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Produção Didático-Pedagógica

FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA POSSIBILIDADE PARA O ENSINO DO MINIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM

Autor DONIZETTI BALTAZAR CARVALHO

Escola de Atuação COL.EST. PROF. IZIDORO LUIZ CERÁVOLO – ENSINO FUNDAMENTAL, MÉDIO E PROFISSIONALIZANTE

Município da escola APUCARANA

Núcleo Regional de Educação APUCARANA

Orientador MÁRCIA CRISTINA DE COSTA TRINDADE CYRINO

Instituição de Ensino Superior UEL – Universidade Estadual de Londrina

Disciplina/Área MATEMÁTICA

Produção Didático-pedagógica UNIDADE DIDÁTICA

Público Alvo ALUNOS DO SEXTO ANO

Localização RUA ELÍDIO STÁBILE, Nº 379

Apresentação:

A temática abordada será Tendências em Educação Matemática, na perspectiva de Resolução de Problemas, orientada para alunos do 6º ano.

Novos métodos de ensino da Matemática além de aula expositiva, precisam ser implementados. Segundo Onuchic (2005, p.215), “discussões no campo da Educação Matemática no Brasil e no mundo mostram a necessidade de se adequar o trabalho às novas tendências que podem levar a melhores formas de se ensinar e aprender matemática.”

Sendo assim, surge uma possibilidade de intervir na maneira em que o conteúdo é apresentado ao aluno, de modo que não seja apenas espectador, é por meio da tendência metodológica de Resolução de Problemas.

Neste sentido, apresenta-se a nossa proposta de direcionar a prática docente para a Resolução de Problemas enfocando o mmc e o mdc como conteúdo. O conteúdo proposto é em virtude da necessidade de apresentar aos alunos algum significado ao resolver problemas com mmc e mdc.

Tendo como objetivos: • Oportunizar ao aluno propor sua própria resolução ao

problema gerador; • Possibilitar aos alunos a aplicação de diferentes

estratégias à resolução de problemas a fim de explorar conceitos e ideias matemáticas envolvidas nos conteúdos mmc e mdc, e que possam fazer uso desses conhecimentos em outras situações problemas envolvendo tais conteúdos.

Palavras-chave Tendências em Educação Matemática; Resolução problemas; Mínimo Múltiplo Comum; Máximo Divisor Comum.

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Introdução

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática

do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser abordados por meio de

tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática

docente” (PARANÁ, 2008, p. 63). Dentre elas, pode-se destacar a Resolução de

Problemas.

Diante disso, estudamos a Resolução de Problemas enquanto estratégia

metodológica para o ensino e a aprendizagem da Matemática e produzimos um

caderno pedagógico composto por unidades didáticas elaboradas individualmente

por nove professores PDE, correlacionadas com esse tema.

Essa produção didático-pedagógica, além de se constituir para os professores

PDE em uma estratégia para a implementação do Projeto de Intervenção

Pedagógica na Escola, apresenta possibilidades de abordagem de diferentes

conteúdos matemáticos por meio da Resolução de Problemas, e tem também como

objetivo oportunizar a outros professores que venham a ter acesso a essa produção,

o desenvolvimento de um trabalho com essa estratégia metodológica mediante a

implementação desse material.

Utilizar a Resolução de Problemas como uma estratégia metodológica para o

ensino e a aprendizagem de Matemática, trata-se, segundo Allevato e Onuchic

(2009, p.7), “de um trabalho onde um problema é ponto de partida e orientação para

a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através de sua

resolução.”

Ainda de acordo com essas autoras, não há “formas rígidas para colocar em

prática essa metodologia” (ibidem). Apresentamos a seguir uma proposta, sugerida

pelas autoras, de organização das tarefas em etapas a serem desenvolvidas pelo

professor e pelos alunos.

1) Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula.

2) Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.

3) Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.

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� Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema.

� Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.

4) Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.

5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de idéias entre eles.

� O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.

6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam.

7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem.

8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.

9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as

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diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7-8, grifo nosso).

A intenção é que a implementação desta produção didático-pedagógica, seja

realizada de acordo com as etapas apresentadas anteriormente, e, por isso,

sugerimos para cada problema presente nessa produção, encaminhamentos que

podem ser utilizados pelos professores em algumas dessas etapas, bem como

possíveis formalizações para os conteúdos matemáticos abordados.

Apresentação

A temática abordada será Tendências em Educação Matemática, na

perspectiva de Resolução de Problemas, para alunos do 6º ano.

