Disciplina:Sistemas Fluidomecânicos

Análise de Turbomáquinas

Análise de Turbomáquinas

• O método empregado para a análise de turbomáquinas depende essencialmente dos dados a serem obtidos.

• Volume de controle finito: metodologia empregada para se obter informações sobre vazão, variação de pressão, torque e potência, aplicando o princípio da quantidade de movimento angular.

• Volume de controle infinitesimal aplicado sobre elementos de pás individuais: metodologia usada para se obter informações sobre ângulos de pás e perfis de velocidade.

• Como nesta disciplina estamos trabalhando com escoamentos idealizados, será empregada a aproximação por volume de controle finito.

Princípio da Quantidade de Movimento Angular• Abaixo, a equação geral do princípio da

quantidade de movimento:

�⃗ × �⃗� + � �⃗ × �⃗ ��∀

��

+ ����� =

=�

��� �⃗ × � ��∀

��

+ � �⃗ × � ����⃗

��

Eq. 4.475ª ed.

• Detalhando:

• O vetor �⃗ localiza cada elemento de massa ou de volume do sistema com respeito ao sistema de coordenadas.

• �⃗� é a força de superfície exercida sobre o sistema.

• Primeiro termo da equação: torque exercido pelas forças de superfícies atuantes no VC.

• Segundo termo: torque devido à ação da gravidade sobre o fluido dentro do VC.

�⃗ × �⃗� + � �⃗ × �⃗ ��∀

��

+ ����� =

volume Torque no eixo motor

Influência das forças externas sobre o sistema!

=�

��� �⃗ × � ��∀

��

+ � �⃗ × � ����⃗

��

• No outro lado:

• A primeira integral estima o momento da quantidade de movimento (QM) do sistema.

• SC, índice mostrado na segunda integral, significa superfície de controle. A segunda integral é relacionada ao fluxo de momento de QM através da superfície do VC.

volume x densidade = massa

massa x velocidade = quantidade de movimento (força!)

quantidade de movimento x vetor localização = momento da quant. movimt.

Influência do momento da quantidade de movimento interno sobre o sistema!

Equação de Euler para Turbomáquinas• Para a análise de turbomáquinas, é

conveniente escolher um volume de controle fixo abrangendo o rotor, a fim de avaliar o torque no eixo.

• A equação 4.47 é simplificada pois não são consideradas significativas as forças de superfície nem as relativas ao campo gravitacional (desprezadas devido à simetria).

• Para um escoamento permanente:

�⃗ × �⃗� + � �⃗ × �⃗ ��∀

��

+ ����� =

=�

��� �⃗ × � ��∀

��

+ � �⃗ × � ����⃗

��

= 0 (insignificante)

= 0 , pois o Volume de controle é fixo

����� = � �⃗ × � ����⃗

��

Eq. 10.1a5ª ed.

• Volume de controle finito e componentes da velocidade absoluta para análise de quantidade de movimento angular.

VC sobre um rotor genérico de uma turbomáquina.

O eixo Z, alinhado com o eixo de rotação do rotor, é perpendicular ao plano XY

• Para um escoamento permanente:

O fluido entra no rotor com velocidade V1

O fluido sai do rotor com velocidade V2

Índice t: tangencialÍndice n: radial

• Integrando:

• ou, na forma escalar:

• A eq. 10.1c é chamada de equação de Euler para turbomáquinas.

����� = � �⃗ × � ����⃗

��

Eq. 10.1a5ª ed.

������� = ����� − ����� �̇��

����� = ����� − ����� �̇ Eq. 10.1c5ª ed.

• As velocidades tangenciais são convencionadas como positivas quando no mesmo sentido da rotação do rotor.

• Isto faz o torque no eixo Teixo positivo para bombas, ventiladores, sopradores e compressores (consomem torque, este entra no VC), e negativo para turbinas (torque é gerado, sai do VC).

• A potência �̇� gerada ou consumida no eixo do rotor é dada pelo produto escalar da velocidade

angular �do rotor pelo torque �����.

�̇� = ������ = � ����� − ����� �̇Eq. 10.2a

5ª ed.

• A equação 10.2a pode ser escrita de duas outras formas de grande utilidade.

• Seja U = r , onde U é a velocidade tangencial do rotor no raio r :

• Dividindo por �̇�, obtemos a chamada altura de carga, ou carga, adicionada ao escoamento:

�̇� = ����� − ����� �̇Eq. 10.2b

5ª ed.

