distribuições de probabilidade continua capítulo 7

Captulo

Distribuies de Probabilidades Contnuas

7

1. DISTRIBUIO NORMAL A distribuio normal a distribuio mais importante do campo da Estatstica, uma vez que: Serve de parmetro de comparao; Muitas funes convergem para a normal (Poisson, Binomial); Muitos fenmenos so descritos pela distribuio normal.

Condies para que uma varivel aleatria siga uma distribuio normal: Um grande nmero de fatores influencia a varivel aleatria Cada fator tem, individualmente, um peso muito pequeno Efeito de cada fator independente dos outros fatores Efeito dos fatores no resultado adicionado.

A f.d. p. da varivel aleatria normal X, com mdia e desvio padro dada por:

1 f ( x ) = N ( x ; , ) = e 2

(

( X ) 2 2 2

)

se < x < +

A funo acumulada ou Funo Repartio dada por :

F ( x ) = f ( x ) dx

x

Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas

2

Assim,

P (a < x < b ) =

1 e 2 a

b

(

( x ) 2 ) 2 2

dx

Figura 7.1

Uma vez especificados e , a curva normal pode ser completamente definida. Os parmetros e so tambm chamados de parmetros de LOCALIZAO e ESCALA, pois:

Para

= constante = variando

Figura 7.2

Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


3

para = constante

= variando

Figura 7.3

para 1 2

1 2

Figura 7.4



4

Figura 7.5 Ateno P(x1< X < x2)I

P(x1< X < x2)

II

Pois as duas distribuies tem equaes diferentes!

Propriedades da Distribuio normal 1. A Moda da distribuio ocorre em x = ; 2. A curva simtrica em relao .; 3. A curva tem seus pontos de inflexo em x = ; 4. A curva normal se aproxima assintoticamente do eixo - x medida que se afasta de ; 5. A rea total compreendida entre a curva e o eixo - x igual a 1 (lgico: uma f.d.p.!).



5

Clculo da probabilidade Uma vez que o f(x) funo de e , teremos inmeras equaes para diferentes valores de e .Para evitar clculos laboriosos com a integrao, criou-se uma tabela nica - a da normal padronizada, com = 0 e = 1.

X ~ N( ,6)

z ~ N (1, 0) TABELADA! P(x1 < x < x2) = P(z1 < z < z2) Figura 7.6

Transformo x em z !z= x

Tabela A3 - Walpole (pags 681 e 682)

Exerccio 7.11. Dada uma distribuio Normal com = 50 e 45 e 62. 2. Em uma prova, a mdia das notas foi 74 e o desvio padro 7. Se 12% dos alunos tiraram nota A e as notas seguem uma Distribuio Normal, qual ser o menor valor de A e o maior valor de B?

= 10, ache a probabilidade da v.a. x assumir valores entre



6

3. Se a mdia das alturas dos poodles miniatura 12, com desvio padro de 1,8, qual a percentagem de poodles que excedem 14 em altura, assumindo que as alturas seguem a distribuio Normal? 4. Se X ~ N (850, 45) a) P(X < 900) b) P(700 < X < 1000) c) P(X > 750) 5. Suponha que, baseado nos dados histricos, o total anual precipitado em uma bacia hidrogrfica siga uma normal X ~ N (60, 15). a) Qual a probabilidade de que nos anos futuros a precipitao anual fique entre 40 e 70 polegadas ? b) Qual a probabilidade da precipitao anual ser inferior a 30 ?

