:.(UFMA)SejaAumamatrizquadradade ordemn>3,cujodeterminanteiguala2. Seja Li a linha de ordem i da matriz A. Se na matrizAsubstituirmosL3por4L35L2, obtemosumamatrizB.Calculeo determinante de B. a)10 b)2 c)8 d)2 e)13 8:.DadasasmatrizesAeB (((((

=4 0 0 01 3 0 04 2 2 03 1 5 1Ae (((((

=2 3 1 20 1 2 10 0 4 30 0 0 1B . O valor do determinante de A B : a)-192 b) 32 c) -16 d) 0 e) n.d.a 9:.(UFMA)Seja AeBduasmatrizesquadradas deordem3.Sabendoquedet A=0eque5 AB=4A,podemosafirmarqueodet(5B) igual a: a) 64 b) 64A det c) 64A det 5 d) 5A det 64 e) 564 16 10:. Calcularodeterminante r 1 1 1 1 11 p 1 1 1 11 1 n 1 1 11 1 1 m 1 11 1 1 1 1++++ EXERCCIOS DE FIXAO 11:. Omaiorvalorrealdextalque 0x 1 8 08 x l og x 10 x 0 x0 2 0 02=: a)8 b)0 c)1 d)8 e)16 12:. (Ucsal-BA)Odeterminantedainversada matrizA=(aij)3x3emqueaij= >s j i se ijj i se j i, 2,: a) 485 13:. ( UFMA) Considere a equao:det| | | | ((((

2 2 2) x ( F x 4 ) x ( G) x ( F x 2 ) x ( G1 1 1= 0 ondeF(x)=23 2x1 x x x + +eG(x)=x1 x2, comxeIR,x=0edetodeterminanteda matrizassociada.Sobreasrazesreais dessa equao, podemos dizer que: a) duas delas so negativas b) uma delas igual a 1 c)uma delas um nmero par d) uma delas igual a 5 e) no existe raiz real 14:. (ITA-SP)SejaAeM3x3talquedetA=0. Considere as afirmaes: I.ExisteXeM3x1nonulatalqueAX nula. II.ParatodoYeM3x1,existeXeM3x1tal que AX = Y. III.SabendoqueA ((((

=((((

215001,entoa primeiralinhadatranspostadeA | | 2 1 5 . Temos que: a)Todas so falsas b)Apenas II falsa c)Todas so verdadeiras d)Apenas I e III so verdadeiras e)n.d.a 15:. O valor de 4 3 2 13 3 2 12 2 2 11 1 1 1 : a)2 b)1 c)0 d)1 e)2 16:. Osmbolodet(M)indicaodeterminantede umamatrizM.SeAeBsomatrizes inversveisdeordem2,entoaalternativa falsa : a)det (AB) = det (BA) b)det (5A) = 25 det A c)det B1 = B det1 d)det A = 0 e)det (3B) = 3 det B 17:. (UFMA)SejaAumamatrizquadradade ordem 4 tal que det A = 0 e A2 3A = 0, onde 0 a matriz nula de ordem 4. Ento: a) det A = 3 b) det A = 9 c) det A = 81 d) det A = 27 e) det A = 9 18:. (UFMA)Considereamatriz ((((

=1 1 1z t xz y xA , onde x, y, t e z so nmero reais e det(A) = 2. 17 Nessascondies,ovalorde ((((

3 3 30 t y 0z y xdet: a) 27 b)6 c)27 d)3 e) 6 19:. Calculeodeterminanteabaixoaplicandoa regra de Chi. 3 1 2 46 5 3 03 1 2 40 3 2 1