DOMÍNIO DA LINGUAGEM ALGÉBRICA NO 8º ANO DO ENSINO ... · um no X ENEM, respectivamente em 2013 e 2010, o que aponta um número reduzido de trabalhos que investigaram o desenvolvimento

XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática

A sala de aula de Matemática e suas vertentes

UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019

Caldeira, Thayanne; Nascimento, Ana Maria. Domínio Da Linguagem Algébrica No 8º Ano

Do Ensino Fundamental: Iniciação Científica Na Formação Do Professor De Matemática.

In Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM.

DOMÍNIO DA LINGUAGEM ALGÉBRICA NO 8º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL: INICIAÇÃO CIENTÍFICA NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR

DE MATEMÁTICA

Thayanne Caldeira Maciel

Universidade Federal do Oeste da Bahia

[email protected]

Ana Maria Porto Nascimento

Universidade Federal do Oeste da Bahia

[email protected]

Resumo: Apresentam-se neste texto resultados parciais das atividades de iniciação científica

realizadas no primeiro ano do projeto de pesquisa intitulado Investigação sobre o Ensino e a

Aprendizagem dos Conceitos Matemáticos: A construção da linguagem algébrica do 6º ao 9º

ano do Ensino Fundamental (PIBIC/Cnpq), proposto com o objetivo de investigar o nível de

compreensão dos estudantes em relação a linguagem algébrica em classes do 6º ao 9º ano do

Ensino Fundamental. Inicialmente foi construído o referencial teórico da pesquisa, em seguida

estudamos a Matriz de Referência em Matemática adotada pelo Sistema de Avaliação da

Educação Básica (SAEB), para elaboração da Prova Brasil, com identificação dos descritores

que avaliam o pensamento algébrico e analisamos os itens contidos nos simulados propostos

aos estudantes do 8º ano da rede municipal de ensino. A análise geral dos resultados dos

simulados indicou que no descritor 30, dos 1416 alunos que realizaram o simulado, apenas 20%

acertaram o item, no descritor 33 apenas 25% acertaram o item. A análise qualitativa de 203

cadernos de prova apontou a inadequada construção da linguagem algébrica pelos estudantes

do 8º ano, evidenciada nos registros escritos. Assim, existe a necessidade de continuar essa

pesquisa e elaborar propostas de intervenção junto as escolas da rede municipal de ensino, de

modo a envolver os professores em ações de formação continuada e integrar um maior número

de licenciandos em projetos de iniciação científica como espaço de formação do professor de

matemática.

Palavras-chave: Linguagem algébrica. Iniciação científica. Formação de professores.

INTRODUÇÃO

No processo de formação do professor de matemática uma importante atividade é

aprender a fazer pesquisa. Nesse trabalho estiveram juntas uma professora formadora do Curso

de Licenciatura em Matemática e uma estudante do quinto semestre da graduação, bolsista



DE MATEMÁTICA

Thayanne Caldeira Maciel; Ana Maria Porto Nascimento. (2019)

PIBIC/Cnpq. Ao longo do texto destacaremos as contribuições da participação dos licenciandos

em projetos dessa natureza. O objetivo foi investigar o nível de compreensão dos estudantes em

relação a linguagem algébrica em classes do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. Inicialmente

buscou-se identificar os autores que estudam sobre pensamento algébrico nos anos iniciais, por

ser esse período considerado como a base na constituição dos conhecimentos que serão

mobilizados nos anos finais do Ensino Fundamental. Sabe-se que os estudos mais elaborados

em Matemática exigem o domínio da linguagem algébrica, isto está diretamente relacionado às

habilidades de abstrair e generalizar.

A resolução de problemas prescinde dessa ferramenta de tradução da linguagem natural

para a linguagem algébrica, o que implica na modelagem de situações matemáticas com uso de

expressões que contem números e letras. O estudante desde muito cedo convive com situações

em que é possível explorar as incógnitas e as variáveis. O uso de letras para substituir um valor

desconhecido ou um valor variável em uma expressão algébrica é constante em matemática.

