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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ECONOMIA “UM MODELO SETORIAL PARA A INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES NO BRASIL”. RAPHAEL CROUZEILLES DE ARAUJO ORIENTADOR: PROF. DR. ANTÔNIO MARCOS DUARTE JUNIOR

Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

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dissertação

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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMECPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM

ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ECONOMIA

“UM MODELO SETORIAL PARA A INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES

NO BRASIL”.

RAPHAEL CROUZEILLES DE ARAUJO

ORIENTADOR: PROF. DR. ANTÔNIO MARCOS DUARTE JUNIOR

Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.

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“UM MODELO SETORIAL PARA A INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES NO BRASIL”

RAPHAEL CROUZEILLES DE ARAUJO

Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia.Área de Concentração: Finanças

ORIENTADOR: ANTÔNIO MARCOS DUARTE JUNIOR

Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.

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“UM MODELO SETORIAL PARA A INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES NO BRASIL”

RAPHAEL CROUZEILLES DE ARAUJO

Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia.Área de Concentração: Finanças

Avaliação:

BANCA EXAMINADORA:

_____________________________________________________

Professor ANTÔNIO MARCOS DUARTE JUNIOR (Orientador)Instituição: Ibmec-RJ

_____________________________________________________

Professor FERNANDO NASCIMENTO DE OLIVEIRAInstituição: Ibmec-RJ

_____________________________________________________

Professor CARLOS PATRICIO SAMANEZInstituição: PUC-RJ

Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.

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332.63220981 Araújo, Raphael Crouzeilles de. A658m Um modelo setorial para a indexação de carteiras de ações no

Brasil. / Raphael Crouzeilles de Araújo. - Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec, 2012.

77.; 29 cm.

Dissertação de Mestrado Profissionalizante apresentada ao

Programa de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração e Economia das Faculdades Ibmec, como requisito parcial necessário para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças. Orientador: Dr. Prof. Antônio Marques Duarte Junior.

1. Economia. 2. Finanças. 3. Indexação de carteiras.4.Tracking error. I. Araújo, Raphael Crouzeilles de.II. Dr.

Prof. Antônio Marques Duarte Junior. III. Um modelo setorial para a indexação de carteiras de ações no Brasil.

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à toda minha família que me apoiou durante todo o tempo, principalmente minha mãe, Tania, e minha irmã Fernanda. Agradeço também a Jeniffer, minha companheira durante todo esse período.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador Antônio Marcos Duarte pela elaboração desse trabalho, desde a

decisão do tema quanto à elaboração do projeto.

Agradeço também à todos os professores e funcionários que de alguma forma ajudaram

durante a realização do Mestrado em Economia.

Dedico também este trabalho à Jeniffer, minha companheira durante todo esse tempo.

À toda minha família, em especial minha mãe e irmã.

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Page 7: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

RESUMO

Pode-se dizer que indexação de carteiras é a estratégia mais utilizada na administração passiva

de fundos de investimento. Dessa forma, enquanto uma alocação ativa de ativos

possivelmente gera grandes desvios do benchmark, um fundo indexado possuirá retornos

próximos aos do benchmark, sendo esses desvios definidos como o tracking error. Visto isso,

este trabalho busca indexar uma carteira à um índice considerado como benchmark, a partir de

um modelo de otimização quadrática com restrições lineares e combinatórias, sendo a função

objetivo minimizar o tracking error entre o índice escolhido e a carteira, de forma a

determinar a quantidade ótima de ativos a ser alocada pelo gestor passivo do fundo. Nesse

caso, o índice que utilizaremos será o Ibovespa, um dos mais importantes indicadores de

desempenho da Bolsa de Valores de São Paulo. Resultados sugerem que investir em ativos

com maiores pesos no índice geram um tracking error menor, fazendo com que alguns setores

escolhidos gerassem tracking errors menores. Além disso, quanto mais ativos na carteira,

menor o tracking error. Por fim, os modelos não-lineares implementados nesse trabalho

comportaram-se de forma similar ao analisarmos os desvios realizados dos mesmos.

Palavras Chave: Indexação de carteiras, tracking error

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ABSTRACT

It can be said that portfolio indexing is one of the most common passive strategies of

investment funds. While active asset allocation possibly generates relevant deviations from

the benchmark index, deviations from returns of an index fund, defined as tracking error, will

be much smaller. Therefore, this work proposes a quadratic optimization model using binary

and combinatory restrictions for indexing a portfolio to a benchmark index, where the

objective function seeks to minimize the tracking error of the chosen index and the portfolio

in order to find the optimal allocation. In this case, we will be using the Ibovespa index, one

of the most important performance indicators of the Bolsa de Valores de São Paulo. Results

suggest that investing in assets that have bigger weights regarding the Bovespa Index implies

smaller tracking errors, which also suggests that some industrial sectors generated smaller

tracking errors. Also, when more assets are included in our portfolio, smaller tracking errors

are resulted. At last, nonlinear models behaved in a similar way when we analyze the realized

deviations of our models.

Key Words: portfolio indexing, tracking error

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Page 9: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

LISTA DE FIGURAS

Figura 1- % de Participação dos ativos no Índice Ibovespa (Terceiro Quadrimestre de 2011)14

Figura 2- Volatilidade Anualizada do Índice Ibovespa 17

Figura 3- T.E do Modelo Simples (desvios absolutos) 45

Figura 4- T.E do Modelo Simples (desvios realizados) 45Figura 5- T.E da Carteira (desvios absolutos)..........................................................................47

Figura 6- T.E da Carteira ( desvios realizados ).......................................................................47

Figura 7- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Primeira Simulação)......51

Figura 8- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Primeira Simulação).....51

Figura 9- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Segunda Simulação)......53

Figura 10- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Segunda Simulação)...53

Figura 11- Desvios realizados do Modelo na Forma Quadrática e em Módulo………...……55

Figura 12- Desvios Realizados dos Modelos Não Lineares.....................................................57

Figura 13- Modelagem pelo Solver…………………………………………...………...……71

Figura 14- Parâmetros do Solver……………………………………………………………..72

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Alocações do Modelo Simples.................................................................................46

Tabela 2- Simulação com restrição máxima de 42 ativos (24 selecionados) 48

Tabela 3- Exemplo com 3 setores e 6 ativos 50Tabela 4- Simulação com restrição máxima de 8 ativos...........................................................52

Tabela 5- Simulação com restrição máxima de 16 ativos.........................................................54

Tabela 6- Comparação entre Modelos......................................................................................56

Tabela 7- Relatório de Convergência.......................................................................................73

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LISTA DE SÍMBOLOS

VARIÁVEIS DE DECISÃO:

(X i ¿= alocação final do ativo i.

(Ei , Fi ¿ = variáveis de controle.

(r j¿ = retorno da carteira do gestor no período j, levando-se em conta os custos de transação

(Zi ) = variável binária utilizada para indicar o investimento no ativo j ( investir igual à 1 ).

PARÂMETROS:

(r jíndice ¿ = retorno do índice selecionado no período j.

(c i ¿ = custo de transação do ativo j, definido pela média do spread do preço de compra e de venda.(a i¿ = alocação inicial do ativo j.∝❑ = limite inferior de alocação da carteira.γ❑ = limite superior de alocação da carteira.h = limite máximo de ativos na carteira otimizada.w = financeiro disponível para investimento.rj = retorno médio do ativo j.σ iq = covariância entre retornos dos ativos i & q.μ = taxa mínima de retorno.ϕ = matriz contendo os ativos disponíveis.φ = matriz contendo as restrições da estratificação amostral.δ = limite de turnover da carteira.C = caixa total disponível.ρ = limite mínimo de caixa.

ÍNDICES:

j = 1, ... , m ∈ períodos

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i = 1,…, n ∈ ativosk = 1,…, s ∈ setores

Sumário

1 INTRODUÇÃO...................................................................................................10

1.1 O PROBLEMA.......................................................................................................................................13

1.2 O OBJETIVO..........................................................................................................................................14

1.3 JUSTIFICATIVA...................................................................................................................................14

1.4 METODOLOGIA...................................................................................................................................16

1.5 RESULTADOS.......................................................................................................................................16

1.6 LIMITAÇÕES........................................................................................................................................16

1.7 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO.....................................................................................................17

2 GESTÃO............................................................................................................19

2.1 GESTÃO ATIVA....................................................................................................................................202.1.1 ANÁLISE FUNDAMENTALISTA....................................................................................................212.1.2 ANÁLISE TÉCNICA..........................................................................................................................212.1.3 MODELO MÉDIA VARIÂNCIA.......................................................................................................222.1.4 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO..........................................................................................................24

2.2 GESTÃO PASSIVA................................................................................................................................262.2.1 HIPÓTESE DE EFICIÊNCIA DE MERCADO..................................................................................282.2.2 BUY AND HOLD.................................................................................................................................292.2.3 INDEXAÇÃO......................................................................................................................................29

2.2.3.1 CONTRATOS FUTUROS......................................................................................................302.2.3.2 FULL REPLICATION..............................................................................................................302.2.3.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA.....................................................................................312.2.3.4 LARGEST HOLDING..............................................................................................................31

2.2.3 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO DE DUARTE...................................................................................32

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2.3 ENHANCED INDEXING.......................................................................................................................33

3 O MODELO........................................................................................................34

3.1 INCLUSÃO DE VARIÁVEIS BINÁRIAS...........................................................................................35

3.2 INCLUINDO ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL NO MODELO...................................................37

3.3 MODELO COM DESVIOS EM MÓDULO........................................................................................39

3.4 MODELO UTILIZANDO A MEDIANA NA FUNÇÃO OBJETIVO..............................................41

4 SIMULAÇÕES....................................................................................................43

4.1 DADOS....................................................................................................................................................43

4.2 RESULTADOS SEM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL................................................................444.2.1 UM MODELO SIMPLES....................................................................................................................444.2.2 CASO GERAL.....................................................................................................................................46

4.3 RESULTADOS COM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL...............................................................494.3.1 EXEMPLO COM 3 SETORES E 6 ATIVOS DISPONÍVEIS...........................................................494.3.2 PRIMEIRA SIMULAÇÃO..................................................................................................................504.3.3 SEGUNDA SIMULAÇÃO..................................................................................................................52

4.4 RESULTADOS COM DESVIOS EM MÓDULO NA FORMA LINEAR........................................55

4.5 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS NÃO LINEARES.................................................................56

5 CONCLUSÃO.....................................................................................................58

5.1 LIMITAÇÕES........................................................................................................................................59

5.2 SUGESTÕES...........................................................................................................................................60

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................61

APÊNDICE A (O ÍNDICE IBOVESPA)......................................................................63

APÊNDICE B (RESUMO)65APÊNDICE C (UTILIZANDO O EXCEL E ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA)....................................................................................................70

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Page 14: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

1 INTRODUÇÃO

Podemos definir alocação de recursos como um processo ou método de decisão sobre como

distribuir a riqueza de determinado indivíduo em diversas classes de ativos (títulos públicos,

contratos futuros, etc.), ou seja, em diversos grupos de ativos que possuem os mesmos

atributos ou similaridades, como por exemplo, relações de risco e retorno, ativos pré ou pós-

fixados, entre outras similaridades. Além disso, para construirmos portfólios e administrarmos

recursos, é necessário definirmos as etapas do processo decisório, elaborando políticas de

investimento, estratégias e monitoramento dos portfólios gerados a partir de características

específicas de cada investidor.

