DIFICULTADES DEL PROFESORADO EN FORMACIÓN PARA LA RESOLUCIÓN DE … · 2019. 2. 1. · La formación inicial del profesorado de matemáticas es el escenario clave donde se deben

XVII CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS EN TIERRA DE CINE

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DIFICULTADES DEL PROFESORADO EN FORMACIÓN PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS. UNA EXPERIENCIA COMPARTIDA

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DIFICULTADES DEL PROFESORADO EN FORMACIÓN PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS. UNA

EXPERIENCIA COMPARTIDA

Elvira Fernández-Ahumada, Universidad de Córdoba

Jesús Montejo-Gámez, Universidad de Granada

Natividad Adamuz-Povedano, Universidad de Córdoba

RESUMEN. Se presenta una experiencia de aula en la que se observaron las soluciones

ofrecidas por profesores en formación inicial para abordar una situación contextualizada de medida y geometría. La experiencia, que se llevó a cabo, con alumnado del grado de educación primaria y del máster de formación del profesorado, reveló ciertas dificultades de los futuros profesores de matemáticas en lo que respecta a la comprensión de enunciados de texto, el significado de nociones básicas en medida y geometría y dudas en manipulaciones aritméticas y redondeo. Los resultados apuntan a la necesidad de proponer tareas que establezcan conexiones entre las matemáticas y la realidad y dentro de las propias matemáticas. Nivel educativo: Universidad.

1. INTRODUCCIÓN. Las políticas educativas a nivel internacional se han reorientado a lo largo de

las últimas décadas. Estas modificaciones han repercutido en los currículos de Matemáticas, planteando desafíos en la forma en la que se espera que los maestros enseñen Matemáticas. En particular, se han replanteado cuestiones cruciales sobre qué significa para los estudiantes aprender conceptos matemáticos, y están promoviendo la evolución desde enfoques docentes más tradicionales en los que se imponen a los estudiantes tareas que aparcan la reflexión sobre la utilidad de los contenidos a escenarios donde se involucra a los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas con significado para ellos (NCTM, 2000; OECD, 2013). En este sentido, las políticas educativas internacionales vienen apostando por modelos educativos basados en el desarrollo de la alfabetización o competencia matemática, entendida esta como “la capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las Matemáticas en distintos contextos” (OECD, 2013; p. 9). Esta perspectiva promueve, por tanto, la aplicación del conocimiento matemático a la vida diaria y prioriza que el


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aprendizaje matemático parta de la realidad y sea útil fuera del ambiente matemático (DeLange, 2003; OECD, 2013; Van den Heuvel-Panhuizen, y Drijvers, 2014). De acuerdo con estas premisas, la alfabetización matemática implica la comprensión y aplicación de las matemáticas razonando, pensando e interpretando a través de la resolución de problemas, de forma que los estudiantes pongan en juego la aplicación del conocimiento matemático en lugar del aprendizaje memorístico, mecanizado o desprovisto de sentido fuera de las propias matemáticas (DeLange, 2003; Colwell y Enderson, 2016).

Todo ello nos lleva a valorar la utilidad de trabajar las matemáticas escolares en torno a problemas contextualizados. Las tareas basadas exclusivamente en un procedimiento implican la aplicación de algoritmos de rutina y habilidades técnicas, mientras que las tareas contextualizadas emplean datos realistas que a menudo proporcionan información abundante sobre la situación descrita. Por otra parte, dichas tareas se basan en una amplia gama de conocimientos y destrezas matemáticas, se pueden abordar de diferentes maneras y pueden requerir la activación y desarrollo de diferentes procesos matemáticos como el uso de diversas representaciones (Kramarski, 2008), las estrategias de resolución de problemas, el razonamiento y la comunicación matemática.