� =1

������ − �����

Eq. 10.2c5ª ed.

Diagramas de Velocidade

• Diagramas de velocidade são úteis para definir as componentes de velocidade do fluido e do rotor na entrada e na saída.

Perfil da pá saída

entrada

����

����

����

����

• Uma situação idealizada é mostrada na figura abaixo:

• O escoamento no rotor é idealizado entrando e saindo tangencialmente ao perfil da pá (modelo chamado de entrada sem choque).

• 1 e 2 são os ângulos de entrada e saída da pá, medidos a partir da direção circunferencial.

saída

entrada

• A velocidade do rotor na entrada é �� = ���• A velocidade absoluta do fluido é a soma vetorial da

velocidade tangencial do rotor (U1 na entrada) com a velocidade do fluido em relação à pá (Vrb1).

• O diagrama de velocidades na saída é similar ao da entrada.

• Estes diagramas permitem estimar o torque e a potência ideais consumidos ou entregues pelo rotor, representando o máximo desempenho sob condições ideais de projeto (limite superior de desempenho).

����

Entrada

Exemplo 10.1• Bomba centrífuga idealizada.

• Água a 150 gpm entra axialmente no impulsor de uma bomba centrífuga, através de uma entrada com diâmetro de 1,25 pol. A velocidade de entrada é axial e uniforme. O diâmetro de saída do impulsor é de 4 pol. O fluxo sai do impulsor a 10 pés/s em relação às pás radiais. A rotação do impulsor é de 3450 rpm.

• (a) Determinar a largura b2 de saída do impulsor, (b) o torque entregue ao impulsor e (c) a potência requerida predita pela equação de Euler para turbinas.

VC fixo����

• Q = 150 gpm 0,0094635 m3/s (galão EUA)

• Vrb2 = 10 pés/s 3,0480 m/s

• R1 = 0,625 pol. = 0,015875 m

• R2 = 2 pol. = 0,0508 m

• = 3450 rpm = 361,283 rad/s

• água = 1000 kg/m3

VC fixo����

• Vazão: �̇ = ���

�� = �̇ = ����� 2�����

�� =�

���� 2���=

0,0094635

3,048 × 2 × � × 0,0508

�� = 0,00973�

• Da equação da quantidade de movimento angular com fluxo de saída uniforme:

• Entretanto, na entrada não há momento angular na direção z, portanto:

• Desenvolvendo:

������� = ����� − ����� �̇��

������� = ����� �̇�� = ����� ����

����� = ����� �� = 0,0508� ×3450 × 2 × �

60× 1000 × 0,0094635

����� = 8,8232Nm

• Calculando a potência:

• Respostas

• a) 9,73 mm; b) 8,82 Nm; c) 3187,7 W ou 4,28 hp

�̇� = ������

�̇� =3450 × 2 × �

60× 8,8232 = 3187,7W ≈ 4,28ℎ�

Exemplo 10.2Um ventilador de fluxo axial opera a 1200 rpm. O diâmetro na ponta da pá é de 1,1m e o diâmetro do cubo é de 0,8m. O fluido é ar na condição padrão e o escoamento considerado incompressível. Não há mudança na componente axial da velocidade através do rotor.

Ventilador de Fluxo Axial Idealizado

VC estacionário, é o canal de escoamento

Fluxo

zRm

Os ângulos de entrada e de saída da pá são de 30° e 60°respectivamente. Pás de guia de entrada dão ao fluxo absoluto que entra no primeiro estágio um ângulo de 30°.

Admita que o fluxo relativo entra e sai do rotor nos ângulos geométricos da pá e utilize as propriedades no raio médio da pá para os cálculos. Para essas condições idealizadas:

(a) desenhe o diagrama de velocidade de entrada,

(b) determine a vazão volumétrica,

(c) esboce as formas das pás do rotor,

(d) desenhe o diagrama de velocidade de saída,

(e) calcule a potência necessária para acionar o ventilador,

(f) calcule o torque mínimo necessário para acionar o ventilador.

Solução:

• Aplique a equação da quantidade de movimento angular a um volume de controle fixo:

Considerações:

1. Torques devido a forças superficiais ou de massa são desprezíveis;

2. Escoamento permanente;

3. Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída;

4. Escoamento incompressível;

5. Não há variação na área de escoamento axial;

6. Use o raio médio das pás do rotor, Rm.

����� = � �⃗ × � ����⃗

��

Eq. 10.1a5ª ed.

