Econometria - Adriano Figueiredo

Econometria Prof. Adriano M. R. Figueiredo

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ECONOMIA

Econometria Prof. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo

Verso de 21/01/20081

CUIAB - MT

1 Os direitos de reproduo pertencem ao autor e requer citao apropriada.


2

SUMRIO

1. Introduo.......................................................................................................................... 3 2. Pressuposies do Modelo de Regresso Linear Clssico ................................................ 4

2.1. Pressuposio 1: A relao entre Y e X linear......................................................... 6 2.2. Pressuposio 2: O erro aleatrio tem mdia zero ..................................................... 9 2.3. Pressuposio 3: O erro aleatrio tem varincia constante (presena de homocedasticidade) ............................................................................................................... 9 2.4. Pressuposio 4: Os erros aleatrios so independentes (ou no autocorrelacionados) ............................................................................................................ 10 2.5. Pressuposio 5: As variveis explicativas so no aleatrias (so fixas) ............... 11 2.6. Pressuposio 6: O erro tem distribuio normal, com mdia zero e varincia constante: ............................................................................................................................. 11 2.7. Pressuposio 7: Ausncia de relao linear exata entre as variveis explicativas (no multicolinearidade) .................................................................................. 12

3 Estimao ........................................................................................................................ 13 Anexo 1: Estimao utilizando matrizes no Excel: ............................................................. 19 Anexo 2: Exerccios: ............................................................................................................ 20

4 Violaes nas Pressuposies Clssicas do Modelo de Regresso Linear ..................... 24 4.1. Pressuposio 1: A relao entre Y e X linear....................................................... 24 4.2. Pressuposio 2: O erro aleatrio tem mdia zero ................................................... 31 4.3. Pressuposio 3: O erro aleatrio tem varincia constante (presena de homocedasticidade) ............................................................................................................. 37 4.4. Pressuposio 4: Os erros aleatrios so independentes (ou no autocorrelacionados) ............................................................................................................ 53 4.5. Pressuposio 5: As variveis explicativas so no aleatrias (so fixas) ............... 65 4.6. Pressuposio 6: O erro tem distribuio normal, com mdia zero e varincia constante: ............................................................................................................................. 65 4.7. Pressuposio 7: Ausncia de relao linear exata entre as variveis explicativas (no multicolinearidade) .................................................................................. 68 4.8. Resumo ..................................................................................................................... 72

5 Referncias Bibliogrficas .............................................................................................. 73 6. Programas Recomendados .............................................................................................. 73


3

1. Introduo

A Econometria como a utilizao da estatstica aplicada economia tem como

instrumento fundamental a anlise de regresso, que consiste na obteno dos parmetros para

uma dada relao existente entre as variveis dependentes e independentes.

Na regresso linear simples (RLS), estima-se a relao existente entre apenas 2

variveis, uma dependente (endgena ou explicada), Y, e uma independente (exgena ou

explicativa ou explicadora), X, como uma funo matemtica qualquer: Y = f (X).

Na regresso linear mltipla (RLM), estima-se a relao existente entre mais de duas

variveis: Y = f (X1, X2, ..., Xn).

O modelo a ser estimado normalmente possui componente aleatrio, requerendo a

incluso de um erro que captar os efeitos das variveis importantes para explicar Y, mas que

no esto no modelo. Representa-se ento, o efeito das demais variveis explicativas por um

termo aditivo ui, denominado resduo ou erro. O modelo torna-se:

cuja expresso geral matricial

em que uma matriz de parmetros a serem estimados (incluindo o intercepto e os

coeficientes angulares) e um vetor de resduos ou erros aleatrios.

O formato matricial linear aberto ser:

1 11 1 0 1

2 21 2 1 2

1

1

1

1

k

k

n n nk k n

Y X X

Y X X

Y X X

= +

L

L

M M M O M M M

L

Portanto, tm-se as matrizes assim nomeadas:

1 11 1 0 1

2 21 2 1 2

1 x 1 x 1 1 x 1 x 1

1

1

1

k

k

n n nk k nn n ( k ) ( k ) n

Y X X

Y X XY ; X ; ;

Y X X+ +

= = = =

L

L

M M M O M M M

L

A disperso dos pontos em torno da reta o resultado de um grande nmero de

pequenas causas, cada uma delas produzindo um desvio positivo (+) ou negativo (). O desvio

ser a diferena entre o valor observado e o valor estimado da varivel dependente do modelo.

