Definio de MatrizesMatriztabela de elementos dispostos em linhas e colunasAmxn =a a aa a aa a annm m mn11 12 121 22 21 2

(((((( = [aij]mxn matrizA de m linhas e n colunasElemento da linha i e coluna jElemento da 2 linha e 1 coluna

TIPOS DE MATRIZES 1 2 21 1 34 1 2

(((( Matriz quadradam = n (#linhas = #colunas) Esta uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3) Diagonais S tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas. Diagonal principal (i=j)Diagonal secundria = (n+1=i+j) Elementos da diagonal principal: 1, 1 e 2 Elementos da diagonal secundria: 2, 1 e 4

2 1 10 1 20 0 4

((((Matriz triangular superiorMatrizes Triangulares 2 0 0 01 1 0 02 3 4 04 5 7 2

((((((Matriz triangular inferior ((((

5 0 00 2 00 0 4Elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos. Lembre-se o ou da matemtica no exclusivo, ou seja, vale tambm quando ambos so verdade! Esta tambm uma matriz triangular! Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares so quadradas.

Casos especiais de Matrizes Triangulares. Matriz identidade 2 0 00 4 00 0 7

((((1 0 00 1 00 0 1

(((( Matriz diagonal Apenas os elementos da diagonal principal so diferentes de zero A identidade uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal so todos iguais a um. Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares so quadradas. Chatice hein! Todas as Triangulares so quadradas, logo, a diagonal e a identidade so quadradas. Chamamos a matriz acima de I3 (identidade de ordem 3) No geral, In onde n a ordem da matriz.

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(((( Matriz nulaTodos os elementos so nulos. Chamamos a matriz nula de Omxn Ento essa O3x4 A Matriz nula no precisa ser quadrada! Igualdade de Matrizes. Duas matrizes so ditas idnticas quando seus elementos correspondentes so iguais. ((((

4 2 12 1 31 1 2((((

4 2 12 1 31 1 2Caso ao olhar essas duas matrizes e no ver que elas so iguais, favor procurar o oculista.

Transpostatroca de linha por coluna (m x n => n x m )2 34 13 01 2xA((((

=.4 3 11 0 2= A3 2tx((

Matriz A transposta SimtricaMatriz quadrada tal que At = A 2 22 33 1xA((

=.2 33 1= A2 2tx((

Matriz A transposta Anti-SimtricaMatriz quadrada tal que At = -A 3 30 1 31 0 23 2 0xA((((

=.0 1 31 0 23 2 0= A3 3tx((((

= Os elementos da transposta so os opostos da original.

OPERAES COM MATRIZES Adio ((((

+((((

0 15 24 05 20 41 1((((

=5 35 23 1Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos som-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B. sempre possvel somar matrizes? No! Somente quando estas forem de mesma ordem. += Se liguem, o mesmo vale pra subtrao.

Multiplicao por escalar Multiplicao por escalar ( nmero real qualquer)multiplicamos todos os elementos da matriz por este nmero. ((

3 110 2. 2((

=3 . 2 1 . 210 . 2 2 . 2((

=6 220 4Matriz A Matriz -2A

Multiplicao de matriz por matrizCONDIO: S podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o nmero de colunas da primeira for igual ao nmero de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB ser de ordem m x p. 2 22 34 01 1.3 52 41 2xx((

((((

2 34 . 3 ) 1 ( 5 0 . 3 1 . 54 . 2 ) 1 ( 4 0 . 2 1 . 44 . 1 ) 1 ( 2 0 . 1 1 . 2x((((

+ ++ ++ +=((((

=7 54 42 2Em geral AB = BA, ou seja, o produto de matrizes no comutativo 2 1 2 1 4 2 4 2 5 3 5 3 Pode ser possvel efetuar AB e no ser possvel efetuar BA. O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11. O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12. Ihhh... Aqui fu...!

2 22 34 01 1.3 52 41 2xx((

((((

((((

=7 54 42 22.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4 4.1 + 2.04.(-1) + 2.4 5.1 + 3.05.(-1) + 3.4 Observe, multiplicamos ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o primeiro elemento da elemento com o primeiro da coluna e por a vai...

Determinantes 1. Introduo: A teoria dos determinantes teve origem em meados do sculo XVII, quando eram estudados processos para resoluo de sistemas lineares de equaes. Hoje em dia, embora no sejam um sistema prtico para a resoluo de sistemas, os determinantes so utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expresses matemticas complicadas. 2. Definio: A toda matriz quadrada associa-se um nmero, denominado determinante da matriz, que obtido por meio de operaes entre os elementos da matriz. 3.1. Determinantes da matriz de 1 ordem O determinante da matriz quadrada de 1 ordem igual ao prprio elemento da matriz . Ex.: 3232 = 3. Clculo dos Determinantes:

O determinante da matriz quadrada de 2 ordem igual diferena entre os produtos dos elementos da diagonal principal eda diagonal secundria . 3.2. Determinantes da matriz de 2 ordem Ex.: 5 3 8 1)] ( . 3) [( 4) . (24 13 2= = =3.3. Determinantes da matriz de 3 ordem (Regra de Sarrus) 1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas. 2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direo da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas sua direita. 3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundria e, na mesma direo, os elementos das outras duas filas sua direita. 4. O determinante da matriz a subtrao dos produtos obtidos em 2 e 3. Ex.: = 5 3 14 2 03 2 1= 3 1 -2 02 1

5 3 14 2 03 2 1--- +++ 10 8 + 0 + 6 12 + 0 = -4 4. Cofator de uma matriz Seja A uma matriz quadrada de ordem n > 2. Chama-se cofator de um elemento aij de A ao nmero real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij . Ex.: 12A calcule ,5 2 - 42 1 - 30 2 1A Seja =5 42 3. ) 1 ( A2 112+ = ) 8 15 ( . 1 = A12 = -7 5. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A, de ordem n > 2, a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ex.: = 5 2 3 42 0 0 33 4 1 21 1 2 13 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34 = 2 3 44 1 21 2 1. 25 2 33 4 11 1 2. 3 = 3 41 22 1 2 3 44 1 21 2 1. 22 34 11 2 5 2 33 4 11 1 2. 3---+ + + 3 . (-40 + 9 + 2 12 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 4 12 8) 3 . (-48) - 2 . (16) =-144 - 32 =-176 --- + + + Propriedades dos Determinantes P1. Fila Nula Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, ento det A = 0 . Ex.: = 6 2 0 10 0 0 04 4 1 35 4 2 10 P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, ento det A = 0 . Ex.:08 0 85 4 52 3 2=05 0 44 2 62 1 3=e 2 linha = 2 x 1 linhaSe liguem, sempre que nos referimos a filas, estamos falando de linhas e tambm de colunas! 1 coluna = 3 coluna| | | | | | 4 2 6 2 1 3 2 2 1 3 = = P3. Matriz Transposta O determinante de uma matriz igual ao de sua transposta. Ex.: 8 4 30 1 51 0 2 4 31 50 2= 16 + 0 20 + 3 + 0 + 0 = -1 8 0 14 1 03 5 2 0 11 05 2= 16 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1 P4. Teorema de Binet Se A e B so matrizes quadradas de mesma ordem n, ento: det(A . B) = det A . det B Ex.: ||.|

\|=||.|

\|=2 10 3B e3 21 4Adet A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60 ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|6 92 132 10 3.3 21 4det A . det B = 13 . 6 2 . 9 = 78 18 = 60 P5. Matriz Triangular P6. Troca de Filas Paralelas O determinante de uma matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ex.: 8 7 20 1 90 0 5= 5 .1 .8 = 40 Se trocarmos de posio duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma outra matriz M, tal que: det M = - det M Ex.: 22 28 62 74 3 = = 22 6 284 32 7= =P7. Produto de uma Fila por uma Constante Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo nmero real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado por k. Ex.: 5 1 14 3 02 9 1 1 13 09 1 = 15 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11 Multiplicando a 2 coluna de A por (-3), temos: 5 3 14 9 02 27 13 19 027 1= -45 + 108 + 0 18 12 + 0 = 33 Consequncia: Seja uma matriz A, de ordem n, e k umnmero real, temos: det (k . A) = kn . det A P8. Determinante da Matria Inversa Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, ento: A det1A det1 - =5 2 31 21 3A det = ==Ex.: 5125525225353525151A det1 - = = ==P9. Adio de Determinantes Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante. Ex.: = + + 6 2 31 3 00 2 26 0 31 3 00 1 26 4 31 1 00 5 26 2 31 1 00 4 2++= P10. Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M, tal que: det M = det M Ex.: 6 1 47 2 45 3 1-3 6 11 47 10 45 0 1 =Regra de Chi A regra de Chi uma tcnica utilizada no clculo do determinantes de ordemn > 2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A de ordem n 1, cujo determinante igual ao de A. 1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento. 2. Subtramos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam sua linha e sua coluna. 3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas. Ex.: 5 1 23 0 21 3 1 =) 1 .( 2 5 3 . 2 1) 1 .( 2 3 3 . 2 0 =7 55 6= 25 42 + =-17 Matriz de Vandermonde Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potncias, toda matriz de ordem n > 2, em que suas colunas so potncias de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 n 1 (os elementos de cada coluna formam uma progresso geomtrica de primeiro termo igual a 1). Obs.: Os elementos da 2 linha so chamados elementos caractersticos da matriz. O determinante da matriz de Vandermonde igual ao produto de todas as diferenas possveis entre os elementos caractersticos e seus antecessores. Ex.: 343 125 27 849 25 9 47 5 3 21 1 1 1=7 53 2(3 2)(5 2)(5 3)(7 2)(7 3)(7 5) 1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2 240