Diniz Galvao C - Unesp

UMA REPARAMETRIZACAO D AS PRO B AB IL ID AD ES D E

CAPTURA EM UM MO D EL O B AY ES IAN O D E

CAPTURA-RECAPTURA

Marcelo de PAULA1

C arlos Alb erto R ib eiro D IN IZ 2

J ose G alv ao LE IT E 2

RESUMO: A proposta deste trabalho e apresentar uma reparametrizacao para as

probabilidades de captura de um processo de captura-recaptura com o objetiv o de

v erifi car possıv eis v antag ens e desv antag ens em relacao ao modelo bay esiano proposto

por C astledine (1 9 8 1 ). P ara isso foram consideradas duas diferentes prioris de referencia

para as probabilidades de captura do modelo bay esiano proposto por C astledine a fi m

de comparar as estimativ as a posteriori deste com as estimativ as a posteriori do modelo

onde as probabilidades de captura foram reparametrizadas. A-presentamos um estudo

de simulacao com diferentes probabilidades de capturas com o objetiv o de concretizar tal

comparacao. As estimativ as bay esianas do tamanho populacional foram obtidas atrav es

de alg oritmos de simulacao estocastica, v ia MC MC (Monte C arlo Mark ov C hain).

P AL AV RAS-C H AV E: P rocesso de captura-recaptura; populacao fechada; analise

bay esiana; simulacao estocastica.

1 Introducao

O p rocesso de cap tu ra e recap tu ra, n o caso da estim acao do tam an h o

p op u lacion al, con siste em selecion ar u m a am ostra de tam an h o n1 de u m a p op u lacao

m arcan do-a e dev olv en do-a a p op u lacao. Ap os u m certo p erıodo de tem p o selecion a-

se u m a seg u n da am ostra aleatoria de tam an h o n2, con ta-se o n u m ero de elem en tos

m arcados e m arca-se os elem en tos n ao m arcados, dev olv en do-os a p op u lacao. Ap os

1Instituto de Ciencias Ambientais e Desenvolvimento Sustentavel, Universidade Federal da Bahia– UFBA, CE P : 4 7 8 0 5 -1 0 0 , Barreiras, BA, Brasil. E -mail: [email protected]

2Dep artamento de E statıstica, Universidade Federal de Sao Carlos – UFSCar, CE P : 1 3 5 6 5 -9 0 5 , SaoCarlos, SP , Brasil. E -mail: d cad@pow er.ufscar.br / [email protected]

R ev . B ras. B iom., Sao P aulo, v.2 6 , n.2 , p .1 1 5 -1 2 8 , 2 0 0 8 1 1 5

um certo perıodo de tempo seleciona-se uma terceira amostra de tamanho n3,conta-se o numero de elementos marcados, marca-se os elementos nao marcados,devolvendo-os a populacao, e assim por diante. Esse processo e realizado s vezes(s ≥ 2 ).

O interesse em estimar tamanhos de populacoes surgiu em meados do seculoX V II, segundo W hite et al. (1 9 8 2 ). H istoricamente, Laplace (1 7 8 6 ) utilizou talprocesso para estimar o tamanho da populacao da F ranca. Em ecologia, o primeiropesq uisador a empregar este metodo foi o dinamarq ues Carl G. J. Petersen (1 8 9 6 ),q ue estudou o fl ux o migratorio de peix es no mar B altico.

As tecnicas de captura-recaptura podem ser usadas para populacoes fechadasou abertas. Uma po p u lac ao fech ad a e aq uela em q ue os efeitos de nascimento,mortalidade e migracao nao sao considerados, isto e, supoem-se q ue seu tamanhonao se altera durante o perıodo de estudo (Comack , 1 9 9 2 ). Uma po p u lac ao aberta

e aq uela q ue durante a realizacao do ex perimento se altera em tamanho e emcomposicao por ocorrencia de nascimentos, mortes e migracoes. Com relacao aoestudo de populacoes abertas, varios outros autores destacaram-se. Entre os maiscitados estao Jolly e S eber (1 9 6 5 ), Pollock (1 9 9 1 ) e S chw arz e Arnason (1 9 9 6 ).