Portanto, tem-se ui devido a:

omisso de variveis


4

problemas de especificao

erros de medida da varivel dependente

Pode-se dizer que Y nunca pode ser previsto exatamente. Portanto, para cada valor de

X, existe uma distribuio de probabilidade dos valores de Y, com mdia

e varincia constante 2.

O objetivo da anlise de regresso estimar uma curva atravs da nuvem de pontos do

diagrama de disperso, sendo que a forma da curva deve ser pressuposta pelo pesquisador.

Neste caso, a teoria a respeito da relao estudada, a anlise da disperso dos pontos e os

estudos anteriores acerca desta relao ajudaro nesta definio.

2. Pressuposies do Modelo de Regresso Linear Clssico

O modelo clssico de anlise de regresso construdo com base numa srie de

pressuposies referentes ao comportamento da populao. Estas pressuposies so descritas

no Quadro 1. Conhecidas essas pressuposies, ser possvel estimar os parmetros do

modelo, assim como a matriz de varincia e covarincia dos mesmos e a respectiva matriz

para os resduos.


5

Quadro 1. Pressuposies do Modelo de Regresso Linear Clssico Normal

Pressuposio

Expresso Matemtica* Problema (o que acontece se as

pressuposies no forem atendidas) Notao Escalar Notao Matricial

1. Relao Linear Yi=0 + 1 Xi1 + ... + k Xik + i

em que i =1, 2, 3,..., n Y = X +

No linearidade, Erro de especificao dos Xs

2 . Mdia do erro zero E(i) = 0 para todo i E() = 0, onde e 0 so vetores nX1 Erro de especificao

3. Varincia do erro constante E(i) = , para todo i E() = I

Heterocedasticidade

4. Erros independentes E(ij) = 0, i j Autocorrelao

5. Variveis explicativas so no-estocsticas ou fixas

X1, X2, ..., Xk so fixos Cov(Xij, i) = 0

p/ j= 1, 2, 3, ..., n

A matriz X no-estocstica Cov(X, ) = 0

Erros nas variveis, Varivel dependente defasada,

Relaes simultneas

6. Independncia linear entre as variveis explicativas

Ausncia de relao linear entre os Xs

Posto de X igual ao seu nmero de colunas, isto ,

(X) = p < n Multicolinearidade

7. Erro tem distribuio normal i ~ N (0, )

i = 1, 2, 3, ..., n ~ N (0, I) Erros no-normais

* Em que Y = [Yi] um vetor nX1 das observaes da varivel dependente; X = [Xij] uma matriz nXp das observaes das variveis independentes; = [i] um vetor nX1 dos erros aleatrios; = [j], j = 0, 1, 2, ..., k um vetor pX1 de parmetros a serem estimados; a varincia do erro, tambm a ser estimada; I uma matriz identidade de ordem mXn; k o nmero de variveis independentes; p = K + 1 o nmero de parmetros; n o nmero de observaes; E significa valor esperado ou esperana matemtica. Agradeo a Andrea Francisca Conceio Mendes pela digitao desta tabela.


6

A seguir faz-se a descrio rpida das pressuposies do modelo clssico de regresso.

2.1. Pressuposio 1: A relao entre Y e X linear

Forma funcional

Esta pressuposio em princpio implica na considerao de uma reta estimada, ou seja,

uma funo linear nas variveis do tipo

0 1 1 2 2i i i k ki iY X X X= + + + + + K ou pela forma matricial:

Y = X + em que Y o vetor de variveis explicadas, X uma matriz de variveis explicativas

(incluindo uma coluna de uns para o intercepto) e um vetor de resduos aleatrios.