Dado que lo que se persigue es que el alumnado de las enseñanzas obligatorias se convierta en ciudadanos solucionadores de problemas, competentes en el uso de herramientas que los ayuden a razonar, modelar y comunicarse, es necesario que el profesorado implemente estrategias docentes fundamentadas en el desarrollo de procesos para la instrucción en sus aulas. La formación inicial del profesorado de matemáticas es el escenario clave donde se deben promover estas técnicas y apoyar a los futuros maestros (Colwell y Enderson, 2016). Además, como apuntan Montejo-Gámez et al. (2018), el trabajo con matemáticas contextualizadas en la formación inicial del profesorado contribuye no solo a que los futuros docentes identifiquen situaciones y fenómenos que permitan presentar las nociones de forma adaptada al conocimiento e intereses de sus alumnos, sino que también potencia el pensamiento crítico de dichos profesores en formación, ya que el contexto obliga a estructurar y describir la realidad en forma matemática y a interpretar resultados matemáticos dentro de situaciones reales.

En línea con lo anterior, se diseñó la experiencia de aula que se presenta en este trabajo. Se partió de una tarea planteada en contexto con la que se pretendían trabajar, fundamentalmente, conceptos y nociones de los bloques de medida y geometría. El objetivo de la experiencia fue identificar las principales dificultades que planteaba dicha tarea en alumnado de Grado en Educación Primaria y alumnado del Máster de Formación de Profesorado, con la finalidad de encontrar pautas para el diseño de una instrucción matemática idónea para el profesorado de las enseñanzas obligatorias.

La estructura de la comunicación es la siguiente: a continuación, se analizan brevemente los detalles de la tarea planteada y el procedimiento seguido. La tercera sección está dedicada a la descripción de las dificultades encontradas por los profesores y en el último apartado se extraen las conclusiones y las implicaciones para la formación inicial de profesores de matemáticas que se derivan de la experiencia.


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2. PARTICIPANTES, PROCEDIMIENTO Y TAREA. La experiencia se realizó con 62 alumnos del Grado en Educación Primaria

(GEP) organizados en grupos de 3, 4 y 5 personas y con 15 alumnos del Máster de Formación de Profesorado (MFP), organizados en grupos de 3 personas. Todos ellos trabajaron para resolver la situación abierta presentada en un contexto escolar cuyo detalle puede verse en la figura 1. Todos los grupos, al final de una sesión de 1 hora y media de duración, entregaron registros escritos de su trabajo. Durante dicha sesión, el profesorado observó el desempeño de cada grupo realizando anotaciones referentes a las dudas planteadas y las dificultades que fueron encontrando. Además, de tres grupos de cada titulación se recogieron grabaciones de audio con el proceso completo de desarrollo de la solución propuesta por cada grupo.

Figura 1. Tarea utilizada en el presente estudio.

La tarea sobre la que se trabajó no solo estaba presentada en un contexto realista de interés para los futuros profesores (contexto escolar), sino que además planteaba una situación abierta que podía ser abordada desde diversos enfoques. Además, la formulación concreta de la actividad fomentaba el uso de representaciones pictóricas a escala, la elaboración de un discurso justificado en el que se razonara la conveniencia de una u otra solución en cada una de las dos situaciones propuestas y una descripción del procedimiento general que fuese efectivo en un aula genérica. Todas estas características fueron introducidas siguiendo los principios de diseño de actividades que estimulan la modelización (Lesh et al., 2000; se pueden consultar más detalles sobre el diseño y la justificación de la tarea en Montejo-Gámez et al., 2018). De esta forma se buscaron observar diferentes tipos de representación, emergencia de estrategias variadas de resolución de problemas, razonamiento y comunicación, procesos que están íntimamente relacionados con la modelización matemática (Niss, 2003) y que potencian el enfoque competencial de las matemáticas escolares previamente mencionado. Por otra parte, el empleo de variables de tarea tales como la restricción del uso de la valla a 10 metros, la elección de las geometrías


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concretas de las aulas disponibles y los datos proporcionados sobre las dimensiones reales del aula fueron introducidas para potenciar la reflexión sobre los significados de área y perímetro, analizar el uso de la escala y disuadir a los participantes de utilizar números decimales, respectivamente.

3. ANÁLISIS DE LAS DIFICULTADES DE PROFESORES EN FORMACIÓN INICIAL.

De entre las principales dificultades encontradas para el planteamiento de una solución, destaca, esencialmente en el alumnado de GEP, la asunción de que “ocupar la cuarta parte del aula” implicaba la división del aula en 4 figuras de igual forma. Esto condujo a varios grupos a concluir que la disposición de la valla no era factible en el aula con forma de trapecio (figura 2). Por este mismo error, hubo grupos que concluyeron que en el apartado a no podía habilitarse la ludoteca, al hacer la división en cuatro rectángulos iguales mediante segmentos perpendiculares entre sí que pasaban por el punto medio de cada lado del aula.