________________________________________Teorema Central do Limite O Teorema Central do Limite constitui o fundamento para a estimativa de parmetros populacionais e para o teste de hipteses. Dado: A varivel aleatria x segue uma distribuio de probabilidades qualquer, com mdia e desvio padro Amostras de tamanho n so extradas aleatoriamente desta populao Resultado: Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio das mdias amostrais x tende a uma Distribuio Normal A mdia das mdias amostrais ser a mdia populacional O desvio padro das mdias amostrais ser /n Ateno: Para amostras de tamanho n > 30, a distribuio das mdias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma Distribuio Normal. A aproximao melhora a medida que o tamanho da amostra n aumenta



7

Se a distribuio original Normal, ento as mdias amostrais seguiro uma Distribuio Normal para qualquer tamanho de n

2.DISTRIBUIO LOG-NORMAL

Muitos fenmenos hidrolgicos exibem uma evidente assimetria, principalmente devido ao fato dos fenmenos naturais precipitao, vazo, etc somente assumirem valores maiores que zero, e estes valores poderem assumir teoricamente valores entre 0 e + . Em tais casos, a varivel aleatria x no seguir uma distribuio Normal, mas o seu logaritmo natural sim. Y= ln x Ento, X ~ ( y, y ), se Y ~ N ( y , y )

Neste caso, sua f.d.p (de y)

pode ser facilmente determinada substituindo y

pelo x na equao da Distribuio Normal:

Normal:

( x ) 2 f(x) = exp 2 2 2 1f(y) =

1 y 2

exp

(y y )2 2 y 2

Podemos calcular f(x) (lognormal) atravs de: f(x) = f(y) .mas, y = lnx dy 1 = dx x

dy dx

x>0



8

f( x) =

f( y) x

Assim: Normal: f(x) =

1 y x 2

(y y ) 2 , exp 2 2 y , caso contrrio

p/ x 0

f(x) = 0

A equao anterior mostra que a equao unilateral ou seja, s toma valores somente no intervalo positivo de y.(*). Note-se que os parmetros y e y , que aparecem na f.d.p. so a mdia e o desvio padro de y, ou seja, de ln(x) e no de x. (*) Alm disso, a f(x) toma vrias formas diferentes para valores distintas de y e y Como se v na figura abaixo, a f.d.p. assimtrica a direita, tornando-se a assimetria mais pronunciada a medida que y aumenta Ver grficos Paulo Miranda

2 y = 0,1

2 y = 0,3

2 y = 0,3

Figura 7.7. Distribuio Lognormal com y = 0

e vrios valores de 2 . (SOONG) y



9

Estimativas dos parmetros da distribuio lognormal. 1. Transformando os Xi' s em Yi' s e calculando. Yi = l xiy =

yn

i

y 2 n . y2 i y = (n 1)

2. Relao entre x e x e y e y (sem calcular os logartmos)1 x = x = exp y + y2 2

x =2 y

x x

ou

seja

x2 =

2 x

2 x

mas

2 = e x

1

Exerccio 7.2Um curso dgua tem vazes dirias que se supe seguirem uma Distribuio Lognormal. Em um perodo de 30 anos, encontrou-se a vazo mdia igual a 2.300cfs e distribuio padro 360cfs. Qual o valor dos parmetros y e y.+

x = exp ( y2 = e x2 y

1 2

y2 )

1

Soluo:

x = 2.300 x= 360 mas,

2 = x

x2 x2

=

(2300)2

3602

= 0,0245

Sabemos que:

e y = 2 + 1 = x

2

e y = 1,0245y2 = 0,0242

2

(ln )



10

y = 0,1556 mas ln (2300) = y +

1 2 y 2

y = 7,73

b) Qual o valor da cheia milenar ? c) d) Qual o valor da cheia decamilenar? Qual a probabilidade dos valores dirios ultrapassarem 4.000cfs?

Exerccio 7.3 (Haan)Dados as vazes de pico do Rio Kentucky (USA) entre 1895 a 1960: Tabela 7.1 - Peak discharges (cfs), Kentucky River, near Salvisa, Kentucky (McCabe, 1962) 1895 96 97 98 99 1900 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 47,300 54,400 87,200 65,700 91,500 53,500 67,800 70,000 66,900 34,700 58,000 47,000 66,300 80,900 80,000 52,300 58,000 67,200 115,000 46,100 52,400 94,300 1917 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 111,000 71,700 96,100 92,500 34,100 69,000 73,400 99,100 79,200 62,600 93,700 68,700 80,100 32,300 43,100 77,000 53,000 70,800 89,400 62,600 112,000 44,000 1939 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 84,300 45,000 28,400 46,000 80,400 55,000 72,900 71,200 46,800 84,100 61,300 87,100 70,500 77,700 44,200 20,000 85,000 82,900 88,700 60,200 40,300 50,500