• As formas das pás são:

• O diagrama de velocidade de entrada é:

1 = 30°

Movimento da pá

Vrb1

Vrb2

2 = 60°

z

1 = 30°

Vrb1

Vn1

Vt1

V1

1 = 30°

U = .Rm Item (a)

Item (c)

Atenção:U foi estimado usando Rm.Porque?

• Da continuidade, a vazão que entra é igual à vazão que sai:

• Como A1 = A2, então Vn1 = Vn2

1 = 30°

Vrb1

Vn1

Vt1

V1

1 = 30°

U = .Rm

� = ����� = �����

• Como A1 = A2, então Vn1 = Vn2 e o diagrama de velocidade de saída é conforme mostrado abaixo:

2 = 60°

Vrb2Vn2

Vt2

V22

U = .Rm

Item (d)

• No raio médio das pás:

� = �. �� = �.��2

� =1200 × 2�

60.

121,1 + 0,8

2= 59,69026�/�

Dpá

Dcubo

Dm

• Da geometria do diagrama de velocidade de entrada:

1 = 30°

Vrb1

Vn1

Vt1

V1

1 = 30°

U = .Rm

���30° =���

�� = �. ���30° = 29,84513�/�

���30° =�����

��� = ��. ���30° = 25,84664�/�

���30° =�����

��� = ��. ���30° = 14,92257�/�

��30° =������

���� =����30°

. = 51,69328�/�

• A vazão em volume:

� = ����� = ��� �

4��á� − �����

�

� = 25,84664 �

41,1� − 0,8� = 11,57095��/�

Item (b)� = 11,6��/�

• Torque no eixo, para escoamento uniforme:

• Do diagrama de velocidade de saída:

����� = ����� − ����� �̇ Eq. 10.1c5ª ed.

2 = 60°

Vrb2Vn2

Vt2

V22

U = .Rm

���� =������

� = ��� + �a

��30° =�

���� = ��� + ��30° × ���

2 = 60°

Vrb2Vn2

Vt2

V22

U = .Rm

���� =������

� = ��� + ��30° × ���

���� =� − ��30° × ���

���=59,69026 − ��30° × 25,84664

25,84664

���� = 1,732050875 �� = 60°

��� = ������� = ��60° × 25,84664 = 44,76769�/�

����� = ����� − ����� �̇

����� = ����� − ����� ��

�̇ = ��

����� = 0,475 × 44,76769 − 14,92257 × 1,2250 × 11,57095

��� = 1,2250��/��

����� = 200,942613�.�

Item (e)

�̇� = ������ =1200 × 2�

60200,9 = 25251,1934�

����� = 200,9�.�

�̇� = 25, 25�� Item (f)

Mas é para usar o raio médio!

Diagramas de Velocidade

• Se o fluido entrar no impulsor com uma velocidade absoluta puramente radial, não haverá quantidade de movimento angular e Vt1 será nula.

Perfil da pá saída

entrada

����

����

����

����

(continuação)

• Se Vt1 = 0, então

• Sabemos que

� =1

������ − �����

Eq. 10.2c5ª ed.

� =������

Eq. 10.35ª ed.

��� = �� −�������

= �� − ��������Eq. 10.4

5ª ed.

• Então

• Para um impulsor de largura w, a vazão em volume é

� = � 2�� ���� = �������

• Substituindo na equação 10.5:

� =����� − ��������

Eq. 10.55ª ed.� =

��� − ����������

�

� =��� − ��

�����

�����

�

• Reescrevendo:

• Ou

onde

Observa-se que a equação 10.7a prevê uma variação linear da altura de carga H em relação a vazão em volume Q.

Eq. 10.7a5ª ed.� =

���

�−������������

�

� = �� − ���

�� =���

�

�� =������������

Eq. 10.7b5ª ed.

• A constante C1 representa a altura de carga ideal desenvolvida pela bomba para vazão em volume zero (altura de carga de bloqueio).

• Por outro lado, a inclinação da curva de altura de carga versus vazão em volume (curva H – Q) depende do sinal e da magnitude de C2.

� = �� − ���

�� =���

�

�� =������������

Eq. 10.7b5ª ed.

Curvada para frente

Curvada para trás

Seção transversalSeção

meridional

Altu

ra d

e c

arg

a H

Vazão volumétrica Q

Vrb2 (rel)

• Se 2 < 90°, ou seja, se as aletas forem viradas para trás (figura abaixo), então C2 > 0. A altura H diminui em proporção à Q.