Figura 2. Intento de dividir el trapecio en cuatro partes iguales

También en relación con la comprensión del enunciado, hubo grupos que buscaron una solución que utilizara la menor cantidad de valla posible o los que solo contemplaron la posibilidad de usar exactamente los 10 m (figura 3). En algunos casos, se detectaron bloqueos en la búsqueda de una solución para el aula del apartado b, por interpretar que la ludoteca de esa aula debía tener la misma forma que la del apartado a.

Figura 3. Búsqueda de situaciones en las que se utilizaba completamente la valla disponible.


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Por otro lado, cabe resaltar las dificultades generadas por la confusión entre los conceptos de perímetro, área y de superficie y longitud. Así, dentro de este apartado, hubo un grupo de GEP que pretendía responder a la premisa de “ocupar la cuarta parte del aula” calculando la cuarta parte del perímetro de la misma. También se identificaron varios grupos que calcularon el área de la cuarta parte del aula y que posteriormente la dividieron entre el lado de la baldosa, en lugar de dividirla entre su área, para hallar el número de baldosas que debía englobar la valla. Relacionado con esto último, hubo un grupo que al establecer la valla en el dibujo, contó el número de baldosas que quedaban en el borde de la ludoteca sobre el que se colocaba la valla y, para hallar cuánta valla habían necesitado, multiplicaron el lado de la baldosa por el número de baldosas del borde. Esto les llevó a una solución incorrecta porque la baldosa en la que la valla hacía esquina solo era contada una vez, en lugar de contar los dos lados de la baldosa que recorría la valla (figura 4). Finalmente, dentro de este apartado, hubo dos grupos que dividieron los 10 m de valla entre el lado de la baldosa para saber el número de baldosas sobre el que colocar la valla, lo cual limitaba las posibilidades de encontrar una solución que cumpliera las condiciones dadas (figura 5), además de implicar el uso de la valla como un único tramo recto, sin posibilidad de que la valla tuviera alguna esquina.

Figura 4. Ejemplo de error por confusión entre valla que bordea un recinto y número de baldosas bordeadas

Figura 5. Texto que manifiesta la estrategia de dividir los 10 m de valla entre el lado de la baldosa y la limitación que supone para ofrecer una solución general para cualquier tipo de aula.


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Son además especialmente significativos los numerosos errores en cálculos básicos, aun estando permitido el uso de calculadora, y la falta de validación de los resultados obtenidos, pues en contadas ocasiones los errores de cálculo llevaban al planteamiento de una solución que no cumplía las condiciones explicitadas en el enunciado (figura 6).

Figura 6. Ejemplo de error en cálculos. Acarrea una propuesta de solución que con los cálculos correctos no sería válida.

Se pusieron de manifiesto dudas en el manejo de decimales y el redondeo. De hecho, un grupo se planteó la fiabilidad del redondeo utilizado al constatar que su solución propuesta quedaba invalidada por una décima. En este sentido, hubo otro grupo que al medir en el papel el lado de la baldosa, aun obteniendo que medía 0,8 cm le adjudicó una medida de 1 cm, lo cual le condujo a una propuesta de solución incorrecta. Se detectaron igualmente errores en numerosos grupos al ejecutar cálculos de áreas así como en el manejo de expresiones algebraicas. Finalmente, cabe resaltar el hecho de que los grupos que optaron por calcular la cuarta parte del aula en base al conteo de baldosas, considerando esta como una unidad de superficie, expresaron su preocupación por estar resolviendo la tarea por “la cuenta de la vieja” o “como niños chicos”, según manifestaron dos grupos del máster de secundaria. En un grupo de GEP, supuso una dificultad el trabajo con la baldosa como unidad de superficie, porque aunque procedieron correctamente en el planteamiento de una solución, los valores de superficie (que debían expresar como número de baldosas) los expresaron como metros cuadrados (figura 7).


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Figura 7. Ejemplo de cómo la baldosa se consideró unidad de superficie para la propuesta de solución, pero a la hora de expresar una cantidad de superficie, utilizaron m2.

4. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES. Se ha presentado una experiencia en la que se exploraron las dificultades que

experimentaron futuros profesores de matemáticas al abordar situaciones de medida y geometría planteadas en un contexto real. Los resultados muestran que, efectivamente, el uso de problemas contextualizados generó dudas, dificultades y errores vinculados a la comprensión del enunciado, la interpretación de área y perímetro, manipulaciones aritméticas y redondeo y el manejo de unidades de longitud y superficie. La gran mayoría de los errores encontrados difícilmente se habrían puesto de manifiesto ante tareas procedimentales y fuera de contexto, pero la correcta ejecución de dicho tipo de tareas tampoco sería garantía de la adquisición de destrezas matemáticas como la interpretación, la comunicación o el razonamiento, entre otras, necesarias para el desarrollo de individuos activos y críticos.

En consecuencia el empleo de estrategias formativas que incluyen el planteamiento de situaciones relacionadas con modelización matemática se presenta como pertinente a la luz de las dificultades observadas. En primer lugar, las actividades de modelización matemática constituyen una herramienta didáctica para potenciar la comprensión de otros contenidos matemáticos (García, Gascón, Ruiz-Higueras y Bosch, 2006) como son las nociones de área, perímetro y el trabajo con escalas y unidades de medida. Por otra parte, este tipo de tareas estimulan la comprensión de situaciones susceptibles de aplicar las matemáticas y la comunicación de ideas matemáticas en general (Niss, 2003), son estimulantes para los futuros profesores, ya que el uso de las matemáticas adquiere más sentido en situaciones contextualizadas (Gravemeijer y Doorman, 1999) y favorecen la interpretación de los resultados, lo que contribuye a trabajar la intuición sobre la validez de las manipulaciones numéricas hechas y a valorar la calidad y utilidad de los resultados obtenidos, cualidades esenciales que deben desarrollar los profesores de matemáticas. La exploración del alcance


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que puede obtener este tipo de propuestas debe ser analizada por la investigación y se emplaza a futuros trabajos.

REFERENCIAS. COLWELL, J. y ENDERSON, M.C. (2016). “When I hear literacy”: Using pre-service teachers' perceptions of mathematical literacy to inform program changes in teacher education, Teaching and Teacher Education 53, 63-74. DE LANGE, J. (2003). Mathematics for literacy. En B.L. Madison, & L.A. Steen (Eds.), Quantitative literacy. Why numeracy matters for schools and colleges (pp. 75−89), Princeton, NJ: The National Council on Education and the Disciplines. GARCÍA, F. J., GASCÓN, J., RUIZ-HIGUERAS, L, BOSCH, M. (2006). Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics, ZDM 38(3), 226-246. GRAVEMEIJER, K., & DOORMAN, M. (1999). Context problems in realistic mathematics education: A calculus course as an example, Educational Studies in Mathematics, 39 (1-3), 111–129. KRAMARSKI, B. (2008). Promoting teachers’ algebraic reasoning and self-regulation with metacognitive guidance, Metacognition Learning 3, 83-99. LESH, R., M. HOOVER, B. HOLE, A. KELLY y T. POST (2000). Principles for Developing Thought-revealing Activities for Students and Teachers. En A. Kelly y R. Lesh (eds.), Research Design in Mathematics and Science Education(pp. 591-646), Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, New Jersey. MONTEJO-GÁMEZ, J., FERNÁNDEZ-AHUMADA, E., LEÓN-MANTERO, C., JIMÉNEZ-FANJUL, N. y ADAMUZ-POVEDANO, N. (2018). Destrezas de modelización en la formación inicial de maestros de Educación Primaria, SUMA 87, 31-40. NISS, M. (2003). Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics: The Danish KOM Project. En A. Gagatsis y S. Papastavridis (Eds), 3rd Mediterranean Conference on Mathematical Education (pp. 115–124 ). The Hellenic Mathematical Society, Athens, Greece. NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics, Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics. OECD (2013). Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012: Matemáticas, Lectura y Ciencias, MECD, Madrid. VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, M. y DRIJVERS, P. (2014). Realistic mathematics education. En S. Lerman (Ed.) Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 521-525), Springer, Amsterdam.

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