Resultados de pesquisa mostram que esse é um conteúdo que tem causado muitas dificuldades

aos estudantes, às vezes impossibilitando a compreensão de alguns conceitos relacionados ao

campo da Álgebra. Se acreditarmos que o conhecimento matemático é historicamente

construído e deve ser compreendido por todos os estudantes, cabe-nos investigar as razões das

dificuldades em constituir o pensamento e compreender a linguagem algébrica, obtendo dados

junto aos estudantes e os professores.

A EXPLORAÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO NA AULA DE MATEMÁTICA

No Brasil, o estudo sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais

do Ensino Fundamental foi impulsionado e teve uma abrangência maior após a criação do

documento: Elementos Conceituais e Metodológicos para definição dos direitos de

aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º anos) do Ensino

Fundamental - EMC (BRASIL, 2012). Isso ocorreu pelo fato de o documento abordar como um

dos eixos estruturantes para o estudo da matemática, o pensamento algébrico.

Vale (2012) expressa que para uma aula de matemática ter seu objetivo alcançado é

imprescindível o aperfeiçoamento constante do conhecimento matemático e didático dos

professores, a pesquisa e o bom desenvolvimento de atividades de investigação que envolvam



DE MATEMÁTICA


a exploração do pensamento algébrico, principalmente tarefas com contextos figurativos que

buscam a generalização e a descoberta de padrões.

A autora defende que o uso de contextos figurativos é ponto de partida para o

desenvolvimento do estudo da álgebra, pois a descoberta de padrões é essencial para que o

estudante alargue seus conceitos matemáticos e encontre um significado para os conteúdos que

estuda, não apenas aplicando fórmulas e utilizando um conhecimento mecanizado da

matemática, e ainda pode ajudá-los a constituir uma conexão com o que é estudado e os desafios

que se apresentam no mundo em vivem.

Desse modo é preciso que os professores, formados e em formação, quebrem os

paradigmas e os obstáculos que perpetuam por tantos anos no cenário educacional, tais como:

a falta de familiaridade com práticas inovadoras de ensino e de ferramentas

adequadas; a falta de compreensão da matemática que ensinam; a sua incapacidade de

comunicar com os estudantes de outras formas sem ser através do ensino directo; e a

relutância a novos métodos de ensino, devido às crenças que possuem sobre o que os

alunos precisam saber (e.g. HIEBERT, MORRIS, BERK, & JANSEN, 2007 apud

VALE, p. 183, 2012).

Dessa forma os professores de matemática poderão ser motivados para ensinar com a

preocupação de que seus estudantes, “aprendam e façam matemática”, por meio da criatividade

e do refinamento das atividades construídas e propostas aos estudantes. O desenvolvimento

intelectual do estudante depende da exploração do conteúdo, dos conhecimentos e da orientação

de seu professor.

E, se os professores não tiverem nas suas práticas o hábito de propor aos alunos tarefas

para exprimir as suas próprias generalizações, então não haverá lugar para o

pensamento matemático, em particular, não há pensamento algébrico. (MASON,

1996 apud VALE, p. 190, 2012).

Lima (2016) apresenta um levantamento dos trabalhos publicados nos ENEM (Encontro

Nacional de Educação Matemática), durante o período de 1998 a 2013, sobre o pensamento

algébrico nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Essa pesquisa é importante, pois durante

muito tempo o estudo sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico tinha como principal

cenário de pesquisa as séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Foi apontado na pesquisa que em seis edições do ENEM foram apresentados quatro

trabalhos com o tema pensamento algébrico, dos quais três foram apresentados no XI ENEM e



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um no X ENEM, respectivamente em 2013 e 2010, o que aponta um número reduzido de

trabalhos que investigaram o desenvolvimento do pensamento algébrico.

O autor destaca que:

o pensamento algébrico objetiva a compreensão de padrões e relações nos diversos

contextos e isso se traduz em uma nova maneira de o professor trabalhar e produzir

um conhecimento que provocará efeitos na melhoria da compreensão dos aspectos

formais da álgebra. (LIMA, p. 10, 2016).

