Estatística e Probabilidade

Aula 04

Distribuições de Probabilidades

Prof. Gabriel Bádue

✓ Introdução

• Quais os possíveis resultados que poderão ser obtidos no lançamento de

um dado não-viciado? Qual a probabilidade de se obter uma dessas

faces?

• E se o dado for viciado, de tal modo que a chance de obter a face três é

cinco vezes que a chance de se obter as demais faces?

✓ Definições➢ Uma variável aleatória é uma variável que tem um valor numérico único para cada

resultado de um experimento. Podem ser discretas ou contínuas.

➢ Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável

aleatória.1. σ𝑃 𝑥 = 1, ∀𝑥

2. 0 ≤ 𝑃 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥

𝜇 =𝑥𝑃(𝑥)

𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2𝑃(𝑥)

𝜎2 = 𝑥2𝑃(𝑥) − 𝜇2

✓Exemplo 1

Determine se é dada uma distribuição de

probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua

média, variância e desvio-padrão.

a) Ao escolher aleatoriamente um colega de sela

condenado por dirigir alcoolizado (DWI), a

distribuição de probabilidade do número x de

sentenças anteriores em casos de DWI é dada na

tabela a seguir.

✓Exemplo 1

Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Em

caso afirmativo, determine sua média, variância e desvio-

padrão.

b) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem

distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com

números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a

distribuição de probabilidade do número x de mulheres

contratadas.

✓Exemplo 2

Ao apostar em um cassino R$5,00 no número 7 da roleta, tem-se uma

probabilidade de 1/38 de ganhar R$175,00 e uma probabilidade de 37/38 de

perder R$5,00. Qual é o valor esperado? Em um número muito grande de

apostas, quanto se perde para cada real apostado?

✓Exemplo 3

Verifique se a função a seguir é uma distribuição de probabilidade.

𝑃 𝑥 =1

2

𝑥, onde 𝑥 = 1, 2, 3, …

✓ Distribuição Binomial

Um experimento é chamado de binomial se satisfaz as

seguintes condições:

➢ Comporta um número fixo de provas.

➢ As provas são independentes.

➢ Os resultados de cada prova são classificados entre duas

categorias.

➢ As probabilidades devem permanecer constantes para

cada prova.

✓ Distribuição BinomialSendo 𝑆 e 𝐹 a representação das duas possíveis categorias:

𝑃 𝑆 = 𝑝

𝑃 𝐹 = 1 − 𝑝 = 𝑞

onde, 𝑝 e 𝑞 representam as probabilidades de ocorrer 𝑆 e 𝐹 .

➢ 𝑛: número fixo de provas.

➢ 𝑥: número de sucessos em 𝑛 provas.

➢ 𝑝: probabilidade de sucesso em uma das 𝑛 provas.

➢ 𝑞: probabilidade de falha em uma das 𝑛 provas.

➢ 𝑃 𝑥 : a probabilidade de ter 𝑥 sucessos em 𝑛 provas.

✓ Distribuição Binomial

𝑃 𝑥 =𝑛!

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

Caso 1Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

Caso 2Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

✓ Distribuição Binomial

𝜇 = 𝑛𝑝

𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞

✓Exemplo 4

Suponha que os nascimentos de menino e menina sejam igualmente prováveis

e que o nascimento de qualquer criança não afete a probabilidade do sexo do

próximo nascituro. Determine a probabilidade de:

a) Exatamente 4 meninas em 10 nascimentos.

b) Ao menos 4 meninas em 10 nascimentos.

c) Exatamente 8 meninas em 20 nascimentos.

✓Exemplo 5

Vários estudantes não estão preparados para um teste do tipo V ou F com 25

questões, e todos eles decidem responder “por palpite”. Determine a média e o

desvio-padrão do número de respostas corretas para cada estudante.

✓ Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a

ocorrências de um evento em um intervalo especificado. A variável aleatória 𝑥 é o

número de ocorrências do evento em um intervalo. O intervalo pode ser o tempo,

a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. A probabilidade de o

evento ocorrer x vezes em um intervalo é dado por

𝑃 𝑥 =𝜇𝑥 ∙ 𝑒−𝜇

𝑥!

✓ Distribuição de PoissonExigências

• A variável aleatória 𝑥 seja o número de ocorrências de um evento em um intervalo.

• As ocorrências sejam aleatórias.

• As ocorrências sejam independentes umas das outras.

• As ocorrências sejam distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado.

Parâmetros

• Média 𝜇.

• Desvio-padrão 𝜎 = 𝜇.

✓Exemplo 6

Esta sendo planejado um novo hospital para Newton, uma comunidade que ainda

não tem hospital próprio. Se Newton tem uma média de 2,25 nascimentos por dia,

determine a probabilidade de que, em um dia, o número de nascimentos seja

a) 0

b) 1

c) 4

✓ Teoria

Distinções entre as distribuições Binomial e de Poisson

• A distribuição binomial é afetada por 𝑛 e 𝑝, enquanto a de Poisson apenas por 𝜇.

• Na distribuição binomial a variável aleatória pertence a um conjunto de naturais

limitado a 𝑛, enquanto na distribuição de Poisson, o conjunto pode ser ilimitado.

Aproximação das distribuições Binomial e de Poisson

𝑛 ≥ 100 e 𝑛𝑝 ≤ 10

✓Exemplo 7

Dá-se a seguir um experimento binomial, onde o grande número de provas

pode causar problemas sérios com muitas calculadoras. Supere esse obstáculo

aproximando a distribuição binomial pela distribuição de Poisson.

Apostando no 7 em uma rodada de roleta, temos uma probabilidade de 1/38

de ganhar. Suponha que apostemos no 7 em cada uma de 500 rodadas.

a) Determine o número médio de ganhos em tais experimentos.

b) Determine a probabilidade de o 7 ocorrer exatamente 13 vezes.

✓Exercícios

TRIOLA, M. Introdução à Estatística, 10 ed, Rio de Janeiro: LTC, 2011.

p. 168Exercícios 1, 3, 4, 7,8, 11, 12, 13, 17, 19 e 21.

p. 176Exercícios 5 ao 8, 13, 14, 25 ao 36.

p. 181Exercícios 1, 9 ao 20

p. 183Exercícios 9 ao 14.