B asicamente ex istem tres abordagens para a estimacao do tamanho populaci-onal, a partir de amostras obtidas pelo processo de captura-recaptura: a primeirae a abordagem classica (Otis et al. (1 9 7 8 ), Engen (1 9 7 8 )), a segunda e a B ay esiana(S mith (1 9 8 8 ), Mingoti (2 0 0 0 ), W ang (2 0 0 2 ), Madigan et al. (1 9 9 7 ), Castledine(1 9 8 1 ), H unter e Griffi ths (1 9 7 8 ), Castledine (1 9 8 1 ), S mith (1 9 8 8 ,1 9 9 1 ), George eRobert (1 9 9 2 ), Ananda (1 9 9 7 ), Y oshida (1 9 9 6 ), Y oshida et al. (1 9 9 9 ), Leite et al.(2 0 0 0 ), K ing et al. (2 0 0 1 )) e a terceira e a relacionada com a aplicacao de modeloslog-lineares para tabelas de contingencia incompletas (Coull et al. (1 9 9 9 ), Cormarck(1 9 8 9 ), B ishop et al. (1 9 7 5 ), Abeni (1 9 9 4 ), Rivest et al. (2 0 0 4 )). Neste trabalhofaremos o estudo sob o enfoq ue bay esiano.

A maior parte das aplicacoes do processo de captura-recaptura diz respeitoa inferencia sobre tamanhos de populacoes animais (S eber (1 9 8 6 , 1 9 9 2 ), Pollock(1 9 7 4 , 1 9 9 1 ), Pollock et al. (1 9 8 3 , 1 9 8 4 )). No entanto, mais recentemente,esta metodologia passou a ser utilizada em estudos sociais e epidemiologicos,oceanografi a, dinamica de frota de veıculos, modelagem de demografi a de insetos,dentre outras aplicacoes.

Com o objetivo de se obter aprox imacoes dos valores de ex pressoes analıticascomplex as, as programacoes desenvolvidas neste trabalho para o estudo desimulacao estocastica via Monte Carlo Markov Chain (MCMC), algorıtmode G ibbs S am p lin g (” Amostrador de Gibbs” , ver Geman e Geman (1 9 8 4 ) e Gelfande S mith (1 9 9 0 ), Casella et al. (1 9 9 2 ), S mith et al. (1 9 9 3 )) e algorıtmo de M etro po lis

H astin gs (ver Metropolis et al. (1 9 5 3 ), H astings (1 9 7 0 ), Chib et al. (1 9 9 5 ))foram implementadas no S oftw are R, cuja convergencia foi monitorada pelo pacoteCODA - Converg ence Diag nostic s and Ou tp u t Analy sis Softw are forG ib b s Sam p ling Ou tp u t (B est et al. 1 9 9 5 ).

116 Rev. Bras. Biom., Sao Paulo, v.26, n.2, p.115-128, 2008

2 Metodologia

Nesta secao apresentamos o modelo estatıstico e determinamos afuncao de verossimilhanca para o metodo de captura-recaptura com s estagios demarcacao (s ≥ 2) proposto por Castledine (1981). Denotemos por

N : tamanho desconhecido da populacao,s : numero de amostras selecionadas (epocas de captura), s ≥ 2,pj : probabilidade de qualquer animal ser capturado na j-esima amostra,

j = 1, 2, ..., s,p = (p1, p2, ..., ps),nj : numero de animais capturados na j-esima amostra, j = 1, 2, ..., s,mj : numero de animais marcados recapturados na j-esima amostra, j =

1, 2, ..., s.Vamos supor que as seguintes condicoes sejam verificadas:

1 . a populacao e fechada;2 . nao ha animais marcados na populacao no inıcio do processo, isto e, m1 = 0;3 . os animais comportam-se independentemente uns dos outros;4 . as marcas nao afetam a capturabilidade do animal;5 . os animais nao perdem suas marcas durante o processo;6 . as epocas de amostragem sao independentes.