Nesse sentido, reforça-se a necessidade de continuar e ampliar a presente pesquisa, pois

vimos que a deficiência em álgebra começa desde os anos iniciais do ensino fundamental,

quando as questões que poderiam auxiliar os estudantes a desenvolver o pensamento algébrico

não são propostas pelos professores nas aulas de matemática.

Nessa perspectiva Luna e Souza (2013) apresentam uma análise de como este conteúdo

poderia ser abordado nos anos iniciais (1° ao 5°) do Ensino Fundamental de modo a favorecer

o estabelecimento das relações entre pensamento numérico e pensamento algébrico:

a relação entre aritmética e álgebra na maioria das vezes não é estabelecida e essa

dissociação gera dificuldades de ensino-aprendizagem relacionadas à construção do

raciocínio abstrato – necessário para a compreensão do pensamento algébrico.”

(LUNA E SOUZA p. 824, 2013).

Assim os professores devem ficar atentos e procurar a melhor maneira de mostrar a

passagem da aritmética para a álgebra e evidenciar que, uma é continuidade e fundamental para

o entendimento da outra.

No período de transição do pensamento numérico para o pensamento algébrico, muitos

estudantes passam por dificuldades. Esse período ocorre formalmente no currículo escolar a

partir do 7º ano do Ensino Fundamental. O ideal seria que ao chegar a essa série o estudante

não apresentasse dificuldades em utilizar a linguagem algébrica, pois inicia seus estudos no

primeiro ano do Ensino Básico.

De um modo geral, o estudante passa muito tempo acostumado apenas com os números

e quando aparecem as letras observa-se uma resistência ao novo e uma rejeição ao modo de se

ensinar e de como as situações-problemas, as atividades em sala e os exemplos começam a ser

apresentados, principalmente causa estranheza o uso de letras para substituir um valor

desconhecido ou um valor variável em uma expressão algébrica.

É relevante que existam pesquisas sobre como, quando e o quê deve-se explorar, nas

aulas de matemática, quando o objetivo é desenvolvimento do pensamento algébrico e

consequentemente compreender a álgebra. Os contratempos encontrados pelos estudantes de



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matemática durante o estudo de álgebra são notoriamente atuais. Isso é demonstrado quando os

estudantes passam do Ensino Fundamental I para o Ensino Fundamental II, depois percorrem o

Ensino Médio, e em alguns casos chegam à Universidade com dificuldades, principalmente nas

disciplinas de Cálculo. Resultados de pesquisa mostram que esse problema origina-se nos anos

iniciais, quando o estudante não teve uma orientação adequada para a consequente evolução do

pensamento algébrico.

DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA

Para o desenvolvimento da primeira etapa da pesquisa foram apreciados textos de

autores que realizam estudos na área e suas considerações sobre as dificuldades encontradas,

no que se refere ao estudo da álgebra, tanto no desenvolvimento das aulas, como na preparação

formativa dos professores.

A partir dessas indicações na segunda etapa da pesquisa, fizemos entrevista com a

coordenadora da área de Matemática da Secretaria Municipal de Educação, Cultura, Esporte e

Lazer de Barreiras e, foi possível entender o modo como os estudantes são avaliados em um

sistema similar ao da avaliação externa proposta pelo SAEB/PROVA BRASIL. Observamos

que na rede municipal são realizados testes simulados com o mesmo número de itens da Prova

Brasil, de modo que o estudante vivencie a experiência de submeter-se a um instrumento de

avaliação semelhante ao da avaliação externa e, o professor da rede possa proceder a análise do

resultado obtido nesse instrumento.

Essa coordenação disponibilizou os resultados gerais de 1416 simulados, propostos aos

estudantes do 8º ano de 22 escolas da rede municipal de ensino e 203 cadernos de provas para

realizarmos a análise qualitativa da escrita dos estudantes. Desse modo, tornou-se possível ter

acesso a evidências iniciais sobre de que forma está se constituindo o pensamento algébrico dos

estudantes do Ensino Fundamental da rede municipal de ensino, o que atendeu aos objetivos

para esse primeiro ano da pesquisa e norteará as próximas etapas do trabalho.