Investidores, em geral, compreendem que existe uma relação íntima entre risco e retorno,

sendo que, quanto maior o risco, maior o retorno esperado de determinado investimento.

Dessa forma, torna-se essencial e primordial a gestão de risco em fundos de investimentos.

Após minuciosa análise dos riscos atribuídos aos investimentos é que podemos começar a

pensar na administração dos retornos.

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Page 15: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Existem diversas estratégias de investimento que podem ser utilizadas pelos gestores que

dependerão diretamente das características de cada investidor (como o grau de aversão ao

risco por exemplo), podendo dividi-las em 3 grupos : gestão ativa, passiva e enhanced

indexing. A gestão ativa busca superar um determinado índice de referência (o benchmark),

sendo que uma das justificativas para a presença de gestores de carteiras é a de que os

mesmos agregam valor, dados seus esforços em selecionar ativos que buscam otimizar a

relação risco retorno de um portfólio. Já a gestão passiva busca acompanhar a rentabilidade do

benchmark, evitando grandes desvios em relação ao mesmo. Dentre as estratégias de gestão

passiva, destaca-se a indexação de carteiras, estratégia que tem se tornado cada vez mais

popular e, consequentemente, o número de fundos administrados de forma passiva tem

crescido de forma relevante (assim como o volume), como mencionado em Fuhr e Kelly

(2011). Existem uma série de vantagens e desvantagens desses grupos de estratégias que

serão tratados com mais detalhes nos próximos capítulos (porém, estudos indicam que a

diferença de retornos de uma gestão ativa contra uma passiva é estatisticamente

insignificante). Por fim, o enhanced indexing é uma estratégia que pode utilizar tanto

estratégias passivas quanto ativas, buscando uma melhor performance com um efeito

marginal no tracking error da carteira.

Gestores de portfólios costumam avaliar a performance de suas carteiras comparando-as a

benchmarks ou, no caso em questão, ao indexador do portfólio (gestão passiva). Esse

benchmark é pré-estabelecido na política de investimento, definida de acordo com as

características dos indivíduos. O indexador do portfólio nada mais é do que um indicador

estatístico que busca mensurar mudanças de um mercado específico (como o mercado de

ações e bonds). Porém, em uma gestão passiva da carteira, alguns problemas surgem, sendo,

um deles, como selecionar os ativos e quantidades dos mesmos que minimizem o tracking

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Page 16: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

error, ou seja, como minimizar os desvios do retorno da carteira indexada e do índice em si.

Este, na verdade, é um dos métodos de indexarmos uma carteira, sendo importante mencionar

aqui métodos alternativos como o uso de contratos futuros, amostra estratificada e largest

holding.

Em termos de gestão ativa de recursos, um dos modelos mais conhecidos relacionados à

alocação de portfólio é o modelo de Média Variância de H.V. Markowitz (1952). A idéia

central é gerar uma carteira de ativos baseada em dados históricos que minimize o risco,

medida em termos da média e variância da carteira gerada. Dado que esses momentos levam

em consideração o efeito de pares de ativos sobre outros, essa modelagem torna-se bastante

eficiente em termos de diversificação.

Konno e Yamazaki (1991) mantiveram a mesma idéia de minimização de risco, porém em

termos do desvio absoluto médio. Assumindo que os retornos dos ativos observados possuem

distribuição Normal Multivariada, os mesmos mostraram a equivalência entre o modelo

proposto e o de Markowitz (1952).

Deve-se dizer que, após o modelo Média Variância, assim como o modelo mencionado no

parágrafo anterior, foram propostos uma série de modelos como modelo Média Semivariância

de Markowitz (1993), Mean-Downside de Harlow (1993), o modelo Maxmin de Young

(1998) e assim por diante.

Outro grupo que tem ganhado bastante importância em termos de investimento refere-se à

gestão passiva. Como mencionado anteriormente, a mesma busca replicar a rentabilidade de

determinado índice. Para isso, existe uma série de técnicas de indexação, sendo importante

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Page 17: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

mencionar modelos de otimização voltados para a alocação de recursos com base na

indexação.

O modelo de Duarte (1997) é um exemplo de modelo que busca minimizar o tracking error

de uma carteira (composto pelo desvio absoluto médio), porém atrelando-a a um índice

específico. Note que, nesse caso, também temos o processo de escolha entre risco e retorno da

suposta carteira, porém voltada para a gestão passiva de recursos. Além disso, tal metodologia

está relacionada à construção de carteiras eficientes de Markowitz (1959), ou seja, a carteira

otimizada será aquela com o maior retorno esperado, se comparada com outras com mesma

variância.

1.1 O PROBLEMA

Com o crescimento de fundos indexados e Exchange Traded Funds, estratégias de gestão

passiva passaram a ter mais importância no mercado financeiro. Uma forma inicial de

alocação de recursos seria implementar a replicação total de um índice específico, ou seja,

comprar todos os ativos que compõem o índice em quantidades proporcionais aos pesos dos

mesmos. Porém, existem uma série de fatores que impedem ou geram entraves à replicação

total do índice como custos de transação e iliquidez de alguns ativos. Dessa forma, buscam-se

métodos que visam eliminar ou reduzir esses contratempos. Como mencionado anteriormente,

uma das estratégias relacionada à indexação utiliza como base modelos de otimização

voltados para a minimização do tracking error de uma carteira.

Para o trabalho em questão, utilizaremos o Ibovespa, uma carteira teórica que busca servir

como um indicador do comportamento do mercado. Atualmente, o índice é composto por 68

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Page 18: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

ativos, sendo que os dez ativos com maior participação no índice representem mais de 50% do

total do mesmo.

VALE

5

PET

R4

OGXP3

ITUB4

BVM

F3

BBDC4

GGBR4

BBAS3

VALE

3

PET

R3

USI

M5

ITSA

4

PDGR3

CYR

E3

CSN

A3

CIE

L3

BRFS

3

AM

BV4

RDCD3

MRVE3

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

Figura 1 - % de Participação dos ativos no Índice Ibovespa (Terceiro Quadrimestre de 2011)

1.2 O OBJETIVO

O objetivo do trabalho é, a partir de técnicas de otimização, indexar uma carteira hipotética ao

índice Ibovespa, utilizando restrições que busquem resultados parcimoniosos e próximos da

realidade. A idéia é aprimorar modelos de otimização com aplicação no Brasil, com

possibilidade de aplicação real em termos de gestão de recursos. Além disso, a partir dos

modelos apresentados nesse trabalho, podemos expandi-lo de várias formas, de forma a

incorporarmos estratégias de compra e venda de ações, além da modelagem de diversos

custos de transação.

1.3 JUSTIFICATIVA

A abordagem do tema torna-se relevante principalmente em função da reduzida literatura de

indexação de carteiras voltadas para o mercado brasileiro (além disso, de forma geral, a

literatura voltada para estratégias passivas de carteiras, se comparada com o caso da gestão

ativa, é significativamente menor).

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Page 19: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Além disso, alguns trabalhos acadêmicos desde a década de 50 e 60, como Markowitz (1959),

William Sharpe (1966) e Jensen (1967), buscam validar o uso de estratégias de indexação.

Sharpe (1966) desenvolveu um índice que calcula a razão entre retorno esperado de uma

carteira e sua volatilidade, obtendo assim um indicador de performance para os fundos. Além

disso, Sharpe comparou o índice de 34 fundos durante determinado período com o Índice

Dow Jones. O resultado foi que o Índice de Sharpe dos fundos foi menor do que o do Dow

Jones, concluindo que a performance dos fundos é pior do que a do mercado (note que a

comparação é feita baseada em retornos esperados, porém, Sharpe não identificou nenhuma

consistência na performance dos fundos estudados, fazendo com que a performance passada

dos fundos não tivesse nenhum poder de previsão). Já o trabalho de Jensen (1967) utilizou o

Capital Asset Pricing Model (CAPM) para avaliar se determinado fundo possui um retorno

esperado maior do que a taxa de juros livre de risco. Ao comparar 115 fundos com o Índice

S&P500, Jensen mostrou que apenas 39 possuíam um alfa positivo (esse alfa sendo definido

como o Índice de Jensen), sendo apenas um deles estatisticamente diferente de zero,

concluindo que nenhum investidor, dentro daquela amostra, conseguiu superar o mercado.

Além disso, Fama (1970) enuncia critérios de eficiência de mercado, dando suporte para

formas de gestão passiva ao afirmar que informações sobre as empresas, assim como dados

históricos, já estão incorporados nos preços dos ativos, inviabilizando assim geração de lucros

utilizando estratégias ativas.

Dessa forma, os trabalhos mencionados, além daqueles desenvolvidos posteriormente,

aumentaram o debate entre as melhores escolhas de formas de gestão (passiva ou ativa) e qual

o método a ser implementado. Somando isso à pouca literatura voltada para fundos indexados

no Brasil, torna-se importante uma análise mais profunda voltada para o mercado brasileiro.