Nas Diretrizes Curriculares encontra-se um norte a ser seguido do

que se espera por meio da Educação Matemática, na educação básica do Estado do

Paraná, que propõe: “um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões,

conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideia.” (PARANÁ, 2008, p.48)

Novos métodos de ensino da Matemática além de aula expositiva,

precisam ser implementados. Segundo Onuchic (2005, p.215), “discussões no

campo da Educação Matemática no Brasil e no mundo mostram a necessidade de

se adequar o trabalho às novas tendências que podem levar a melhores formas de

se ensinar e aprender matemática.”

Sendo assim, surge uma possibilidade de intervir na maneira em que

o conteúdo é apresentado ao aluno, de modo que não seja apenas espectador, é

por meio da tendência metodológica de Resolução de Problemas.

Neste sentido, apresenta-se a nossa proposta de direcionar a prática

docente para a Resolução de Problemas enfocando o mmc e mdc como conteúdo.

O conteúdo proposto é em virtude da necessidade de apresentar aos alunos algum

significado ao resolver problemas com mmc e mdc.

[...] Além disso, é importante que tal trabalho não se resuma à apresentação de diferentes técnicas ou de dispositivos práticos que permitem ao aluno encontrar, mecanicamente, o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum sem compreender as situações-problema que esses conceitos permitem resolver (BRASIL,1988, p. 66).

Tendo como objetivos: • Oportunizar ao aluno propor sua própria resolução ao problema

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gerador;

• Possibilitar aos alunos a aplicação de diferentes estratégias à

resolução de problemas a fim de explorar conceitos e ideias matemáticas

envolvidas nos conteúdos mmc e mdc, e que possam fazer uso desses

conhecimentos em outras situações problemas envolvendo tais conteúdos.

Procedimentos/Material Didático

Trabalhando com a metodologia da Resolução de Problemas na

perspectiva das autoras Allevato e Onuchic (2009), apresentamos a seguir os

problemas a ser trabalhado com alunos do 6º ano (5ª série). Para a resolução destes

problemas está previsto 16 horas aulas. Na descrição do desenvolvimento do

problema contemplamos: a resolução esperada, os objetivos a serem atingidos, uma

sugestão de encaminhamento, de formalização do conteúdo abordado, e da

proposta de avaliação para a tarefa.

CONTEÚDO: Mínimo Múltiplo Comum (mmc) e Máximo Divi sor Comum (mdc)

1. Apresentação de um problema gerador para o cont eúdo mmc

Em uma determinada noite, Maria das Dores não estav a se sentindo muito

bem. Realmente, o seu estado de saúde não era dos m elhores. Decidiu então

dirigir-se ao Pronto Socorro Municipal, bem no cent ro da cidade. Chegando lá,

foi atendida por uma médica, extremamente atenciosa , que ao finalizar o

diagnóstico, lhe informou da necessidade de tomar d ois remédios diferentes.

Ao sair da consulta médica, foi à farmácia e o farm acêutico lhe explicou como

deveria tomá-los. Colocou então, em cada caixa uma etiqueta indicando o

horário que deveria tomar cada remédio, da seguinte maneira:

Remédio A: tomar um comprimido de 4 em 4 horas.

Remédio B: tomar um comprimido de 6 em 6 horas.

A paciente Maria das Dores assim que chegou à sua c asa, tomou um

comprimido de cada remédio (remédio A e remédio B). Naquele momento era

6

exatamente zero hora. Considere que ela tomaria pel o menos dois dias

consecutivos os dois remédios.

a) Quais os horários em que Maria das Dores tomará as próximas doses dos

remédios ao longo do dia?

b) Considerando que Maria das Dores tenha tomado a primeira dose dos

remédios à zero hora, qual o próximo horário em que tomará novamente os

remédios A e B ao mesmo tempo?

c) Supondo que em virtude do horário que Maria das Dores chegou a sua casa

e para melhor estabelecer o horário com suas ativid ades diárias, resolvesse

tomar a primeira dose dos remédios às 8 horas da ma nhã, qual seria o próximo

horário em que Maria das Dores tomaria novamente os remédios A e B ao

mesmo tempo?

1.1 Possíveis resoluções para o problema gerador, a nalisando cada item

apresentado:

a) Quais os horários em que Maria das Dores tomará as próximas doses dos

remédios ao longo do dia?

Uma possível maneira de resolver esse item do problema seria organizar os

horários em um quadro.