x = 67,660 x = 20,885



11

Supondo que o modelo log.normal seja vlido, calcular: a) P(x > 100.000 cfs) b) A magnitude da cheia centenria c) P(x < 50.000 cfs) Soluo b) magnitude da cheia centenria. x = 67.660 x = 20.885

Tr = 100 P(X > x) = 0,01 X s achar P(X < x) = 0,99 P(X < x) = P ln X {

Y

ln x y < ln x = P Z < y

= 0,99

z = 2,32

mas

z=

ln x - y yDeterminados no problema anterior y = 11,0737 PnX = k y = 0,30395

lnx = k x= ek x= 130.700 cfs b) As cheias para Tr = 50 e Tr = 1000 anos.

Exerccio 7.5 (profa.Terezinha, pag. 20)A descarga mdia anual do Rio Piabinha (Petrpolis) no posto hidromtrico em Areal, durante o perodo de 1933 1948, foi de 14.500 l/s, com desvio padro de 2.100 l/s. Supondo a validade do modelo lognormal, pede-se a probabilidade de que, em um determinado ano, a descarga x esteja entre 10.700 l/s e 16.900 l/s.

Soluo:

= 14.500 = 2.100

P(10.700 x 16.900)



12

2 = x

2 (2 . 100 ) 2 x = = 0,0209 2 (14 . 500 ) 2 x2 2

2 = e y 1 e y = 2 + 1 x x

ln e y = ln ( 2 + 1)2 = 0,0207 y y = 0,144

( )2

x = exp(y +ln x = y +

1 y2) 2 y = lnx -

1 2 y 2

1 2 y 2

= 9,58 0,01035 y = 9,56

assim, = P (10.700 X 16.900) = P (ln 10.700 Y ln 16.900) = P ln(10.700) 9,56 ln(16.900) 9,56

0,144

0,144

= P (-1,96 1,21) = P (z 1,21) + P(z 1,86) = 0,3869 + 0,4750 = 0,8619

3. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES EXPONENCIAL (Haan, pg. 79) O processo de Poisson um processo discreto numa escala de tempo contnua. Ento, a distribuio de probabilidade do nmero de eventos num tempo t uma distribuio discreta, enquanto que a distribuio de probabilidade para o tempo entre os eventos e o tempo para que o k-simo evento ocorra uma distribuio contnua.



13

3.1. DEDUO DA FRMULA

(Soong, 195)

Suponha que o evento seja a chegada de barcos em um porto. Seja X um v.a. que representa o n de chegadas no intervalo de tempo (0, t) e que segue uma distribuio de Poisson (X ~ p(x; t)). Mas o que nos interessa aqui o tempo entre duas chegadas, que, naturalmente, tambm uma v.a. , no caso , contnua. Denotemos por T esse tempo entre as chegadas. Suponha que chegue pelo menos 1 barco neste tempo t. A FDP da varivel aleatria T , por definio: FDP = P(T t) = 1 P(T > t) Equivale a no h chegadas no tempo t , ou seja, P(0) p(0; t). Sabemos que a distribuio de Poisson dada por:

p(x, ) =Assim,

( t ) x e t x!

p(0; t ) =

( t ) 0 e t = e t 0!