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Page 20: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

1.4 METODOLOGIA

O modelo apresentado nesse trabalho é baseado no proposto em Duarte (1997), que utiliza

como função objetivo o desvio absoluto médio entre os retornos dos ativos do portfólio em

relação ao retorno do índice. Note que, dessa forma, utilizaremos técnicas de otimização

voltadas para a minimização do tracking error, incorporando a técnica de amostragem

estratificada por setores industriais. Além disso, iremos incorporar no modelo restrições

binárias, definindo um número máximo de ativos que poderão compor a carteira, limitando

também a alocação mínima e máxima dos mesmos. Dessa forma, limitaremos a entrada de

ativos específicos por setor, além de permitir apenas lotes com valores inteiros.

1.5 RESULTADOS

Resultados sugerem que, investir em ativos com maiores pesos no índice geram um tracking

error menor. Além disso, quanto mais ativos na carteira, menor será o tracking error. Além

disso, ao analisarmos os modelos com a função modular, ao compararmos o caso linear com o

não-linear, vemos que ambos geraram as mesma carteira final, além dos desvios realizados.

Por fim, modelos não-lineares presentes nesse trabalho apresentaram resultados similares em

termos dos desvios realizados.

1.6 LIMITAÇÕES

Uma das limitações do modelo refere-se ao fato de utilizarmos a técnica de amostragem

estratificada para assim minimizarmos o tracking error. Dividiremos os ativos que compõem

o índice em setores industriais, obrigando o modelo a determinar um número específico de

ativos de cada setor (por exemplo, podemos restringir o modelo a selecionar apenas 1 ativo de

cada setor). Dessa forma, limitamos o número de combinações possíveis de ativos que

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Page 21: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

poderiam compor o índice, incorrendo no risco de eliminar determinada alocação que seja

uma melhor solução final. Somado à esse fato, desconsideramos também, a partir desse

método, outros fatores de risco que impactam os ativos, assim como índice escolhido (as

vantagens e desvantagens das técnicas de indexação serão discutidas na próxima seção).

Um outro problema ao minimizarmos o tracking error está relacionado à volatilidade do

índice escolhido, assim como a participação de cada ativo que compõe o mesmo. Ao

analisarmos o caso brasileiro, vemos que o índice Ibovespa possui elevada volatilidade, assim

como elevada concentração em poucos ativos, tendendo a gerar assim elevados tracking

errors.

1/14/2004 5/28/2005 10/10/2006 2/22/2008 7/6/2009 11/18/20100.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

Figura 2- Volatilidade Anualizada do Índice Ibovespa

1.7 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

No capítulo 2, explicaremos melhor o conceito de gestão e as diversas estratégias de

investimento, como a indexação e as diversas técnicas de implementação. Posteriormente, no

capítulo 3, explicitaremos o modelo utilizado neste trabalho baseado em Duarte (1997),

explicando também a inclusão de novas restrições. Já no capítulo 4 falaremos sobre as

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Page 22: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

simulações implementadas, assim como os dados utilizados em nosso modelo, enquanto que o

capítulo 5 concluirá o presente trabalho.

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Page 23: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

2 GESTÃO

Como mencionado anteriormente, a gestão de investimento é um método ou processo

decisório sobre como alocar a renda de determinado indivíduo em um instante do tempo.

Porém deve-se dizer que existem determinadas etapas que devem ser cumpridas, desde a

identificação do perfil de risco do investidor até a seleção dos ativos e monitoramento do

portfólio.

Podemos dizer que o primeiro passo do processo de gestão de recursos é a elaboração de uma

política, ou regulamento de investimentos. Esta etapa é de extrema relevância pois guia o

investidor sobre quais seus objetivos e restrições, além de criar um certo padrão para julgar a

performance do gestor. O regulamento pode conter diversas características que, de certa

forma, relaciona-se com o apetite ao risco do investidor (como por exemplo limites de

alavancagem, vendas a descoberto, limite mínimo de alocação em títulos públicos federais,

limites de exposição a fatores de risco cambial, juros e bolsa, dentre outros).

Após elaboração da política de investimentos, o gestor deve estudar sobre as condições

econômicas visando identificar possíveis tendências e, dessa forma, buscar as melhores

estratégias que busquem relacionar tanto o regulamento quanto o perfil do investidor com o

cenário econômico traçado pelo gestor.

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Page 24: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Somando o regulamento do investidor, delineando suas necessidades, com os cenários

econômicos e financeiros definidos pelo gestor, o próximo passo é definir a estratégia de

investimento. As estratégias de alocação de recursos costumam ser definidas em 3 tipos:

ativa, passiva ou enhanced indexing. A idéia central da construção do portfólio é gerar uma

carteira com exposição mínima de risco que satisfaça as restrições e condições da política de

investimento.

Por fim, a última etapa do processo de administração de recursos é o monitoramento das

necessidades do investidor, buscando implementar possíveis mudanças na política de

investimento. Além disso, nessa etapa, mensura-se o desempenho da carteira do investidor,

comparando o resultado às necessidades previamente estabelecidas pelo investidor.

2.1 GESTÃO ATIVA

O objetivo da gestão ativa é obter retornos acima de um determinado benchmark. Note que,

uma das hipóteses que norteia qualquer estratégia de investimento baseia na eficiência de

mercado, como visto em Fama (1970). Nesse caso, supõe-se que mercados não são eficientes

e, dessa forma, existem assimetrias nos preços dos ativos, possibilitando a existência de

elevados retornos. Podemos definir estratégias de gestão ativa em 2 categorias: análise

fundamentalista e análise técnica.

É necessário dizer que as estratégias mencionadas no parágrafo anterior estão intimamente

relacionadas com duas técnicas de gestão ativa definidas no artigo de Fama (1972), sendo elas

stock picking e market timing. Porém, ambos os casos estão presentes tanto em estratégias

voltadas para a análise fundamentalista quanto técnica.

20

Page 25: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Nas seções a seguir apresentaremos também os modelos mencionados no capítulo introdutório

relacionados à gestão ativa, sendo eles o modelo Média Variância de Markowitz (1956) e o

modelo de Konno e Yamazaki (1991).

2.1.1 ANÁLISE FUNDAMENTALISTA

Nesse caso, podemos definir 2 estratégias: top-bottom e bottom-up. No primeiro caso, analisa-

se primeiramente a condição da economia de um país como um todo, pois àqueles que

utilizam essa estratégia acreditam que efeitos econômicos e industriais como um todo geram

impactos significantes nos retornos dos ativos. Após a análise do cenário geral, o gestor filtra

o espectro da análise, passando a observar os setores industriais até chegar na análise de um

específico ativo. No segundo caso, a premissa é a de que é possível encontrar ativos que estão

subvalorizados se comparados com o preço de mercado e com o setor industrial específico.

Note que as 2 estratégias baseiam-se primordialmente no princípio de seleção de ativos (stock

picking) e na determinação de qual o melhor momento para comprar ou vender os ativos

( market timing).

2.1.2 ANÁLISE TÉCNICA

Essa estratégia envolve basicamente a análise de dados passados como preços e volumes,

determinando tendências de preços futuros. Dessa forma, tal método diverge da análise

fundamentalista, pois dados econômicos são analisados conjuntamente com os ativos já que,

nesse caso, o mercado é considerado o melhor previsor.

Existem algumas hipóteses atreladas à análise técnica. A primeira é a de que o valor de

mercado de um ativo é determinando apenas pela oferta e demanda. A segunda é que a oferta

e demanda é influenciada por fatores racionais e irracionais. A terceira diz que o preço de um

21

Page 26: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

ativo e o valor de mercado movem-se de acordo com tendências, com relativa persistência no

tempo. Por fim, a última hipótese diz que tendências persistentes mudam em função de

alterações na oferta e demanda, podendo ser detectada em função da própria alteração do

mercado. Nesse caso, analistas técnicos acreditam que essas tendências são persistentes pois

as informações novas entram no mercado durante um período no tempo, e não

instantaneamente, gerando assim em um ajuste gradual no preço do ativo (o que de certa

forma é contra a análise fundamentalista e aqueles que acreditam na eficiência de mercado).

2.1.3 MODELO MÉDIA VARIÂNCIA

Suponha que existam um total de n de ativos disponíveis. Para cada ativo, calcula-se a taxa de

retorno simbolizada por Rj para cada período. Define-se também X i, i = 1, ... , n , sendo essas

as variáveis representando o peso de cada ativo na carteira total. O modelo, inicialmente,

assume que os gestores são impossibilitados de ficarem vendidos nos ativos, ou seja, ∑i=1

n

X i

=1 e X i ≥ 0 para todo i = 1, ... , n.

Além dos elementos mencionados, o modelo utiliza o retorno esperado de todos os ativos para

cada período, de forma a selecionarmos de forma correta o portfólio ótimo. Seja:

Rj(x1, ... , xn) = E [∑j=1

m

R ji X i]=∑i=1

n

Ri X i (2.1.1)

Sendo Rj o retorno esperado do portfólio para cada período j, onde Ri é a taxa média de

retorno do ativo i. Da mesma forma, podemos definir a variância da carteira como:

22

Page 27: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

σ 2 ( x )=∑i=1

n

∑q=1

n

X i Xq σ iq , q=1 , ..., n , i=1 ,... , n (2.1.2)

onde σ iq é a covariâcia entre os ativos i e q, definida como:

σ iq=1m∑j=1

m

[ (r ij−Ri ) (rqj−Rq ) ] , q=1 , ..., n , i=1 ,... , n (2.1.3)

A partir desses parâmetros, definimos o modelo de Média Variância de Markowitz como um

problema quadrático de Kuhn-Tucker da seguinte forma:

Minimizar σ 2( x )=∑i=1

n

∑i=1

n

X i Xq σ iq

Sujeito a ∑i=1

n

X i Ri≥μ

∑i=1

n

X i=1

X i≥0 , i=1 ,. . ., n(2.1.4)

Note que a função objetivo busca minimizar o risco da carteira a partir da sua variância. Além

disso, ao considerarmos as restrições, vemos que a taxa média de retorno da carteira é restrita

à um parâmetro exógeno µ definido pelo gestor. Como mencionado anteriormente, temos

outra restrição que refere-se à restrição orçamentária do gestor, enquanto que a última

restrição impede que o mesmo mantenha posições vendidas nos ativos.

