Dialética Ferramenta Objeto

DOUADY, R. Jeux des cadres et dialectique outil-objet. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7, n°2,

pp. 5-31. La Pensée Sauvage, 1986.

Marilena Bittar 2

Introdução

Interesse da didática está no processo pelo qual os alunos podem adquirir um saber matemático em situação didática

A classe é uma micro-sociedade compreendendo um professor e os alunos entre os quais se produzem trocas sobre um certo saber

De que saber se trata? Científico? Cultural? Prático? Escolar? Que relações há entre esses saberes? Como trabalhar com eles em classe visando a aprendizagem dos

alunos? A escolha da DFO é de fazer esse estudo pelos conteúdos.

Marilena Bittar 3

Quadro teórico

Referências didáticas Piaget e Escola de Psicologia social – importância da ação, o papel

dos “desequilíbrios-reequilíbrios”, o papel dos conflitos cognitivos. Vergnaud (ponto de vista do saber) evidenciou a importância de

um recorte por campos conceituais. Retomada dessa idéia, distinguindo os quadros de que dependem os conceitos presentes em um problema, e as relações entre esses quadros.

Brousseau – a escolha de um problema (condições que preenche) atende à TSD.

Marilena Bittar 4

Quadro teórico

Aspecto ferramenta, aspecto objeto de um conceito matemático Matemáticos são confrontados a problemas que ninguém sabe resolver. Para resolver esses problemas, são levados a criar ferramentas

conceituais (que se unem às ferramentas técnicas). Para transmitir à comunidade científica, os conceitos são

descontextualizados e formulados de uma forma mais geral possível. Eles adquirem assim, o estatuto de objeto.

Um conceito é ferramenta quando focamos o interesse sobre o uso que é feito para resolver um problema. Uma mesma ferramenta pode ser adaptada a vários problemas, várias ferramentas podem ser adaptadas a um mesmo problema.

Por objeto entendemos o objeto cultural tendo seu lugar em um “edifício mais amplo” que é o saber científico em um dado momento, reconhecido socialmente. (O que está em foco é o conceito matemático)

Marilena Bittar 5

Quadro teórico

Aspecto ferramenta, aspecto objeto de um conceito matemático Durante um atividade matemática, um aluno pode recorrer a uma

ferramenta de maneira implícita ou explícita. Exemplo: “Existe um quadrado de área igual a 12cm²?

Resposta: Para um quadrado de lado 3 cm, a área é 9cm², para um quadrado de lado 4cm, a área é 16cm², quando o lado passa de 3cm para 4cm, existirá certamente um momento em que a área será 12cm².

É possível reconhecer a relação entre dimensão e área de um quadrado como ferramenta explícita.

Entretanto, a função f(x)=x², sua continuidade, o teorema do valor intermediário são necessários para justificar a afirmação do aluno. Essas são ferramentas implícitas.

Marilena Bittar 6

Quadro teórico

Mudanças de quadros Uma parte importante do trabalho dos matemáticos é consagrada à

interpretar os problemas que eles se propõem a resolver, a mudar de pontos de vista, a formulá-los de outro modo, a passá-los de um quadro a outro, a confrontar problemas enunciados em quadros diferentes mas que a tradução em um mesmo quadro conduz a colocar novas questões e sugere o uso de outras ferramentas que não foram inicialmente solicitadas.

Quadro – sentido usual (aritmético, algébrico,...) A mudança de quadros é um meio de obter formulações diferentes de um

problema que sem ser necessariamente totalmente equivalentes, permitem novo acesso às dificuldades encontradas e o uso de ferramentas e técnicas que não se impunham na primeira formulação.

Marilena Bittar 7

Propósitos da dialética ferramenta/objeto

Dizemos que um aluno tem conhecimentos em matemática se ele é capaz de fazer uso desse conhecimento como ferramenta explícita em problemas que ele deve resolver, tendo ou não indicações para tal, se ele é capaz de fazer adaptações quando as condições habituais de uso não estão exatamente satisfeitas, para interpretar os problemas.

O ensino deve integrar momentos em que a classe simule uma sociedade de pesquisadores em atividade. Porém, vários elementos da classe agem como obstáculos a uma tal simulação.