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS PARCIAIS

Os estudos iniciais evidenciaram a necessidade de pesquisas específicas sobre a

exploração da linguagem algébrica no Ensino Fundamental e, indicaram a formação de

professores como um diferencial na exploração de propostas didáticas adequadas a constituição



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do pensamento algébrico ao longo do processo de escolarização (Ensino Fundamental e Médio).

As atividades dessa primeira etapa apontaram a necessidade de aprofundar os estudos nessa

temática e envolver os professores que atuam na rede municipal nessa pesquisa.

O estudo da Matriz de Referência em Matemática adotada pelo Sistema de Avaliação

da Educação Básica (SAEB), para elaboração da Prova Brasil, possibilitou a identificação dos

descritores que avaliam o pensamento algébrico, foi possível perceber que esses itens tanto

avaliam o domínio da linguagem algébrica pelo estudante quanto a sua habilidade em utilizar

essa linguagem para modelar as situações matemáticas.

Os descritores, contidos na Matriz de Referência SAEB, que avaliam o pensamento

algébrico estão expostos na Tabela 01.

Descritor Habilidade avaliada

D30 Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

D31 Resolver o problema que envolva equação de segundo grau.

D32 Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de

números ou figuras (padrões).

D33 Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um problema.

D34 Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema.

D35 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de

equações de primeiro grau.

Tabela 01. Descritores que avaliam o pensamento algébrico na Prova Brasil.

Ainda nessa segunda etapa da pesquisa foi possível conhecer melhor o processo de

elaboração, aplicação e análise dos resultados do simulado realizado pela coordenadora da área

de Matemática da Secretaria Municipal de Educação de Barreiras. A coordenadora

disponibilizou o instrumento diagnóstico proposto pela Secretaria aos estudantes da rede

municipal como simulado da Prova Brasil. Identificamos dois itens referentes ao pensamento

algébrico, questão 23 e questão 24 contidas no simulado.

Resultados gerais do teste simulado de Matemática aplicado na rede de ensino municipal



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Gráfico 01. Resultados gerais do simulado 2018 Matemática. Fonte: Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras

Observamos resultados inferiores a 30% nos descritores: D8 - Resolver problema

utilizando a propriedade dos polígonos, (5%); D9 - Interpretar informações apresentadas por

meio de coordenadas cartesianas (18%); D11 - Reconhecer círculo/circunferência, seus

elementos e algumas de suas relações, (22%); D23 - Identificar frações equivalentes, (24%);

D24 - Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do

sistema de numeração decimal identificando a existência de “ordens” como décimos,

centésimos e milésimos, (28%); D25 - Efetuar cálculos que envolvam operações com números

racionais, (19%); D26 - Resolver problema com números racionais que envolvam as operações,

(18%); D29 - Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre

grandezas, (28%); D30 - Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, (20%); D33 -

Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um problema, (25%).

Esses percentuais mostram o desempenho dos estudantes em matemática em 10 dos 37

descritores avaliados pela Prova Brasil, e revelam um quadro preocupante em relação ao nível

de aprendizagem, o que pode ser um indicador das dificuldades futuras desses estudantes no

acesso ao Ensino Médio e Ensino Superior.

Além dos resultados gerais a coordenadora de área de matemática, disponibilizou 203

cadernos de provas aplicadas em três escolas da rede municipal de ensino. A análise quantitativa

dos dados contidos nas resoluções das questões 23 e 24 das provas estão inseridas na tabela 02.



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ESCOLA Nº DE

PROVAS QUESTÃO ACERTOS ERROS

NÃO

RESPONDEU

ESCOLA 01 29 23 7 19 3

24 11 16 2

ESCOLA 02 106 23 19 78 9

24 22 76 8

ESCOLA 03 68 23 10 58 0

24 9 59 0

Tabela 02. Análise quantitativa de dados do simulado.

Fonte: Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras

Análise dos resultados dos itens referentes ao pensamento algébrico.

A figura 01 corresponde à questão 23 do simulado da Prova Brasil aplicado pela

Secretaria Municipal de Educação de Barreiras nas escolas municipais da rede.

