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Conteúdo Capítulo 4 ...................................................................................................................................2

Capitalização Simples..............................................................................................................2

Exercícios ............................................................................................................................6

Resposta ............................................................................................................................ 14

Capitalização Composta ........................................................................................................ 16

Exercícios .......................................................................................................................... 17

Respostas ........................................................................................................................... 19

Capitulo 5 ................................................................................................................................. 20

Progressões ........................................................................................................................... 20

Progressão Aritmética (P. A.) ............................................................................................. 20

Exemplos ........................................................................................................................... 20

Exemplo 1.......................................................................................................................... 21

Exemplo 2.......................................................................................................................... 21

Exemplo 3.......................................................................................................................... 21

Classificação de uma PA .................................................................................................... 22

Fórmula do termo geral ...................................................................................................... 22

Soma dos termos de uma P. A. ........................................................................................... 24

Exercícios .......................................................................................................................... 27

Respostas ........................................................................................................................... 41

Progressão Geométrica (P. G.) ........................................................................................... 42

Cálculo do termo geral ....................................................................................................... 42

soma dos termos de uma PG finita ..................................................................................... 43

Exercícios .......................................................................................................................... 44

Respostas ........................................................................................................................... 48

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Capítulo 4

Capitalização Simples No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008). Juros Simples No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. (PUCCINI, 2004). Fórmulas Valor do juro simples - J

Ou 퐽 = 퐶. 푖.푛 Valor do montante simples - FV

Ou 푀 = 퐶(1 + 푖.푛) Valor Presente – PV

Ou 퐶 =

( . )

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Cálculo da taxa de juros simples – i

Cálculos do período em juros simples – n

Juros Simples Comerciais, ordinários ou bancários. Nos juros simples comerciais ou ordinários, para estabelecer a conformidade entre a taxa e o período utilizam-se o ano comercial. Logo, em juros comerciais todos os meses têm 30 dias e o ano têm 360 dias, não importando o calendário civil. Juros Simples Exatos Já os juros simples exatos apóiam-se no calendário civil para calcular o número de dias entre duas datas. Sendo que o mês segue o número de dias do calendário, e o ano civil possui 365 dias ou 366 em ano bissexto. Juros Simples pela regra dos banqueiros Os bancos geralmente utilizam uma combinação entre os conceitos de juros comerciais e exatos, denominado juros pela regra dos banqueiros. Sendo que para calcular o número de dias entre duas datas, utiliza-se o conceito de juros exatos, ou seja, calendário civil, já para calcular o número total de dias de um ano ou mês, utiliza-se o conceito de juros comerciais, ou seja, um mês têm 30 dias e um ano têm 360 dias. Este conceito é geralmente empregado em transações financeiras de curto prazo.

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Exemplos 1) (CESAR, 2000). Se R$ 3.000,00 foram aplicados por cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, determine: a) Os juros recebidos; b) O montante. Solução: a)

b)

2) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determinar a taxa anual de juros simples. Solução:

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3) (ASSAF NETO, 2001) Se uma pessoa necessita de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano? Solução:

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Exercícios 1) Calcular os juros ganhos por R$ 3000,00 aplicados por um ao à taxa simples 25% ao ano

2) Qual o montante de R$ 1600,00 aplicados por um ano à taxa simples de 50% ao ano

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3) Qual é a taxa simples que transforma R$ 4500,00 em um montante de R$ 8100,00 em um ano

4) Determinar a taxa simples para 22 de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% a. m.

5) Calcular o rendimento de R$ 12000,00 aplicado durante oito meses e três dias à taxa de juros simples de 40% a. a. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias)

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6) Calcular o rendimento de R$ 23000,00 aplicado por 14 dias à taxa simples de 2,5% a.m.

7) Qual é a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de R$ 1300,00 que produz apos um ano um montante de R$ 1750,00

8) Qual é a remuneração obtida por um capital de R$ 2400,00 aplicado durante 17 meses à taxa de juros simples de 60% a. a.

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9) Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

10) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

11) Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.

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12) A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?

13) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos

14) Um produto que a vista custa R$ 280,00 pode ser comprado com uma entrada de R$ 160,00 e mais um pagamento de R$ 127,80 para 25 dias. Determine a taxa mensal de juros simples cobrada nesta operação.

