Disciplina:Sistemas Fluidomecânicos

Mecânica dos Fluidos: RevisãoDefinições, Propriedades dos Fluidos, Estática dos Fluidos, Cinemática dos Fluidos, Equação da Energia para Regime Permanente.

Definição de Fluido

• Experiência das duas placas:

• Sólido: se deforma angularmente até alcançar nova posição de equilíbrio estático. As tensões internas equilibram a ação da força F externa, e somente uma variação da força F pode modificar o sólido.

• Líquido: se deforma continuamente, sem alcançar nova posição de equilíbrio estático, enquanto F for aplicada.

FF

Tensão de Cisalhamento Lei de Newton da Viscosidade

• Tensão de cisalhamento média:

� =���

• A placa é inicialmente acelerada pela força Ft. Porém, a partir de um certo momento, a velocidade de deslocamento da placa se torna constante: A força externa é equilibrada por forças internas do fluido. Quais?

�⃗

��

��

Força aplicada

Componente tangencial

Componente normal

A

• Forças internas do fluido?

• Princípio da aderência: a camada de fluido junto à placa A se desloca com a placa na mesma velocidade v0, enquanto que a camada de fluido em contato com a placa B, fixa, estará com velocidade nula. As camadas intermediárias se deslocam com velocidades entre 0 e v0.

• Deste modo, cada camada de fluido se desloca sobre a outra, criando um atrito entre elas. Este atrito é a origem de uma força tangencial que se contrapõem a Ft, acabando por equilibra-la.

y

A

B

v0

vv1

v2

Diagrama de velocidades

��

• Deste modo, percebe-se que a tensão de cisalhamento é proporcional a variação da velocidade ao longo do eixo da ordenada:

� ∝��

��

• Esta é a lei de Newton da viscosidade, e os fluidos que obedecem a esta lei são chamados de fluidos newtonianos.

y

A

B

v0

vv1

v2

Diagrama de velocidades

��

Viscosidade Dinâmicaou Viscosidade Absoluta

• Sabe-se que a tensão de cisalhamento é proporcional a variação da velocidade ao longo do eixo da ordenada. O fator de proporcionalidade é denominado como viscosidade dinâmica ou absoluta:

� = ���

��

• A grandeza é uma propriedade de cada fluido e varia em função da pressão entre outros fatores externos, mas, principalmente, da temperatura.

Viscosidade é a propriedade que indica a maior ou menor dificuldade do fluido escoar !

Fluido Ideal• Fluido ideal seria um fluido cuja viscosidade fosse nula, ou

seja, um fluido que escoaria sem atrito.

• Embora este fluido não exista, em algumas situações é conveniente considerar o fluido relacionado a um determinado estudo como sendo um fluido ideal.

• Diz-se que um fluido é incompressível se o seu volume não varia com a pressão (massa específica seria constante). Este fluido também não existe, mas em algumas situações muitos fluidos tem comportamento muito próximo ao de um fluido incompressível.

Fluido Incompressível

Equação de Estado dos Gases

• Quando um fluido não puder ser considerado incompressível e ao mesmo tempo houver efeitos térmicos, haverá necessidade de se determinar as variações da massa específica em função da temperatura e pressão.

• Supondo o fluido como sendo um gás perfeito, suas propriedades obedecerão à equação de estado:

� = �. �. �

• Para o ar, R= 287 m2/s2K. Temperatura expressa em Kelvin, pressão em pascal e em kg/m3.

Pressão

• Se Fn representa a força normal que age na superfície A, e se esta ação é uniforme sobre toda a superfície, então

� =���

�⃗

��

��

Força aplicada

Componente tangencial

Componente normal

A

Teorema de Stevin

• Seja um recipiente que contenha um fluido e dois pontos genéricos M e N. Unindo os pontos M e N constrói-se um cilindro com área de base dA.

l p

N

M

ZN ZM

h

dAPMdA

PNdA

dG

Plano horizontal de referência (PHR)

• Seja o ângulo formado pelo eixo MN com a horizontal.

• Seja ZN a cota do ponto N em relação à horizontal.

• Seja ZM a cota do ponto M em relação à horizontal.

• Seja h a diferença de cotas entre os dois pontos: h = ZM – ZN

• O fluido está em repouso e a resultante de forças atuantes no cilindro é nula.

l p

N

M

ZN ZM

h

dAPMdA

PNdA

dG

Plano horizontal de referência (PHR)

• As forças que agem sobre o cilindro:

��� = ��. �� no ponto N

��� = ��. �� no ponto M

� = ∫�. ��� na superfície lateral

�� = �. ��. � peso do fluido contido no cilindro

l p

N

M

ZN ZM

h

dAPMdA

PNdA

dG

Plano horizontal de referência (PHR)

• Projetando estas forças sobre o eixo MN:

• a) Forças relativas à pressão, atuantes na superfície do cilindro, são normais ao eixo, tendo assim componente nulo sobre o eixo.

