Distribuições de Probabilidade Discretascmq.esalq.usp.br/BIE5781/lib/exe/fetch.php?media=01... · 2015. 8. 10. · Distribuições de Probabilidade Discretas Who? JoãoL.F.BatistaePauloInácioK.L.Prado

Distribuições deProbabilidade Discretas

Who? João L.F. Batista e Paulo Inácio K.L. Prado

From? BIE-5781 Modelagem Estatística em Ecologia e Recursos Naturais

When? setembro de 2014

Sumário

Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Sumário

Variabilidade e Modelos Escocásticos

Distribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Sumário

Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de Probabilidade

Distribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Sumário

Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa Bernoulli

Distribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Sumário

Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição Binomial

Distribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Sumário

Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição Poisson

Distribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Sumário

Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição Geométrica

Distribuição Binomial Negativa

Sumário

Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Variabilidade e Diversidade

A Constânciada Inconstância

Um aspecto constante no estudo da Natureza é ainconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.

Variabilidade eDiversidade

A representação da variabilidade/diversidade é umaspecto fundamental nas ciências da vida:

tanto na teoriaquanto na “empírica”.


A Constânciada Inconstância

Um aspecto constante no estudo da Natureza é ainconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.





A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a

inconstância das formas existentes.

Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.






inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.

O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.






inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.













Variabilidade eDiversidade A representação da variabilidade/diversidade é um

aspecto fundamental nas ciências da vida:






aspecto fundamental nas ciências da vida:tanto na teoria

quanto na “empírica”.





aspecto fundamental nas ciências da vida:tanto na teoriaquanto na “empírica”.

Observação da Variabilidade

CenárioEstocástico:

“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.

Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação

Incerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser

observado

ModeloEstocástico:

Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico

Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado






observado

ModeloEstocástico:






Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocástico

Ensaio: evento de observação ou experimentaçãoIncerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser

observado

ModeloEstocástico:








observado

ModeloEstocástico:







Incerteza: a observação de um dado resultado é incerta

Chance: um dado resultado tem uma certa “chance” de serobservado

ModeloEstocástico:








observado

ModeloEstocástico:








observado

ModeloEstocástico:








observado

ModeloEstocástico:



Modelo para Variabilidade

Modelando aVariabilidade:

O conceito de “curva de probabilidades” vem sendoutilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.


Modelando aVariabilidade:

O conceito de “curva de probabilidades” vem sendoutilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.


Modelando aVariabilidade: O conceito de “curva de probabilidades” vem sendo

utilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.

Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.



utilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.

Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.



utilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.

Exemplos de Variabilidade

Abundância deEspécies

Sterculia chichaTrichilia clausseniiDiatenopteryx sorbifoliaAlchornea triplinerviaTrichilia elegansCaryota urensNectandra megapotamicaCaesalpinia ferrea var. leiostachyaHymenaea courbarilHolocalyx balansaeCaesalpinia peltophoroidesSchizolobium parahybaMyroxylon peruiferumChrysophyllum gonocarpumCedrela fissilisSavia dyctiocarpaBalfourodendron riedelianumJoannesia princepsCariniana estrellensisAcacia polyphylla

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

10 20 30 40 50 60

Abundância


Plântulas dePalmiteiro

Número de Plântulas

Pro

babi

lidad

e

0 50 100 150 200 250 300

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04


Área Basalnum

Fragmento

Área Basal (m2/ha)

Pro

babi

lidad

e

0 5 10 15 20 25

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Classes de Variáveis Quantitativas

VariáveisDiscretas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:

finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.

Variáveis obtidas por:

enumeração,contagem.


VariáveisDiscretas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:





VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos

NÚMEROS INTEIROS.

O tamanho do conjunto é:






NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:






NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.

infinito contável se todos números interios.





NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.











Variáveis obtidas por:enumeração,

contagem.




Variáveis obtidas por:enumeração,contagem.


VariáveisContínuas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral

Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.


VariáveisContínuas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral



VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos

NÚMEROS REAIS.

O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral




NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral






medição.

EspaçoAmostral





Variáveis obtidas por:medição.

EspaçoAmostral






EspaçoAmostral






EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,

Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.






Chama-se o conjunto de valores possíveis de

Espaço Amostral.






Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

Número de caras no lançamento de duas moedas:

S = {0, 1, 2}

Número de plântulas numa parcela:

S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)

Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:

S = {d} | d ∈ [5,+∞)

Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas


S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)


S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)


S = {d} | d ∈ [5,+∞)

O Modelo Probabilístico

ConfusãoTerminológica

Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.

Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!

Outros nomes que são sinônimos:

função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.

Termo a serusado:

Distribuição de Probabilidades

ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!



Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.

Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!



Termo a serusado:





Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.

Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!



Termo a serusado:





Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!



Termo a serusado:








Termo a serusado:






Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,

função de densidade,distribuição de probabilidades.

Termo a serusado:






Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,

distribuição de probabilidades.

Termo a serusado:






Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.

Termo a serusado:







Termo a serusado:







Termo a serusado:







Termo a serusado:

Distribuição de Probabilidadesou Distribuição Estocástica

Tentaremos aderir a esse termo!!





Termo a serusado:

Distribuição de Probabilidadesou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!


Função

Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p


Função

Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p


FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p


FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p


FunçãoMatemática

Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:

cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].

Probabilidade


cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.


FunçãoMatemática



Probabilidade




FunçãoMatemática Para uma variável discreta,

a Distribuição de Probabilidades associa:


Probabilidade







Probabilidade





a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostral

com um número real no intervalo [0, 1].

Probabilidade





a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].

Probabilidade






Probabilidade






ProbabilidadePara uma variável discreta,






ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:





ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:cada valor possível da variável

com uma probabilidade desse valor ser observado.




ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Uma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.

VariávelDiscreta

X = número de machos na ninhada.

EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3


Situação

Uma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.

VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3


SituaçãoUma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.

Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.

VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3


SituaçãoUma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.

VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3



VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3



VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3


Função

Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125


Função

Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125


FunçãoFunção de densidade probabilística ou

Função de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125


FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3

Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1

8 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3


8 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3


8 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3


8 = 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125

Função de Densidade Probabilística

Função Função de densidade probabilística:

f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)

Propriedades

Valores no intervalo [0, 1]:

0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.

A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S

f(x) = 1.




Propriedades


0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.




Propriedades


0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.




PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:

0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.





0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.

A Soma das Probabildiades no EspaçoAmostral

Exemplo daNinhada

x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1

8= 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) =3

8= 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) =3

8= 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) =1

8= 0, 125

3∑x=0

f(x) = (1/8) + (3/8) + (3/8) + (1/8) = 1, 000

A Soma das Probabildiades no EspaçoAmostral

Exemplo daNinhada

x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1

8= 0, 125

x = 1→ f(1) = P (X = 1) =3

8= 0, 375

x = 2→ f(2) = P (X = 2) =3

8= 0, 375

x = 3→ f(3) = P (X = 3) =1

8= 0, 125

3∑x=0

f(x) = (1/8) + (3/8) + (3/8) + (1/8) = 1, 000

Gráfico da Função de DensidadeProbabilística

Exemplo daNinhada

0 1 2 3

Número de Machos

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Gráfico da Função de DensidadeProbabilística

Exemplo daNinhada

0 1 2 3

Número de Machos

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Função de Distribuição

Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição

A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S

V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:

F (xn) =n∑i=0

P (X = xi) =n∑i=0

f(xi), xi ∈ S


Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição

A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =n∑i=0

P (X = xi) =n∑i=0

f(xi), xi ∈ S


Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de DistribuiçãoA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =n∑i=0

P (X = xi) =n∑i=0

f(xi), xi ∈ S



F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =n∑i=0

P (X = xi) =n∑i=0

f(xi), xi ∈ S



F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =

n∑i=0

P (X = xi) =

n∑i=0

f(xi), xi ∈ S

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades


0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.

Função monotonicamente crescente:

x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)

Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:

F (max{x ∈ S}) = 1


Propriedades


0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1



0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1



0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1



0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1

Gráfico da Função de Distribuição

Exemplo daNinhada

0 1 2 3

Número de Machos

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gráfico da Função de Distribuição

Exemplo daNinhada

0 1 2 3

Número de Machos

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Esperança e Variância

Propriedades

Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:

Esperança ou Valor EsperadoVariância

Esperança

A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


Propriedades

Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:


Esperança


E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:


Esperança


E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor Esperado

Variância

Esperança


E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor EsperadoVariância

Esperança


E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)



Esperança


E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)



EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.

Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)



EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostral

Logo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)



EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidade

Variável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)



EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


Variância

A variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2


Variância

A variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2


VariânciaA variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.

Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2


VariânciaA variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.

Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2


VariânciaA variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2

Exemplo da Ninhada: Número de Machos

Esperança

E[X] =

3∑x=0

x f(x)

= 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)

= 1, 5

Variância

Var[X] =

3∑x=0

(x−E[X])2 f(x)

= (0− 1, 5)2(1/8) + . . .+ (3− 1, 5)2(1/8)

= 0, 75


Esperança

E[X] =

3∑x=0

x f(x)

= 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)

= 1, 5

Variância

Var[X] =

3∑x=0

(x−E[X])2 f(x)

= (0− 1, 5)2(1/8) + . . .+ (3− 1, 5)2(1/8)

= 0, 75


Esperança

E[X] =

3∑x=0

x f(x)

= 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)

= 1, 5

Variância

Var[X] =

3∑x=0

(x−E[X])2 f(x)

= (0− 1, 5)2(1/8) + . . .+ (3− 1, 5)2(1/8)

= 0, 75

Exemplo da Ninhada: Variância 2

Variância 2

Var[X] = E[X2]− (E[X])2

E[X] = 1, 5

E[X2] =3∑

x=0

x2 f(x)

= 02(1/8) + 12(3/8) + 22(3/8) + 32(1/8)

= 3

Var[X] = 3− (1, 5)2 = 0, 75


Variância 2

Var[X] = E[X2]− (E[X])2

E[X] = 1, 5

E[X2] =3∑

x=0

x2 f(x)

= 02(1/8) + 12(3/8) + 22(3/8) + 32(1/8)

= 3

Var[X] = 3− (1, 5)2 = 0, 75


Variância 2

Var[X] = E[X2]− (E[X])2

E[X] = 1, 5

E[X2] =

3∑x=0

x2 f(x)

= 02(1/8) + 12(3/8) + 22(3/8) + 32(1/8)

= 3

Var[X] = 3− (1, 5)2 = 0, 75

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.

Variável Binária

Dois resultados possíveis:

fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.

Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).


Ensaio

Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.

Variável Binária





EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.

Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.

Variável Binária





EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.

A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.

Variável Binária





EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.

Variável Binária






Variável Binária






Variável BináriaDois resultados possíveis:





Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.

sucesso (X = 1): o evento ocorre.




Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.




Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.


Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

Descrição Função de Densidade:

f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

Resultados

Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p

Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1

Propriedades

Esperança: E[X] = p

Variância: Var[X] = p (1− p)



f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

Resultados



Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

Resultados



Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)

Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p


Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p


Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.



Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.



Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.



Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.



PropriedadesEsperança: E[X] = p




f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.



PropriedadesEsperança: E[X] = p


Exemplo de Distribuição Bernoulli

Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.

Variável A árvore está morta?

Não: x = 0

Sim: x = 1

Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03

Proporção de árvores mortas na floresta

Resultados

Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97

Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03

Propriedades

Esperança: E[X] = 0, 03

Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Não: x = 0

Sim: x = 1



Resultados



Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Não: x = 0

Sim: x = 1



Resultados



Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291



Variável A árvore está morta?Não: x = 0

Sim: x = 1



Resultados



Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1



Resultados



Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1



Resultados



Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1



Resultados



Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1



Resultados



Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1



ResultadosFracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97


Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1





Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1





Propriedades


Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1





PropriedadesEsperança: E[X] = 0, 03

Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291




Sim: x = 1





PropriedadesEsperança: E[X] = 0, 03

Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291

Distribuição Binomial

Situação

Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n

Probabilidadeconstante:

Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade desucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p

Variável

X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n


Situação

Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n



Variável



SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentes

Parâmetro tamanho da série: n



Variável



SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n



Variável






Variável




Probabilidadeconstante: Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade de

sucesso

parâmetro prob. de sucesso constante: p

Variável





sucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p

Variável






Variável






VariávelX = o número de sucessos nos n ensaios

espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n





VariávelX = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

Descrição Função de densidade:

f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.

Função deDistribuição

F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades

Esperança: E[X] = n p

Variância: Var[X] = n p (1− p)

Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:

f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros



F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros



F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);

Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.


F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.


F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

PropriedadesEsperança: E[X] = n p



f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

PropriedadesEsperança: E[X] = n p


Exemplo: Distribuição Binomial

Árvores Mortas

Número de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.

Função dedensidade

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19

Número de Árvores Mortas

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Árvores Mortas

Número de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Árvores MortasNúmero de árvores mortas numa amostra de 20 (n).

Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Árvores MortasNúmero de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Árvores MortasNúmero de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Exemplo: Distribuição Binomial — Funçãode Distribuição

Função dedistribuição

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Propriedades

Número esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Propriedades




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Propriedades




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

PropriedadesNúmero esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.

Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

PropriedadesNúmero esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.

Exemplo 2: Distribuição Binomial

Árvores comTortuosidade

Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).

Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19

Número de Árvores Tortas

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15



Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).

Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15



Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15



Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

Exemplo 2: Distribuição Binomial (cont.)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Propriedades

Número esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10

Variância do número de árvores com tortuosidade:n p (1− p) = 5



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Propriedades





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Propriedades





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

PropriedadesNúmero esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19


Pro

babi

lidad

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

PropriedadesNúmero esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10


Distribuição Poisson

Situação

É apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço

Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:

O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

Nessa situação

a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ


Situação

É apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço



Nessa situação



SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventos

Os eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço



Nessa situação



SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatório

A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço



Nessa situação



SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço



Nessa situação






Nessa situação




Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).