23

Page 28: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Para que os resultados sejam válidos, supõe-se que os retornos dos ativos possuem

distribuição normal multivariada e que os investidores são avessos ao risco, ou seja, preferem

um menor desvio padrão tornando a carteira menos arriscada, sacrificando, por outro lado, a

possibilidade de retornos maiores.

3 2.1.4 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO

Como mencionado, o modelo de otimização proposto por Konno e Yamazaki (1991)

representa uma aproximação linear do modelo Média Variância de Markowitz. O desvio

absoluto pode ser definido como:

α (x )=E[|∑i=1

n

ri X i−E [∑i=1

n

ri X i]|] (2.2.1)

A partir da condição da normalidade dos retornos dos ativos, pode ser provado que:

σ ( x )=α ( x )∗1,25 (2.2.2)

ou seja, o problema de otimização de Média Variância é equivalente à minimização do Desvio

Absoluto Médio.

Podemos, alternativamente, escrever o desvio absoluto médio como:

α (x )=E[|∑i=1

n

ri X i−E [∑i=1

n

ri X i]|]= 1m∑j=1

m |∑i=1

n

(rij−r j ) X i| (2.2.3)

Com isso, podemos definir o problema de minimização da seguinte forma:

24

Page 29: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Minimizar1m∑j=1

m

L( B j)

L: X→|X|

B j=|∑i=1

n

(rij−r j) X i| , j=1 , .. . , m

Sujeito a |∑i=1

n

(rij−r j) X i|+∑i=1

n

(rij−r j )X i≥0 , j=1 , .. . , m

|∑i=1

n

(rij−r j ) X i|−∑i=1

n

(rij−r j ) X i≥0 , j=1 , .. . , m

∑i=1

n

X i ri≥μ

∑i=1

n

X i=1

X i≥0 , i=1 ,. .. , n(2.2.4)

As duas primeiras restrições buscam igualar ao valor absoluto da soma de desvios no período

j. Além disso, foi incluída outra restrição estabelecendo que a soma dos retornos para cada

ativo escolhido é maior do que o retorno μ, um parâmetro exógeno. Por fim, as duas últimas

restrições são semelhantes às do modelo de Markowitz, representando, respectivamente, a

restrição orçamentária dos investidores e a impossibilidade dos gestor de manter posições

vendidas nos ativos.

Existem algumas vantagens para utilizarmos o modelo de desvio absoluto médio ao invés do

Média Variância. Primeiramente, não é necessário o cálculo da matriz de variância

25

Page 30: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

covariância, sendo assim mais eficiente ao atualizarmos os dados. Além disso, o modelo é

computacionalmente mais eficaz devido à natureza linear do problema.

Portanto, ambos os modelos apresentados podem ser considerados como pontos de partida

para a seleção de carteiras. A partir dos modelos citados, podemos incluir outros tipos de

restrições que correspondam melhor à realidade e aos interesses dos gestores. Tais

proposições serão expostas na próxima seção.

2.2 GESTÃO PASSIVA

A gestão passiva busca montar um portfólio que replique a performance de um índice

específico (ou o benchmark). Podemos listar algumas vantagens e desvantagens dessa forma

de gestão, dentre elas:

Vantagens:

1- Baixo custo em termos de capital humano, além do fato de não necessitar ajustes em sua carteira regularmente, gerando menos custos para a administração da mesma (taxas de corretagem menores por exemplo).

2- A administração é relativamente simples, facilitando a comunicação entre os gestores dos recursos e clientes.

3- Supondo a existência de eficiência de mercado, a indexação de portfólio é considerada como uma das melhores estratégias de investimento, dado que pouca informação ainda não está disponível para o mercado. Dessa forma, o gestor provavelmente não tomará decisões que sejam extremamente custosas.

Desvantagens:

26

Page 31: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

4- Tracking error do índice, ou seja, a diferença entre o retorno do portfólio e do índice diverge entre gestores.

5- Dada a correlação positiva com o índice, perde-se a habilidade ou a possibilidade de alterar estratégias defensivas ou ofensivas em função de condições adversas de mercado.

6- Retornos determinados apenas pelo índice.

É necessário dizer que existem alguns elementos que influenciam e impactam diretamente os

desvios entre a carteira do gestor e do índice. Chiang (1998) identifica alguns fatores que

influenciam o tracking error dos fundos, sendo eles: custos de transação (a liquidez é um

fator crucial nesse caso pois, ao selecionarmos uma quantidade menor de ativos para compor

a carteira, prevenimos posições muito pequenas e/ou ilíquidas); fluxo de caixa do fundo; a

volatilidade e tratamento de dividendos do índice; mudanças na composição do índice (a

entrada de um novo ativo no índice faz com que o gestor compre o mesmo, possivelmente a

um preço valorizado dado que, empiricamente, quando um ativo passa a fazer parte de um

tradicional índice, o mesmo passa a ser mais valorizado, gerando um aumento no preço).

Dessa forma, nota-se a existência de um trade-off entre a minimização do tracking error e dos

custos de transação.

Podemos definir duas estratégias gerais da gestão passiva: buy and hold e indexação.

Contudo, antes de enunciá-las, torna-se necessário explicar melhor os conceitos que norteiam

e justificam a utilização de estratégias passivas de investimento.

2.2.1 HIPÓTESE DE EFICIÊNCIA DE MERCADO

Desde a década de 50, artigos mostram que não é possível identificar padrões nos preços dos

ativos, ou seja, mudanças nos preços são aleatórias e não podem ser previstas, sendo que

27

Page 32: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

apenas novas informações afetarão os preços dos ativos. Essa relação é o que podemos definir

como a Hipótese (Fraca) de Eficiência de Mercado.

Como mencionado no parágrafo anterior, tal hipótese está associada à idéia de que os preços

dos ativos seguem um passeio aleatório. Isso sugere que, caso o fluxo de informações seja

livre e impactem de forma direta os preços, então variações dos mesmos nos dias seguintes

estarão associadas à notícias futuras, fazendo com que variações futuras sejam independentes

das mudanças de preços hoje (em outras palavras, variações diárias no preços dos ativos

possuem média zero).

Atualmente existem três versões da Hipótese de Eficiência de Mercado, sendo elas: a forma

Fraca, Semi-Forte e Forte.

A hipótese Fraca diz que os preços dos ativos já refletem toda a informação passada, como

volumes e preços históricos. Dessa forma, caso tal hipótese seja verdade, estratégias de

tendência utilizadas em análise técnica não possuem embasamento teórico algum, dado que o

histórico de preços e volumes passados podem ser obtidos de forma simples e com baixos

custos e, portanto, qualquer informação passada já foi incorporada no preço do ativo hoje,

impossibilitando também qualquer tipo de previsão.

A hipótese Semi-Forte define que toda informação pública disponível sobre os prospectos de

uma empresa devem ser refletidos no preço do ativo, sendo essas informações, além de dados

históricos como preços e volume, assim como dados fundamentalistas, como práticas

contábeis, composição do balanço e linhas de produto. Com isso, supondo que tal hipótese

seja válida, estratégias envolvendo análise fundamentalista (além da análise técnica) não irão

28

Page 33: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

gerar o lucro esperado, pois as avaliações dos analistas à respeito das empresas não irão

mudar de forma considerável, dado que todos se baseiam nas mesmas informações.

Por fim, a forma Forte de eficiência de mercado define que os preços dos ativos refletem toda

informação relevante à firma, tanto informações públicas quanto privadas.

Dessa forma, a Hipótese de Eficiência de Mercado sugere que a gestão ativa não é a melhor

forma de gerir a renda de um indivíduo, sendo mais interessante implementar estratégias

passivas de investimento.

2.2.2 BUY AND HOLD

Essa estratégia é mais comum em carteiras de bonds. Basicamente envolve investir em ativos

com características que satisfaçam o perfil do investidor. Características como cupom,

vencimentos e duration dos bonds são analisadas no processo de seleção de ativos,

carregando os títulos selecionados até o vencimento dos mesmos.

2.2.3 INDEXAÇÃO

Fundos indexados são exemplos de uma administração passiva, que possuem como estratégia

de investimento escolher um índice de mercado (como o S&P 500 ou o Ibovespa) e tentar

replicar o retorno do mesmo (sendo chamada de indexação tradicional). Outras formas de

indexação podem ser mencionadas como a sintética, combinando contratos futuros e bonds de

baixo risco, além do enhanced indexing, sendo esta última combinada com estratégias ativas.

Além disso, existem diferentes técnicas de indexação de carteiras, a partir do uso de contratos

futuros, full replication, amostragem estratificada e largest holding

29

Page 34: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

2.2.3.1 CONTRATOS FUTUROS

Em mercado líquidos, a utilização do contrato futuro de índice torna-se um instrumento

relativamente simples de indexação. Um contrato futuro de índice Bovespa nada mais é do

que um derivativo com vencimento pré-determinado, sendo o ativo uma cesta de ações. Além

disso não existe entrega física, apenas a liquidação financeira.

Contudo, a utilização de contratos futuros possuem limitações. Uma delas, já mencionada no

parágrafo anterior, refere-se ao fato dos contratos possuírem vencimentos fixos, sendo

necessário rolar o índice mensalmente, gerando custos de transação durante a rolagem. Além

disso, ao utilizarmos contratos futuros, impossibilitamos o empréstimo de ações que seria

disponível nos demais casos de indexação.

2.2.3.2 FULL REPLICATION

Esse método pode ser considerado como o mais simples de todos. Basicamente, o gestor pode

comprar todos os ativos que compõem o índice, levando em conta o peso dos mesmos na

carteira, reproduzindo totalmente o índice.

Porém, tal método possui uma série de desvantagens. Caso haja recomposição do índice, o

gestor terá que rebalancear totalmente a carteira. Somado à isso, caso alguns ativos sejam

ilíquidos, teremos custos de transação maiores ainda.

2.2.3.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

Esse método busca minimizar o tracking error selecionando especificidades relacionadas aos

ativos que compõem o índice responsáveis pela tomada de decisão do gestor.

