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Profª. Janine Pereira Jacinto2º semestre de 2010
Disciplina:
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
CONCEITOS BÁSICOS
Fenômenos determinísticos: são aqueles que independentemente do número de ocorrências, o resultado será sempre o mesmo. Exemplo: água passar do estado líquido para gasoso após determinada temperatura.
Fenômenos aleatórios: são aqueles em que os resultados não são previsíveis, mesmo quando temos um número excessivo de repetições. Exemplo: lançamento de uma moeda honesta.
CONCEITOS BÁSICOS
LEI DE MURPHY
A fila do lado sempre anda mais rápido.
A probabilidade do pão cair com o lado da manteiga virado para baixo é proporcional ao valor do carpete.
Se você está se sentindo bem, não se preocupe. Isso passa.
Quando te ligam:
a) se você tem caneta, não tem papel. b) se tem papel não tem caneta. c) se tem ambos ninguém liga.
CONCEITOS BÁSICOS
Ou seja:
Se um evento pode ocorrer, por mais improvável que seja, essa chance cresce com a repetição do experimento.
Em cada repetição não é possível prever o resultado que será obtido.
Os fenômenos aleatórios são caracterizados pela sua imprevisibilidade e pela sua regularidade estatística.
CONCEITOS BÁSICOS
Imprevisivibilidade: fenômeno não determinístico.
Regularidade Estatística: observando o fenômeno um grande número de vezes, nas mesmas condições, a frequência relativa de cada resultado possível tende a estabilizar aproximando de um valor constante.
Sendo assim, num fenômeno aleatório não se pode prever o resultado da próxima prova, mas podemos fazer uma previsão do resultado em média.
CONCEITOS BÁSICOS
Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, definido por S.
Evento: os resultados são constituídos de alguns elementos, ou seja, qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: Considere o lançamento de um dado
Espaço Amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A={1, 3}, B={2, 4, 6}, C={3, 5, 6}
SA B
A B
- Evento União: A B
CONCEITOS BÁSICOS
- Evento de Interseção: A B
SA B
A B
CONCEITOS BÁSICOS
Evento Complementar: O evento complementar de A contém todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a A. É usualmente indicado por
Evento mutuamente excludente : Os dois eventos não têm nenhum elemento do espaço amostral em comum, isto é,
A
SA B =
A
B
CONCEITOS BÁSICOS
Eventos – Teoria de conjuntos
1 2
3 4
5 6
S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}B = {1, 3, 5}C = ØD = S
P(A) = 0,5 P(B) = 0,5 P(C) = 0 P(D) = 1
P(S) = 1
#P
#
eventos favoráveis
eventos possíveis
0 P(evento qualquer) 1
CONCEITOS BÁSICOS
Diagrama de Venn
S
B
A
A B
A B
A
A B
A B A B
A B A B
CONCEITOS BÁSICOS
Diagrama de Venn
A B
A B
A
ocorre A ou B ?
ocorrem A e Bsimultaneamente?
não ocorre A?
CONCEITOS BÁSICOS
Diagrama de Venn
A B
A B A B
A B A B
ocorre somente A ?
não ocorre nem A enem B ?
não ocorrem A e Bsimultaneamente?
CONCEITOS BÁSICOS
( ) ?
( ) ?
( ) ?
P A B
P A B
P A
CONCEITOS BÁSICOS
Espaço Amostral Equiprovável: é quando todos os elementos do espaço têm a mesma chance de ocorrer.
Diagrama da Árvores: forma de encontrar todos os possíveis eventos de um espaço amostral.
Exemplo: Lançamento de uma moeda: (21)
Lançamento de duas moedas: (22)
CONCEITOS BÁSICOS
c
k
c
k
c
kc
k
A PROBABILIDADE de realização de um dado evento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a realização desse evento e o número total de casos possíveis, desde que todos os casos sejam igualmente prováveis.
O QUE É PROBABILIDADE?
possíveis casos de total número
favoráveis casos de númeroP(evento)
É interpretada como a frequência limite, isto é, quando n é grande, tem-se:
Dado um fenômeno aleatório ou uma experiência aleatória, seja S o espaço amostral associado. Chama-se probabilidade P a uma aplicação que a cada evento associa um número real satisfazendo as seguintes propriedades:
O QUE É PROBABILIDADE?
)()( APAfn
1. , para qualquer evento A.1)(0 AP
2. , onde S é o espaço amostral.1)( SP
3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então
)()()( BPAPBAP
4. Se A e B não são eventos mutuamente excludentes, então
)()()()( BAPBPAPBAP
PROPRIEDADES
- Em muitas situações existe interesse de calcular a probabilidade de um evento restrito a determinada condição.
-Vejamos os exemplos:
n(A): número de pessoas com astigmatismo.n(B): número de pessoas com miopia.
)(
)()|(
BP
BAPBAP
3 2 13
32
SB
A
)(
)()(
Sn
AnAP
)()()(
)(
)(
)()/(
SnBnSn
BAn
BP
BAPBAP
PROBABILIDADE CONDICIONAL
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Seja o espaço amostral S = {cc, ck, kc, kk}.A = {cc, ck, kc} = {ocorrer pelo menos uma coroa}B = {kc, kk} = {ocorrer cara no 1º lançamento}.