Neste caso, a funcao de verossimilhanca (ver por exemplo Zacharias (2000)e Paula (2006)) e tal que

L (N,p | D) = P (n1, m 1; n2, m 2; ...; ns, m s | p,N) ∝N

r

s

j= 1

pnj

j (1 − pj)N−nj ,N ≥ r, (1)

onde D = (n1, m1; n2, m2; ...; ns, ms) representa os dados, r =

s∑

j= 1

nj −

s∑

j= 1

mj

corresponde ao numero de animais distintos capturados ao longo do processo e0 < pj < 1, j = 1, 2, ..., s.

2 .1 Modelo bayesiano

Nesta secao a inferencia sobre N e analisada sob o enfoque bayesiano, ou seja,utilizamos conhecimento a priori sobre o tamanho populacional N , como do vetorde probabilidades p = (p1, p2, ..., ps).

Suponhamos que as probabilidades de captura sejam, a priori, independentes eidenticamente distribuıdas, com pj , j = 1, 2, ..., s, seguindo distribuicao Be ta (α, β)com α e β conhecidos (α > 0, β > 0) e que a distribuicao a priori de N sejaπ (N) , N = 1, 2, . . . , com N e p independentes. Entao, a distribuicao a priori

conjunta de N e p e igual a

π (N,p) = π (N) π (p) =

s∏

j= 1

1

B(α, β)pα−1

j (1− pj)β−1π (N) , (2 )

Rev. B ra s. B io m ., S a o P a u lo , v .2 6 , n .2 , p .1 1 5 -1 2 8 , 2 0 0 8 1 1 7

e a distribuicao a posteriori con jun ta de N e p e tal q ue

π(N,p | D) ∝

(

N

r

) s∏

j=1

pnj+α−1

j (1 − pj)N−nj+β−1π(N), N ≥ r. (3 )

E m m uitas situacoes p raticas, p odem os n ao ter in form acao a priori sobre op aram etro de in teresse. N este caso, dev em os con siderar um a distribuicao a priori

n ao-in form ativ a. C on sideram os duas diferen tes prioris n ao in form ativ as p ara asp robabilidades de cap tura do m odelo bay esian o p rop osto p or C astledin e (19 8 1) afi m de com p arar as estim ativ as a posteriori deste m odelo com as estim ativ as a

posteriori do m odelo on de a p robabilidade de cap tura foi rep aram etrizada, a saber:

1. P riori n ao in form ativ a de J eff rey s, isto e, Be ta (α = 0 , 5 ;β = 0 , 5 ):

π (pj) =1

B (α, β)p−

1

2

j (1 − pj)−

1

2 , j = 1, 2, ..., s . (4 )

2. P riori n ao in form ativ a de N ov ick an d H all’s:

π (pj) =1

pj (1 − pj), j = 1, 2, ..., s . (5 )

B ox e T iao (19 7 3 ) discutiram as ideias de J eff rey s (19 6 1), sobre a distribuicao a

priori p ara rep resen tar o estado de ausen cia de in form acao ou ig n oran cia a resp eitodo com p ortam en to p robabilıstico dos p aram etros. O estudo abran g eu os casosun ip aram etricos e m ultip aram etricos. A crıtica m ais freq uen te a an alise B ay esian ae q ue diferen tes prioris con duzem a diferen tes resp ostas. C on tudo, com o in teressede en con trar “ objetiv idade” p ode-se usar prioris n ao-in form ativ as.

S e h ouv er um a am ostra p eq uen a de dados, e n ecessario fazer serias con -sideracoes p ara a in form acao a priori. Q uan do a am ostra e g ran de, in terv alosde con fi an ca classicos e in terv alo de credibilidade B ay esian o serao q uase iden ticosn um ericam en te. P ara m ais in form acoes sobre prioris n ao in form ativ as v er N ov ickan d H all (19 6 5 ), J eff rey s (19 6 1), B ox e T iao (19 7 3 ) e Y an g et. al (19 9 4 , 19 9 5 , 19 9 6 ).