Metodologia: eu aprendo, eu aplico. Pouca responsabilidade dada aos alunos. Problemas raramente discutem o caráter essencial dos conceitos Pratica-se a separação de quadros.

Marilena Bittar 8

Propósitos da dialética ferramenta/objeto

Para construir um ensino diferente, restituindo sentido às ferramentas que os alunos utilizam, sempre assegurando uma apresentação institucional aos objetos correspondentes, temos necessidade de caracterizar uma outra organização do ensino, baseada em 3 pontos:

Dialética ferramenta-objeto Dialética antigo-novo Jogo de quadros (mudança de quadros)

Marilena Bittar 9

Propósitos da dialética ferramenta/objeto

Problemas: condições e exemplos. Enunciado (contexto e questões) tem sentido para os alunos. Considerando os conhecimentos dos alunos, eles podem começar uma

estratégia de resolução, mas não podem resolver completamente o problema.

Os conhecimentos visados pela aprendizagem são ferramentas adaptadas ao problema.

O problema pode ser formulado em, pelo menos, dois quadros diferentes.

Marilena Bittar 10

Propósitos da dialética ferramenta/objeto Exemplo:

Considere retângulos de perímetro P fixo (34 ou 36, por exemplo). Calcular a área de vários dentre deles. Ordenar os retângulos, da menor área à maior área.

A área pode assumir valores tão grandes quanto queiramos ou existe um maior valor possível?

Para P=34, há um retângulo de área 70cm², um de área 72cm², e um de área entre 70cm² e 72cm²?

P é uma variável didática. Esse problema é interessante para os alunos que têm conhecimento dos inteiros e

de algumas frações mas não conhecem decimais nem multiplicação de frações, sabem calcular área de retângulos de dimensões inteiras, que têm uma concepção geométrica de área quando as dimensões não são inteiras.

Objetivo de aprendizagem: extensão da multiplicação aos números fracionários.

Marilena Bittar 11

Dialética ferramenta/objeto Fases da dialética ferramenta-objeto

A) Antigo B) Pesquisa do novo implícito C) Explicitação e institucionalização local D) Institucionalização – estatuto de objeto E) Familiarização – reinvestimento F) Complexificação da tarefa ou novo problema

Marilena Bittar 12

Fases da dialética ferramenta/objeto

A) Antigo Conceitos matemáticos são usados com ferramentas explícitas para

resolver ao menos parcialmente o problema. Os alunos podem exibir retângulos aceitáveis cujas dimensões são

inteiras, quer dizer, designando por a e b suas medidas, 2a+2b=34 ou ainda a+b=17, e para cada um deles calcular a área e depois ordenar os resultados.

Marilena Bittar 13

B) Pesquisa do novo implícito Os alunos têm dificuldade para resolver completamente o problema. Isso

acontece se a estratégia de base é muito “pesada”, se ela não funciona mais ou se novas questões são postas.

É o caso da pesquisa de retângulos com área em um intervalo fixo ou com um valor fixo ou assumindo um valor máximo.

O quadrado de lado (8+1/2)cm teria área maior que o retângulo de lados 8cm e 9cm? Como comparar essas duas áreas: geometricamente? Com cálculos? Seria preciso calcular a área do quadrado, como fazer?

Essas questões levam o aluno a buscar novos meios adaptados. Frequentemente, progressos eficazes surgem de mudanças de quadros.

8<8+1/2<9 Quadro geométrico

Fases da dialética ferramenta/objeto

Marilena Bittar 14

C) Explicitação e institucionalização local Alguns elementos podem ser agora apropriados pelos alunos. Eles podem ser formulados em termos de objeto ou em termos de

práticas com suas condições de uso do momento. No exemplo: entre os retângulos de perímetro fixo, o que tem maior

área é o quadrado. Trata-se do novo explícito suscetível de ser reutilizado.

Momento de discussão coletiva mas com reações individuais.

Fases da dialética ferramenta/objeto

Marilena Bittar 15

D) Institucionalização – estatuto de objeto O professor expõe o novo e o que deve ser “retido” com as condições de uso.

