Rotação em torno de eixos

Prof. Alexandre Lara

Rotação

• Considerando um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo horizontal, a velocidade e a aceleração angular são causadas por um sistema de forças e momentos binários externos agindo no corpo.

Rotação

• A equação de momento pode ser atribuída por um somatório dos momentos em torno de um ponto arbitrário P tomado no corpo ou for a dele, desde que se levem em conta os momentos de ,em relação a esse ponto P.

Pkm )(ntGG aGmeamI )(__)(,

GtGGOOkO IamrMmM )(;)(

Rotação

• Realizando as substituições e aplicando o teorema dos eixos paralelos, podemos escrever as três equações de movimento para um corpo como:

Exemplo

• A barra fina de 20kg mostrada gira num plano vertical, e, num dado instante, tem velocidade angular ω=5 rad/s. Determine a aceleração angular da barra e os componentes horizontais e vertical da reação no pino nesse instante.

Solução

• Diagrama de corpo livre e dinâmico

Sistemas de eixo em rotação

• Em alguns casos a análise cinemática será melhor executada se o movimento for analisado utilizando um sistema de coordenadas que translade e rotacione. Por exemplo o movimento de dois pontos que não estão sobre um mesmo mecanismo. Serão desenvolvidas duas equações que relacionam a velocidade e aceleração de dois pontos, sendo um deles origem de um sistema de referência móvel.

Rotação de eixos que giram

• Considerando os pontos A e B, com localizações especificadas rA e rB são medidas em relação ao eixo de coordenadas X, Y e Z. O ponto base A representa a origem do eixo de coordenadas x, y e z, que assume translação e rotação em relação ao eixo X, Y e Z.

Vetor rB

• Usando adição vetorial:

• No instante considerado o ponto A tem velocidade vA e aceleração aA, enquanto a velocidade angular e aceleração angular de x e y é Ω e dΩ/dt.

ABAB rrr

Velocidade

• A velocidade do ponto B pode ser determinada pela derivada temporal de:

• O último termo:

dt

drvv A

B

AB

dt

djy

dt

dixj

dt

dyi

dt

dx

dt

djyj

dt

dy

dt

dixi

dt

dx

jyixdt

d

dt

dr

BBBB

BB

BB

BBA

B

)(

• Os dois primeiros termos representam as componentes da velocidade do ponto B, para um observador que se move com x,y,z. Esse é o vetor (vB/A)xyz . No segundo termo há a taxa de variação temporal instantânea dos vetores i e j para um observador fixo em X,Y,Z.

• A variação de di e dj se deve a rotação dθ dos eixos x,y,z, fazendo i se tornar i’=i+di, e j’=j+dj.

• As derivadas podem ser expressas:

• Portanto:

jidt

d

dt

dj

jjdt

d

dt

di

)(

)(

jdt

dj

idt

di

ABxyz

ABBBxyz

AB

AB

rvjyixvdt

dr )()()(

Equação

• A equação se torna:

• Em que:

• vB= velocidade de B, medida a partir da referência XYZ

• vA= velocidade da origem A de xyz medida a partir de XYZ

• (vB/A)xyz = velocidade de B em relação a A, medida a partir de um observador fixo nos eixos que giram xyz.

• Ω=velocidade angular xyz, medidas a partir da referência em XYZ

• rB/A= posição de B em relação a A.

xyzA

BA

BAB vrvv )(

Equação

• A equação da aceleração:

• aB= aceleração de B, medida a partir da referência XYZ • aA= aceleração da origem A de xyz a partir de XYZ • (aB/A)xyz(vB/A)xyz = aceleração e velocidade de B em

relação a A, medida a partir de um observador fixo nos eixos que giram xyz.

• Ω, Ω =aceleração e velocidade angular xyz, medidas a partir da referência em XYZ

• rB/A= posição de B em relação a A.

xyzA

BxyzABA

BA

BAB avrraa )()(2)(