*ao chegar 24h, completa um dia, um ciclo, ou seja, 24 h correspondem ao início do ciclo novamente (0h)

Outra possível maneira de resolver esse item do problema seria

listar os horários de ingestão de cada remédio, colocando em sequência.

Remédios início Próximos horários

Remédio A

(4 em 4 h) 0 h 4 8 12 16 20 24 *

Remédio B

(6 em 6 h) 0 h 6 12 18 24*

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Remédio A: tomar de 4 em 4 horas

0 – 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24

Remédio B: tomar de 6 em 6 horas

0 – 6 – 12 – 18 – 24

Caso os alunos elaborem um quadro ou sequências numéricas para

ao menos dois dias, e tenham alguma dificuldade em relação ao fato do dia ser

constituído de 24 horas, pode-se questioná-los sobre quais seriam, por exemplo, os

horários de ingestão para a oitava dose do remédio A e sexta dose do remédio B.

Mediante as respostas apresentadas, incentivá-los a estabelecerem a seguinte

correspondência:

Observariam que é um ciclo, ocorrendo repetição do horário de

ingestão a cada 24 horas, ou seja, volta ao horário que iniciou, conforme o destaque

azul no quadro.

A organização para resolução do problema será uma decisão do

aluno. O professor neste momento se propõe a desenvolver um ambiente

colaborativo de modo que todos possam se empenhar na tarefa.

b) Considerando que Maria das Dores tenha tomado a primeira dose dos

remédios à zero hora, qual o próximo horário em que tomará novamente os

remédios A e B ao mesmo tempo?

Observe o quadro elaborado para os dois remédios:

Remédios início Próximos horários

Remédio A

(4 em 4 h) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Formatação

em horas 0h 4h 8h 12h 16h 20h

0h

[24h] 4h 8h 12h 16h 20h

0h

[24h]

Remédio B

(6 em 6 h) 0 6 12 18 24 30 36 42 48

Formatação

em horas 0h 6h 12h 18h

0h

[24h] 6h 12h 18h

0h

[24h]

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A questão afirma que Maria das Dores tomou a primeira dose dos

remédios simultaneamente à zero hora, e, quer saber o próximo horário que isto

poderá ocorrer. A pretensão é a partir da resolução, definir o mmc.

De acordo com o quadro, é possível perceber que o próximo horário

que Maria das Dores tomará a próxima dose dos remédios simultaneamente será às

12 h. Neste momento o aluno poderá compreender que o intervalo de tempo para

que a paciente Maria das Dores volte a tomar os dois remédios no mesmo horário é

de 12 horas. Momento que poderá surgir alguma questão, como por exemplo: Por

que isto ocorre?

Na organização do quadro para o remédio A, soma-se 4 horas a

partir da primeira dose, à 0h, e assim sucessivamente. Ao completar 24 h começa-se

a repetir os valores, como se voltasse ao início 0 [24] h, fechando um dia.

Igualmente para o remédio B, mas com um intervalo maior, de 6 em 6 h.

No quadro, observa-se a constituição de uma sequência de 4 em 4 e

outra de 6 e 6, no formato de horas, até completar um dia, e depois as sequências

se repetem novamente. Daí poderia advir algumas respostas que se possibilitariam

aproximar do pretendido, o múltiplo de um número qualquer, por exemplo: de um

número para o outro foi somado sempre 4 e do outro sempre 6, e, chegar à

multiplicação, pois, multiplicar é somar parcelas iguais, por conseguinte, a

“formação” da “tabuada”, no caso, a do 4 e do 6.

Múltiplo relaciona-se com a multiplicação e suas “tabuadas”. Para

calcular múltiplo de um número, basta multiplicar esse número por um número

natural qualquer.

Considerando as sequências obtidas

Remédios Próximos horários

Remédio A

(4 em 4 h) 0h 4h 8h 12h 16h 20h

0h

[24h] 4h 8h 12h 16h 18h

0h

[24h]

Remédio B

(6 em 6 h) 0h 6h 12h 18h

0h

[24h] 6h 12h 18h

0h

[24h]

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Remédio A

0 – 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24

Remédio B

0 – 6 – 12 – 18 – 24

poderiam perceber que são múltiplos de 4, no caso do remédio A e múltiplos de 6,

no caso do remédio B.

� Qual ou quais números comuns, ou seja, os múltiplos comuns de 4 e 6 estão

presentes nas duas sequências?