30

Page 35: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Podemos estratificar, por exemplo com base nos setores industriais que cada ativo pertence

(Petróleo e Gás, Mineração dentre outros), yield, price earning ratio, ou seja, podemos

determinar uma série de filtros que irão balizar as decisões do gestor.

Estratificar é uma técnica que certamente reduzirá os custos de transação se compararmos

com o full replication, pois selecionamos menos ativos, porém, o mesmo sofre limitações,

principalmente em termos de controle de risco. Ao filtrarmos características específicas de

cada ativo, ignoramos os demais fatores de risco que influenciam o índice. Além disso, a

determinação do método de estratificação a ser utilizado baseia-se na premissa de que o

mesmo possui grande influência no índice. Caso não seja verdade, possivelmente existirá

outra combinação de ativos mais eficiente que minimize ainda mais o tracking error da

carteira.

2.2.3.4 LARGEST HOLDING

A lógica da indexação via largest holding baseia-se na compra de ativos com maiores pesos

no índice. A idéia é que os ativos com maiores pesos explicam melhor a dinâmica do índice e,

dessa forma, torna-se uma interessante estratégia de indexação.

Ao utilizarmos tal método, eliminamos o problema de liquidez e, quanto maior a liquidez,

menores serão os custos de operação. Note que, ao selecionarmos os ativos, é necessário ainda

minimizar o tracking error para assim determinarmos o peso dos ativos na carteira. Contudo,

esse procedimento possui a mesma falha que a amostragem estratificada em termos de

controle de risco.

31

Page 36: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

2.2.4 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO DE DUARTE (1997)

O modelo proposto em Duarte (1997) utiliza como tracking error o desvio absoluto médio

entre a carteira a ser otimizada e o índice considerado como benchmark. Além disso,

adicionamos uma nova restrição de turnover e definimos custos fixos para cada ativo

negociado, sendo os mesmos obtidos a partir da média dos spreads dos bids e asks diários dos

ativos. Além disso, definimos m como o total de períodos, rij❑

é o retorno do ativo i no

período j, ∀ j=1,2 , …, m e∀ i=1,2 , …,n .Dessa forma, temos que:

Minimizar1m∑j=1

m

L( B j )

L : X→|X|

B j=∑i=1

n

rij X i−(r jindice )w , j=1, . .. , m

Sujeito a ∑i=1

n

Ei=∑i=1

n

F i

ai+Ei=F i+ X i , i=1 , .. . ,n

∑i=1

n

( Ei+F i )≤δ∑i=1

n

ai

X i ,F i , E i≥0 , i=1 , .. . ,n (2.3.1)

Primeiramente temos a função objetivo, ou seja, o tracking error, simbolizado como o desvio

absoluto médio entre o índice selecionado e a suposta carteira a ser otimizada (note que a

mesma está em módulo, sendo uma boa solução para o caso de outliers). Além disso, rij nos

32

Page 37: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

mostra o retorno do ativo i por período j dos ativos da carteira indexada, considerando

também o custo de transação dos ativos (como já mencionado, fixo no tempo).

As duas primeiras restrições podem ser consideradas como restrições de equilíbrio.

Basicamente, fazem com que a alocação inicial da carteira somada deva ser igual à quantidade

final somada ou reduzida de um “fator” (no caso, os fatores seriam as variáveis Ei e F i).

Notem que essas variáveis de balanceamento entram na função objetivo do modelo também e,

dessa forma, são determinadas a partir da minimização do tracking error.

Nesse modelo, restringe-se também o turnover da carteira, dado que o mesmo, se muito

elevado, certamente influenciará a convergência do modelo, limitando a possibilidade de

variação do financeiro a ser alocado para cada ativo.

2.3 ENHANCED INDEXING

Como mencionado anteriormente, tal metodologia busca incluir estratégias tanto ativas como

passivas. Ao analisar o cenário econômico ou condições específicas de ativos, o gestor pode

determinar que existam estratégias ativas que gerem performance superior ao do mercado.

Caso contrário, o gestor pode ser mais conservador e adotar estratégias passivas. Dessa forma,

pode existir uma combinação de estratégias tanto ativas quanto passivas que, em função da

necessidade do investidor e do cenário econômico financeiro, determinarão a alocação ótima

de recursos. Com isso, um possível efeito seria o de sacrificar o tracking error da carteira em

relação ao benchmark, garantindo, por outro lado, melhor performance.

33

Page 38: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

4 O MODELO

Como mencionado anteriormente, o modelo proposto é baseado em Duarte (1997) com a

inclusão de novas restrições. Primeiramente, torna-se necessário enunciarmos as variáveis e

parâmetros, presentes em nossos modelos, definidos da seguinte forma:

VARIÁVEIS DE DECISÃO:

(X i ¿= alocação final do ativo i.

(Zi )= variável binária utilizada para indicar o investimento no ativo i.

PARÂMETROS:

(r jíndice ¿= retorno do índice selecionado no período j.

∝❑ = limite inferior de alocação da carteira.

γ❑= limite superior de alocação da carteira.

h = limite máximo de ativos na carteira otimizada.

w = financeiro disponível para investimento,

ϕ = matriz contendo os ativos disponíveis

φ = matriz contendo as restrições da estratificação amostral

C = caixa total disponível

ρ = limite mínimo de caixa.

ÍNDICES:

j = 1, ... , m ∈ períodos

i = 1,…, n ∈ ativos

k = 1,…, s ∈ setores

Em nossas simulações, faremos as seguintes suposições:

∝❑ = 2%

γ❑= 20%

w = R$100.000.000,00

ρ = 2%

34

Page 39: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Inicialmente, explicitaremos o modelo inicial sem a inclusão de variáveis binárias e sem

rebalanceamento. Dessa forma, temos a seguinte formulação (na forma de desvio quadrático

médio):

Minimizar1m∑j=1

m

L( B j )

L: X→X2

B j=∑i=1

n

rij X i−(r jindice )w , j=1, . .. ,m

Sujeito a ∑i=1

n

X i+C=w

C≥ρwX i∈ℜ+ , i=1 , .. . ,n

(3.1)

3.1 INCLUSÃO DE VARIÁVEIS BINÁRIAS

Visando aperfeiçoar o modelo, fazendo com que o mesmo selecione não só a quantidade

ótima dos ativos mas também quais ativos serão escolhidos, é necessário definirmos uma

nova variável binária Zi ∈ {0,1}, assumindo valor zero quando o ativo i não é selecionado

no ponto de ótimo e valor um caso contrário. Além disso, outro fator interessante, que nos

aproxima da realidade, diz respeito à restrição do número de ativos permitidos na carteira,

sendo definida como uma restrição de cardinalidade, limitando a quantidade total de ativos

35

Page 40: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

(porém ainda não mencionamos nada em relação aos setores industriais cujos ativos estão

inseridos). Dessa forma, definimos as novas restrições do modelo da seguinte forma:

∝Z i≤X i

w≤ γZ i , i=1,2 , …,n

(ϕ¿¿1 xn) (Zn x1 ) ≤ h¿ (3.2)

Z❑∈ {0,1 }

Muitas das restrições são análogas àquelas enunciadas no capítulo anterior. Contudo, torna-se

necessária a análise das novas restrições. Uma das novas restrições refere-se à condição de

cardinalidade da carteira, ou seja, definimos exogenamente h, forçando a carteira otimizada a

conter um número máximo de ativos predeterminado. Para tal, como mencionado

anteriormente, define-se novas variáveis binárias Zi, e fazemos com que a soma dessas

variáveis seja menor ou igual ao valor de h (note que é necessário restringir as variáveis,

sendo essa restrição incorporada em nosso modelo). Nesse caso, a matriz ϕ1 x n é um vetor

linha que contém todos os ativos disponíveis.

Assumimos que, caso o ativo i seja selecionado, seu valor relativo ao capital total disponível

deve estar contido entre o limite inferior ∝ e superior γ. Intuitivamente, podemos dizer que

existe uma relação entre essa restrição e a condição de cardinalidade, dado que ambas

buscam reduzir o número de pequenas operações. Além disso, definimos uma restrição de

caixa, visando tornar o modelo mais real, pois dinheiro em caixa soluciona problemas como

chamada de margem ou resgates.

36

Page 41: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

3.2 INCLUINDO ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL NO MODELO

Definidas as variáveis binárias torna-se importante relacionar os ativos a serem selecionados

em função também dos setores industriais que pertencem. Dessa forma, substituímos a

restrição de cardinalidade da seção anterior pela seguinte restrição:

(ϕ¿¿ s x n) ( Zn x 1)=φ s x 1¿ (3.3)

Onde ϕs x n é uma matriz contendo s setores e n ativos, Zn x 1 é um vetor coluna contendo as

variáveis binárias e φ s x 1 é um vetor coluna contendo as restrições totais por cada setor. Por

exemplo, suponha que existam apenas 3 setores industriais e 6 ativos disponíveis, sendo que

restrinjo meu modelo para selecionar apenas 1 ativo de cada setor. Com isso, temos que:

(1 1 00 0 10 0 0

0 0 01 0 00 1 1)

3 x6

∗(Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

)6 x1

=(111)3x 1

❑⇒ (Z1+Z2

Z3+Z4

Z5+Z6)

3x 1

=(111)3 x1

Note que a forma matricial é análoga à formulação do exemplo, ou seja, os pares de ativos

(1,2), (3,4) e (4,5) pertencem a setores distintos, sendo os mesmos multiplicados por variáveis

binárias que serão iguais a 1 caso os ativos sejam selecionados e 0, caso contrário, Além

disso, note que a o valor final da soma de cada linha da matriz deve ser igual à 1, ou seja,

igual ao limite pré-estabelecido de participação de ativos por setor. Com isso:

37

Page 42: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Minimizar1m∑j=1

m

L( B j )

L: X→X2

B j=∑i=1

n

rij X i−(r jindice )w , j=1, . .. , m

Sujeito a ∑i=1

n

X i+C=w

αZi≤X i

w≤γZi , i=1 , .. . ,n

∑i=1

n

Z i φ ik=ϕk , k=1, . .. , s

C≥ ρwX i∈ℜ+ , i=1 , .. . ,n

Z∈ {0,1 }(3.4)