Assim, a FDP da exponencial dada por: FDP = 1 e-t , onde = taxa mdia de chegadas Se a FDP dada por 1 e-t, a funo densidade de probabilidade (fdp) da Exponencial dada por: Sabemos que, por definio:

FDP(x) = f(x).dx

x

No caso da Exponencial, a varivel aleatria T, o tempo entre chegadas (no existe t < 0).Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


14

Assim:

FDP(T) = f ( t )dt = 1 - e -t0

t

Se a

FDP = f ( t )dt ,0

t

ento f(t) =

d (FDP) dt

Assim,

f (t) =

d d(1) d -t 1 - e - t = - e = 0 - e - t ( ) = e t dt dt dt

(

)

( )

f(t) = e t

Concluindo, A funo densidade de probabilidade (fdp) e a funo distribuio de probabilidades (FDP) da Exponencial so dadas por:

f(t) = e t

t 0

F(T) = F(T t ) = 1 e tSendo a mdia e a varincia dadas por:

=

1

2 =

1 2

Exerccio 7.6 (ABRH, vol.4, pg.130)Se ocorrem 3 chuvas catastrficas com durao de 1 hora a cada 10 anos, qual a probabilidade de que leve menos de 1 ano at a prxima ocorrncia? Soluo: = 3/10 = 0,3 chuva/ano t = 1 ano Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


15

Usando a FDP diretamente:

P(T < 1) = 1 e tpara t = 1 = 0,3

P(T < 1) = 1 e 0,3 = 0,26

(Ver mais em Haan, pg. 78) ATENO: Possvel pergunta de um aluno

Ento, em um estudo de durao de secas, eu no preciso dos dados individuais (duraes de cada seca) ? Somente o n de secas e o n total de anos observados?

Depende: Se eu tiver certeza que os dados se ajustam a uma Exponencial, basta ter o (n de ocorrncias / n de anos observados) - parmetro da Poisson. O , na verdade, o inverso da mdia das duraes das secas (mdia da exponencial = n de anos obs. / n de ocorrncias). =3 ocorrncias/ 10 anos Mdia da exponencial = 1/= 10 anos/ 3 ocorrncias = 3,3 Se eu no tiver certeza que os dados se ajustam uma Exponencial, eu precisarei dos dados histricos durao de cada seca testo a aderncia pelo Teste do ChiQuadrado (2). Se a Exponencial passar no teste, basta calcular o parmetro (inverso da durao mdia).



16

Relao Exponencial x Poisson Poisson 3 chuvas catastrficas em 10 anos Qual a probabilidade de nenhuma chuva catastrfica em 30 anos ? Soluo: = 3 chuvas/10 anos t = 30 anos x=0 Assim, t= 9 chuvas

(t )x . e t p(x; t ) =0!=0,0001

9 0. e 9 = = 1 x 0,0001 0!

Explicao: o no esperado de chuvas catastrficas em 30 anos seria de 9 chuvas. Por isso a probabilidade de no ocorrer nenhuma deu to pequena! Exponencial 3 chuvas catastrficas em 10 anos Qual a probabilidade de passar mais de 30 anos para que ocorra a prxima chuva catastrfica ? Soluo:

P(t > 30) = 1 P(t 30)P (t > 30 ) = 1 1 e t = e t P (t > 30 ) = e 9 = 0,0001= 3 10

Por definio = 1 e t

(

)

t = 9

t = 30Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


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Explicao: Espera-se que a cada 3,33 anos ocorra uma chuva catastrfica. Por isso a probabilidade de que se passe mais de 30 anos para ocorrer esta chuva to pequena.

Exerccio 7.8 (Haan, 99 Ex.6.2)Haan e Jonhson estudaram as caractersticas fsicas de depresses no setor centro-oeste de Iowa. Achar a probabilidade de uma depresso ter rea maior que 2,25 acres (supor seguir uma exponencial). rea (acres) 0 1/2 1 11/2 2 2 3 3 4 4 5 51/2 6 61/2 7 71/51/2 1/2 1/2

no de dep. 106 36 18 9 12 2 5 1 4 5 2 6 3 1 1 1 212x= 270,5 = 1,27 212

1/2 1 1/2 2 21/2 3 31/2 4 41/2 5 51/2 6 61/2 7 71/5

x=

xi . Fin

(mdia da Exponencial

8

Sabemos que:

mdia = 1/

= 0,7837 parmetros de Poisson P(x > 2,25) = 1 P(x 2,25) = 1 (1 e-(0,7837)2,25) = 0,171 mas P(T t) = 1 e-t