Entretanto, deve-se atentar para outros tipos de linearidades implcitas na

pressuposio. Tm-se os seguintes tipos de linearidades: linearidade das variveis

explicativas (X) e linearidade dos parmetros (). A no-linearidade nas variveis s vezes

pode ser contornada por transformaes nas variveis, mas a no-linearidade dos parmetros

mais complicada e requer outros mtodos de estimao no-lineares.

fcil imaginar que o comportamento de um fenmeno econmico no segue a

relao retilnea, como por exemplo, as tradicionais relaes de oferta e demanda no

necessariamente sero retas que se cruzam. muito mais fcil admitir que o comportamento

de variveis econmicas seja curvilneo.

Quando as variveis explicativas so elevadas a alguma potncia diferente de um, a

funo que relaciona o comportamento dessas variveis com a varivel explicada ser

diferente de uma reta e os estimadores tradicionais de Mnimos Quadrados Ordinrios

(M.Q.O.) no mais sero vlidos.

Existem modelos que so chamados de intrinsecamente lineares, ou que podem se

tornar lineares por transformao das variveis. O caso mais comum na literatura econmica

o de funes do tipo Cobb-Douglas, ou seja,

= eXXAXY 332

21

1

em que os parmetros podem assumir valores diferentes de um e, ainda, tem-se a

multiplicao de variveis explicativas. A funo acima pode ser linearizada transformando-

se as variveis em logaritmos, obtendo:

lnY = lnA + 1.lnX1 + 2.lnX2 + 3. lnX3 +


7

ou, simbolizando o ln por *:

++++= *33*22

*110

* XXXY

A funo linearizada pode ser estimada da forma tradicional lembrando que os

parmetros estimados sero agora da funo transformada, que no caso log-log (Cobb-

Douglas), equivalem s elasticidades. A funo transformada pode ser vista como linear nos

parmetros (os parmetros so todos em primeira potncia) e nas variveis transformadas

(X*=lnX).

Outros modelos no podem ser transformados e so os chamados intrinsecamente no-

lineares. Por exemplo, possvel perceber que a funo abaixo no pode ser linearizada:

+++= eeeAY 2513 X4X

21

Esses modelos devem ser estimados por Mnimos Quadrados No-Lineares ou

Mxima Verossimilhana No-Linear.

Algumas formas funcionais utilizadas em economia da produo podem ser:

Cobb-Douglas logaritmizada: =

+=n

1iii0 xlogaaylog

CES: =

+=n

1iii0 xaay

Generalizada Leontief: = ==

++=n

1i

n

1jjiij

n

1iii0 xxaxaay

Translog: = ==

++=n

1i

n

1jjiij

n

1iii0 xlogxlogaxlogaaylog

Quadrtica: = ==

++=n

1i

n

1jjiij

n

1iii0 xxaxaay

A utilizao de uma forma mais complexa em detrimento de uma mais simples

depender da disposio dos dados e do rigor cientfico desejado. A funo Cobb-Douglas de

modo geral oferece um ajustamento satisfatrio e fcil de executar. As funes elasticidade

de substituio constante (CES), Generalizada Leontief, Transcendental Logartmica e

Quadrtica so generalizaes da funo Cobb-Douglas para contornar pressuposies


8

econmicas de substitutibilidade dos fatores e produtos ou ainda de concorrncia perfeita,

entre outras situaes.

Juntamente ao problema da forma funcional (linearidade dos parmetros e variveis),

quando se especifica um modelo, automaticamente esto sendo cometidos outros dois tipos de

erros que podero ou no comprometer a anlise. Um est associado omisso de uma

varivel relevante e outro associado incluso de varivel irrelevante.

Omisso de varivel relevante

Imagine que a reviso de literatura, reviso terica, indique que a quantidade

demandada (Q) de um produto seja funo do preo do produto (P) e da renda (R), e que o

comportamento da demanda do produto analisado na realidade est em conformidade com a

teoria. O modelo correto seria:

(A) Qt = 0 + 1.Pt + 2.Rt + t*

em que os so parmetros estimados e o resduo aleatrio.

Imagine agora que, por algum motivo, estimou-se a demanda em funo apenas do

preo do produto, fazendo:

(B) Qt = 0 + 1.Pt + t.

em que so parmetros e as demais variveis como anteriormente citadas.