� Qual o menor múltiplo comum diferente de zero, nas sequências formadas?

� O menor múltiplo comum diferente de zero é 12.

� O menor múltiplo comum a dois ou mais números é denominado mínimo

múltiplo comum (mmc). Logo, mmc (4, 6) =12.

� Que relação pode ser estabelecida entre este número 12 com os intervalos para

tomar os dois remédios simultaneamente?

� O 12, que representa o intervalo de tempo para que Maria das Dores volte a

tomar os dois remédios no mesmo horário, é o mmc dos números 4 e 6.

� Seria possível escrever o número 12 como o produto de outros números? E o 4 e

o 6?

� Ao escrever um número como o produto de outros números, como por exemplo:

6 = 2.3; 4 = 2.2; 8 = 2.2.2, o que estaria fazendo com este número?

� Existiria alguma relação desta forma de escrever os números com o mmc desses

números?

Seria conveniente tecer algum comentário sobre a decomposição

em fatores primos, e se direcionar para a formalização do método prático do mmc.

Decompor um número em fatores primos é escrever este número

como o produto de números primos.

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Vale ressaltar que números primos são os que admitem apenas dois

divisores naturais distintos, ele próprio e o 1, enquanto, os que possuem mais de

dois divisores são chamados de números compostos.

Pelo exposto, o número 4 decomposto em fatores primos, ficaria 4 =

2.2 = 22, o número 6, ficaria 6 = 2.3 e o 12 = 22.3.

Comparando a decomposição em fatores primos do número 12, que

é o mmc de 4 e 6, com a decomposição em fatores primos do número 4 = 22 e do

número 6 = 2.3, observa-se que o número 12 é formado pela multiplicação dos

fatores comuns e não comuns apresentados na decomposição dos números 4 e 6,

tomados com o maior expoente.

Para a obtenção do mmc, pode-se a partir da decomposição em

fatores primos desses números, apresentar o método prático.

Cálculo do mmc pela decomposição em fatores primos:

� Decompondo separadamente os horários de ingestão do remédio A e remédio

B

Assim:

4 = 22 fator comum: 2; fator não comum: 3.

6 = 2.3

Fatores comuns e não-comuns apresentados nas decomposições, tomados

com o maior expoente: 22 e 31.

mmc (4,6) = 22.31 = 4.3 = 12

Remédio A

4 2

2 2

1

4 = 2.2 ���� 4 = 22

Remédio B 6 2

3 3

1

6 = 2.3

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A partir da decomposição em fatores primos, obtém-se o mmc de dois ou

mais números, multiplicando os fatores comuns e não-comuns apresentados nas

decomposições, tomados com o maior expoente.

� Decomposição conjunta para os horários de ingestão do remédio A e remédio

B, ou seja, para o mmc (4,6):

4, 6 2

2, 3 2 mmc (4,6) = 2.2.3 = 12

1, 3 3

1, 1

Ao fazer a decomposição simultânea, basta multiplicar os fatores primos obtidos na decomposição. c) Supondo que em virtude do horário que Maria das Dores chegou a sua casa

e para melhor estabelecer o horário com suas ativid ades diárias, resolvesse

tomar a primeira dose dos remédios às 8 horas da ma nhã, qual seria o próximo

horário em que Maria das Dores tomaria novamente os remédios A e B ao

mesmo tempo?

Observe o quadro elaborado para os dois remédios:

A questão afirma que Maria das Dores tomou a primeira dose dos

remédios (A e B) simultaneamente às 8 horas, e, quer saber o próximo horário que

isto poderá ocorrer. O que se pretende neste item é a interpretação do resultado

obtido, tanto pelo método prático utilizado para o cálculo do mmc quanto pela

sequência no quadro.

Remédio A

(4 em 4 horas) 8 12 16 20 24[0] 4 12 16 20 24[0] 4 8

Remédio B

(6 em 6 horas) 8 14 20 2 8 14 20 2 8 14 20 2

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Neste item nota-se um diferencial em relação ao item b, naquele, o

início do horário de tratamento, era 0 h e neste, 8 h.

Mas a questão é o próximo horário que Maria das Dores tomaria os

remédios simultaneamente. Pelo quadro o aluno responderia às 20 horas.

Pelo cálculo do mmc de 4 e 6, conforme já realizado no item b, o

valor obtido seria 12. Conforme já mencionado também na resolução do item b, o

número 12 representa o intervalo de tempo para que a paciente Maria das Dores

volte a tomar os dois remédios no mesmo horário.