3.3 MODELO COM DESVIOS EM MÓDULO

Além de utilizarmos o desvio quadrático médio, iremos implementar também a forma

absoluta de desvios. A forma não linear dos desvios utilizando a função modular direto na

função objetivo pode ser descrita da seguinte forma:

38

Page 43: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Minimizar1m∑j=1

m

L( B j )

L : X→|X|

B j=∑i=1

n

rij X i−(r jindice )w , j=1, . .. , m

Sujeito a ∑i=1

n

X i+C=w

αZi≤X i

w≤γZ i , i=1 , .. . ,n

∑i=1

n

Z i φ ik=ϕk , k=1, . .. , s

C≥ ρwX i∈ℜ+ , i=1 , .. . ,n

Z∈ {0,1 }(3.5)

Contudo, no caso dos desvios absolutos, podemos tornar o modelo linear, utilizando assim

otimizadores lineares como o Simplex (sendo este utilizado no Microsoft Excel). Além disso,

no caso linear, caso o modelo obtenha uma solução, podemos garantir que ela será um ótimo

39

Page 44: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

global, ao contrário do problema quadrático. Utilizando-se desse fato, o modelo pode ser

linearizado da seguinte forma:

Minimizar1m∑j=1

m

(B j++B j

−)

B j+−B j

−=∑i=1

n

rij X i−(r jindice )w , j=1 ,. .. ,m

Sujeito a ∑i=1

n

X i+C=w

αZi≤X i

w≤γZi , i=1 , .. . , n

∑i=1

n

Z i φik=ϕk , k=1 ,. .. , s

C≥ ρwX i∈ℜ+ , i=1 , .. . , n

B j+ , B j

−≥0 , j=1 ,. .. ,m

Z∈ {0,1 }(3.6)

40

Page 45: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

3.4 MODELO UTILIZANDO A MEDIANA NA FUNÇÃO OBJETIVO

Utilizando não só a função objetivo em módulo e na forma quadrática, podemos implementar

a mediana dentro da função objetivo. Dessa forma:

Minimizar Mediana {B12 ,B2

2 ,B32 ,. . ., B j

2}B j=∑

i=1

n

rij X i−(r jindice )w , j=1 , . .. , m

Sujeito a ∑i=1

n

X i+C=w

αZi≤X i

w≤γZi , i=1 ,. . ., n

∑i=1

n

Z i φik=ϕk , k=1 , .. . , s

C≥ρwX i∈ℜ+ , i=1 ,. . ., n

Z∈ {0,1 }(3.7)

41

Page 46: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Além disso, podemos fazer uma leve alteração no modelo acima, utilizando não apenas o

quadrado dos desvios realizados como também o módulo desses desvios, resultando no

modelo descrito abaixo:

Minimizar Mediana {|B1|,|B2|,|B3|,. . .,|B j|}

B j=∑i=1

n

rij X i−(r jindice )w , j=1 , .. . , m

Sujeito a ∑i=1

n

X i+C=w

αZi≤X i

w≤γZi , i=1 ,. .. , n

∑i=1

n

Z i φik=ϕk , k=1 , .. . , s

C≥ρwX i∈ℜ+ , i=1 ,. .. , n

Z∈ {0,1 }(3.8)

42

Page 47: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

5 4 SIMULAÇÕES

4.1 DADOS

Para a realização das simulações e da otimização do modelo, utilizou-se a série histórica

semanal do Ibovespa e dos ativos que compuseram o índice a partir do segundo semestre de

2010 até o novembro de 2011, totalizando 108 semanas. A série de preços dos ativos, assim

como a série do índice Bovespa, foram obtidas utilizando o Economatica como fonte de dados

para as simulações. A partir dos preços dos ativos, calculamos os retornos logarítmicos.

Um fator importante a ser mencionado diz respeito à reestruturação do índice para diferentes

quadrimestres. Partimos da hipótese de que os ativos que compuseram o índice no passado

serão os mesmos que compuseram o índice no último quadrimestre em análise. Dessa forma,

fixamos os ativos do índice, alterando apenas a quantidade teórica dos mesmos. Para isso,

utilizamos as fórmulas contidas no Apêndice A deste trabalho. Nas próximas seções,

listaremos os resultados dos modelos utilizando a técnica de estratificação amostral, assim

como os modelos na forma mais simples.

43

Page 48: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

4.2 RESULTADOS SEM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL

Os resultados mencionados dizem respeito à forma quadrática com a adição das variáveis

binárias e inteiras, ou seja, o modelo da seção 3.1 do Capítulo 3. Utiliza-se como passo inicial

no modelo de otimização os mesmos pesos dos ativos que compõem o índice. Além disso,

definimos o parâmetro de mínimo de caixa equivalente à 2%, com recursos disponíveis no

total de R$100.000.000.

4.2.1 UM MODELO SIMPLES

Como ponto de partida, iremos implementar um caso com apenas 6 ativos, inseridos em

apenas 2 setores industriais (Mineração e Petróleo e Gás). A idéia é analisar o comportamento

do modelo na situação mais simples possível. Nesse caso, iremos eliminar as restrições de lote

mínimo e máximo (na verdade iremos supor que o limite máximo é de 100% do patrimônio

do gestor e 0% para o limite mínimo). Os dois setores mencionados possuem os maiores

pesos no índice, sendo equivalente a aproximadamente 32,66% do peso total, sendo que

Mineração possui 15.21%, enquanto que Petróleo e Gás possui 17.45%.

Observando as figuras 3 e 4, vemos que, quanto maior o número de ativos, menor será o

tracking error da carteira. Porém, selecionar 3 ativos parece ser mais eficiente pois, a partir

desse número, tanto o tracking error quanto seus quartis não apresentam melhora relevante.

44

Page 49: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

6 ativos5 ativos4 ativos3 ativos2 ativos1 ativo0.0000%

0.5000%

1.0000%

1.5000%

2.0000%

2.5000%

3.0000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 3- T.E do Modelo Simples (desvios absolutos)

6 ativos5 ativos4 ativos3 ativos2 ativos1 ativo

-2.0000%

-1.5000%

-1.0000%

-0.5000%

0.0000%

0.5000%

1.0000%

1.5000%

2.0000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 4- T.E do Modelo Simples (desvios realizados)

Além disso, a partir da tabela 4, vemos que o critério de seleção do modelo é escolher,

primeiramente, ativos com os maiores pesos no índice. Fazendo com que o modelo escolha

apenas um ativo, o mesmo seleciona VALE5, o ativo com maior peso no índice. Aumentando

para dois o número de ativos na carteira, o modelo seleciona VALE5 e PETR4, ativos com os

dois maiores pesos no índice, e assim por diante. Dessa forma, o modelo mais simples parece

nos fornecer valiosas intuições em relação ao caso geral, contendo todos os ativos e com

restrições mais parcimoniosas.

45

Page 50: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Tabela 1- Alocações do Modelo Simples

4.2.2 CASO GERAL

Utilizando um total de 47 ativos disponíveis para investimento e alterando a restrição, em

cada simulação, do limite máximo de ativos, vemos que o tracking error aumenta quanto

menos ativos disponíveis. As figuras 5 e 6 mostram estatísticas dos tracking errors semanais

obtidas em nossas simulações. A primeira figura mostra os desvios absolutos, assim como os

quartis dos tracking errors, enquanto que a segunda figura mostra os desvios realizados,

assim como os quartis. Além disso, deve-se dizer que, ao utilizarmos a restrição que estipula

um limite máximo de número de ativos, não necessariamente o modelo selecionará o máximo

em cada simulação. Dessa forma, o eixo horizontal das tabelas reflete o número máximo de

ativos que podem ser selecionados pelo gestor mas não necessariamente será o valor final no

ponto ótimo.

46

Page 51: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

474237322722171270.00000%

0.20000%

0.40000%

0.60000%

0.80000%

1.00000%

1.20000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 5- T.E da Carteira (desvios absolutos)

47423732272217127

-0.80000%

-0.60000%

-0.40000%

-0.20000%

0.00000%

0.20000%

0.40000%

0.60000%

0.80000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 6- T.E da Carteira ( desvios realizados )

A partir das figuras, vemos que o tracking error é cada vez maior quanto menor for o limite

máximo de ativos disponíveis para o gestor. Além disso, aparentemente, a partir do limite

máximo de 17 ativos, aumentar o limite parece não tornar a carteira mais eficiente (no sentido

de desvios realizados). Dessa forma, podemos dizer que, não necessariamente, selecionar

todos os ativos que compõem o índice seja a melhor solução para indexarmos uma carteira.

A partir da tabela 1, podemos ver uma das simulações implementadas. Note que, nesse caso, o

modelo seleciona ativos que possuem maior participação no índice. Contudo, ao rodarmos os

modelos com limites máximos de ativos diferentes, não obtivemos o mesmo resultado. Talvez

47

Page 52: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

isso se deva ao fato do modelo não selecionar o ótimo global em algumas das simulações

implementadas.

Tabela 2- Simulação com restrição máxima de 42 ativos (24 selecionados)

48

Page 53: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

4.3 RESULTADOS COM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL

Nessa parte, explicitaremos o modelo incluindo um critério de seleção de ativos com base na

estratificação amostral por setores industriais. No modelo anterior restringimos apenas o

número máximo de ativos presentes na carteira, independente do setor dos mesmos. Dessa

forma, a solução final ignoraria qualquer critério utilizando setores industriais, podendo, por

exemplo, escolher ativos que participassem de apenas um setor (caso fosse a solução ótima).

Com isso, vemos que, ao restringirmos o modelo por estratificação amostral, estaremos

limitando ainda mais as possíveis combinações de ativos, podendo assim desconsiderar

potencias soluções melhores do que a final (no sentido de minimização do tracking error da

carteira). A atual simulação se baseará em um total de 39 ativos que compõem o Ibovespa e

14 setores específicos (sendo os setores e ativos que irão compor os mesmos definidos no

Apêndice B).