A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

Nessa situação




Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).

Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

Nessa situação




Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

Nessa situação





Nessa situação





Nessa situaçãoa distribuição binomial com parâmetros n e p se converte

na distribuição poisson com parâmetro λ




Nessa situaçãoa distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função dedensidade f(x) =

λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .

Parâmetro λ: valor esperado da contagem


F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança: E[X] = λ

Variância: Var[X] = λ

Parâmetro λ = Esperança = Variância



λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

PropriedadesEsperança: E[X] = λ





λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .




Exemplo de Distribuição Poisson

Situação Número de árvores de Jatobá por hectare:λ = 4, 5 ha−1.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Número de Árvores de Jatobá

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

Exemplo de Distribuição Poisson (cont.)



0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15




0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15




0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

Distribuição Geométrica

Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes

X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante

Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .

Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2

Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes




Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2


X =número de fracassos até o primeiro sucesso

p: probabilidade de sucesso permanece constante



Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2





Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2





Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2





Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2





Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2





PropriedadesEsperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2






E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2

Distribuição Geométrica: Exemplo 1

Exemplop = 0, 5

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Número de Fracassos

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distribuição Geométrica: Exemplo 2

Exemplop = 0, 1

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso

Parâmetros

n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante


f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .




Parâmetros



f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .




Parâmetros



f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .




Parâmetros



f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .




Parâmetrosn: número de sucessos

p: probabilidade de sucesso permanece constante


f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .




Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante


f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .




Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante


f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .

Distribuição Binomial Negativa (cont.)


F (x) =x∑k=0

(n+ k − 1

k

)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança:

E[X] =n(1− p)

p

Variância:Var[X] =

n(1− p)p2



F (x) =

x∑k=0

(n+ k − 1

k

)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança:

E[X] =n(1− p)

p

Variância:Var[X] =

n(1− p)p2



F (x) =

x∑k=0

(n+ k − 1

k

)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança:

E[X] =n(1− p)

p

Variância:Var[X] =

n(1− p)p2



F (x) =

x∑k=0

(n+ k − 1

k

)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .


E[X] =n(1− p)

p

Variância:Var[X] =

n(1− p)p2



F (x) =

x∑k=0

(n+ k − 1

k

)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .


E[X] =n(1− p)

p

Variância:Var[X] =

n(1− p)p2

Binomial Negativa × Geométrica

Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.

O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?Função de densidade quando n = 1:

f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x = p(1− p)x


Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.

O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?Função de densidade quando n = 1:

f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x = p(1− p)x


Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?

Função de densidade quando n = 1:

f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x = p(1− p)x


Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?Função de densidade quando n = 1:

f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x = p(1− p)x


Exemplo n = 8e p = 0, 5

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


Exemplo n = 8e p = 0, 24

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


Pro

babi

lidad

e

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Binomial Negativa:Parametrização Alternativa

Situação Dados de contagem de eventos agregados

Agregação: variância maior que a médiaExemplos:

número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha

Parâmetros

valor esperado (contagem média) E[X] = µ

parâmetro de dispersão: k

Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p


Situação Dados de contagem de eventos agregados

Agregação: variância maior que a médiaExemplos:


Parâmetros



Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p


Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a média

Exemplos:


Parâmetros



Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p


Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:


Parâmetros



Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p


Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcela

número de plântulas por parcelacapturas por armadilha

Parâmetros



Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p


Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcela

capturas por armadilha

Parâmetros



Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p


Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha

Parâmetros



Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p



Parâmetros



Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p



Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ


Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p





Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p





Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p

Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)


f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança: E[X] = µ

Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k



f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades


Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k



f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades


Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k



f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

PropriedadesEsperança: E[X] = µ

Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k



f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

PropriedadesEsperança: E[X] = µ

Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k

Resumo

Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:

discretascontínuas

Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:

Função de DensidadeFunção de Distribuição

Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição

Resumo

Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidades

As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:

discretascontínuas




Resumo

Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:

discretascontínuas




Resumo

Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretas

contínuasUma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:



Resumo

Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretascontínuas




Resumo





Resumo


Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:Função de Densidade



Resumo


Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:Função de DensidadeFunção de Distribuição


Resumo


Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:Função de DensidadeFunção de Distribuição


Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outras

Algumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outras

Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses

Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou

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Distribuições de Probabilidade Discretascmq.esalq.usp.br/BIE5781/lib/exe/fetch.php?media=01... · 2015. 8. 10. · Distribuições de Probabilidade Discretas Who? JoãoL.F.BatistaePauloInácioK.L.Prado