Apresenta o curso de forma organizada, estruturada com definições, teoremas, demonstrações, mostrando o que é essencial.

É o caso da escrita decimal, das regras de cálculo e da comparação desses números.

O professor tem a responsabilidade de dar um estatuto de objeto aos conceitos estudados. Esse “novo” será, futuramente, usado como “antigo”.

Fases da dialética ferramenta/objeto

Marilena Bittar 16

E) Familiarização – reinvestimento O professor propõe exercícios variados que necessitam das noções

recentemente institucionalizadas. Os alunos desenvolvem hábitos e saber-fazer; integram o saber social à seu

saber particular. Esses exercícios exigem somente saberes conhecidos, mas os alunos os

abordam com concepções que evoluíram e lhes permitem visualizar um campo mais amplo de problemas.

Fases da dialética ferramenta/objeto

Marilena Bittar 17

F) Complexificação da tarefa ou novo problema O professor propõe ao aluno um problema mais complexo (encontrar

um retângulo tal que o semi-perímetro é igual à 41cm e a área é igual à 402cm²).

Trata-se de colocar os alunos à prova em situações mais complexas em que eles deverão testar ou desenvolver seus domínios das novas aquisições.

Fases da dialética ferramenta/objeto

Muitas vezes o ciclo (A, B, C, D, E=A) é necessário antes de desenvolver um ciclo da dialética.

Marilena Bittar 18

Jogos de Quadros

São mudanças de quadros provocadas pelo professor, com problemas respondendo às condições enunciadas anteriormente, para permitir que os alunos evoluam nas fases de pesquisa, notadamente para elaborar “filiação” de questões pertinentes com relação ao problema proposto.

Se trata do desenvolvimento de um procedimento em que se distingue 3 fases:

Transferência e interpretação Correspondências imperfeitas Melhora das correspondências e progresso do conhecimento

Marilena Bittar 19

Jogos de Quadros

Transferência e interpretação Os alunos são confrontados a um problema formulado em um

certo quadro. Considerando seus conhecimentos, a análise que fazem do problema os conduz a traduzir tudo ou parte do problema para um outro quadro. Assim, eles estabelecem correspondências entre quadros diferentes.

O problema “encontrar um retângulo de semi-perímetro 41cm e área 402cm2” é enunciado no quadro geométrico. Os alunos passam ao quadro numérico|algébrico buscando dois números cuja soma seja 41 e o produto 402.

Marilena Bittar 20

Jogos de Quadros

Correspondências imperfeitas As correspondências são imperfeitas seja por razões

matemáticas ou por insuficiência de conhecimentos dos alunos.

A situação é fonte de desequilíbrio No exemplo anterior, quando o aluno encontra dois números

cujo produto é igual à 402, ele fica convencido de que poderá escolher bem os números para “melhorar o intervalo”. As tentativas (frustradas ou não) criam desequilíbrios nas convicções e no que os alunos sabem. Eles estão manipulando implicitamente funções que seus conhecimentos matemáticos não permitem controlar.

Marilena Bittar 21

Jogos de Quadros

Melhora das correspondências e progresso do conhecimento A comunicação entre quadros e, em particular, a comunicação com

um quadro auxiliar de representação é um fator de re-equilíbrio. Nesse momento os alunos podem elaborar conjecturas como:

“quando reduzimos a diferença entre a e b, o produto aumenta, quando aumentamos a diferença, o produto diminui.” Daqui sai um método para encontrar pares de números, cada vez mais próximos do desejado.

Uma interpretação geométrica deste enunciado permitiu a alguns alunos a elaboração de uma prova dele.

As interações entre quadros permitiram o progresso dos conhecimentos dos alunos.

Marilena Bittar 22

Jogos de Quadros

Quanto mais os alunos conseguirem realizar passagens entre quadros, mais garantias de êxito ele terá.

É importante que o ensino proponha situações que favoreçam (peçam) mudanças de quadros; o aluno

deve conseguir ler um problema em um determinado quadro e resolvê-lo ou interpretá-lo,

pensar, resolver, em um outro quadro.