Sendo assim, independentemente do horário que a paciente inicie o

tratamento ingerindo os dois remédios simultaneamente, é possível calcular o

intervalo de quando esse evento se repetirá? O que diferencia a resposta do item b

com a do item c?

Em ambos os itens, o intervalo de tempo para que a paciente volte a

tomar os dois remédios no mesmo horário é de 12 horas, o que muda é o horário de

início da ingestão dos medicamentos simultaneamente, que no item b corresponde a

zero hora e no item c às 8 horas, daí a resposta obtida nesse item ser: às 20 horas.

1.2. Apresentação de uma variação do problema gerad or para o conteúdo mmc

O problema apresentado será para que o professor possa avaliar a

compreensão dos alunos quanto aos elementos essenciais do conteúdo matemático

discutido no problema anterior.

No período de férias aumenta o número de usuários d o transporte coletivo em

uma cidade. As empresas sabendo disso disponibiliza m um número maior de

horários de ônibus para atender o aumento desta dem anda. A empresa “A”

disponibiliza um ônibus a cada 30 minutos, a empres a “B” a cada 15 minutos e

a empresa “C” a cada 45 minutos. Considerando que o s ônibus destas

empresas saiam juntos do terminal rodoviário às 13 horas e 30 minutos, qual o

próximo horário em que eles sairão juntos novamente ?

Possíveis resoluções para o problema

a) utilizando o método da decomposição separada

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Logo, mmc (15, 30, 45) = 2.32.5 = 90

Como 1 hora = 60 minutos, então 90 min = 1 h 30 min

Assim, como o horário de partida dos ônibus ocorreu às 13 horas e 30 minutos, logo, voltarão partir juntos novamente às 15 horas.

b) pelo método da decomposição simultânea.

Logo, mmc (15, 30, 45) = 2.3.3.5 = 90

Como 1 hora = 60 minutos, então 90 min = 1 h 30 min.

Assim, como o horário de partida dos ônibus ocorreu às 13 horas e 30 minutos, logo, voltarão partir juntos novamente às 15 horas.

2. Apresentação de um problema gerador para o conte údo de mdc

Em nossa cidade tem uma fábrica de tecidos. Na loja da fábrica é possível

comprar retalhos bem abaixo do preço em relação a o utras lojas. Após uma

venda, sobraram dois retalhos, um de medida 16 cm e outro de 24 cm, em

peças de tecidos de alta qualidade. Uma cliente se interessou por esses dois

retalhos e pediu a um funcionário que os cortasse e m pedaços de tecido de

Empresa: “A” 30 2

15 3

5 5

1

30= 2.3.5

Empresa: “B”

15 3

5 5

1

15 = 3.5

Empresa: “C”

45 3

15 3

5 5

1

45 = 3.3.5 45 = 32.5

15 30 45 2 15 15 45 3 5 5 15 3 5 5 5 5 1 1 1

mmc (15, 30,45) = 2.3.3.5 = 90

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mesmo comprimento, sendo este comprimento represent ado por uma medida

inteira, de modo que o comprimento fosse o maior po ssível, e, além disso, não

houvesse sobra de tecidos. O funcionário da loja fo i logo pegando o metro

para fazer a medida e cortar os tecidos. Parou, pen sou e pensou... E percebeu

que não era só ir medindo e cortando. “Estou com um problema!” Pensou o

funcionário. “Preciso de ajuda!” Que tal você ajudá -lo a resolver esse

problema?

2.1. Possíveis resoluções para o problema gerador:

O problema refere-se a dois retalhos de tecidos com medidas de 16 cm e 24 cm

que devem ser divididos de modo a serem obtidos pedaços de mesmo comprimento,

sendo este comprimento representado por uma medida inteira, de modo que o

comprimento seja o maior possível, e, além disso, não haja sobra de tecidos.

Uma das estratégias poderia ser a tentativa. Dividir ambos os

tecidos em pedaços de mesmo comprimento com medidas inteiras.

Por tentativas, poderia ser organizado o seguinte o quadro:

Comprimento (em cm) dos pedaços de tecidos após o corte 1 2 3 4 5 6 7 8

Número de pedaços obtidos a partir do tecido de 16 cm 16 8 5,3 4 3,2 2,6 2,2 2

Número de pedaços obtidos a partir do tecido de 24 cm 24 12 8 6 4,8 4 3,4 3

Ressalta-se que o número de pedaços obtidos deve corresponder a

um número inteiro, para que todos os pedaços tenham o mesmo comprimento e não

haja sobra de tecido.

