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ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALITICA

Determinantes

Introdução

Definição: Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.

As aplicações dos determinantes em matemática estão associados a:

Calculo da matriz inversa; Resolução de alguns tipos de sistemas lineares; Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos

vértices.

Determinante de uma matriz quadrada de 1ª Ordem

Dada uma matriz quadrada de ordem 1ª Ordem M = (a ij), seu determinante é dado por: det(M) = a11.

Exemplo:

Dada a matriz A = [3]1x1 o seu determinante é det A = 3


Dada a matriz M = [a11 a12a21 a22], por definição, temos que o determinante

associado a essa matriz é dada por: det(M) = a11.a22 – a12.a21.

Exemplo:

Profª Sueli Santos Página 1


Sendo M = [2 34 5], então det (M) = 2 . 5 – 3 . 4 = -2.

O determinante de uma matriz de ordem e é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.


Regra de Sarrus

Para determinantes de 3ª ordem usaremos um dispositivo prático conhecido como regra de Sarrus (lê-se “Sarrí).

O dispositivo consiste em:

1. Repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira;2. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente os elementos das outras duas “ diagonais”. Conservando o sinal dos elementos;3. Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direção da diagonal secundária, multiplicamos separadamente os elementos das outras diagonais, também trocando o sinal dos produtos.4. Somamos todos os produtos obtidos nos passos 2º e 3º.

Trocamos os sinais do produto Conservamos os sinais do produto


+ + +---

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sarrus_rule.png


Det A = - a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 –

- a12 . a21 . a33 + a11 . a22 . a33 +

+ a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32

Exemplo:

Calcular o seguinte determinante:

[1 2 −34 5 21 0 4 ] Aplicando a regra de Sarrus, temos:

Logo:

[1 2 −34 5 21 0 4 ] = - (-3 . 5 . 1) – (1 . 2 . 0) – (2 . 4 . 4) + (1 . 5 . 4) + (2 . 2 . 1) + (-3 . 4 . 0)

= 15 – 0 – 32 + 20 + 4 + 0 = 7



Exercícios

1) Calcule:

a) [2 53 8 ]

b) [−3 −2−5 −1 ]

c) [4 32 −1]

2) Calcule o valor de cada um dos determinantes:

a) [ 3 −7 24 1 −1

−2 2 3 ]b) [1 −1 1

2 1 −14 3 −3]

3) Determine o conjunto verdade das equações, aplicando regra de Sarrus:

a) [ 1 x 1−2 −4 24 8 3] = 0

b) [−3 4 x5 0 02 1 2 ] = 0





Cofator

Cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada é o resultado do produto de (-1)i + j pelo determinante Dij obtido eliminando-se a linha e a coluna do elemento aij:

Cof (aij) = (-1)i + j . Dij


Exemplos


Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada de ordem (n ≥ 2) é obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores.

Exemplo:

Calcular o determinante da matriz:

A = [1 −2 30 4 24 3 7]

Coluna escolhida

Vamos considerar a 1ª coluna, pois, tendo um elemento igual a zero, tornará mais fácil os cálculos:

det A = 1 . (-1)1+1 . [4 23 7] + 0 . (-1)2+1 . [−2 3

3 7 ] + 4. (-1)3+1 . [−2 34 2]

det A = 1 . 1 . 22 + 0 + 4 . 1 . (-16)det A = 22 – 64det A = - 42

Exercícios

1) Calcule os seguintes determinantes:

A = [ 3 4 2 15 0 −1 −20

−100

4303

]Profª Sueli Santos Página 7


B = [−2 3 1 70 −1 2 031

−40

5−2

1−1]

C = [1 −1 5 1000

300

270

1−14

]D = [0 a b 1

0a1

1ab

00a

0b0]

2) Resolva, em R, a equação [ x 0 0 3−100

x−10

0x

−1

01

−2] = 3.





Propriedades dos Determinantes

Em alguns casos, o cálculo de determinantes pode ser simplificado com o auxilio de algumas propriedades.

Fila Nula

Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz também é nulo.

Exemplos: A = [ 3 0 2−1 0 5−2 0 7] = 0 B = [4 9 −8 √5

013

0−14

0 0−2 31 1

] = 0

Filas Paralelas iguais

Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

[ 2 1 3 5−1 4 5 027

1831

5−3 ] = 0

Filas Paralelas Proporcionais



Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

[1 4 22 1 43 2 6 ]=[1 4 2 .1

2 1 2.23 2 2 .3]=0

Filas Paralelas com Combinações Lineares

Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas, então o seu determinante é nulo.

Exemplo:

a)

L1L2

L3=L1+L2[1 2 34 0 15 2 4 ] = 0

C1=¿2C2+¿C3

b) [2 −1 47 2 36 3 0 ]

c)

A 1ª coluna é uma combinação linear da 2ª coluna e da 3ª coluna, pois:

C1 = 2C2 + C3

Matriz Transposta



O determinante de uma matriz e o de sua transposta é igual.

Exemplo:

Det(A) = [1 2 32 1 22 4 3] = 9 Det(AT) = [1 2 2

2 1 43 2 3 ] = 9

Produto de uma fila por um escalar

Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplo:

[1 2 32 1 −13 2 1 ] = -4 multiplicando a primeira linha por 2 [1.2 2 3

2.2 1 −13.2 2 1 ]= -8

Troca de filas paralelas

Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

[1 2 32 1 −13 2 1 ] = - 4 trocando-se a primeira linha com a segunda [2 1 −1

1 2 33 2 1 ] = + 4

Matriz Triangular

Quando, em uma matriz, os elementos acima e abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:



[2 0 03 4 01 7 −1] = 2 . 4 . (- 1) = - 8

[1 2 −20 3 70 0 4 ] = 1 . 3 . 4 = 12

Produto de um escalar por toda a matriz

Quando todos os elementos de uma matriz é multiplicado por um escalar k o seu determinante fica multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz.

Exemplos:

A = [2 14 5] = 6 3A = [ 6 3

12 15] = 54

Det (k.A) = kn . det(A) = 54 = 3² . 6

Regra de Chió

A regra de Chió nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n – 1, de igual determinante. Para que a regra seja aplicada, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1 e de preferencia na posição a11.

Exemplos:

1) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante da seguinte matriz:



[ 1 2 3 02 5 1 −3

−3−4

1−6

2752

] = [ 5−2.2 1−2.3 −3−2.01−(−3) .2 2−(−3) .3 5−(−3) .0

−6−(−4).2 7−(−4).3 2−(−4).0] = [1 −5 −37 11 52 19 2 ]

aplicando a regra novamente, temos:

[1 −5 −37 11 52 19 2 ] = [11−7.(−5) 5−7.(−3)

19−2(−5) 2−2.(−3)] = [46 2629 8 ]= - 386

2) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de:

[3 7 41 2 −10 3 2 ] Vamos trocar a segunda com a primeira e em seguida aplicarmos a

Regra de Chio.

- [1 2 −13 7 40 3 2 ] = - [7−3.2 4−3.(−1)

3−0.2 2−0.(−1)] = - [1 73 2 ] = - (-19) = 19

3) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de:

[2 2 2 2222

223

233

333] Temos que dividir toda a primeira coluna por 2, daí:

2 . [1 2 2 2111

223

233

333] = [0 0 1

0 1 11 1 1] = 2. (-1) = - 2



Exercícios

1) Calcule, usando a regra de Chió:

a) [ 1 2 3−1 4 70 3 2]

b) [1 0 0 05 4 3 210

−31

20

0−1]

c) [0 1 3 0310

5−42

101

−101

]d) [ 4 2 11

−6 3 97 1 5 ]




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