André de Freitas SmairaMarcos Gabriel Gelorme Silveira

ÍNDICE

1. Introdução Teóricaa) Definição de Difraçãob) Princípio de Huygens-Fresnelc) Integral de Fresnel-Kirchhoff

• Difração de Fraunhoferd) Fenda Simplese) Fenda Duplaf) Generalizando: Múltiplas Fendasg) Rede de Difraçãoh) Aplicações

2. Práticaa) Fendas Simples e Dupla e Rede de Difraçãob) Intensidade do Padrão de Difração

INTRODUÇÃO

DEFINIÇÃO

𝑎 𝜆

𝑎≫𝜆

Huygens: “(...) cada partícula do meio através do qual a onda evolui não só transmite o seu movimento à partícula seguinte, ao, longo da reta que parte do ponto luminoso, mas também a todas as partículas que a rodeiam e que se opõem ao movimento. O resultado é uma onda em torno de cada partícula e que a tem como centro”Fresnel: As componentes da onda em direções fora da direção de propagação sofrem interferência destrutiva, gerando outra frente de onda que segue o padrão anterior

PRINCÍPIO DEHUYGENS-FRESNEL

INTEGRAL DEFRESNEL-KIRCHHOFF

Formalismo Matemático:Para onda esférica, na abertura, para um instante de tempo fixo:

𝑈=2𝑈 0𝑒− 𝑖 �⃗� ∙ �⃗�

𝑠s: posição da frente de onda em relação a origemk: vetor de onda

𝑈 𝑃 ′=12𝑖 𝜆∫𝐴

❑

𝑈𝑃𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟 [cos (𝜃𝑛 ,𝑟 )−cos (𝜃𝑛 , 𝑟 ′ ) ]𝑑𝐴

r: distância entre P e P’ : fator de obliquidadeA: superfície não obstruída da frente de onda

DIFRAÇÃO DEFRAUNHOFER

Ponto de observação distante da fenda: Fenda distante da fenda:

distância a uma origem pertencente à frente de onda

Onda incidente: plana na direção Direção de P’ :

𝑈 𝑃=𝑈 0𝑒𝑖𝑘𝑢0 ∙𝑟 0⟹

𝐼 (𝜃)𝐼 (0)

=|𝑈 (𝜃)𝑈 (0)|

2

=|𝑈 (�̂�)𝑈 (𝑢0)|

2

= 1

𝐴2|∫𝐴❑

𝑒𝑖𝑘(𝑢0−�̂�) ∙𝑟 0𝑑𝐴|2

⟹𝑃𝑎𝑑𝑟 ã 𝑜𝑑𝑒𝐷𝑖𝑓𝑟𝑎çã 𝑜

𝜃𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜⟹𝜃≈ 𝜃0

FENDA SIMPLES

𝐿≫𝑎 𝜆

z

x

y

FENDA SIMPLES (PADRÃO)

Considerando fenda retangular de dimensões na direção e na direção ,

𝐼 (𝜃)𝐼 (0)

= 1

𝐴2|∫𝐴❑

𝑒𝑖𝑘(𝑢0− �̂�) ∙ 𝑟0 𝑑𝐴|2

𝐼 (𝜃)𝐼 (0)

= 1(𝑎𝑏)2|∫𝐴

❑

𝑒−𝑖(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦 𝑦)𝑑𝐴|2

= 1(𝑎𝑏)2|∫−𝑎

2

𝑎2

𝑒−𝑖 𝑘𝑥 𝑥𝑑𝑥∫− 𝑏2

𝑏2

𝑒−𝑖𝑘 𝑦 𝑦𝑑 𝑦|2

∫−𝑎2

𝑎2

𝑒−𝑖 𝑘𝑥 𝑥𝑑𝑥= 2𝑘𝑥

(𝑒𝑖 𝑘𝑥𝑎2−𝑒

−𝑖𝑘𝑥𝑎2

2 𝑖 )= 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 𝑎2 )𝑘𝑥2

𝐼 (𝜃)𝐼 (0)

=1

(𝑎𝑏)2|∫−𝑎2

𝑎2

𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝑥𝑑𝑥∫−𝑏2

𝑏2

𝑒− 𝑖𝑘𝑦 𝑦𝑑 𝑦|2

=( 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 𝑎2 )𝑎𝑘𝑥2

)2

( 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑦 𝑏2 )𝑏𝑘𝑦2

)2

�⃗�∈ 𝑥𝑂𝑧⟹𝑘𝑦⟶0⟹𝐼 (𝜃 )=𝐼 (0 )(𝑠𝑒𝑛𝛼𝛼 )2

,𝛼= 𝜋𝑎𝜆𝑠𝑒𝑛𝜃

FENDA SIMPLES (ANÁLISE)𝑅𝐼=

𝐼 (𝜃 )𝐼 (0 )

=(𝑠𝑒𝑛𝛼𝛼 )2Pontos de extremos:

𝑑𝑅𝐼

𝑑𝜃=0⟹ { 𝛼=𝑡𝑔𝛼

¿ 𝑠𝑒𝑛𝛼=0 ,𝛼≠0

FENDA DUPLACombinação de duas fendas simples:• Interferência:

• Padrão de Difração e Interferência:

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑚𝑖𝑛=(𝑛+ 12 ) 𝜆𝑑  𝑠𝑒𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥=𝑛 𝜆𝑑   ,𝑛∈ℤ

Difração

Interferência

FENDA DUPLA (GRÁFICO)

Zeros de interferênciasão mais frequentes

MÚLTIPLAS FENDAS (N)

L

a

Combinação de duas fendas simples:• Interferência para 2 fendas

consecutivas:

• Padrão de Difração e Interferência:₋ Fator de Interferência:

₋ Padrão:

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥=𝑛𝜆𝑑  ,𝑛∈ℤ

|∑𝑛=0

𝑁− 1

𝑒𝑖𝑛 𝑘𝑥𝑑| 2

=𝑠𝑒𝑛2(𝑁𝑘𝑥𝑑2 )𝑠𝑒𝑛2(𝑘𝑥𝑑2 )

→{𝑚á 𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛❑(𝑘𝑥𝑑2 )=0⟹𝑠𝑒𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥=𝑛𝜆𝑑   

¿ 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑒𝑟 ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠𝑚á 𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠 :𝑁 2

𝐼 (𝜃 )=𝐼 0(𝑠𝑒𝑛𝛼𝛼 )2

( 𝑠𝑒𝑛❑𝑁 𝛽

𝑠𝑒𝑛❑𝛽 )2

,{ 𝛼=𝜋𝑎𝜆𝑠𝑒𝑛𝜃

¿ 𝛽=𝜋 𝑑𝜆𝑠𝑒𝑛𝜃

Difração

Interferência

MÚLTIPLAS FENDAS(CASOS ESPECIAIS)

𝐼 (𝜃 )=𝐼 0(𝑠𝑒𝑛𝛼𝛼 )2

( 𝑠𝑒𝑛❑𝑁 𝛽

𝑠𝑒𝑛❑𝛽 )2

MÚLTIPLAS FENDAS(GRÁFICO)

MÚLTIPLAS FENDAS(ANÁLISE)

1º mínimo de interferência:

Termo de interferência:

APLICAÇÕES• Rede de Difração• Espectroscopia

a) Estrelas (Astronomia)b) Soluções (Química)

• Difração Eletrônicaa) Microscopia Eletrônica

• Difração de raios Xa) Propriedades de cristais, unidades celulares e simetriasb) Semi-condutores e Super-condutoresc) Ressonância Magnéticad) Super-ligas (baseadas em Ni, Co ou Fe)e) Petróleof) Hidrometalurgiag) Indústria Farmacêuticah) Ciência Forense

PRÁTICAS

DIFRAÇÃO

FENDA SIMPLES𝐿=(81,3±0,2 )𝑐𝑚

L

m Posiçãox (cm) (0,1)

Ângulo de Difração (o)

Largura da Fendaa ()

-3 -10,9

-2 -7,0

-1 -3,5

1 3,7

2 7,1

3 10,7

Fenda 1

𝑎= (14,5 ±0,3 )𝜇𝑚

𝐿=(81,3±0,2 )𝑐𝑚

m Posiçãox (cm) (0,1)

Ângulo de Difração (o)

Largura da Fendaa ()

-7 -2,4

-4 -1,4

-1 -0,3

1 0,3

4 1,4

7 2,4

Fenda 4

𝑎= (160 ±30 )𝜇𝑚

FENDA SIMPLES

Grande erro devido à pequena abertura

L

m Posiçãox (cm) (0,1)

Ângulo de Difração (o)

Largura da Fendaa ()

-3 -4,1

-2 -2,7

-1 -1,3

1 1,4

2 2,7

3 4,1

𝑎= (38±2 )𝜇𝑚

FENDA DUPLA

m Posiçãox (cm)

Ângulo de Difração (o)

Separação entre Fendasd ()

1

2

3

4

5

6

𝑑=(280±6)𝜇𝑚

FENDA DUPLA

𝐿=(25,0± 0,2 )𝑐𝑚

m Posiçãox (cm) (0,1)

Ângulo de Difração (o)

Número de Linhasn ()

-2

-1

1

2

𝑛=(300±6 ) h𝑙𝑖𝑛 𝑎𝑠 /𝑚𝑚

REDE DE DIFRAÇÃO

FIO DE CABELO𝐿=(79,0±0,2 )𝑐𝑚

𝑎= (64±4 )𝜇𝑚

m Posiçãox (cm) (0,1)

Ângulo de Difração (o)

Espessura do Fioa ()

-3

-2

2

3

𝐿=(81,3±0,2 )𝑐𝑚MÚLTIPLAS FENDAS (PADRÃO)

(0𝑜 ;11)

(0 ,2𝑜;9)(−0 ,21𝑜 ;8,9)

(−0 ,39𝑜 ;4,5) (0,41𝑜; 4,6)

(−0,33𝑜 ;2,9) (0,33𝑜 ;2,8)

(−0,1𝑜 ;4,5) (0,11𝑜 ;4,6)

MÚLTIPLAS FENDAS (PADRÃO)• Máximos de interferência:

• Ótica Experimental – Tiago B. Batalhão, Eduardo R. de Azevêdo, Luiz Antônio de Oliveira Nunes

• http://1mundodecores.blogspot.com/2010/11/o-pequeno-espectro-de-cor-que-vemos.html (15/06/2011)

• http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/mecanica-ondulatoria/difracao-das-ondas.php (16/06/2011)

• http://www.alunosonline.com.br/fisica/difracao.html (16/06/2011)

• http://www.physics.upenn.edu/courses/gladney/phys151/lectures/lecture_apr_21_2003.shtml (16/06/2011)

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Huygens (16/06/2011)

• http://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Jean_Fresnel (16/06/2011)

• http://en.wikipedia.org/wiki/File:HuygensDiffraction.svg (16/06/2011)

• http://omnis.if.ufrj.br/~phsr/OPT/difrac.pdf (16/06/2011)

• http://thyvikings.cool.coocan.jp/wordpress/?tag=goodman (17/06/2011)

• http://www.ifi.unicamp.br/~accosta/roteiros/3/nota%2003.html (19/06/2011)

• http://www.bioinformatics.nl/webportal/background/xrayinfo.html (19/06/2011)

• http://www.fct.unl.pt/expofct/dee.html (19/06/2011)

FONTES