Distribuição Gama

• Qual é a distribuição do tempo em que ocorre a 3a chegada em um Processo de Poisson de taxa ?

Distribuição Gama

• A distribuição Gama com parâmetros e tem densidade f(x) = x–1e–x/(), para x>0.

• No caso em que é inteiro, (e X tem a distribuição da soma de variáveis independentes com distribuição exponencial de parâmetro .

Distribuição Normal

• A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade

• Notação: Z ~ N(0, 1)

EZ = 0, Var Z = 1

2

2

2

1)(

z

Z ezf

Distribuição Normal

• Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros (média) e 2 (variância) quando é da forma X = Z + , onde Z~N(0,1)

• Notação: X~N(2)

Distribuição Normal

• Qual é a densidade da distribuição X~N(2)?

• De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

Transformando uma v. a.

• A densidade de Y = g(X) é dada por

onde x é tal que g( x) = y.

|)('|

)()(

xg

xfyf X

Y

Transformando uma v.a.

• Caso particular: Se X tem densidade f, então

Y = aX + b (a>0) tem densidade

X YY = 2XX= Y/2

a

byf

a

1

Densidade da distribuição normal

• A densidade da v.a. X com distribuição normal N(, 2) é

2

2

2

)(

2

1)(

x

X exf

Exemplo

• As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10.

– Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85?

– Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

V. A. Multidimensionais

• Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes

X = número de caras

Y = número de transições

Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1?

x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

y 0 1 2

P(Y=y) 1/4 2/4 1/4

V. A. Multidimensionais

• Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y.

• Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

Distribuição Conjunta

X Y

ccc 3 0

cck 2 1

ckc 2 2

kcc 2 1

ckk 1 1

kck 1 2

kkc 1 1

kkk 0 0

Distribuição Conjunta

P X Y

ccc 1/8 3 0

cck 1/8 2 1

ckc 1/8 2 2

kcc 1/8 2 1

ckk 1/8 1 1

kck 1/8 1 2

kkc 1/8 1 1

kkk 1/8 0 0

X

Y

0 1 2 3

0

1

2

Distribuição Conjunta

P X Y

ccc 1/8 3 0

cck 1/8 2 1

ckc 1/8 2 2

kcc 1/8 2 1

ckk 1/8 1 1

kck 1/8 1 2

kkc 1/8 1 1

kkk 1/8 0 0

X

Y

0 1 2 3

0 1/8 - - 1/8

1 - 2/8 2/8 -

2 - 1/8 1/8 -

P(X=2 e Y =1) = 2/8

Distribuição Conjunta

• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).

Distribuição Conjunta

X

Y

0 1 2 3 Y

0 1/8 - - 1/8

1 - 2/8 2/8 -

2 - 1/8 1/8 -

X

Distribuição Conjunta

X

Y

0 1 2 3 Y

0 1/8 - - 1/8 1/4

1 - 2/8 2/8 - 1/2

2 - 1/8 1/8 - 1/4

X 1/8 3/8 3/8 1/8

Função de Distribuição Acumulada

• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn)

é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.

FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =

P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)

• Exemplo

FX1(x1) = ?

Função de Distribuição Acumulada

• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn)

é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.

FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =

P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)

• Exemplo

FX1(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn

(x1, x2, ..., xn)

Tipos de distribuição conjunta

• Discretas

Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.

Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)

Tipos de distribuição conjunta

• Discretas

Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.

Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)

• Contínuas

Quando existe uma função de densidade f tal que

Neste caso:

122121,...,, ...),...,(...),...,,(1 2

21dtdtdttttfxxxF nn

x x x

nXXXn

n

1221 ...),...,(...)( dtdtdttttfBP nnB

X

Exemplo

• Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y.

– Qual é a função de densidade?– Qual é a probabilidade de que X seja menor

que 1/2?

Propriedades

• Esperança de funções de v.a. multidimensionais

E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi) (discreta)

E(g(X)) = Rng(x) fX(x) dx (contínua)

• Casos particulares:• EX = R2x fX,Y(x,y) dy dx

• E(X+Y) = R2(x+y) fX,Y(x,y) dy dx == R2x fX,Y(x,y) dy dx + R2y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY

Propriedades

• Em geral, E (XY) EX EY• Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.

EYEXdyyfydxxfx

dxdyyfyxfx

dxdyyfxfxy

dxdyyxfxyXYE

YX

YX

YX

YX

)()(

)()(

)()(

),()( ,

Observação

• X, Y independentes E(XY) = EX EY

• E(XY) = EX EY X, Y independentes

não correlacionadas

Covariância e Correlação

• Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) =

= E(XY) – EX EY

• (X, Y) = Cov(X,Y)/(X)(Y)

• Teorema: –1 ≤ (X, Y) ≤ 1

Exemplo

• As variáveis aleatórias X e Y têm distribuição conjunta de densidade fX,Y(x,y) = x+y, para 0 < x, y < 1– Quais são as distribuições marginais de X e Y?

– Qual é a covariância de X e Y?

– Qual é o coeficiente de correlação de X e Y?

– Qual é a distribuição condicional de X dado Y?

– X e Y são independentes?