Organizando o quadro apenas com números de pedaços inteiros,

temos:

Comprimento (em cm) dos pedaços dos tecidos após o corte 1 2 3 4 5 6 7 8

Número de pedaços obtidos a partir do tecido de 16 cm 16 8 4 2

Número de pedaços obtidos a partir do tecido de 24 cm 24 12 8 6 4 3

Valores não inteiros foram excluídos.

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Depois das divisões efetuadas, da organização do quadro pelos

alunos, eles seriam capazes de responder qual o comprimento de cada retalho e o

que ele representa?

Pelo quadro notariam que os retalhos teriam comprimento 8 cm, e

teriam 2 pedaços de tecido para o de 16cm e 3 pedaços para o de 24 cm. Ressalta-

se nesta estratégia, que o 8 estaria representando um divisor dos números 16 e 24.

Entende-se por divisor, um número natural não nulo, que ao dividir

outro número natural, produz uma divisão com resto igual a zero, isto é, produz uma

divisão exata.

O número 8, além de ser um divisor dos números 16 e 24, é o maior

divisor comum desses números, denominado máximo divisor comum (mdc).

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se

máximo divisor comum (mdc) o maior número que é divisor de todos eles.

A partir da formalização do conceito de divisores, outra estratégia

seria organizar os divisores de cada um desses números: 16 e 24, de outra maneira,

por exemplo:

D(16) = (1, 2, 4, 8,16)

D(24) = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

Desta forma, o número 8 é o maior divisor comum destes dois

números.

E a partir disso, poderia trabalhar com o método prático do máximo

divisor comum (mdc) e sua formalização.

Utilizando a decomposição em fatores primos, tanto na forma

separada como na simultânea, temos:

16 2

8 2 4 2 2 2

2

24 2

12 2

6 2

3 3

1

16 24 2

8 12 2

4 6 2

2 3 2

1 3 3

1

16

16 = 2x2x2x2 = 24

24 = 2x2x2x3 = 23x3

Conforme já se sabe: mdc (16,24) = 8

e 8 = 2x2x2 = 23

Assim, o mdc é o produto dos fatores comuns, tomados com o

menor expoente, no caso da decomposição separada.

Quanto à fatoração simultânea, corresponde ao produto dos fatores

primos que divide simultaneamente os números em questão.

Caso o número 1 seja o único divisor comum a um conjunto de

números naturais, dizemos que os números deste conjunto são primos entre si.

2.1 - Apresentação de uma variação do problema gera dor para o conteúdo mdc

O problema apresentado será para que o professor possa avaliar a

compreensão dos alunos quanto aos elementos essenciais do conteúdo matemático

discutido no problema anterior.

Uma fábrica produz balas de mesmo formato em três s abores diferentes: uva,

morango e abacaxi. Em cada pacote de bala produzido são colocadas balas de

um mesmo sabor e todos os pacotes possuem a mesma q uantidade de bala. A

fábrica precisa despachar a produção obtida em um d eterminado dia, que foi a

seguinte:

• sabor uva: 1800 pacotes.

• sabor morango: 1200 pacotes.

• sabor abacaxi: 3000 pacotes.

Para isso, os funcionários dessa fábrica precisam colocar o maior número de

pacotes de balas em caixas, de modo que cada caixa contenha a mesma

quantidade de pacotes de balas, apenas pacotes de bala de um mesmo sabor, e

não haja sobra de pacotes.

a) Qual o maior número de pacotes de balas de apena s um sabor que poderá

ser colocado em cada caixa?

17

b) Qual a quantidade necessária de caixas para desp achar toda essa

produção?

Possíveis resoluções para o problema:

a) Qual o maior número de pacotes de balas de apena s um sabor que poderá

ser colocado em cada caixa?

� Utilizando o método da decomposição separada

mdc (1800, 1200, 3000 = 23.31.52) = 600

Resposta: poderá colocar 600 pacotes em cada caixa.

� Utilizando o método da decomposição simultânea

mdc (1800,1200,3000) = 2.2.2.3.5.5 = 23.31.52 = 600

Resposta: poderá colocar 600 pacotes em cada caixa.