Figura 01: Questão 23 do Simulado de Matemática da Prova Brasil

Fonte Simulado aplicado pela Secretaria Municipal de Educação – Barreiras

A resolução dessa questão exigia que o estudante observasse a fórmula apresentada e os

valores das variáveis que aparecem na fórmula. Nesse caso a resolução seria substituir os

valores das variáveis P, H e D e realizar as operações de multiplicação que aparecem no

numerador, e com este resultado dividir por 1000.

Na tabela 03, a seguir, estão identificados alguns registros dos alunos, correspondente à

resolução da questão 23, e as observações sobre o respectivo registro.

D30. Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

O custo do banho pode ser calculado pela expressão: 1000

DHPG

, onde G é o gasto

de energia, P é a potência do chuveiro, H é o tempo em horas de funcionamento e D é a

quantidade de dias.

O consumo mensal do banho nas seguintes situações: P = 5000W, H = 1h e D = 30 dias,

é:

(A) 150 kwh. (B) 150.000 kwh. (C) 5031 kwh. (D) 5,031 kwh.



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REGISTRO DOS ESTUDANTES OBSERVAÇÕES

O estudante entendeu a questão e respondeu corretamente, seguindo a fórmula inserida e efetuando os cálculos necessários.

O estudante desconsiderou a fórmula apresentada na questão e utilizou uma regra de três.

O estudante substituiu os valores numéricos na fórmula dada, considerando 1h igual a 60s, mas efetuou uma adição dos valores do numerador para encontrar a resposta, e para a resolução usou o valor do tempo igual a 1h.

O estudante substituiu os valores numéricos na fórmula, efetuou uma adição no numerador e acrescentou uma vírgula na resposta, talvez porque na divisão por 1000 deslocamos a vírgula três casas para a esquerda no resultado final.

O estudante substituiu os valores numéricos na fórmula, considerando 100 no denominador e não 1000, e realizou apenas uma adição no numerador. Ao assinalar a alternativa ele considerou uma vírgula.

O estudante ignorou o 1000 da fórmula, armou uma multiplicação e efetuou uma adição.



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O estudante somou os números que aparecem no enunciado e ignorou a fórmula.

O estudante registrou de forma correta como deveria ser o procedimento para resolução da questão, porém não assinalou a alternativa que corresponde ao que ele escreveu.

Tabela 03. Análise qualitativa da questão 23.


Nos 203 cadernos de prova observamos que na questão 23 foram apenas 42 acertos, 10

estudantes não responderam e 151 assinalaram alternativas incorretas, como apresentamos na

tabela 02. Os registros escritos pelos estudantes revelam a dificuldade em calcular o valor

numérico de uma expressão algébrica.

A figura 02 corresponde à questão 24 do simulado da Prova Brasil aplicado pela

Secretaria Municipal de Educação de Barreiras nas escolas municipais da rede.

Figura 02: Questão 24 do Simulado de Matemática da Prova Brasil


Na tabela 04 estão identificados os registros destacados nos simulados analisados,

correspondente à questão 24, e as observações.

D33. Identificar uma equação ou inequação do 1º grau que expresse um problema.

Fernando comprou um sanduíche e um refrigerante e pagou pela compra R$ 7,50. O

refrigerante custa a metade do valor do sanduíche.

A expressão que permite calcular o preço do sanduíche é

(A) 𝑥 + (𝑥 + 1

2) = 7,50 (B) 𝑥 +

1

2= 7,50

(C) 𝑥 + 𝑥

2= 7,50 (D)

𝑥

2= 7,50



DE MATEMÁTICA


REGISTRO DOS ESTUDANTES OBSERVAÇÕES

O estudante respondeu corretamente a questão e o registro evidencia que houve entendimento do enunciado e tradução para a linguagem algébrica.

O estudante registrou uma operação de divisão quando a questão solicitava apenas a expressão algébrica. Observa-se ainda que não foi considerado que “x” é o valor do sanduíche e 𝑥

2 a metade do valor do sanduíche.

Tabela 04. Análise qualitativa da questão 24.