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15) É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?

16) Dois capitais, um de R$ 2.400,00 e outro de R$ 1.800,00, foram aplicados a uma taxa de juros simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu R$ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.

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17) Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 156.400,00. O mesmo capital diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples ganha.

18) Uma TV em cores tela plana é vendida nas seguintes condições: R$ 1.800,00 a vista ou a prazo com 30% de entrada mais R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

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19) Um capital de R$ 4.500,00 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% a. t., a segunda a juros simples de 6% a. t. e a terceira a juros simples de 10% a. t. Se o rendimento da primeira parcela for de R$ 160,00 e o rendimento das três parcelas totalizar R$ 1.320,00, calcular o valor de cada parcela.

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20) Duas pessoas tem juntas R$ 261.640,00 e empregam o que tem à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?

Resposta 1) R$ 750,00

2) R$ 2400,00

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3) 80% a. a.

4) 2,24% em 22 dias

5) R$ 3240,00

6) R$ 268,33

7) 34,61% a.a.

8) R$ 2040,00

9) i = 30% a. a.

10) J = R$ 1728,00

11) J = R$ 4380,00

12) i = 0,75% a. m.

13) M = R$ 7400,00

14) i = 7,8% a. m.

15) Indiferente

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16) i = 10% a. a. (0,833% a. m.)

17) R$ 108800,00 i = 25% a. a.

18) i = 3,65% a. m.

19) R$ 1000,00 R$ 1500,00 R$ 2000,00

20) R$ 174.406,00 e R$ 87.234,00

Capitalização Composta No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções significativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo. (KUHNEN, 2008). 2.1 Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. (BRANCO, 2002). 2.1.1 Fórmulas

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Calculo do valor do juro em capitalização composta

Cálculo do valor futuro em capitalização composta

Cálculo do valor presente em capitalização composta

Cálculo da taxa de juros em capitalização composta

Exercícios 1) A Juros compostos de 20% a. m., qual o montante de R$ 3500,00 em oito meses?

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2) Uma pessoa depositou R$ 2000,00 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais R$ 2500,00 e, dois meses depois desse último depósito, realiza uma retirada de R$ 1300,00. Qual será o saldo da poupança ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos ganha é de 15% a. m.?

3) A que taxa de juros um capital de R$ 13200,00 pode transformar-se em R$ 35112,26, considerando um período de aplicação de sete meses?

4) Quanto rende um capital de R$ 4000,00 aplicado por dez meses a juros efetivos de 2% a.m.?

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5) A que taxa de juros um capital de R$ 2000 obtém um rendimento de R$ 280,00 em dois meses?

6) Determinar o capital que, aplicado por sete meses a juros efetivos de 4% a.m., rende R$ 10000,00

Respostas 1) R$ 15049,37 2) R$ 6329,90 3) 15% a. m. 4) R$ 875,98 5) 6,77% a. m. 6) R$ 31652,40

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Capitulo 5

Progressões

Progressão Aritmética (P. A.)

Observe a sequência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7, ...)

Observe que cada termo, exceto o primeiro, equivale ao anterior adicionado a um número fixo: 2.

Sequências como essa são chamadas de progressões aritméticas.

Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r, denominada razão da progressão aritmética.

Exemplos

(2, 5, 8, 11, 14, ...) é uma PA de razão 3;

(10, 8, 6, 4, 2, 0, ...) é uma PA de razão -2.

Uma sequência é uma PA quando:

Genericamente:

, n

Note que em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a razão r:

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Genericamente:

Assim, para descobrimos qual é a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo qualquer de seu antecessor:

Exemplo 1

Qual a razão da PA ?

Resolução

A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Vamos calcular a diferença entre o 3º e o 2º termos:

Portanto, a razão dessa PA é .

Exemplo 2

A sequência (-2, 1, 4, 8) é uma PA?

Resolução A sequência é uma PA se, subtraindo de cada termo o seu antecessor, o resultado for constante.

1 – (-2) = 3

4 – 1 = 3

8 – 4 = 4

Portanto, a sequência (-2, 1, 4, 8) não é uma PA.

Exemplo 3

Determine x na PA .

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Resolução

A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Sendo assim, fazemos:

Logo, .