1800 1200 3000 2 900 600 1500 2 450 300 750 2 225 150 375 2 225 75 375 3 75 25 125 3 25 25 125 5 5 5 25 5 1 1 5 5 1 1 1

Sabor uva

1800 2 900 2 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 1800 = 23.32.52

Sabor morango

1200 2 600 2 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 1200 = 24.31.52

Sabor abacaxi

3000 2 1500 2 750 2 375 3 125 5 25 5 5 5 1 3000 = 23.31.53

18

b) Qual a quantidade necessária de caixas para desp achar toda essa produção ?

Resolução:

produção total de balas: 1800 + 1200 + 3000 = 6000

quantidade de pacotes de balas por caixa: 600

quantidade de caixas para despachar a produção: 6000 : 600 =10

Resposta: será necessário 10 caixas.

Avaliação

Na avaliação dos alunos podem ser levados em conta, aspectos como: a

participação e empenho nas tarefas feitas em grupos ou individualmente,

apresentação na planária (argumentação oral), produções escritas coletivas ou

individuais, e ainda o diálogo direto com os grupos. A partir desses critérios o

professor poderá ter pistas para intervenção na aprendizagem. Para o registro

desses e outros critérios, pode ser elaborada uma ficha ou outro meio que possibilite

mapeá-los.

Orientações/ recomendações (do uso da PDP aos profe ssores)

Orientamos que os professores desenvolvam as tarefas na perspectiva de

Resolução de Problemas apresentada na introdução do material. Ao trabalhar cada

problema, nessa perspectiva, já elencamos possíveis encaminhamentos e

formalizações para o conteúdo abordado.

Proposta de Avaliação do Material Didático

A Unidade Didática será avaliada no decorrer de sua aplicação, para isso, será utilizado um caderno de anotações, onde serão registrados os resultados obtidos.

Os pontos a serem analisados serão: se houve compreensão pelos alunos dos problemas propostos, se os objetivos foram atingidos, se os encaminhamentos propostos em cada problema auxiliaram na aprendizagem, quais fatores dificultaram e quais favoreceram o desenvolvimento desta Unidade Didática

19

e, enfim, quais as adequações necessárias para o melhoramento dessa proposta de trabalho.

Além disso, se a implementação dessa produção didático-pedagógica propiciou um trabalho coletivo, colaborativo e possibilitou aos alunos aplicar diferentes estratégias à resolução de problemas a fim de explorar conceitos e ideias matemáticas envolvidas no conteúdo que se pretendia trabalhar.

Indicações Bibliográfica

ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM , n.55, 2009.

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (Matemática ).Brasília: MEC/SEF, 199

ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12, p. 199-220.

ONUCHIC, L R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (orgs). Educação Matemática - pesquisa em movimento. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231.

PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

20

PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - D PPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

Contrato de Cessão Gratuita de Direitos Autorais

Pelo presente instrumento particular, de um lado DONIZETTI BALTAZAR CARVALHO , brasileiro, casado, professor, CPF nº 313.532.236-04, Cédula de Identidade RG nº 4.287.487-6 residente e domiciliado à Rua Dr. Nagib Daher, 1011 – apto 804, na cidade de Apucarana, Estado do Paraná, denominado CEDENTE, de outro lado a Secretaria de Estado da Educação do Paraná, com sede na Avenida Água Verde, nº 2140, Vila Izabel, na cidade de Curitiba, Estado do Paraná, inscrita no CNPJ sob nº 76.416.965/0001-21, neste ato representada por seu titular Flávio Arns, Secretário de Estado da Educação, brasileiro, portador do CPF nº….........................., ou, no seu impedimento, pelo seu representante legal, doravante denominada simplesmente SEED, denominada CESSIONÁRIA, têm entre si, como justo e contratado, na melhor forma de direito, o seguinte:

Cláusula 1ª – O CEDENTE, titular dos direitos autorais da obra RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA POSSIBILIDADE PARA O ENSINO DO MINIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM, cede, a título gratuito e universal, à CESSIONÁRIA todos os direitos patrimoniais da obra objeto desse contrato, como exemplificativamente os direitos de edição, reprodução, impressão, publicação e distribuição para fins específicos, educativos, técnicos e culturais, nos termos da Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de 1988 – sem que isso implique em qualquer ônus à CESSIONÁRIA.

Cláusula 2ª – A CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra autoral ao qual se refere a cláusula 1.ª deste contrato em qualquer tipo de mídia, como exemplificativamente impressa, digital, audiovisual e web, que se fizer necessária para sua divulgação, bem como utilizá-la para fins específicos, educativos, técnicos e culturais.