Qual a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu?
)(
)()/(
AP
BAPABP
4
1)()( kcPBAP
3
1
43
41
)/( ABP
( ) ( | ). ( )P A B P A B P B
Resumindo:
EVENTOS DEPENDENTES:
EVENTOS INDEPENDENTES:
( ) ( ). ( )P A B P A P B
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
Exemplo:
Uma cadeia de lojas vende três marcas diferentes de DVD’s. Dessas vendas, 50% são da marca 1 (a mais barata), 30% são da marca 2 e 20% da marca 3. Cada fabricante oferece um ano de garantia para peças e mão-de-obra. É sabido que 25% dos DVD’s da marca 1 necessitam de reparos de garantia, enquanto os percentuais para as marcas 2 e 3 são 20% e 10%, respectivamente.
Consideremos o evento Ai = {compra da marca i} e B = {precisa de reparo} = B’ {não precisa de reparo}, então:
PROBABILIDADE CONDICIONAL
B
Continuação Exemplo:
a) A probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente compre um DVD da marca 1 que precise de reparo durante a garantia?
PROBABILIDADE CONDICIONAL
100
200
250
3
2
1
,)/(
,)/(
,)/(
ABP
ABP
ABP
Continuação Exemplo:
b) A probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente possua um DVD que necessite de reparos durante a garantia?
PROBABILIDADE TOTALP(A
1)=0,
50M
arca
1
P(A 2)=0,30
Marca 2P(A3)=0,20
Marca 3
P(B/A 1)=0,25
Reparo
P(B/A 2)=0,20
Reparo
P(B/A 3=0, 10
Reparo
P(B’/A 1)=0,75
Sem Reparo
P(B’/A 3)=0,90Não Reparo
P(B’/A 2)=0,80Não Reparo
P(B/A1).P(A1)= P(B∩A1)=0,125
P(B/A2).P(A2)= P(B∩A2)=0,060
P(B/A3).P(A3)= P(B∩A3)=0,020
P(B) = 0,205
Resumindo:
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL:
TEOREMAS IMPORTANTES
∑n
iii APABPBP
1=
)()./(=)(
Continuação Exemplo:
c) Se um cliente voltar à loja com um DVD que precise de reparos se garantia, qual probabilidade de ser da marca 1? E da marca 2? E da marca 3?
TEOREMA DE BAYES
?=)/(:3
?=)/(:2
61,0=205,0
125,0=
)(
)(=)/(:1
3
2
11
BAPmarca
BAPmarca
BP
BAPBAPmarca
∩
Resumindo:
TEOREMA DE BAYES:
TEOREMAS IMPORTANTES
nj
ABPAP
ABPAPBAP
n
iii
jji ,...,
)/().(
)/().()/( 1
1
CONCEITOS BÁSICOS
Uma experiência aleatória é um procedimento que nos leva a obtenção de um ou vários resultados sujeitos ao acaso.
Consideremos, por exemplo, o espaço associado de resultados associado ao lançamento sucessivo de uma moeda três vezes.
S = {kkk, kkc, kck, ckk, kcc,ckc,cck,ccc}
CONCEITOS BÁSICOS
Analisemos: o número de caras que saem.
Assim, passamos a associar a cada elemento do espaço amostral um número de caras observadas.
Representamos então, o espaço amostral por valores numéricos que correspondem a cada resultado possível descrito.
CONCEITOS BÁSICOS
Estes são os valores assumidos pela variável em análise.
X
CONCEITOS BÁSICOS
Variável Aleatória: costuma ser representada por X, a uma função cujo valor é um número real determinado pelo resultado de uma experiência, isto é:
X: S R
No exemplo temos:• X=0, então pode ocorrer o evento que ocorre é {ccc};• X=1, então pode ocorrer os eventos: {kcc, ckc, cck};• X=2, então pode ocorrer os eventos: {ckk, kck, kkc};• X=3, então pode ocorrer o evento que ocorre é {kkk};
CONCEITOS BÁSICOS
Função de Probabilidade: função que associa a cada valor assumido pela variável, a probabilidade do evento correspondente, isto é: P(X=xi) = P(Ai), i=1, 2, 3,..., n.
P(X=0) = P(A1) =
P(X=1) = P(A2) =
P(X=2) = P(A3) =
P(X=3) = P(A4) =
8
1
8
3
8
3
8
1
CONCEITOS BÁSICOS
Ou seja: Esquematicamente: Graficamente:
X P(X)
0
1
2
3
1
838
1
83
81
CONCEITOS BÁSICOS
Ao conjunto {(xi,p(xi)), i= 1, 2, ..., n} damos o nome de Função de Distribuição Acumulada da variável X, que representamos por F(.) ou Fx(.).
