Modeling Consumer Decision Making and Discrete Choice Behavior

EconometriaHeterocedasticidadeConsequncias da violaoTestes para detectar heterocedasticidadeO que fazer? Erro padro robustoMQG

1EconometriaHeterocedasticidade2HeterocedasticidadeHiptese do modelo linear: erros so esfricos, ou seja, possuem varincia uniforme e no esto correlacionados entre si.

Matriz varincia-covarincia (N colunas e N linhas): termos diagonais so iguais e fora da diagonal so nulos homocedasticidade e inexistncia de auto-correlao.Violao das hiptesesQuando h heterocedasticidade, o termo de erro concebido como sendo retirado de uma distribuio diferente para cada observao.Se todos os termos fora da diagonal so zero, os erros so no correlacionados, ou seja, em amostras repetidas, no existe a tendncia de que o erro associado a uma observao esteja relacionado ao erro associado a qualquer outra observao. Quando isto no acontece, h auto-correlao entre os erros.Exemplo:.x x1x2yf(y|x)x3..E(y|x) = b0 + b1xMostrar a matriz de varincia-covarincia no quadro.

Neste caso, o modelo de regresso linear conhecido como Modelo de Regresso Linear Generalizado. (RLG)Econometria2. Consequncias7ConsequnciasExemplo: consumo uma funo do nvel de renda.Em nveis mais altos de renda, os consumidores podem ter comportamentos mais diferenciados da mdia.Erros associados a medio do consumo tambm podem ser maiores para nveis de renda mais altos.FAZER GRFICOValores absolutos mais altos dos resduos direita indicam um relacionamento positivo entre a varincia do erro e a varivel dependente.EMQO no viesado porque os erros positivos grandes so compensados por erros negativos grandes na amostragem repetida, os casos incomuns se cancelariam.Contudo, a variao da linha de regresso em torno da mdia ser maior.

ConsequnciasEstimadores de MQO ainda no so viesados.Inferncia: O estimador da varincia do EMQ viesado e no consistente. Estimativa de intervalo e o teste de hiptese estaro errados.Usualmente, o vis da varincia para baixo.Formas de correo: estimao robusta da varincia (estimadores da matriz varincia-covarincia consistentes com a heterocedasticidade elimina o vis assinttico).Ateno: o vis permanece para amostras pequenas!

ConsequnciasEficincia:Apesar do EMQ ser no viesado, no mais o estimador com varincia mnima dentre todos estimadores lineares no viesados.O EMQG o melhor estimador linear no viesado (BLUE). Este estimador mais eficiente.Reconhece explicitamente que os erros no so esfricos.MQG: minimizao de uma soma ponderada dos resduos ao quadrado (erros com varincias elevadas recebem peso menor e vice-versa).Econometria3. Testes para detectar heterocedasticidade11Testes grficosQuadrado dos resduos /Resduos so plotados junto com variveis independentes.Identificar se h uma relao funcional entre a varivel independente e os resduos.

Testes grficos

Testes grficos

Testes que usam os resduosEMQO consistente mesmo na presena de heterocedasticidade.Os resduos gerados do MQO se aproximam, de forma imperfeita, da heterocedasticidade presente na distribuio verdadeira dos termos de erro.Logo, os testes de diagnstico sero aplicados, quase sempre, nos resduos MQO.

Teste Godfeld-QuandtAs observaes so ordenadas cfe. a magnitude da varivel independente relacionada com o erro.

Diviso dos dados em dois grupos: Valores baixos da VI com baixa varincia.Valores altos da VI com alta varincia.

Se a varincia do erro for associada a esta varivel, a varincia mdia deve ser diferente entre esses dois grupos.Teste Godfeld-QuandtRegresses separadas razo de suas varincias de erros (F) se for 1, os erros so homocedsticos.

Teste Godfeld-QuandtSuponha que saiba que uma varivel independente responsvel pela maior parte da heterocedasticidade de seu modelo.Classifique os dados e divida em trs partes: retire a parte central dos dados.Exemplo: Banco de dados com 100 observaesCPS.dta (wages, educational level, years of experience, and unionization status of U.S. male workers).Teste Godfeld-QuandtExper a varivel independente com problemaRegresses separadas

Teste Godfeld-QuandtRegresses separadas

A razo entre os SSRs 1,0042845Inferior ao valor crtico = 1,8408717No rejeito a hiptese nula de homocedasticidade.