4.3.1 EXEMPLO COM 3 SETORES E 6 ATIVOS DISPONÍVEIS

Apenas para ilustrar como funciona a restrição que relaciona os setores e ativos disponíveis

com as variáveis binárias, suponha o caso em que temos apenas 3 setores e 6 ativos

disponíveis, divididos entre Mineração, Petróleo e Bancos. Nesse caso, podemos escrever

∑i=1

n

Z i φik=ϕk , k=1 ,. .. , s como:

(1 1 00 0 10 0 0

0 0 01 0 00 1 1)

3 x6

∗(Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

)6 x1

=(111)❑⇒ (Z1+Z2

Z3+Z4

Z5+Z6)

3x 1

=(111)3 x1❑

49

Page 54: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Podemos ver acima que existem 2 ativos em cada setor, sendo que minha carteira irá possuir

um ativo de cada setor disponível. Dessa forma, obtivemos os seguintes resultados:

Setores Carteira Alocação FinalMetalurgia VALE5 $34,048,084.00

Petróleo PETR4 $24,444,816.00 Bancos ITUB4 $39,507,048.00

Tracking Error 1.00%

Desvio Absoluto Desvio Realizado

Primeiro Quartil 0.27% Primeiro Quartil -0.60%Mediana 0.65% Mediana 0.06%

Terceiro Quartil 1.18% Terceiro Quartil 0.76%

Tabela 3- Exemplo com 6 ativos e 3 setores

Os resultados mostram que o modelo, para cada setor específico, selecionou ativos com

maiores pesos no índice, corroborando resultados anteriores.

4.3.2 PRIMEIRA SIMULAÇÃO

Como ponto de partida, utilizando como base o modelo com estratificação amostral,

restringimos a carteira para um total de apenas 8 ativos, gerando 17 possíveis combinações

(na verdade existem milhares de combinações para a composição da carteira).

As figuras 7 e 8 mostram os quartis de cada simulação descrita no parágrafo anterior. Cada

ponto no eixo horizontal reflete uma específica restrição por estratificação amostral. Note que,

a partir da Tabela 5, a simulação que seleciona setores industriais com os menores pesos no

índice apresentou os maiores desvios. Esse resultado corrobora os resultados das simulações

50

Page 55: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

anteriores, dado que os mesmos sugerem que uma indexação mais eficiente implica em

selecionar ativos com maiores pesos no índice.

17161514131211109876543210.0000%0.2000%0.4000%0.6000%0.8000%1.0000%1.2000%1.4000%1.6000%1.8000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 7- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Primeira Simulação)

1716151413121110987654321

-1.5000%

-1.0000%

-0.5000%

0.0000%

0.5000%

1.0000%

1.5000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 8- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Primeira Simulação)

51

Page 56: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Tabela 5- Simulação com restrição máxima de 8 ativos

4.3.3 SEGUNDA SIMULAÇÃO

Realizamos também uma segunda simulação utilizando a técnica de amostragem estratificada,

restringindo para 16 o número total de ativos irão compor a carteira. A melhor simulação (a

melhor solução final) selecionou ativos que compõem os 7 setores com maiores pesos no

índice. Já o pior foi a simulação que selecionou apenas os 4 maiores setores do índice (a partir

da Tabela 6).

52

Page 57: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

17161514131211109876543210.0000%

0.1000%

0.2000%

0.3000%

0.4000%

0.5000%

0.6000%

0.7000%

0.8000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 9- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Segunda Simulação)

1716151413121110987654321

-0.5000%

-0.4000%

-0.3000%

-0.2000%

-0.1000%

0.0000%

0.1000%

0.2000%

0.3000%

0.4000%

0.5000%

Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana

Figura 10- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Segunda Simulação)

Um fator interessante a ser mencionado é que, no caso em que investe-se exatamente em um

ativo nos setores de maiores pesos, o resultado final é um dos piores se comparado com os

demais, levando a acreditar que determinados setores industriais performaram melhor do que

outros. Porém, carteiras mais diversificadas geram um tracking error menor do que carteiras

concentradas.

53

Page 58: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Além dos fatos mencionados no parágrafo anterior, comparando os quartis tanto da primeira

quanto da segunda simulação, vemos que o primeiro e terceiro quartil dos desvios da segunda

simulação são menores do que os quartis da primeira simulação, gerando, também, tracking

errors menores. Como justificativa, tal fato se deve pela quantidade maior de ativos que

compõem a carteira, gerando maiores combinações possíveis do que no caso com apenas 8

ativos. Dessa forma, podemos dizer que os resultados da segunda simulação corroboram os

resultados da primeira simulação com estratificação amostral.

Tabela 5- Simulação com restrição máxima de 16 ativos

54

Page 59: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

4.4 RESULTADOS COM DESVIOS EM MÓDULO NA FORMA LINEAR

Nessa parte, iremos mostrar o resultado de uma simulação contendo 7 ativos na carteira.

Porém, é necessário dizer que, utilizando o modelo dessa forma, o número de restrições

aumenta significativamente (basicamente o dobro do tamanho da série histórica de retornos).

Utilizando o software Microsoft Excel, existe um limite de variáveis e restrições, sendo que,

se utilizarmos o tamanho total da série disponível, excedemos o limite máximo de restrições

possíveis. Com isso, foi necessário reduzir o número de dias e de ativos, de forma à satisfazer

as restrições do programa. Nesse caso específico, restringimos o modelo para 20 ativos e 42

dados semanais. Como base de comparação, iremos implementar também o modelo

quadrático visando mostrar as diferenças na alocação ótima determinada em cada uma das

situações, assim como tracking error final. A idéia é mostrar se a alocação ótima e os desvios

realizados do modelo linear diferem ou não da forma quadrática. Dessa forma:

1/14/1

1

1/28/1

1

2/11/1

1

2/25/1

1

3/11/1

1

3/25/1

1

4/8/1

1

4/22/1

1

5/6/1

1

5/20/1

1

6/3/1

1

6/17/1

1

7/1/1

1

7/15/1

1

7/29/1

1

8/12/1

1

8/26/1

1

9/9/1

1

9/23/1

1

10/7/1

1

10/21/1

1

11/4/1

1

11/18/1

1

-15.0000%

-10.0000%

-5.0000%

0.0000%

5.0000%

10.0000%

15.0000%

Desvio Quadrático Desvio em Módulo

Figura 11- Desvios realizados do Modelo na Forma Quadrática e em Módulo

55

Page 60: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Tabela 6- Comparação entre Modelos

A partir dos resultados acima, vemos que o modelo com a função objetivo em módulo gerou

uma alocação final diferente do modelo com a função quadrática. Porém, analisando a figura,

vemos que os desvios realizados em ambos os casos foram praticamente os mesmos. Além

disso, o modelo tanto na forma linear quanto não-linear geraram praticamente a mesma

carteira. Os resultados sugerem que ambos alcançaram um ótimo global, principalmente

devido ao fato de termos linearizado o modelo com desvios em módulo, utilizando assim o

Simplex como algoritmo otimizador.

4.5 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS NÃO LINEARES

Nessa seção, iremos comparar os desvios realizados dos modelos implementados na forma

não linear, sendo eles: a forma quadrática, com a função módulo direto na função objetivo, a

mediana dos desvios realizados em módulo e, por fim, a mediana dos desvios realizados ao

quadrado. A idéia básica é comparar o comportamento do modelo com diferentes formas não

lineares. Com isso:

56

Page 61: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

10/23/0

9

01/23/1

0

04/23/1

0

07/23/1

0

10/23/1

0

01/23/1

1

04/23/1

1

07/23/1

1

10/23/1

1

-1.50%

-1.00%

-0.50%

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

Mediana com Desvios Quadráticos Desvio QuadráticoDesvio em Módulo Mediana com Desvios em Módulo

Figura 12- Desvios Realizados dos Modelos Não Lineares

A partir da figura 12, vemos que os desvios realizados em todos os casos se comportaram de

forma similar, gerando praticamente os mesmos desvios em todos os casos mencionados.

Portanto, pode-se dizer que, nos casos não lineares, a estabilidade do modelo permaneceu a

mesma entre modelos.

57

Page 62: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

5 CONCLUSÃO

Comparando os resultados dos modelos com estratificação amostral, os mesmos sugerem que

quanto mais ativos na carteira, menores serão os tracking errors. Além disso, selecionar

setores industriais com maiores pesos no índice geram resultados melhores do que os demais

casos. Contudo, alguns setores parecem ter performado melhor do que outros, impactando

também o resultado final.

Os resultados dos quartis dos desvios também sugerem certa convergência para um tracking

error mínimo (sendo aproximadamente 0.30% para 16 ativos e 0.55% para 8 ativos).

Contudo, seria interessante implementar mais simulações visando validar os resultados

obtidos. Além disso, seria interessante também comparar a carteira gerada pelo modelo com

fundos de investimento existentes atualmente com características semelhantes, sendo essas

informações disponíveis na Comissão de Valores Mobiliários (CVM), uma autarquia

vinculada ao Ministério da Fazenda do Brasil, responsável por administrar carteiras e custódia

de valores mobiliários, assegurar o funcionamento regular dos mercados de bolsa, assim como

outros elementos de caráter disciplinar e funcional.

Um fator importante a ser mencionado diz respeito ao patrimônio disponível ao gestor. Foram

implementadas outras simulações aumentando o patrimônio disponível para R$200.000.000 e

58

Page 63: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

R$300.000.000. Os resultados finais selecionaram, respectivamente, o dobro e o triplo das

quantidades encontradas no modelo inicial (com R$100.000.000), já que os lotes das ações

são pequenos, resultado diferente do encontrado em Emilio (2011), que busca indexar uma

carteira utilizando títulos públicos federais indexados à inflação brasileira, sendo o lote padrão

equivalente à 10.000. Nesse caso, certamente o patrimônio da carteira influenciará no

processo de seleção dos ativos em função do alto custo de aquisição de um simples lote do

título público, sendo tal fato evidenciado no próprio trabalho de Emilio (2011).

Além disso, ao rodarmos o modelo com desvios em módulo linearizado, os desvios realizados

foram muito próximos do modelo na forma quadrática, porém, talvez seja interessante

implementar tal modelo em outros softwares mais robustos do que o Microsoft Excel.

Por fim, os modelos não lineares apresentam resultados similares entre si, mostrando que,

para a série e período analisados, a forma de modelagem parece não fazer muita diferença ao

analisarmos os desvios realizados.