• b)��. �� − ��. �� − ��. ���� = 0

l p

N

M

ZN ZM

h

dAPMdA

PNdA

dG

Plano horizontal de referência (PHR)

��. �� − ��. �� − ��. ���� = 0

��. �� − ��. �� = �. �. ��. ����

�� − �� = �. �. ����

l p

N

M

ZN ZM

h

dAPMdA

PNdA

dG

Plano horizontal de referência (PHR)

�� − �� = �. �. ����

�. ���� = ℎ = �� − ��

�� − �� = �. �� − ��

l p

N

M

ZN ZM

h

dAPMdA

PNdA

dG

Plano horizontal de referência (PHR)

1. Na diferença de pressão entre dois pontos não importa a distância entre eles, mas a diferença entre cotas.

2. A pressão dos pontos num mesmo plano horizontal é a mesma.

3. O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão.

4. Se a pressão na superfície livre de um líquido contido em um recipiente for nula, a pressão em um ponto em profundidade h dentro do líquido será dada por � = �. ℎ

5. Nos gases, como o peso específico é pequeno, para o caso de pequenas diferenças de cotas a diferença de pressão pode ser considerada nula.

Pressão sobre um pontode um fluido em repouso

• A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção.

Lei de Pascal

• A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.

1

2

3

4

1

2

3

4

A

�⃗

�� = �. ℎ� �� =�

�+ �. ℎ�

Carga de Pressão

• Abrindo um orifício em um duto onde escoa um fluido com pressão p e peso específico , um jato de líquido será lançado para cima.

p�

p�

h

Se este jato for canalizado, verifica-se que o líquido sobe até uma altura h (carga de pressão).

ℎ =�

�

Regime Permanente

• É aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto com o passar do tempo.

Nível constante

Fluxo cte

Fluxo cte

• As propriedades em cada ponto podem ser diferentes entre si, mas não mudam com o tempo.

Regime Variado

• É aquele em que as propriedades do fluido variam em cada ponto com o passar do tempo.

Nível não permanece estável

Fluxo não cte

Fluxo não estabiliza

Escoamento Laminar e Turbulento

laminar

turbulentoágua

Líquido colorido

Tubo de vidro diâmetro D

Filete de líquido colorido

Fluxo laminar

Fluxo turbulento

Escoamento de transição

Escoamento de transição

Escoamento de transição

Escoamento de transição

�� =���

�

Em tubos:

Regime laminarRe < 2000

Regime de transição2000 < Re < 2400

Regime turbulentoRe > 2400

Número de Reynolds

Trajetória

• Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos.

1 2

3

4 5

Linhas de Corrente

• Linha de corrente é a linha tangente aos vetores da velocidade de diferentes partículas no mesmo instante.

• Linhas de corrente e trajetórias são coincidentes em regimes permanentes.

1 2

3

4 5

Tubos de Corrente

• Tubos de corrente é a superfície formada por linhas de corrente que se apoiam em uma linha geométrica qualquer.

1. Tubos de corrente são fixos em regime permanente.

2. São impermeáveis a passagem de massa, ou seja, não há passagem de partículas através do tubo.

Escoamento Unidimensional

• Uma única coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido.

Escoamento Bidimensional

• Na figura abaixo, verifica-se que a variação da velocidade é função das coordenadas x e y. O escoamento é denominado de bidimensional.

Escoamento Tridimensional

• Conforme o fluxo e trajetórias envolvidas, mais coordenadas podem ser necessárias para descrever o escoamento. Quanto maior o número de coordenadas, mais complexo se tornam as equações pertinentes.

Equação da Continuidadepara regime permanente

• Seja o escoamento em um tubo de corrente. Em um tubo de corrente não há fluxo lateral de massa, então a vazão mássica que entra é igual a que sai.

��̇

��̇

��̇ = ��̇

����̇ = ����̇

������ = ������

������ = ���

Generalizando:

Equação da Energia: Introdução

• A equação da continuidade mostra que a massa de fluido que escoa por uma seção de um tubo de corrente é igual à que sai de outra seção do mesmo tubo de corrente.

• Isto faz com que seja possível fazer um balanceamento das massas ou vazões entre seções de entrada e saída de um sistema.

• Como energia não pode ser criada ou destruída, apenas transformada, é possível portanto equacionar o balanceamento energético do mesmo modo que para as massas.