O teste de Breusch-PaganA varincia uma funo de uma combinao linear de variveis conhecidas.No observamos o erros, mas podemos utilizar suas estimativas: os resduos da regresso por MQO. HIPTESE NULA: modelo homocedstico. Aps fazer a regresso dos quadrados dos resduos em todos os xs, podemos utilizar o R2 para obter um teste F ou LM. A estatstica F simplesmente a estatstica F da significncia da regresso: F = [R2/k]/[(1 R2)/(n k 1)], que tem distribuio Fk, n k 1. A estatstica LM LM = nR2, que tem distribuio c2kExemplo Verificar a heterocedasticidade em uma equao simples de preos de imveis.Aps fazer a regresso original, geramos os resduos e o quadrado destes resduos em todos os xs (Gravar Resduos Quadrados cria uma nova varivel no banco de dados chamada usq1).

25Exemplo

P-valor baixo, forte evidncia contra a hiptese nulaLM = 88.(0,1601)=14,09P-valor =~0,0028O teste de WhiteO teste de Breusch-Pagan ir detectar formas de heterocedasticidade lineares. O teste de White permite no-linearidades por utilizar quadrados e produtos cruzados de todos os xs. Basta computar a estatstica F ou LM para testar se todos os xj, xj2 e xjxh so conjuntamente significativos.Problema: se muitos regressores, usa muitos graus de liberdade e o teste pode ter rejeitado a hiptese nula pela existncia de erro de especificao (omisso de varivel).

Forma alternativa do teste de White Suponha que o valores ajustado por MQO, , funo de todos os xs. Logo, 2 ser funo dos quadrados e produtos cruzados e, portanto, e 2 sero proxies para todos os xj, xj2 e xjxh; ento: Faa a regresso dos resduos ao quadrado em e 2 e use o R2 para obter a estatstica F ou LM. Agora o teste para apenas 2 restries.

28Exemplo

29Exemplo

30Exemplo

LM=88.(0,0392)P-valor 0,178

hettest idade

Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: idade

chi2(1) = 45365.98 Prob > chi2 = 0.0000Importante ...Erros estranhos tambm podem ser interpretados como erros de especificao.Omisso de variveis relevantes significaria que o termo de erro na equao mal especificada incorpora a influncia desta varivel omitida.Econometria4. O que fazer?33Usar erro padro robusto

Usar erro padro robusto

Matriz varcovar robustaComo estimar Var[b|X] = 2 (XX)-1 XX (XX)-1

2 XX = 2 ijij xi xj

Formas de estimar:The White estimatorNewey-West.

Erros-padro robustos Agora que temos uma estimativa consistente da varincia, sua raiz quadrada ser uma estimativa do erro-padro. Tais erros-padro so chamados de erros-padro robustos. s vezes a varincia estimada corrigida pelos graus de liberdade, pela multiplicao por n/(n k 1). Quando n , essa correo faz pouca diferena. Erros-padro robustos (cont.) importante lembrar que esses erros-padro robustos tm justificativa apenas assinttica com amostras pequenas, as estatsticas ts obtidas com os erros-padro robustos no tero distribuio prxima da t, e as inferncias no sero corretas. No Gretl, no stata, h a opo de se calcular tais erros-padro robustos.Mnimos quadrados ponderados Embora seja possvel estimar os erros-padro robustos para os estimadores de MQO, se soubermos alguma coisa sobre a forma especfica da heterocedasticidade, poderemos obter estimadores mais eficientes que os de MQO. Como devemos especificar a natureza da heterocedasticidade, o processo de estimao mais trabalhoso. A idia bsica transformar o modelo em outro cujos erros sejam homocedsticos. Exemplo de mnimos quadrados ponderados Suponha que a heterocedasticidade seja dada por Var(u|x) = s2h(x). h(x) uma funo das variveis explicativas e determina a forma da heterocedasticidade, ou seja, como a varincia depender de x.h(x) > 0 , pois a varincia positiva e h(x) conhecida.O parmetro populacional s2 no conhecido, mas pode ser estimado atravs do uso dos dados. Exemplo de mnimos quadrados ponderadosNeste caso, a varincia do erro proporcional ao nvel de renda.Quanto maior o nvel de renda, maior a varincia do termo de erro, ou seja, maior a variabilidade da poupana.