Classificação de uma PA

Uma PA pode ser:

Classificação Razão Exemplo

Crescente r > 0 (1, 5, 9, 13, 17, ...) r = 4 Decrescente r < 0 (7, 4, 1, -2, -5, ...) r = -3 Constante r = 0 (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) r = 0

Fórmula do termo geral

Já sabemos que numa PA:

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Note que podemos escrever todos os termos de uma PA em função de e r:

Portanto, o termo geral da PA será dado pela fórmula:

, n

= primeiro termo

= enésimo termo r = razão n = número de termos

Exemplo 1

Determine o termo geral da PA (-19, -15, -11, ...):

Resolução

O termo geral da PA (-19, -15, -11, ...) é .

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Exemplo 2

Determine o 16º termo da PA (3, 9, 15, ...):

Resolução

Portanto, o 16º termo da PA (3, 9, 15, ...) é 93.

Soma dos termos de uma P. A.

Considere a PA finita:

(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19).

Note que:

5 e 19 são extremos; 7 e 17 são termos equidistantes dos extremos; 9 e 15 são termos equidistantes dos extremos; 11 e 13 são termos equidistantes dos extremos.

Observe:

5 + 19 = 24 → soma dos extremos

7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade:

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

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Através dessa propriedade, podemos descobrir a fórmula para a soma dos n termos de uma PA:

Vamos considerar a PA finita . Podemos representar por a soma dos termos dessa PA.

Como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, a soma

da PA é dada pela soma dos extremos vezes a metade do número de termos , pois em cada soma estão envolvidos dois termos.

Assim, temos a fórmula da soma dos n termos de uma PA:

= soma dos n termos

= primeiro termo

= enésimo termo n = número de termos

Observação: Através dessa fórmula, podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA qualquer, basta determinarmos o número de termos que queremos somar.

Exemplo 1

Qual a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...) ?

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Resolução Primeiramente, temos de descobrir qual é o 10º termo dessa PA:

Conhecendo o valor do 10º termo, podemos calcular a soma dos 10 primeiros termosdessa PA:

Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...) é 145.

Exemplo 2

A soma dos n primeiros números pares positivos de uma PA é 132. Encontre o valor de n.

Resolução

Primeiramente, vamos descobrir qual é o enésimo termo :

Substituindo na fórmula da soma dos termos:

Portanto, a soma dos 11 primeiros números pares positivos é 132.

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Exercícios

1) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é:

a) 60

b) 59

c) 72

d) 80

e) 76

2) Qual o 10º termo de uma P. A., cujo primeiro termo é igual a 11e a razão é 6?

a) 65

b) 64

c) 63

d) 66

e) 67

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3) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

4) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

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5) (PCI Concursos) A sequência (a1 , a2 , a3 , ..., a20) é uma progressão aritmética de 20 termos, na qual a8 + a9 = a5 + a3 + 189. A diferença entre o último e o primeiro termo dessa progressão, nessa ordem, é igual a

a) 19

b) 21

c) 91

d) 171

e) 399

6) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por . A razão dessa PA é:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

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7) Numa P.A. o vigésimo termo é 157 e o primeiro termo é 5. Qual é a razão dessa P.A.?

8) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é:

a) 60

b) 59

c) 72

d) 80

e) 76

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9) Determine o número de termos de uma P.A. em que o primeiro e o último termo são respectivamente, 15 e 223. Adote razão igual a 8 e use a fórmula do termo geral.

10) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

a) 8ª

b) 7ª

c) 6ª

d) 5ª

e) 4ª

11) Encontrar o termo geral da P.A. (4, 7, ...).

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12) Numa P.A. a10 = 130 e a19 = 220. Calcular o quarto termo da P.A.

13) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13º termo desta PA é:

a) 195

b) 190

c) 27

d) 26

e) 25

14) Determinar o número de termos da P.A. (-3, 1, 5, ..., 113)

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15) (UFRGS) A PA (a1, a2, a3,...) tem razão r. A razão da progressão definida por bn = a5n é:

a) r + 5

b) 2.r

c) 5.r

d) r - 5

e) r/5

16) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?

17) (UFBA) Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.

