Determinantes e o Teorema de Laplace

Determinantes e o Teorema de LaplaceProf Dbora BastosIFRS Campus Rio Grande

Determinante de ordem 3Produtos possveis:a1b2c3 0 inverso Adioa2b3c1 2 inverses Adioa3b1c2 2 inverses Adioa3b2c1 1 inverso Subtraoa2b1c3 1 inverso Subtraoa1b3c2 1 inverso SubtraodetA = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2

D dois cliques.Teorema de LaplaceLaplace define um mtodo que diz quando os produtos so adicionados ou subtrados e como fazer esses produtos de maneira mais fcil. No caso ele associou a determinantes de ordem n-1, quando calculamos determinantes de ordem n.

D dois cliques.Determinante de ordem 4Produtos com a1:a1b2c3d4 0 inverso adioa1b4c2d3 2 inverses adioa1b3c4d2 2 inverses adioa1b4c3d2 1 inverso subtraoa1b3c2d4 1 inverso subtraoa1b2c4d3 1 inverso subtraoa1b2c3d4 + a1b4c2d3 + a1b3c4d2 a1b4c3d2 a1b3c2d4 a1b2c4d3 = ...

D dois cliques.Produtos com a1Colocando a1 em evidncia, teremos uma parte do determinante que queremos:

a1(b2c3d4 + b4c2d3 + b3c4d2 b4c3d2 b3c2d4 b2c4d3) =

Faa o determinante de ordem 3 para testar.

D dois cliques.Produtos com a2a2b1c3d4 1 inverso Subtraoa2b3c4d1 3 inverses Subtraoa2b4c1d3 3 inverses Subtraoa2b4c3d1 2 inverses Adioa2b3c1d4 2 inverses Adioa2b1c4d3 2 inverses Adio a2b1c3d4 a2b3c4d1 a2b4c1d3 + a2b4c3d1 + a2b3c1d4 + a2b1c4d3 = = (a2b1c3d4 + a2b3c4d1 + a2b4c1d3 a2b4c3d1 a2b3c1d4 a2b1c4d3)=....

D dois cliques.

Produtos com a2= a2(b1c3d4 + b3c4d1 + b4c1d3 b4c3d1 b3c1d4 b1c4d3)=

D dois cliques.Produtos com a3 e com a4Analogamente fazendo os produtos possveis com a3 e a4, teremos:

Ou seja, o determinante de ordem 4 pode ser escrito como

D dois cliques.

Teorema de laplace....Laplace generalizou o processo para qualquer ordem, com exceo da ordem 1. Notaes de Laplace:1) Submatrizes:Mij uma matriz extrada de uma de ordem n retirando desta a linha i e a coluna j.Exemplo na matriz de ordem 4:

D dois cliques.Teorema de Laplace2) Cofatores. Aij = ( 1)i+j detMij A cada elemento de uma submatriz est associado um cofator que nada mais que o determinante da submatriz com o sinal trocado ou no. Se a soma de i com j par ento o cofator no troca o sinal do determinante da submatriz. O cofator j nos diz quando precisamos somar ou subtrair os produtos.Quando somamos? Quando a soma de i com j par.Quando subtramos? Quando a soma de i com j mpar.No caso de A11 e A31 o sinal do determinante da submatriz permanece, no caso de A21 e A41 o sinal do determinante da submatriz fica trocado.

D dois cliques.enunciado do teorema de laplaceEscolhida uma fila (linha ou coluna) da matriz faz-se a soma dos produtos dos elementos dessa fila pelos seus cofatores.Exemplo do determinante de ordem 4: detA=a1A11 + a2A21+a3A31 + a4A41 = a1detM11 a2detM21 +a3detM31 a4detM41 =

D dois cliques.

ObservaesA fila escolhida no altera o resultado do determinante. Faa uma escolha inteligente que diminua o nmero de clculos, por exemplo, escolher a fila que possuir mais elementos nulos, pois os cofatores que multiplicarem os elementos nulos no precisam ser calculados, j que qualquer nmero vezes 0 0.