2 .2 R epa ra m e triz a c a o d a s pro b a b ilid a d e s d e c a ptu ra

N esta secao ap resen tam os um a rep aram etrizacao do v etor de p robabilidadesde cap tura p = (p1, p2, ..., ps) con sideran do um a estrutura h ierarq uica. A trav es deum estudo de sim ulacao v erifi cam os o efeito desta rep aram etrizacao n as estim ativ asa posteriori dos p aram etros. R eescrev en do as p robabilidades de cap tura com o

pj =ex p

(

ηj

)

1 + ex p(

ηj

) , j = 1, 2, ..., s , (6 )

tem os q ue a fun cao de v erossim ilh an ca rep aram etrizada e tal q ue


L (N, η |D) ∝

(

N

r

) s∏

j=1

exp{

njηj

}

[

1 + exp{

ηj

}]N, N ≥ r, −∞ < ηj < ∞, (7)

onde η = {η1, η2, ..., ηs}. D e (6) temos a funcao de ligacao

lo g

(

pj

1 − pj

)

= ηj ,−∞ < ηj < ∞, j = 1, 2, ..., s. (8)

O uso dessa transformacao logito e usual quando desejamos sair do espacoparametrico de pj , 0 < pj < 1, j = 1, 2, ..., s e trabalhar no espaco parametrico deηj , −∞ < ηj < ∞, j = 1, 2, ..., s.

2.3 Distribuicao a posteriori

Para a implementacao de um modelo bayesiano hierarquico adotamos asseguintes distribuicoes a priori :

π (N) = N−1;ηj ∼ N

(

µ, σ2)

, j = 1, 2, ..., s;µ ∼ N

(

a, b2)

;σ2

∼ I G (c, d);

(9)

onde a, b, c e d sao hiperparametros conhecidos. D e (7) e (9) segue que a distribuicaoa posteriori conjunta de N , η = {η1, η2, ..., ηs}, µ, σ2 e tal que

π N,η,µ,σ2 | D ∝ N

r

s

j= 1

exp njηj

1 + exp ηjN

(10)

× 1√2πσ2

exp − 1

2σ2ηj − µ

2 × exp − 1

2b2(µ − a)2

× σ2 −(c+ 1 )exp

−d

σ2×

1

N.

As distribuicoes condicionais necessarias para implementar o algorıtmo Gibbs

S a m p lin g (v er por ex emplo, G eman e G eman, 19 8 4 e G elfand e S mith , 19 9 0 ),conjuntamente com o algorıtmo de M etro po lis H a stin gs, a partir de (10 ), sao dadasa seguir.

(1) A distribuicao condicional de N − r, dados η, µ, σ2 e D e tal q ue

N − r | η, µ, σ2, D ∼ B N

r, 1 −

s∏

j= 1

[

1

1 + eηj

]

, (11)

onde B N denota a distribuicao binomial negativ a;

Rev. B ra s. B io m ., S a o P a u lo , v .2 6 , n .2 , p.115 -12 8 , 2 0 0 8 119

(2) a distribuicao condicional de η, dados N, µ, σ2 e D e tal que

ηj | N, µ, σ2, D ∝ exp

{

−1

2σ2

(

ηj − µ)2

}

×exp

{

njηj

}

[

1 + exp{

ηj

}]N, j = 1, 2, ..., s; (12)

(3 ) a distribuicao condicional de µ, dados N, η, σ2 e D e tal que

µ | N, η, σ2, D ∼ N

b2

s∑

j=1

ηj + σ2a

sb2 + σ2,

b2σ2

sb2 + σ2

; (13 )

(4 ) a distribuicao condicional de σ2, dados N, η = {η1, η2, ..., ηs}, µ e D e tal que

σ2 | N, η, µ, D ∼ I G

s

2+ c ,

s∑

j=1

(

ηj − µ)2

2+ d

. (14)

onde I G denota a distribuicao gama inversa.

3 Resultados e discussao

3 .1 P ro b a b ilid a d e s d e c a ptu ra ig u a is

C om o objetivo de comparar as estimativas bay esianas produz idaspelo modelo bay esiano original proposto por C astledine (considerando cada uma dasduas prioris de referencia) e o modelo hierarquico com probabilidades de capturareparametrizadas foi realizado um estudo de simulacao com s = 6 epocas de captura,supondo uma populacao de tamanho N = 5 000. O vetor de probabilidades e dadopor p = (p1, p2, ..., p6) com p1 = p2 = ... = p6 = p. F oram atribuıdas 24 valores a p.