18

Exerccio 7.9 (Ang and Tang, pg, 121, ex.3.18)Dados histricos de terremotos em San Francisco, Ca, mostram que no perodo de 1836 1916, ocorreram 16 terremotos de grande intensidade. Se a ocorrncia de terremotos desta intensidade segue uma distribuio de Poisson, qual a probabilidade de ocorrerem terremotos nos prximos dois anos ? Soluo: = 16/125 = 0,128 terremotos por ano P(T 2) = 1 e--t = 1 - e-(0,128) .2 = 0,226

b) E a probabilidade de nenhum terremoto desta intensidade ocorrer nos prximos 10 anos. Soluo: P(T > 10) = 1 P(T 10) = e--t = e-(0,128) . 10 = 0,278 1 e-t

Exerccio 7.10 (Bedient e Huber, 196 Hydrology e Floodplain Analysis)Durante um ano, cerca de 110 episdios independentes de tempestade ocorreram em Gainsville, Flrida. Sua durao mdia foi de 5,3 horas. Considerando um ano com 8760 horas, o tempo mdio entre tempestades foi de: Tempo c/ tempestade = 110 x 5,3 = 583 hs Tempo total =8760 583 = 74,3 horas (entre tempestades) 110

(suponha a validade do modelo exponencial)

a) Qual a probabilidade de que no mnimo se passe 4 dias entre tempestades? Soluo: Sabemos que: P(T t) = 1 e-t no mnimo 4 = E(4) + E(5) + E(6) = P(T 4) = 1 P(T < 4)

(1 e t )= P(T 4) = e t Sabemos que: exp. mdia = 1/ = 0,0135 t = 4 dias x 24hs = 96hs Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


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= P(T 4) = e-0,0135 96 = P(T 4) = 0,2747

b) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade ser de exatamente 12 horas?

12 f(t) . dt = 0c) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade seja menor ou igual a 12 horas? P(T 12) = 1 e- t = 1 e- 0,0135 12 = 0,1496

12

4. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES GAMA Seja X uma varivel aleatria que representa o nmero de chegadas no intervalo de tempo (0, t) e que segue uma distribuio de Poisson. Suponha que o tempo a v-sima chegada seja dada pela f.d.p.

f(t) = . t .para valores inteiros de . Veja que quando = 1....

( -1)

e t ( 1) !

f(t) = e t

Exponencial

Ou seja, a Distribuio Exponencial um caso particular da Distribuio Gama.



20

Exerccio 7.11 Haan, 79Os barcos chegam a uma eclusa numa mdia de 4 a cada hora. Se a eclusa s pode operar 4 barcos de cada vez, qual a probabilidade do primeiro barco ter que esperar pelo menos 1 hora antes de ser embarcado? Soluo: a mesma coisa de : Qual a probabilidade do 4o barco demorar mais de 1 hora (aps o 1o ter chegado) ? 1 t = 0 Se o tempo comea a contar a partir da chegada do 1o barco, eu quero saber qual a probabilidade do terceiro barco que falta demorar mais que uma hora. P(T3 > 1) = 1 P(T3 1) 1 2 3

= 1 0

1

. t( -1) . e-t dt ( - 1) !

Sabemos que: =4 e =3 =1-

0

1

43 . t2 . e-4t 43 1 2 -4t . dt = 1 t . e . dt 2 2 0(*) Pode ser resolvida por integrao por partes

(*)Se:

udv = uv vduu = t2 du = 2t dt

dv = e 4 t dt= t2 . e-4t

(-4) (-4)1 1 e-4t . 2t dt 0 0

v = e 4 t

d(eu) = eu du

(resolver!) . . . = 0,762 Assim, P(T3 > 1) = 1 0,762 = 0,238 Distribuio Acumulada Inversa