5.1 LIMITAÇÕES

Como mencionado anteriormente, existem algumas limitações na implementação do modelo,

a começar pela volatilidade do índice e do grau de concentração de ativos que determinam o

mesmo. Ambos os fatores influenciam diretamente a minimização do tracking error da

carteira. Além disso, custos operacionais como taxas de administração não são levados em

conta no nosso modelo. Outro fator à ser mencionado diz respeito às limitações do Microsoft

Excel, já que o limite máximo de restrições a variáveis acaba afetando o tamanho final do

modelo, impactando principalmente na forma dos desvios em módulo. Por fim, a utilização da

59

Page 64: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

técnica de amostragem estratificada não leva em consideração alguns riscos presentes na

elaboração do modelo.

5.2 SUGESTÕES

Podemos sugerir próximos passos a serem implementados buscando melhorar o modelo

proposto. Um deles busca responder a seguinte pergunta: como melhorar a performance de

nosso modelo a partir de estratégias long e short de setores industriais? Para isso será

necessário adaptarmos nosso modelo possibilitando o gestor a estar vendido em determinado

grupo de ações. Além disso, seria interessante analisar mais cenários e utilizar outras medidas

de risco além da forma quadrática.

60

Page 65: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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YOUNG, MR. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution. Management Science; 44:673-83, 1998.

62

Page 67: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

APÊNDICE A (O ÍNDICE IBOVESPA)

Criado em 1968, o Índice Ibovespa nada mais é do que uma carteira teórica composta pelas

principais ações do mercado, com o objetivo de servir como um indicador de mercado. Dessa

forma, o índice engloba grande parte do volume negociado no mercado à vista da Bovespa

(em média 80% do número de negócios).

Além disso, a carteira sofre alterações ao final de cada quadrimestre , com vigência de janeiro

a abril, maio a agosto e setembro a dezembro. Para a realização do rebalanceamento

quadrimestral, calcula-se o índice de negociabilidade para cada uma das ações negociadas nos

últimos 12 meses. Após o cálculo do índice de negociabilidade, lista-se as ações cujo volume

seja superior a 0,1% do total, além daquelas que foram negociadas em, no mínimo, 80% do

total de pregões no período. Atendendo à esses critérios, essas ações selecionadas irão compor

a carteira do índice.

O índice de negociabilidade é definido da seguinte forma:

Ind . Ng=2√( N . IN )∗(V . I

V ) (1)

Onde:Ind.Ng = índice de negociabilidadeN.I = número de negócios com a ação “i” no mercado a vistaN = número total de negócios da BOVESPAV.I = financeiro gerado pelos negócios com a ação “i” no mercado a vistaV = financeiro total da BOVESPA

63

Page 68: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

A partir dos critérios mencionados no parágrafo anterior, determina-se também a quantidade

teórica de cada ação, utilizando os preços de fechamento do último dia do quadrimestre

anterior. As quantidades permanecerão constantes pelos próximos quatro meses seguintes,

sendo alterada apenas em casos de distribuição de proventos pelas empresas, cisão, etc. Para

ajustarmos os índice em função de distribuição de proventos, temos:

Q . N=Q. A∗P .CP . Ex

Onde:Q.N = quantidade novaQ.A = quantidade antigaP.C = último preço de fechamento anterior ao início da negociação ex-proventoP.Ex = preço ex-teórico, calculado com base em P.C

64

Page 69: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

APÊNDICE B ( RESUMO )

Esse apêndice busca listar os setores industriais utilizados.

A princípio, os ativos que compõem o índice podem ser divididos por setores da seguinte

forma (informações extraídas do Economatica) :

1. Abatedouros: BRFS3, JBSS3, MRFG3.

2. Administração de empresas e empreendimentos: BRAP4, LLXL3.

3. Agua, esgoto e outros sistemas: SBSP3.

4. Atividades auxiliares ao transporte rodoviário: CCRO3

65

Page 70: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

5. Bancos: ITUB4, BBDC4, BBAS3, SANB11, ITSA4.

6. Bolsa de valores e commodities: BVMF3

7. Comércio atacadista de bens não duráveis variados: NATU3.

8. Construção de edifícios residenciais: PDGR3, CYRE3, MRVE3, GFSA3, RSID3,

BISA3.

9. Extração de petróleo e gas: PETR4, OGXP3, PETR3.

10. Geração, transmissão e distribuição de energia elétrica: CMIG4, ELPL4, ELET3,

CPLE6, ELET6, CESP6, LIGT3, CPFE3, TRPL4.

11. Indústria de açúcar e produtos de confeitaria: CSAN3.

12. Indústria de bebidas: AMBV4.

13. Indústria de equipamentos aeroespaciais: EMBR3.

14. Indústria de fumo: CRUZ3.

15. Indústria de móveis e afins: DTEX3.

16. Indústria de papel , celulose e papelão: FIBR3, KLBN4.

17. Indústria de roupas de malha: HGTX3.

66

Page 71: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

18. Indústria química: BRKM5, UGPA3.

19. Locadora de imóveis: BRML3.

20. Loja de departamentos: LAME4, PCAR4.

21. Loja de roupas: LREN3.

22. Mineração de metais: VALE5, VALE3, MMXM3.

23. Outras indústrias: HYPE3.

24. Serviços de processamento de dados: CIEL3, RDCD3.

25. Telecomunicações: TIMP3, VIVT4, TNLP4, BRTO4, TNLP3, TMAR5, TLPP4.

26. Transformação de aço em produtos de aço: GGBR4, USIM5, CSNA3, GOAU4,

USIM3.

27. Transporte aéreo regular: GOLL4, TAMM4.

28. Transporte ferroviário: ALLL3.

29. Vendas por correio ou meio eletrônico: BTOW3.

67

Page 72: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Porém, temos setores que possuem apenas 1 ativo, sendo a escolha óbvia no processo de

otimização do modelo. O Economatica fornece também um agrupamento dos setores,

consolidando ainda mais os setores industriais. Com isso, agrupamos da seguinte forma:

1. Alimentos e Bebidas: BRFS3, JBSS3, MRFG3, CSAN3, AMBV4.

2. Comércio: NATU3, LAME4, PCAR4, LREN3, BTOW3.

3. Construção: PDGR3, CYRE3, MRVE3, GFSA3, RSID3, BISA3.

4. Energia Elétrica: CMIG4, ELPL4, ELET3, ELET6, CPLE6, CESP6, LIGT3, CPFE3,

TRPL4.

5. Finanças e Seguros: ITUB4, BBDC4, BBAS3, SANB11, BVMF3, ITSA4.

6. Mineração: VALE5, VALE3, MMXM3.

7. Papel e Celulose: FIBR3, KLBN4.

8. Petróleo e Gás: PETR4, PETR3, OGXP3.

9. Química: BRKM5, UGPA3.

10. Siderurgia & Metalurgia: GGBR4, USIM5, CSNA3, GOAU4, USIM3.

11. Software e Dados: CIEL3, RDCD3.

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Page 73: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

12. Telecomunicações: TIMP3, VIVT4, TNLP4, BRTO4, TNLP3,TMAR5, TLPP4.

13. Transporte Serviços: CCRO3, GOLL4, TAMM4, ALLL3.

14. Outros: BRAP4, LLXL3, SBSP3, CRUZ3, DTEX3, BRML3, HYPE3, HGTX3,

EMBR3.

Mesmo com esse agrupamento, alguns setores continuaram com apenas um ativo. Dessa

forma, decidimos alocá-los no setor Outros, sendo o caso de HGTX3 (Têxtil) e EMBR3

(Veículos e Peças).

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APÊNDICE C ( UTILIZANDO O EXCEL E ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA )

Como mencionado, o trabalho proposto utiliza o software Microsoft Excel para

implementação das diversas modelagens e simulações. Neste apêndice, mostraremos como foi

utilizado o software, assim como a evolução dos resultados a partir das simulações

implementadas, mostrando também o tempo necessário para a determinação da solução final

(é necessário habilitar o add-in do Solver disponível pelo próprio Microsoft Excel).

Estudaremos um dos casos implementados nesse trabalho, sendo ele uma das simulações

utilizando a técnica de estratificação amostral, permitindo um total de 16 ativos em nossa

carteira. Nesse caso, iremos analisar a simulação que gerou o menos tracking error dentre os

17 casos implementados.

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Page 75: Dissertacao Raphael Araujo Otimizacao Carteiras IBMEC

Como ponto de partida, o “chute” inicial para determinação da solução final respeita todas as

restrições implementadas, de forma a facilitar a processo de determinação da solução. Além

disso, podemos dizer que um bom “chute” inicial provavelmente nos deixa próximo do ótimo

global, facilitando a velocidade de convergência do modelo.

A figura 13 mostra a tela no Excel com os parâmetros do Solver abertos, podendo ser melhor

visto na figura 14.

Figura 13- Modelagem pelo Solver

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Na figura 14, vemos que estamos querendo minimizar o tracking error, selecionando como

variáveis as linhas do Excel referentes às variáveis binárias e quantidades finais dos ativos.

Nesse caso, iremos analisar a simulação que gerou o menor tracking error dentre os 17 casos

implementados. Além disso, vemos também as restrições implementadas, como restrição de

caixa, restrição orçamentário e limite mínimo e máximo de alocação de ativos. Por fim, notem

que selecionamos também o método do Solver, sendo ele, nesse caso, o GRG Não-Linear, já

que buscamos minimizar o desvio quadrático médio.

Figura 14- Parâmetros do Solver

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A partir de nosso “chute” inicial e da elaboração da função objetivo e restrições, rodamos o

Solver do Excel, obtendo assim uma solução final. Na tabela 7, vemos o relatório final

disponível no Excel a partir do momento em que o Solver encontra uma solução final. Vemos

que o valor original, referente ao nosso “chute”, aparentemente foi uma boa opção pois a

solução final está relativamente próxima. Isso se deve pois grande parte dos ativos

selecionados como passo inicial foram os mesmos escolhidos na solução final. Além disso,

os pesos dos ativos na carteira inicial foram selecionados visando replicar o peso dos mesmos

no Ibovespa, facilitando a determinarmos a solução final.

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Tabela 7- Relatório de Convergência

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