C omo p = e x p (η)1+ e x p (η) , temos, para cada valor de p, um valor de η e um valor simulado

da estatıstica r, como apresentada na T abela 1.

L embremos que a estatıstica r e dada por r =

s∑

j=1

nj −

s∑

j=1

mj , ou seja, e o

numero de animais distintos capturados durante todo o processo.A T abela 2 mostra os resultados a posteriori para o tamanho populacional N

segundo os M odelos I ao M odelo III, respectivamente, a saber:

M o d e lo I. M odelo bay esiano proposto por C astledine (1981) com distribuicao a

priori nao informativa de J eff rey s, π (N) ∝ N−1, para o tamanho populacional N


Tabela 1 - Resultados das simulacoes com diferentes valores de p e N = 5000

Prob. Captura R eparam . E statıstica Prob. Captura R eparam . E statıstica

pj = p η r pj = p η r

0, 005 −5, 2933 134 0, 40 −0, 4055 47 130, 01 −4, 5951 27 5 0, 45 −0, 2007 49070, 02 −3, 8918 521 0, 50 0 49690, 03 −3, 47 61 87 4 0, 55 0, 2007 49100, 04 −3, 17 81 1124 0, 60 0, 4055 50000, 05 −2, 9444 1336 0, 65 0, 6190 50000, 10 −2, 197 2 2319 0, 7 0 0, 847 3 50000, 15 −1, 7 346 3111 0, 7 5 1, 0986 50000, 20 −1, 3863 3626 0, 80 1, 3863 50000, 25 −1, 0986 4145 0, 85 1, 7 346 50000, 30 −0, 847 3 4343 0, 90 2, 197 2 50000, 35 −0, 6190 4556 0, 95 2, 9444 5000

e um produto de prioris nao informativas Beta(α = 0, 5; β = 0, 5) para o vetor deprobabilidades p = (p1, p2, ..., p6).

Modelo II. Modelo bayesiano proposto por Castledine (1981) com distribuicao a

priori nao informativa de Jeffreys, π (N) ∝ N−1, para o tamanho populacional N

e um produto de prioris nao informativas de N ovick and H all’s para o vetor deprobabilidades p = (p1, p2, ..., p6).

Modelo III. Modelo de captura-recaptura utilizado por Castledine (1981) comreparametrizacao das probabilidades de captura considerando uma distribuicao apriori de Jeffreys, π (N) ∝ N−1, para o tamanho populacional N e uma distribuicaoa priori N ormal com media centrada em zero e variancia σ2 = 1000 para ηj , j =1, 2, ..., s.

P ara cada um dos 24 casos considerados na Tabela 1 e considerando os modelosI e II foram geradas duas cadeias de 40000 iteracoes. Foram descartadas as primeiras20000 interacoes como ” bu rn-in”e foi atribuıdo um salto de tamanho 20, resultandoem uma amostra fi nal de tamanho 1 000 da distribuic ao a posteriori conjunta. P arao M odelo III foram g eradas duas cadeias de 7 0000 iterac oes. F oram descartadasas p rimeiras 20000 interac oes como ”bu rn -in ”e foi atribuıdo um salto de tamanho5 0, resultando em uma amostra fi nal de tamanho 1 000 da distribuic ao a posteriori

conjunta.A T abela 2 mostra os resumos a posteriori do p arametro N (onde E (N | D)

denota a media a posteriori e (I C . 9 5 % de N ) denota o interv alo de credibilidade9 5 % ) dos M odelos I ao M odelo III resp ectiv amente.