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18) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é

a) 3a - 2

b) 3a - 1

c) 3a

d) 3a + 1

e) 3a + 2

19) Numa P.A. crescente de 5 termos, o último e o primeiro termos são, respectivamente, as raízes da equação x2 - 12x - 64 = 0. Calcule a razão dessa P.A.

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20) (UFRGS) A PA (a1, a2, a3, ? ) tem razão r. A razão da progressão definida por bn = a5n é

a) r

b) r + 5

c) 5r

d) r - 5

e) r / 5

21) A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:

a) 64376

b) 12846

c) 21286

d) 112

e) 61376

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22) (PUC-RS) Na sequência definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a:

a)

b)

c) 53

d) 265

e) 530

23) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma sequência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura:

Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possuía:

a) mais de 300 bolitas.

b) pelo menos 230 bolitas.

c) menos de 220 bolitas.

d) exatamente 300 bolitas.

e) exatamente 41 bolitas.

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24) O único valor de x que verifica a equação (x - 2) + (x - 5) + (x - 8) + .... + (x - 47) = 424 é:

1 - encontrar a razão.

2 - aplicar formula do termo geral e encontra n

3 - usar a formula da S

a) 51

b) 41

c) 31

d) 61

e) 71

25) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a

a) 5100

b) 5200

c) 5300

d) 5400

e) 5500

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26) (UFBA ) Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x

27) O único valor de x que verifica a equação (x - 2) + (x - 5) + (x - 8) + ? + (x - 47) = 424 é:

a) 51

b) 41

c) 31

d) 61

e) 71

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28) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a:

a) 5100

b) 5200

c) 5300

d) 5400

e) 5500

29) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

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30) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A + B é

a) 200.p.q

b) 200.(p + q)

c) 500.(p + q)

d) 5050.(p + q)

e) 5050.p.q

31) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos 100 primeiros múltiplos de q é B. O valor de A + B é

a) 200pq

b) 200(p + q)

c) 500(p + q)

d) 5050(p + q)

e) 5050pq

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Respostas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

a x x x x x

b x x x x x x

c x x x x x x

d x x

e x x

3) n = 118

7) r = 8

9) 27 termos

11) an = an-1 + 3

12) a4 = 70

14) 30 termos

16) n = 128

17) r = -1

19) r = 5

26) 60

Aulas particulares

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Progressão Geométrica (P. G.)

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos.

Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), temos q = 2.

Cálculo do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ...

a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 . qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 . (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 . (1/2)5-1 = 2 . (1/2)4 = 1/8

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe,

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também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é consequência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

soma dos termos de uma PG finita

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q, temos:

Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:

Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:

Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)

Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

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Exercícios

1) O sexto termo de uma P. G. é 1458. Se a razão é igual a 3, qual o terceiro termo?

a) 50

b) 51

c) 52

d) 53

e) 54

2) Uma dívida deverá ser paga em 7 parcelas, de modo que elas constituam termos de uma PG. Sabe-se que os valores da 3ª e 6ª parcelas são, respectivamente, R$ 144,00 e R$ 486,00. Determine:

a) o valor da primeira parcela.

b) o valor da última parcela.

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3) O 4º termo de uma PG é e o 1º termo é 4. Qual é o 2º termo dessa PG?

4) Dona Marta relacionou, desde o começo do ano, seus gastos semanais no supermercado, como mostra a o quadro, e assim por diante, durante as quatorze primeiras semanas do ano. Qual foi o total de gastos de dona Marta no período mencionado? (Use a aproximação 1,057 = 1,4.)

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5) Escreva três números em PG cujo produto seja 216 e a soma dos dois primeiros termos seja 9.

6) Calcule a soma dos oito primeiros termos de cada PG seguinte:

a) (81, 27, 9, ...)

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7) Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG (-2, 4, -8,...).

8) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4.000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

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9) Interpolando-se seis meios geométricos entre 20.000 e , determine:

a) a razão da PG obtida

b) o 4º termo da PG.

Respostas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a

b

c

d

e x

2) a) R$ 64,00 b) R$ 729,00

3) a2 = 2/5

4) S14 = R$ 1536,00

5) PG ( 3, 6, 12)

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6)

7) S6 = 42

8) Entrada = R$ 8.500,00

9) a) q = 1/10 b) a4 = 20