Pode-se ainda usar a Tabela ( 1 FDP) da Gama (Haan, 342 347) Entrar na tabela com: 2 = 2t = 2v



21

No problema anterior =4 v=3 t=1 Ento, 2 = 2 4 1 = 8 =23=6 tabela = 0,23810

Diretamente ! Pois a tabela da P(T > t)

Comparao entre diversas distribuies (ver Paul Meyer, pag 233): 1. Admita-se que provas independentes de Bernoulli esto sendo realizadas: a) varivel aleatria = nmero de ocorrncias do evento A em um nmero fixo de provas; Distribuio: Binomial b) varivel aleatria = nmero de provas de Bernoulli necessrias para obter a primeira ocorrncia do evento A; Distribuio: Geomtrica c) varivel aleatria = nmero de provas de Bernoulli para se obter a r-sima ocorrncia do evento A. Distribuio: Binomial Negativa (ou Pascal)



22

2. Admita-se um processo de Poisson

nmero mdio de sucessos num dado intervalo de tempo conhecido p de 1 sucesso ~ comprimento do intervalo de tempo, etc. nmero de falhas impossvel saber!

a) varivel aleatria = nmero de ocorrncias do evento A, durante um intervalo de tempo fixo. Distribuio: Poisson b) varivel aleatria = tempo necessrio at a primeira ocorrncia do evento A; Distribuio: Exponencial c) varivel aleatria = tempo necessrio at a v-sima ocorrncia de A; Distribuio: Gama

4.1. Aplicaes da Distribuio Gama na Hidrologia (ver ABRH, vol 4 pag.134) A Distribuio Gama tem grande aplicao na Hidrologia, devido a aspectos de natureza morfolgica unicamente. Nesse caso, o valor de poder no ser inteiro e o fatorial (v 1)! deve ser computado pela Funo Gama, que d seu nome a distribuio. Funo Gama :

( v) = x v1 .e x .dx0

Se v for inteiro positivo, (v) = (v 1)! Para v no inteiro, (v) est tabelado (Haan, 351) Ento,

f (t) =

. t ( -1) . e -t v . t ( -1) . e -t = ( v - 1) ! ( v)!



23

Ateno: Normalmente, a Distribuio Gama apresentada sob a seguinte estrutura matemtica: t=x = = Assim,f(x) = . x( -1) . e-x ()

mdia

=

var incia = 2

(Semelhante ao Haan)

Ateno: O Walpole considera: t=x=1

= Assim,f(t) = . t( -1) . e-t ( )-x

. x( -1) . e f(x) = . () mdia =

var incia = 2

Semelhante ao Walpole > 0, > 0



24

4.2. OS PARMETROS DA DISTRIBUIO GAMA (Metodologia do Haan. Ver tambm Soong, 193) Os parmetros associados Distribuio Gama so e e supem-se ambos positivos. Como a distribuio Gama unilateral, serve freqentemente de modelo para quantidades fsicas que s tomam valores positivos. Alm disto, graas sua versatilidade, torna-se um modelo til, j que variando os valores de e , podemos obter uma ampla variedade de formas da f.d.p Gama. Variando : Variando :

f(x) 1,5 1,0 0,5 = 5,0 = 3,0

f(x)=3 variando

=1 = 5,0 = 1,0 variando

1,5 1,0

= 1,0

= 3,0

0

1,5

3,0

4,5

6,0

0

1,5

3,0

4,5

6,0

Podemos observar que determina a forma da distribuio, sendo portanto um parmetro de forma; enquanto o parmetro de escala da distribuio. Em geral a f.d.p. unimodal com pico em x = 0 para 1 (caso da exponencial e da J-shaped) em x =

( 1) para > 1.