P elos resultados ap resentados na T abela 2, com relac ao ao modelo I, observ a-seq ue as estimativ as a posteriori dos p arametros N sao satisfatorias q uando pj =p ≥ 0, 02, j = 1 , 2, ..., 6 . N as situac oes onde pj = p < 0, 02, o tamanho p o-p ulac ional foi em media subestimado, como e o caso de pj = 0, 005 e pj = 0, 01 ,

Rev. B ra s. B io m ., S a o P a u lo , v .2 6 , n .2 , p .1 1 5 -1 2 8 , 2 0 0 8 1 2 1

Tabela 2 - Estimativas a posteriori de N referentes aos Modelos I a III

Modelo I Modelo II Modelo III

Prob. r E(N|D) I C .9 5% E(N|D) I C .9 5% E(N|D) I C .9 5%

0, 005 13 4 2608 (9 14 ; 7 109 ) 7 825 (19 7 3 ;13 9 4 8) 13 6121 (2009 ; 4 7 84 02)0, 01 27 5 3 63 3 (19 9 3 ;669 6) 53 4 7 (253 2;114 04 ) 54 05 (254 4 ;11604 )0, 02 521 4 9 9 9 (3 4 52; 7 4 21) 5663 (3 7 81;87 11) 57 68 (3 7 57 ;87 27 )0, 03 87 4 4 87 2 (3 59 8;53 18) 4 501 (3 686;54 9 0) 4 508 (3 7 13 ;5506)0, 04 1124 4 54 2 (3 9 10;527 4 ) 4 621 (3 9 7 2;53 7 6) 4 611 (3 9 9 6;53 86)0, 05 13 3 6 4 7 3 5 (4 164 ;53 7 5) 4 7 9 0 (4 224 ;54 3 7 ) 4 7 87 (4 225;54 57 )0, 10 23 19 4 87 3 (4 600;517 4 ) 4 888 (4 609 ;5180) 4 886 (4 608;5212)0, 15 3 111 4 9 54 (4 7 80;514 0) 4 9 60 (4 7 9 4 ;514 4 ) 4 9 57 (4 7 82;513 2)0, 20 3 626 4 83 2 (4 7 24 ;5152) 4 83 3 (4 7 25;5109 ) 4 83 5 (4 7 28; 4 9 4 7 )0, 25 4 14 5 5069 (4 9 84 ;5157 ) 507 0 (4 9 85;5157 ) 5069 (4 9 83 ;5151)0, 3 0 4 3 4 3 4 89 4 (4 83 5;5053 ) 4 9 03 (4 83 7 ;5125) 4 89 4 (4 83 3 ; 4 9 54 )0, 3 5 4 556 4 9 09 (4 865;5054 ) 4 9 15 (4 867 ;5112) 4 9 10 (4 868;4 9 54 )0, 4 0 4 7 13 4 9 3 3 (4 9 01;5066) 4 9 3 4 (4 9 00;5088) 4 9 3 3 (4 9 02; 4 9 68)0, 4 5 4 9 07 5054 (4 9 61;5081) 5054 (5029 ;5081) 5054 (5028;5080)0, 50 4 9 69 5053 (4 9 68;507 3 ) 5053 (503 4 ;507 3 ) 5053 (503 4 ;507 2)0, 55 4 9 10 4 9 9 7 (4 9 89 ;5018) 4 9 88 (4 9 3 6;503 8) 4 9 4 8 (4 9 3 6; 4 9 61)0, 60 4 9 9 8 5006 (5003 ;5012) 5012 (5008;503 2) 5022 (5012;503 2)0, 65 4 9 9 9 5003 (5002;5003 ) 5008 (5004 ;5017 ) 5010 (5004 ;5017 )0, 7 0 5000 5002 (5001;5003 ) 5002 (5000;5003 ) 5004 (5000;5004 )0, 7 5 5000 5001 (5001;5002) 5001 (5000;5002) 5001 (5000;5004 )0, 80 5000 5000 (5000;5001) 5000 (5000;5002) 5000 (5000;5002)0, 85 5000 5000 (5000;5001) 5000 (5000;5001) 5000 (5000;5001)0, 9 0 5000 5000 (5000;5000) 5000 (5000;5000) 5000 (5000;5000)0, 9 5 5000 5000 (5000;5000) 5000 (5000;5000) 5000 (5000;5000)

j = 1, 2, ..., 6, onde a amplitude dos intervalos de credibilidade foram maiores que osdemais casos. Isso ocorre devido ao fato da probabilidade de captura ser pequenaresultando numa estatıstica r pequena, ou seja, ha falta de dados. O s estudosde simulacao evidenciaram que quando a estatıstica r e maior que a metade dotamanho populacional N

(

r ≥ N2

)

, as estimativas a posteriori dos parametros saosatisfatorias.