Exemplo de mnimos quadrados ponderadosComo usamos a informao sobre o formato da heterocedasticidade para estimar os parmetros do modelo e fazer inferncia?Modelo original heterocedstico:

Temos que transformar esta equao de forma que os erros virem homocedsticos.

Exemplo de mnimos quadrados ponderadosE(ui/hi|x) = 0, pois hi apenas uma funo de x, e Var(ui/hi|x) = s2. Logo, se dividirmos toda a equao por hi, teremos um modelo com erros homocedsticos.

Exemplo de mnimos quadrados ponderadosPodemos obter os estimadores de tal forma que as propriedades de eficincia destes estimadores MQO sejam melhores do que no modelo anterior com presena de heterocedasticidade. No exemplo da poupana:

O novo modelo satisfaz as hipteses do modelo linear clssico.Mnimos quadrados generalizados A estimao da equao transformada por MQO um exemplo de mnimos quadrados generalizados, MQG. MQG ser BLUE neste caso. MQG igual aos mnimos quadrados ponderados, MQP (ou WLS, em ingls) onde cada resduo ao quadrado ponderado pelo inverso da Var(ui|xi).Mnimos quadrados ponderados (cont.) A idia minimizar a soma dos quadrados ponderados por 1/hi. D-se menos peso para as observaes com maior varincia. MQO timo se conhecermos Var(ui|xi). Mas, em geral, no a conhecemos.MQG Factvel Quando no conhecemos a forma da heterocedasticidade, precisamos estimar h(xi). Em geral, iniciamos com uma hiptese flexvel, tal como: Var(u|x) = s2exp(d0 + d1x1 + + dkxk) Precisamos, ento, estimar os d s.MQGF (cont.) Nossa hiptese implica que u2 = s2exp(d0 + d1x1 + + dkxk)v, onde E(v|x) = 1; ento se E(v) = 1: ln(u2) = a0 + d1x1 + + dkxk + e, onde E(e) = 1 e e independente dos xs. Agora, podemos substituir u por , e estimar a equao por MQO.

MQGF (cont.) A estimativa de h obtida por = exp(); o peso ser o inverso dessa estimativa.

Resumindo: Faa a regresso por MQO da equao original, salve os resduos, , eleve-os ao quadrado e tire o log. Faa a regresso de ln(2) em todas as variveis independentes o obtenha o valor ajustado . Faa a regresso por MQP utilizando 1/exp() como ponderador.Observaes sobre MQP Lembre-se que utiliza-se MQP apenas por eficincia, pois MQO continua no tendencioso e consistente.

As estimativas sero diferentes devido a erros amostrais, mas se forem muito diferentes, ento alguma outra hiptese de Gauss-Markov tambm deve estar sendo violada.51Exemplo Banco de dados: food.gdtRelacionar gastos em alimentos com a renda mensalDefinir a varivel peso: 1/x (inverso da renda).Cada varivel, inclusive a constante, multiplicada pela raiz quadrada do peso.Modelo: outros modelos lineares\mnimos quadrados ponderadosExemplo

MQGF Heterocedasticidade tem uma forma especfica. Heterocedasticidade multiplicativa:

A varivel explicativa z determina como a varincia muda para cada observao. Defina

Estima os parmetros por MQO e usa o valor predito para calcular o peso.

Exemplo54

Exemplo55

Salva os resduos ao quadrado e tira o log destes.ExemploTira exponencial dos valores preditos (acha h). Ache o peso (w=1/h)56

Exemplo Rode MQP57

Exemplo58

Observaes sobre MQP Lembre-se que utiliza-se MQP apenas por eficincia, pois MQO continua no tendencioso e consistente. As estimativas sero diferentes devido a erros amostrais, mas se forem muito diferentes, ento alguma outra hiptese de Gauss-Markov tambm deve estar sendo violada.