(OBS: Ver tambm comentrio em Yevjevich, pg 147 sobre Lognormal e Gama)



25

Exerccio 7.12 (ABRH vol. 14, pg. 135)Dados os valores mximos anuais de vazes no rio Me Luzia em Forquilhinha, em m3/s.

x = 311, ,35 m/s = 169,6 m/s

a) Estimar os parmetros da distribuio da distribuio Gama (Mtodo dos Momentos) = 0,01 = 311,35 (169,6)2 = = = 3,37

=

2

2 =

311,35 = 0,01 (169,6)2

b) Calcular o perodo de retorno para a vazo mxima observada (Q = 880m3/s) Soluo: Por definio P(Q > 880) =

1 Tr

(Na Tabela Haan, pg. 342) v = 2 = 2 x 3,37 = 6,74 2 = 2x = 2 x 0,01 x 880 = 17,6 P(X > x) = 0,01444

Tr =

1 = 69,25 0,01444

Tr ~ 70 anos

5. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE CHI-QUADRADO Um outro importante caso particular da distribuio Gamma obtido fazendo= 1 e = 2 2

, onde um inteiro positivo. A distribuio tem um nico parmetro

- chamado de graus de liberdade.



26

f (x) =

x

( 2 1 )

2 . ( 2)var incia = 2

( 2 )

.e

-x

2

, x>0

mdia =

A distribuio x2 um dos principais instrumentos na rea da inferncia estatstica e teste de hipteses.

6. LOG-NORMAL A 3 PARMETROS (ver Yevjevich, pg.138) Quando o limite inferior da distribuio no zero, necessrio modificar a funo distribuio de probabilidade da log-normal, introduzindo um terceiro parmetro o limite inferior. A f.d.p. da distribuio log-normal a 3 parmetros :

f (x) =

1 ( x ) y 2

. exp

(ln (x - ) )y

2

2 y

2

Esta equao a mesma da Log-nomal, apenas com a substituio de x por (x - ):

f (x) =

1 x y

(ln (x ) y )2 . exp 2 2 y 2

A adio (ou subtrao) de uma constante de uma varivel no muda sua varincia, mas muda sua mdia. Assim, a mudana de x implica na modificao de seu coeficiente de variao x. Aqueles parmetros que dependem de x, como y tambm mudam, uma vez que:Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


27

2 = e x

y2

1

A maneira mais fcil de expressar os parmetros , y e y usando os momentos de x; onde o de primeira ordem define x e o de segunda ordem, x . Como j foi dito anteriormente, x e x so diferentes dos parmetros correspondentes funo

lognormal a 2 parmetros.

x

x

x

Onde x= x +

Exerccio 7.13 (Lista Terezinha pg. 13, ex. 7)X ~ (y, y, ) Sabe-se que a mdia e o desvio padro das vazes mximas so: x = 3.300 m3/s x = 470 m3/s Considerar que a vazo mnima possvel 835 m3/s. Calcular os parmetros da Log 3



28

Soluo:

f(x)

f(x)

x = 835 x = 3.300

x

x

x

Sabemos que: x= 3.300 835 = 2.465 m/s x = 470 m/s Mas,1 2 x = exp y + y 2 2 = e y 1 x2

2

2 = x2

x2 (470 )2 = 0,0364 = 2 (2.465)2 x

(0,0364) = e y

1

y = l n (1,0364) = 0,0358y = 0,1891

Ento, 2.465 = exp

+ 1 y 2 y 2 { 0,0358 1 (0,358)) 2

y = l n (2.465 )

y = 7,79

Assim, X ~ (7,79; 0,1891; 835) Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


29

Exerccio 7.14 (Lista Terezinha pg.6)Consideremos a seguinte seqncia de dados hidrolgicos (ordenados) 2,50 2,70 3,80 4,05 4,10 4,13 4,30 4,32 4,50 4,57 4,60 4,61 4,65 4,70 4,73 4,85 4,90 5,10 5,31 5,50 5,78 5,82 5,88 5,93 6,30 6,36 6,43 6,66 6,89 6,92 7,14 7,36 7,80 8,10 8,56 8,77 9,43 9,69 10,20 10,68 11,50 41 valores

Ajustar uma Log-normal a 3 parmetros. Supor o menor valor possvel para qualquer observao x = 2,0.