Com relacao ao modelo II observa-se que as estimativas a posteriori dosparametros N foram superestimadas nos casos de probabilidade de captura pequena,isto e, onde a estatıstica r e pequena e a amplitude dos intervalos de credibilidadeforam maiores que os demais casos.

Considerando o modelo III as estimativas a posteriori para N sao satisfatoriasquando pj = p ≥ 0, 15, j = 1, 2, ..., 6. Pelos resultados apresentados na Tabela 2podemos concluir que os Modelos I e II sao, no mınimo, equivalentes ao ModeloIII. Ex istem intervalos de credibilidade que nao contem o verdadeiro valor de N nosresultados referentes ao modelo III. O u seja, a reparametrizacao nao e mais eficientedo que a utilizacao pura e simples do parametro.

A Figura (1) mostra graficamente o comportamento das estimativas dotamanho populacional N segundo cada modelo estudado. O bserve que, para valoresde p > 0, 6, os comportamentos das estimativas de N em ambos os modelos saoequivalentes.


2000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

8 000

9 000

1 0000

1 1 000

1 2000

0 5 00 1 000 1 5 00 2000 25 00 3 000 3 5 00 4 000 4 5 00 5 000

Estatística r

N

M o d e lo c o m p r io r i B e ta (0,5 ;0,5 ) M o d e lo c o m p r io r i N o v ic k a n d H a ll's

M o d e lo R e p a r a m e tr iz a d o T a m a n h o p o p u la c io n a l N v e r d a d e ir o

Figura 1 - Comportamento das estimativas de N segundo os modelos I, II e III.

3.2 Probabilidades de captura diferentes

Para completar o estudo sobre os modelos, comparamos os mesmosconsiderando probabilidades de captura diferentes para cada epoca por meio dediferentes cenarios, conforme mostra a Tabela 3 .

Tabela 3 - D iferentes cenarios

N = 5000, s = 6.p1 p2 p3 p4 p5 p6

Cenario 1 0, 05 0, 10 0, 15 0, 20 0, 25 0, 3 0Cenario 2 0, 3 0 0, 25 0, 20 0, 15 0, 10 0, 05Cenario 3 0, 05 0, 10 0, 15 0, 15 0, 10 0, 05Cenario 4 0, 25 0, 10 0, 02 0, 02 0, 10 0, 25Cenario 5 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 0, 06Cenario 6 0, 06 0, 05 0, 04 0, 03 0, 02 0, 01Cenario 7 0, 3 5 0, 12 0, 03 0, 03 0, 12 0, 3 5Cenario 8 0, 01 0, 08 0, 22 0, 22 0, 08 0, 01

C enario 1 : As probabilidades de captura aumentam a cada epoca, produzindo uma

estatıstica r grande.

Rev. Bras. Biom., Sao Paulo, v.26, n.2, p.115-128, 2008 123

Cenario 2: As probabilidades de captura diminuem a cada epoca, produzindo uma

estatıstica r grande.

Cenario 3: As probabilidades de captura aumentam ate a terceira epoca e em

seguida diminuem ate a ultima , produzindo uma estatıstica r moderada.

Cenario 4 : As probabilidades de captura diminuem ate a terceira epoca e em

seguida aumentam ate a ultima , produzindo uma estatıstica r moderada.

Cenario 5 : As probabilidades de captura aumentam a cada epoca, produzindo uma

estatıstica r pequena.

Cenario 6 : As probabilidades de captura diminuem a cada epoca, produzindo uma

estatıstica r pequena.

Cenario 7 : As probabilidades de captura diminuem ate a terceira epoca e em

seguida aumentam ate a ultima , produzindo uma estatıstica r grande.