É importante verificar que para haja uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é necessário que :
n
iixp
1
1)(
CONCEITOS BÁSICOS
Ou seja, assim definida: Calculando: Graficamente:
.3,1
;32,8
7
;21,8
4
;00,8
1;0,0
(.)
x
x
x
x
x
Fx
1,0: RF )()( xXPxF
CONCEITOS BÁSICOS
Exemplo:
Lançam-se dois dados. Seja X: soma das faces.
1) Determinar a distribuição de probabilidade de X.
2) Calcular:
a) P(X ser par)
b) P(X ≥ 3)
c) P(X ser múltiplo de 3).
Dois Tipos de Variável Aleatória
Assim como definido antes os tipos de variáveis numéricas, as v.a.’s podem ser discretas e contínuas.
V.A. DISCRETA: é uma variável cujos valores possíveis constituem um conjunto finito ou podem ser relacionados em uma sequência infinita na qual haja um 1º elemento, um 2º e assim por diante.
CONCEITOS BÁSICOS
Por exemplo:
Seja X: número de partículas observadas em um a fonte radioativa durante determinado tempo.
Quais os possíveis valores de X?
Nesse intervalo finito de tempo, X pode assumir valores de x = 1,2, ..., N, considerando N um número inteiro muito grande.
CONCEITOS BÁSICOS
V.A. CONTÍNUA: uma variável aleatória é contínua se seu conjunto de valores possíveis consiste em um intervalo completo da reta de números.
Por exemplo:
Se um composto químico for selecionado aleatoriamente e determinarmos seu pH X, então X é uma valor de pH entre 0 e 14 é possível.
CONCEITOS BÁSICOS
Para estudar as propriedades básicas da v.a. discreta são necessários conhecimentos básicos da matemática discreta: soma e subtração.
No caso da v.a. contínua, a base é dada pela matemática contínua do cálculo: integrais e derivadas.
CONCEITOS BÁSICOS
Uma distribuição de probabilidade pode ser representada por características numéricas as quais chamamos parâmetros.
Um primeiro parâmetro a ser apresentado é o Valor Esperado ou Esperança Matemática (ou simplesmente média).
VALOR ESPERADO
xii μxpxXE =)(.=)( ∑
Exemplo:
Uma loja de computadores comprou três computadores de certo tipo a US$ 500 cada. Eles serão vendidos a US$ 1.000 cada. Fabricante concordou em aceitar a devolução dos computadores não vendido, após um período especificado, por US$ 200 cada. Seja X o número de computadores vendidos e suponha que p(0) = 0,1, p(1) = 0,2, p(2) = 0,3 e p(3)= 0,4. Definindo como h(X) o lucro associado á venda de X unidades, as informações fornecidas implicam que,
h(X) = receita – custo = 1000X+200.(3 - X) -1500 = 800X-900.
Qual é o lucro esperado, ou seja, qual o valor de E[h(X)]?
VALOR ESPERADO
h(x) = 800x-900 x={0, 1, 2, 3}
h(0) =-9 00
h(1) = -100
h(2) = 700
h(3) = 1500
X= 0 1 3
h(x)=y= -900 -100 700 1500
P 0,1 0,2 0,3 0,4
E[y] = -900.0,1+(-100).0,2+700.0,3+1500.0,4
E[y] = 700
VALOR ESPERADO
E[x] = 0.0,1+1.0,2+2.0,3+3.0,4
E[x]=2
E(h(x)) = 800 . E(x) – 900
E(h(x)) = 800 . 2 – 900
E(h(x)) = 700
VALOR ESPERADO
Proposição
Se a v.a. X tiver um conjunto de valores possíveis D e uma função de distribuição de probabilidades p(x), o valor esperado de qualquer função h(x), expresso por E[h(x)] é calculado por :
Dx
xpxhxhE )().(
VALOR ESPERADO
Propriedades do valor esperado
1.
2.
3.
bXEabaXE +)(=)+( .
bXEbXE )()(
)(=)( XEaaXE .
VALOR ESPERADO
VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO
)(.)(=)( 2∑ ixi xpμxXVar -
)(=)( XVarXDP
A medida que dá o grau de dispersão de probabilidades em torno da média é a Variância.
OU
O Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância.
[ ]22 )()(=)( XEXEXVar -
Exemplo
Calcular a variância e desvio padrão de X e de h(X) no problema da venda de computadores.
22 )()()( XEXEXV
E(x²)=0².0,1+1².0,2+2².0,3+3².0,4
E(x²) = 5
[E(x)]²=2²=4
V(x) = 5-4 = 1)(XVX 1x
VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO
A partir da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é possível conhecer o que acontece em média com essa variável.
Para cada distribuição de probabilidade que conheceremos adiante, conheceremos o Valor Esperado e a Variância da v.a. (discreta ou contínua).
VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA
1) A função de distribuição de probabilidade de X = número de defeitos graves em um eletrodoméstico selecionado aleatoriamente é
Calcule os dados a seguir?
a) E(X);
b) V(X);
c) O desvio padrão de X.
Exercício:
x 0 1 2 3 4
p(x) 0,08 0,15 0,45 0,27 0,05