x = 6,10 x = 2,14

x 26,10

x x

x= x - = 6,10 2 = 4,10 x= x = 2,14

x

2 = e x 2 = x e

2 y

1

2 x = 0,27 2 x = 1,27y = 0,489

y 2

2 = l n (1,27) y 2 = 0,239 y1 = exp y + 2 x y 2 1 2 n (4,10) = y + y 2 y = 1,411 0,11y = 1,29

x ~ (1,29; 0,49; 2)



30

7. GAMA A 3 PARMETROS Similarmente a Lognormal a 3 parmetros, se x for substitudo por y = (x-), temos que a f.d.p. ser dada por:

(x - )(-1) e (x-) f(x) = ()

onde , e so parmetros e

()

a Funo Gama.

Apenas a mdia alterada, passando neste caso para:

= x x

Exerccio 7.15Ajustar a distribuio do exemplo anterior (Terezinha, pg.6) a uma Gama III.

x = 6,10 x = 2,14 =2 = 4,10 = x

2 = x

2

4,56 =

4,10 2

=

4,10 4,56

= 0,9

= 4,10 x 0,9

= 3,68

x ~ (3,68; 0,9; 2)

8. DISTRIBUIO DE EXTREMOS DO TIPO I ou DISTRIBUIO DE GUMBELO Mtodo de Gumbel baseia-se em uma distribuio de valores extremos. A distribuio dada por:



31

P (X x) = exp(-exp(-y)) onde P a probabilidade de um dado valor de vazo ser igualado ou excedido e y a varivel reduzida dada por:

y = (x x f )

Sn Sx

y x f = x - Sx n S n

onde xf a moda dos valores extremos, Sn o desvio padro da varivel reduzida Y, Sx o desvio padro da varivel x, e x e y , as mdias das variveis x e y, respectivamente. A aplicao do mtodo de Gumbel no clculo da vazo mostrada nos passos seguintes: 1. Determinar a medida x e o desvio-padro (Sx) da srie de dados histricos. 2. Em funo do nmero de dados (n), extrair da Tabela 7.4 os valores esperados da medida y n e desvio-padro (sn), associados a varivel reduzida.Tabela 7.4 Valores esperados da mdia (Yn) e desvio-padro (Sn) da varivel reduzida (y) em funo do nmero de dados (n). (Fonte: VILLELA, 1975).

()

( )

n 20 30 40 50 60 70

yn

Sn 1,06 1,11 1,14 1,16 1,17 1,19

n 80 90 100 150 200

yn

Sn 1,19 1,20 1,21 1,23 1,24 1,28

0,52 0,54 0,54 0,55 0,55 0,55

0,56 0,56 0,56 0,56 0,57 0,57

3. Determinar a moda dos valores extremos, pela expresso seguinte:

Yn x f = x Sx Sn Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart


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4. Em funo do perodo de retorno (Tr), extrair da tabela 7.5, o valor da varivel reduzida (y) ou usar a frmulaTabela 7.5 Varivel reduzida, Probabilidade e perodo de retorno. (Fonte: VILLELA, 1975).

Varivel Reduzida Perodo de Retorno (y) (Tr) 0,000 0,367 0,579 1,500 2,250 2,970 3,395 3,902 4,600 5,296 5,808 6,214 6,907 1,58 2,00 2,33 5,00 10,0 20,0 30,0 50,0 100 200 300 500 1000

Probabilidade (1 P) 0,632 0,500 0,429 0,200 0,100 0,050 0,033 0,020 0,010 0,005 0,003 0,002 0,001

Probabilidade (P) 0,368 0,500 0,571 0,800 0,900 0,950 0,967 0,980 0,990 0,995 0,997 0,998 0,999

5. Determinar a vazo de projeto (x), aplicando elementos obtidos nos passos precedentes equao:

y = (x x f )Ou seja,

Sn Sx

x = xf + y

Sx Sn


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distribuições de probabilidade continua capítulo 7