Cenario 8 : As probabilidades de captura aumentam ate a terceira epoca e em

seguida diminuem ate a ultima , produzindo uma estatıstica r moderada.

A Tabela 4 mostra as estimativas a posteriori do tamanho populacional N

considerando cada Modelo para cada cenario.

Tabela 4 - Estimativas a posteriori do tamanho populacional NModelo I Modelo II Modelo III

r E(N|D) I . C .(9 5 % ) d e N E(N|D) I . C .(9 5 % ) d e N E(N|D) I . C .(9 5 % ) d e N

Cenario 1 3444 5006 (4544; 5009) 4896 (4802; 5034) 4867 (47 31 ; 5000)C e n a rio 2 3422 4936 (47 65; 501 1 ) 4987 (4837 ; 501 8) 4866 (47 35; 5009)C e n a rio 3 2358 4904 (4605; 51 7 3) 4867 (47 21 ; 51 45) 4887 (461 0; 51 81 )C e n a rio 4 27 7 4 497 9 (4504; 501 4) 5054 (4669; 501 7 ) 47 99 (4596; 5028)C e n a rio 5 949 5063 (41 27 ; 587 2) 4898 (4326; 621 1 ) 51 88 (4205; 6366)C e n a rio 6 938 5028 (3542; 51 7 0) 4943 (3804; 5392) 4882 (37 02; 541 6)C e n a rio 7 3395 497 4 (467 5; 51 39) 4954 (4543; 5061 ) 4805 (4667 ; 5049)C e n a rio 8 2523 501 8 (4927 ; 5522) 5029 (4945; 5550) 5241 (4950; 557 5)

Observe que os Modelos I, II e III comecam a produzir resultados

similares a medida que a estatıstica r aumen ta. N ovamen te os estudos de

simulacao eviden ciaram que quan do a estatıstica r e maior que a metade do

taman h o populacion al N(

r ≥N

2

)

, as estimativas a posteriori dos parametros

sao satisfatorias para ambos os modelos estudados. N este caso podemos tambem

con cluir que os modelos sao equivalen tes.

Conclusoes

A luz dos resultados apresen tados n a T abela 2 , con sideran do probabilidades

de captura ig uais para as epocas, e os resultados apresen tados n a T abela 4 ,

con sideran do o caso de probabilidades de captura diferen tes para cada epoca,

a medida que a estatıstica r aumen ta, n ao h a diferen cas en tre os Modelos

124 Rev. B ra s. B io m ., S a o P a u lo , v .26 , n .2, p .115 -128 , 20 0 8

considerados. Os estudos de simulacao evidenciaram que quando a estatıstica r emaior que a metade do tamanho populacional N

(

r ≥N

2

)

, as estimativas a posteriori

dos parametros sao satisfatorias para ambos os modelos estudados. D esta formaa reparametrizacao da probabilidade de captura nao se mostrou uma alternativaefi ciente para o modelo de captura-recaptura.

P AU L A, M.; D INIZ , C . A. R .; L E ITE , J . G . Transformation to the capture-recapture probabilities from B ay esian model. R ev. B ras. B iom ., S ao P aulo, v.26 ,n.2, p.1 1 5 -1 28 , 20 0 8 .

ABSTRACT: The proposal this paper is to present a transformation to the capture-

recapture prob ab ility from capture-recapture process w ith ob jectiv e that to v erify

possib le the ins and outs in respect to b ay esian mod el consid ered b y Castled ine (1 9 8 1 ).

F or this on consid ered tw o d iff erent non informativ e priors for the capture prob ab ilities

from b ay esian mod el consid ered b y Castled ine in ord er to compare the them posterior

estimates w ith the posterior estimates that mod el w here the capture prob ab ilities w as

transformed . W e present a simulation stud y consid ering d iff erent capture prob ab ilities

w ith ob jectiv e to found this comparison. The population size posteriori b ay esian

estimates w as mad e throug h sev eral stud ies of stochastic simulation throug h M CM C

(M onte Carlo M ark ov Chain).

K E Y W O RD S: Capture-recapture process; closed population; b ay esian analy sis;

stochastic simulation.

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