Cláusula 3ª – Com relação a mídias impressas, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra em tantas edições quantas se fizerem necessárias em qualquer número de exemplares, bem como a distribuir gratuitamente essas edições.

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Cláusula 4ª – Com relação à publicação em meio digital, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, em tantas cópias quantas se fizerem necessárias, bem como a reproduzir e distribuir gratuitamente essas cópias.

Cláusula 5ª - Com relação à publicação em meio audiovisual, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar e utilizar a obra, objeto deste contrato, tantas vezes quantas se fizerem necessárias, seja em canais de rádio, televisão ou web.

Cláusula 6ª - Com relação à publicação na web, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, tantas vezes quantas se fizerem necessárias, em arquivo para impressão, por escrito, em página web e em audiovisual.

Cláusula 7ª – O presente instrumento vigorará pelo prazo de 05 (cinco) anos contados da data de sua assinatura, ficando automaticamente renovado por igual período, salvo denúncia de quaisquer das partes, até 12 (doze) meses antes do seu vencimento.

Cláusula 8ª – A CESSIONÁRIA garante a indicação de autoria em todas as publicações em que a obra em pauta for veiculada, bem como se compromete a respeitar todos os direitos morais do autor, nos termos da Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de 1988.

Cláusula 9ª – O CEDENTE poderá publicar a obra, objeto deste contrato, em outra(s) obra(s) e meio(s), após a publicação ou publicidade dada à obra pela CESSIONÁRIA, desde que indique ou referencie expressamente que a obra foi, anteriormente, exteriorizada (e utilizada) no âmbito do Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação do Paraná – SEED-PR.

Cláusula 10ª – O CEDENTE declara que a obra, objeto desta cessão, é de sua exclusiva autoria e é uma obra inédita, com o que se responsabiliza por eventuais questionamentos judiciais ou extrajudiciais em decorrência de sua divulgação.

Parágrafo único – por inédita entende-se a obra autoral que não foi cedida, anteriormente, a qualquer título para outro titular, e que não foi publicada ou utilizada (na forma como ora é apresentada) por outra pessoa que não o seu próprio autor.

Cláusula 11ª – As partes poderão renunciar ao presente contrato apenas nos casos em que as suas cláusulas não forem cumpridas, ensejando o direito de indenização pela parte prejudicada.

Cláusula 12ª – Fica eleito o foro de Curitiba, Paraná, para dirimir quaisquer dúvidas relativas ao cumprimento do presente contrato.

E por estarem em pleno acordo com o disposto neste instrumento particular a CESSIONÁRIA e o CEDENTE assinam o presente contrato.

Curitiba, 03 de julho de 2011

______________________________________

22

CEDENTE

______________________________________

CESSIONÁRIA

______________________________________

TESTEMUNHA 1

______________________________________

TESTEMUNHA 2

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PARECER DO MATERIAL DIDÁTICO PROFESSORES PDE

1. IDENTIFICAÇÃO a) INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

b) PROFESSOR ORIENTADOR IES: MÁRCIA CRISTINA DE COSTA TRINDADE CYRINO

c) PROFESSOR PDE: DONIZETTI BALTAZAR CARVALHO d) NRE: APUCARANA e) ÁREA/DISCIPLINA: MATEMÁTICA f) TÍTULO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA POSSIBILIDADE PARA O ENSINO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM 2. CRITÉRIOS DE ANÁLISE

O professor orientador deverá emitir parecer com base nos seguintes critérios:

• Pertinência do material didático com o projeto do professor PDE. • Relação do material didático com área/disciplina de atuação do Professor

PDE. • Fundamentação teórica consistente. • Articulação entre a fundamentação teórica e o objeto de estudo. • Contribuição do material didático para a educação pública paranaense. • Viabilidade de implementação do material didático na escola. • Adequação do material à norma culta da Língua Portuguesa.

3. PARECER CONCLUSIVO

( ) Sou de parecer favorável quanto ao conteúdo, forma e adequação do texto à norma culta da Língua Portuguesa para fins de publicação.

( ) Sou de parecer desfavorável*.

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_____________________________, ____/____/_______ (Local) (Data)

_______________________________

Assinatura do Professor Orientador

*Preenchimento obrigatório da justificativa - item 4.

4. JUSTIFICATIVA: _____________________________, ____/____/_______ (Local) (Data) ____________________________

Assinatura do Professor Orientador