Nos 203 cadernos de prova observamos que na questão 24 foram apenas 36 acertos, 12

estudantes não responderam e 155 assinalaram alternativas incorretas, como apresentamos na

tabela 02. Foram encontrados poucos registros escritos pelos estudantes, uma vez que a

resolução dessa questão exigia leitura e interpretação do enunciado com a tradução da língua

materna para uma expressão algébrica. No caso o valor do sanduíche corresponde a “𝑥” e a

metade do valor do sanduiche seria representado por “𝑥

2”. Assim, a expressão correta seria “𝑥 +

𝑥

2= 7,50”. Nas provas analisadas 56 estudantes marcaram a alternativa B, o que pode indicar

que ao ler “metade”, houve uma associação a 1

2, desconsiderando que o valor do sanduíche

seria “x” e a metade do valor seria 𝑥

2. Os dados revelaram a dificuldade do estudante em escrever

uma expressão algébrica

CONCLUSÃO

Os resultados gerais do simulado indicaram a necessidade de continuidade da pesquisa

em relação ao ensino e aprendizagem da matemática, com o envolvimento dos professores que

atuam na rede, em projetos de formação continuada, pois são dados que revelaram um nível de

aprendizagem inadequado tanto nos descritores referentes ao pensamento algébrico, quanto no

pensamento geométrico, na resolução de cálculos e problemas com números racionais e

proporcionalidade.



DE MATEMÁTICA


Pretendemos continuar a estudar esses dados com a coordenação de área de matemática

da Secretaria Municipal de Educação e, estender a pesquisa aos estudantes do Ensino Médio e

Ensino Superior, visto que uma grande causa de reprovação em Cálculo nas instituições de

ensino superior nos cursos na área de ciências exatas tem relação com o domínio da linguagem

algébrica e dos conceitos relacionados ao campo da Álgebra.

Destaca-se a importância da participação do licenciando em projetos dessa natureza,

como espaço de formação para a pesquisa, principalmente a ampliação do conhecimento sobre

o processo de constituição de conceitos e o estudo de propostas de ensino que sejam coerentes

com o modo de pensar do estudante. O PIBIC no curso de Licenciatura abre espaços para o

aperfeiçoamento da formação científica do futuro professor, o que aliado a iniciação à docência

em projetos PIBID, poderá melhorar significativamente as experiências formativas dos

licenciandos.

AGRADECIMENTOS

A agência financiadora Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico:

01bolsa PIBIC/Cnpq.

A coordenação de pesquisa da Universidade Federal do Oeste da Bahia.

A coordenadora da área de Matemática da Secretaria Municipal de Educação de Barreiras –

Professora Verônica Maria Miranda da Silva.

REFERÊNCIAS

BRASIL, Elementos Conceituais e Metodológicos para definição dos direitos de

aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º anos) do Ensino

Fundamental. Brasília: MEC, SEB 2012

BRASIL, Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fundamental:

Matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2011.

LIMA, José Roberto de Campos. Mapeamento de Trabalhos Sobre Pensamento Algébrico

nos Anos Iniciais Apresentados nos Enem (1998-2013). Anais do XII Encontro Nacional de

Educação Matemática. Disponível em:

<http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/7327_4156_ID.pdf>. Acesso em 28 de

setembro de 2017.



DE MATEMÁTICA


LUNA, Ana Virgínia de Almeida, SOUZA, Cremilzza Carla Carneiro Ferreira. Discussões

sobre o ensino de álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Educação Matemática

Pesquisa. Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. ISSN

1983-3156, [S.l.], v. 15, n. 4, p. 817-835, dez. 2013. ISSN 1983-3156. Disponível em:

<https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/ 17747>. Acesso em: 20 mar. 2017.

VALE, Maria Isabel. As tarefas de padrões na aula de matemática: um desafio para

professores e alunos. Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do

Castelo. INTERACÇÕES NO. 20, PP. 181-207 (2012)

Documents

DOMÍNIO DA LINGUAGEM ALGÉBRICA NO 8º ANO DO ENSINO ... · um no X ENEM, respectivamente em 2013 e 2010, o que aponta um número reduzido de trabalhos que investigaram o desenvolvimento