� = �� − ���

�� =���

�

�� =������������

Eq. 10.7b5ª ed.

• Se 2 = 90°, ou seja, se as aletas forem radiais, então C2 = 0. A altura de carga H ficará independente da vazão Q.

� = �� − ���

�� =���

�

�� =������������

Eq. 10.7b5ª ed.

• Se 2 > 90°, ou seja, se as aletas forem voltadas para frente, então C2 < 0, e a altura de carga H aumentará com a vazão Q.

• Entretanto, pás curvadas para a frente quase nunca são utilizadas na prática porque tendem a um comportamento instável.

� = �� − ���

�� =���

�

�� =������������

Eq. 10.7b5ª ed.

Potência Hidráulica

• O torque e a potência preditos pela aplicação da quantidade de movimento angular ao rotor, vistos até este momento, são valores idealizados.

• Na prática, a transferência de energia entre o rotor e o fluido tem perdas devido efeitos viscosos, desvios de escoamento uniforme e desvios de direção de fluxo em relação aos ângulos das pás.

• A transformação de energia cinética em aumento de pressão pela dispersão do fluido introduz mais perdas.

• Dissipação de energia ocorre pelo atrito nos selos e mancais, e também pelo atrito entre o fluido e o rotor e carcaça, e calor é perdido para o ambiente.

• Para uma bomba, potência hidráulica é definida por

�̇� = �����

onde

�� =�

��+��

2�+ �

��������

−�

��+��

2�+ �

���çã�

Eq. 10.8a5ª ed.

Eq. 10.8b5ª ed.

• Para uma bomba real, a taxa de energia mecânica recebida é menor que a taxa de aumento de carga produzida. A eficiência de uma bomba é dada por:

�� =�̇�

�̇�=�����

��

Eq. 10.8c5ª ed.

• Para avaliar a variação real na altura de carga, deve ser conhecida a pressão, velocidade e elevação do fluido nas duas seções de medição.

• A velocidade do fluido pode ser estimada através da vazão volumétrica e dos diâmetros dos tubos.

• A pressão estática é medida em trechos retos a montante e a jusante da bomba, com a elevação de cada manômetro ou as leituras de pressão estática corrigidas para uma mesma elevação (normalmente a linha de centro da bomba).

Exemplo 10.3O sistema de escoamento empregado no teste de uma bomba centrífuga a 1750 rpm é mostrado abaixo. O líquido é água a 80oF e os tubos tem diâmetro de 6 pol. Os dados medidos em teste são apresentados na tabela a seguir. O motor é trifásico, 460V, fator de potência 0,875 e eficiência constante de 90%.

Estimativa de características de uma bomba a partir de dados de teste

• Calcule a altura de carga líquida e a eficiência da bomba para uma vazão volumétrica de 1000 gpm. Monte os gráficos de altura de carga da bomba, potência e eficiência em função da vazão volumétrica.

Vazão(gpm)

Pressão de sucção

(psig)

Pressão de descarga

(psig)

Corrente do motor

(amp)

• Para uma turbina hidráulica, a potência liberada pelo rotor (potência mecânica) é menor do que a taxa de energia transferida do fluido para o rotor, porque o rotor tem de superar perdas de atritos mecânico e viscoso.

• A potência mecânica fornecida por uma turbina é relacionada à potência hidráulica através da equação abaixo:

�� =�̇�

�̇�=��

�����

onde �̇� = �����

�� =�

��+��

2�+ �

�������

−�

��+��

2�+ �

���

Eq. 10.9c5ª ed.

Eq. 10.9a5ª ed.

Eq. 10.9b5ª ed.

• A equação 10.9b indica que, para se obter potência máxima de uma turbina hidráulica, é importante minimizar a energia mecânica do escoamento na saída da turbina. Isto é realizado fazendo-se a pressão, velocidade e elevação do fluido, na saída da turbina, tão menores quanto possível.

• Por isto a turbina é montada o mais próximo possível do nível do rio a jusante, o que é feito sempre considerando o histórico de enchentes do rio.

�� =�

��+��

2�+ �

�������

−�

��+��

2�+ �

���

Eq. 10.9b5ª ed.

Bibliografia

Robert W. Fox, Alan T. McDonald

Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada.

ISBN-10: 8521610785

ISBN-13: 978-8521610786