Escoamento: Tipos de Energia

• Energia potencial: �� = �. �. �

• Energia cinética: �� =�

�.�. ��

Escoamento: Tipos de Energia

• Energia de pressão:

�� = ��� = ���� = ��∀

�∀ Variação de volume

Por definição: �� = ����

Portanto: ��∀= ����

⇒ ��� = � ��∀∀

� = �. �. � +1

2.�. �� + � ��∀

∀

Equação de Berloulli

�� +���

�

2+ ���� = �� +

����

2+ ����

ou

�� +���

2�+���= �� +

���

2�+���

• Qual o significado?

• Energia potencial por unidade de peso

• Energia cinética por unidade de peso

• Energia de pressão por unidade de peso

� =���

��=���

��

2�=���

2��=���

2�=���

�

�=�∀

�∀=�∀

�=����

�� +���

2�+���= �� +

���

2�+���

• Observe que a unidade de z é uma unidade de comprimento. A equação toda é expressa ao final por uma unidade de comprimento:

�� = �� +���

2�+���

�� = �� +���

2�+���

• Onde H1 = H2 e H é a energia total por unidade de peso ou carga total por unidade de peso.

• Máquina: todo dispositivo introduzido no escoamento, e que forneça ou retire energia na forma de trabalho.

• Toda máquina que forneça energia ao fluido é aqui denominada de “bomba”, e a que retire energia, de “turbina”.

Presença de Máquinae Equação da Energia

(1)

(2)

H1

H2

M

• Se não houver máquina, seria H1 = H2.

• Com a instalação de uma bomba, o fluido receberá um acréscimo de energia, de modo que H2 será maior que H1. Assim:

H1 + HB = H2

(1)

(2)

H1

H2

M

• Com a instalação de uma turbina, o fluido sofrerá um decréscimo de energia, de modo que H2 será menor que H1. Assim:

H1 - HT = H2

(1)

(2)

H1

H2

M

• Seja HM = HB se a máquina for uma bomba, HM = HT se a máquina for uma turbina. Então

�� + �� = ��ou

�� +���

2�+���+ �� = �� +

���

2�+���

Rearranjando:

�� =�� − ��

�+ �� − �� +

��� − ��

�

2�

• A equação mostra que a presença de uma máquina pode acarretar variações da carga de pressão, da potencial e da cinética.

• Para retirar a hipótese de fluido ideal, devem ser considerados os atritos internos no escoamento do fluido. Permanecem as hipóteses de escoamento permanente, fluido incompressível, propriedades uniformes e ausência de troca de calor induzido.

Equação da Energia: Fluido Real

(1)

(2)

H1

H2

Hp1,2

Energia perdida entre (1) e (2) por unidade de peso do fluido

• Com atrito, H1 > H2.

• Deste modo

H1 = H2 + Hp1,2

(1)

(2)

H1

H2

Hp1,2

Energia perdida entre (1) e (2) por unidade de peso do fluido

Hp1,2 é denominada de “perda de carga”.

• Havendo a presença de uma máquina entre (1) e (2):

�� + �� = �� + ���,�

ou

�� +���

2�+���+ �� = �� +

���

2�+���+ ���,�

• A equação mostra que a presença de uma máquina pode acarretar variações da carga de pressão, da potencial e da cinética.

• Antes de definir potência de máquina, será definida “potência do fluido”.

• Potência (N), por definição, é trabalho por unidade de tempo.

� =�������������

�����

� =�������������

����×

����

�����

� = ����� × �̇ × � ⇒ � = �.�. �

Potência de Máquina e Rendimento

• Com esta definição, é possível estimar a potência de um jato:

• A carga ou energia do jato por unidade de peso é dada por

�� =��

�+���

2�+ ��

• Se o PHR passa pelo centro do bocal, zj = 0. Além disso, o jato é lançado à pressão atmosférica, portanto pj = 0.

PHR

Aj

Vj

• Logo

�� =���

2�

• Isto significa que o jato tem somente carga cinética.

• Empregando a equação relativa à definição de potência,

�� = ��. ��. �

• Desenvolvendo:

�� =���

2�. ��. �� . �

• Por fim,

�� =�. ��. ��

�

2�=�. ��. ��

�

2

Potência de um jato lançado à pressão atmosférica

• No caso da presença de uma máquina, a energia fornecida ou retirada do fluido, por unidade de peso, é indicada por HM

(carga manométrica):

� = ���� �

� = ���������

� = �����������

• No caso da transmissão de potência, sempre existem perdas, de modo que a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência de máquina (potência de eixo).

B

motor

eixo da bomba

fluxo

bomba

perdas

N = .Q.HB

NB: potência disponível no eixo da bomba

N: potência recebida pelo fluido

• Define-se rendimento de uma bomba (B) como sendo

�� =�

��De modo que

�� =�

��=������

B

motor

eixo da bomba

fluxo

bomba

perdas

N = .Q.HB

NB: potência disponível no eixo da bomba

N: potência recebida pelo fluido

efetivamente recebido pelo fluido

oferecido no eixo

• Define-se rendimento de uma turbina (B) como sendo a relação entre a potência da turbina e a potência cedida pelo fluido:

�� =���

De modo que�� = ��� = ������

T

gerador

eixo da turbina

fluxo

turbina

perdas

N: potência cedida pelo fluido

N = .Q.HT

NT: potência disponível no eixo da turbina

cedido pelo fluido

efetivamente recebido pelo eixo

• Devido ao princípio da aderência, o diagrama de velocidades não é uniforme na seção.

• Isto causa uma alteração no termo (V2)/(2g) da equação da energia.

Escoamento não UniformeDiagrama de Velocidades

V = f (x,y,z)

• Se o diagrama de velocidades não é uniforme, existe uma velocidade distinta em cada ponto da seção.

• Deste modo, o termo (V2)/(2g) perde o significado, pois existem infinitas velocidades na seção.

• É possível usar a velocidade média, mas será verificado aqui a necessidade do emprego de um coeficiente de correção.

V = f (x,y,z)

AV

dA

dt

dm

• Para determinar este coeficiente, antes será definido o termo “fluxo de energia cinética” (C), como sendo a energia cinética que atravessa uma seção de escoamento por unidade de tempo.

��� =��. ��

2

�� =��. ��

2. ��

Assim, o fluxo de energia através de dA:

V = f (x,y,z)

AV

dA

dt

dm

�� =��. ��

2. ��

��̇ =��

����̇ = ���̇

��̇ = �. ��

⇒ �� = ������

2= ���

��

2

V = f (x,y,z)

AV

dA

dt

dm

�� = �����

2

• Para se obter o fluxo de energia de toda a área A, integra-se:

� = ����

2��

V = f (x,y,z)

AV

dA

dt

dm

• Se a velocidade adotada fosse a velocidade média (Vm), seria verificado que o resultado não coincidiria com o estimado com a integral!

� = ����

2�� ≠

�����

2 Mas para poder usar a velocidade média, é necessário um fator de correção!

Usar a função V = f(x,y,z) nem sempre é possível, a velocidade média é muito mais simples.

V = f (x,y,z)

• Este fator de correção é denominado de “coeficiente da energia cinética”, :

����

2�� = �

�����

2

� =2

�����

����

2�� =

1

����

��� �� ⇒ � =

1

��

�

��

�

��

• Tendo sido definido , o fluxo de energia cinética passa a ser descrito como

� = ����

��

2

O coeficiente é função somente do diagrama de velocidades e será tanto maior que a unidade quanto mais este se afastar do diagrama uniforme.

• Mas C é energia cinética por tempo, e a equação de energia corresponde à energia cinética por unidade de peso. Assim,

�������������

���������

�����=

������������������

����� × ������

�̇� =����� × �

�����

� =�������������

�����

�������������

����=

�

�̇�

�

�̇�=

����

��2

�����= �

���

2�

• A equação da energia passa a ser escrita como segue

�����

2�+���+ �� + �� = ��

���

2�+���+ �� + ���,�

• Na prática, para tubos de seção circular, se o escoamento for laminar, = 2, e se o escoamento for turbulento, 1.

• Assim, se Re 2.000, adota-se = 2, e se Re 2.400, é empregado =1 (condição mais comum na indústria).

� ��

=� ��

� ����

=� ����

� = ���

2�+�

�+ �

Equação da Energia: Múltiplas Entradas e Saídas

• No caso da presença de máquina e de perdas por atrito:

� ����

+ � =� ����

+ �����

M

N

NdissN1e

N2e

Nne Nns

N2s

N1s

• A equação da energia vista até o momento só é válida se o fluido for incompressível e sem trocas induzidas de calor (trocas de calor além das causadas por atrito).

• Quando houver trocas induzidas de calor, é necessário considerar as energias térmicas. Deste modo

�����

2�+ �� + ℎ� + �� + � = ��

���

2�+ �� + ℎ�

• Onde h é a entalpia por unidade de peso no ponto considerado, e q o calor trocado com o meio externo.

Equação da Energia Geral para Regime Permanente

Bibliografia

Franco Brunetti

Mecânica dos Fluidos; 1ª ed., Editora Pearson, Prentice Hall, 2005.

ISBN 85.87918-99-0