A questo : quais as conseqncias sobre os estimadores de M.Q.O. (ou sobre os

estimados)? Qual o efeito sobre 0 e 1 em razo da excluso de R do modelo?

Se Pt for altamente correlacionado com Rt, a retirada de Rt trar um alto vis (alta

tendenciosidade) e os parmetros estimados sero muito diferentes do valor esperado:

estimado E()

ou seja, os parmetros estimados sero inconsistentes e no limite E() .

Os testes de hipteses no sero vlidos e as estimativas de varincias tambm sero

tendenciosas.

Incluso de varivel irrelevante

Imagine agora a situao inversa: o modelo estimado contempla mais variveis

explicativas do que as que deveriam estar no modelo correto. Imagine que o modelo deveria

ter apenas P e que foi estimado com P e Z, sendo Z uma varivel irrelevante no modelo.

(A) Qt = 0 + 1.Pt + t. modelo correto

(B) Qt = 0 + 1.Pt + 2.Zt + t* modelo estimado

e que Z no tem relevncia terica.

A questo : quais as conseqncias de , em razo da incluso de Zt, sobre ?


9

As conseqncias da incluso de uma varivel irrelevante sero menos problemticas

que no caso da omisso de uma varivel relevante. Primeiro, a presena das variveis

irrelevantes no viesa as outras estimativas. Segundo, aumentam-se a varincia dos

parmetros e o desvio-padro. Tende, portanto, a fazer com que seja no significativo,

mas aumenta o coeficiente R2.

2.2. Pressuposio 2: O erro aleatrio tem mdia zero

Significa que o erro tem uma distribuio de probabilidade centralizada em zero (com

mdia zero). O erro o efeito das variveis que no consigo explicar no modelo. A mdia

pode ser considerada como o valor esperado do erro, ou seja,

E (i) = 0 , i = 1, 2, ..., n

Ou na forma matricial,

E() = 0

Dado que E() = 0, ento E(Y) = E[ X + ] = E[ X] +E[ ] = E[ X] + 0

Portanto, E(Y) = X e o modelo fornece solues adequadas estatisticamente. Essa

pressuposio importante para ter confiana na estimao por = (XX)-1XY. Caso os

erros no tenham mdia zero, o estimador = (XX)-1XY ser tendencioso.

2.3. Pressuposio 3: O erro aleatrio tem varincia constante (presena de homocedasticidade)

A varincia calculada com base no valor esperado do quadrado da diferena entre a

mdia e o valor esperado da mdia. Ou seja, a definio estatstica

V(ei) = E [ei E (ei)]2

V(ei) = E (ei2) = 2 (populacional) para todo i

ou seja, presena de Homocedasticidade nos resduos. A presena da homocedasticidade

implica que a varincia para todos os resduos a mesma.

O caso contrrio ser:

V(ei) = E (ei2) = i

2 presena de Heterocedasticidade

O problema de heterocedasticidade tpico de dados de seo cruzada. Pode

significar, por exemplo, uma heterogeneidade da amostra. A disperso dos valores para cada


10

observao diferente entre as observaes. A amostra vem de uma populao onde os erros

no so homogneos.

2.4. Pressuposio 4: Os erros aleatrios so independentes (ou no autocorrelacionados)

Neste caso pressupe-se que os erros de uma observao no afetam os erros do

perodo seguinte, e assim sucessivamente.

COV(ei ,ej) = E { [ei E(ei)] [ej E(ej)] }

E (ei, ej) = 0, i j

esta pressuposio denominada ausncia de autocorrelao. A violao desta

pressuposio um problema tpico de sries temporais.

Quando se trabalha com ajustamentos de sries temporais, essa pressuposio em geral

no obedecida, visto que nas sries temporais como, por exemplo, as sries de preos, de

salrios e de produo tm no seu comportamento o reflexo de movimentos cclicos e/ou

sazonais.

Algumas causas da autocorrelao nos resduos esto relacionadas a variveis no-

especificadas no modelo, forma funcional inadequada e inrcia temporal no fenmeno.

A principal conseqncia da violao desta pressuposio a ineficincia dos

estimadores de M.Q.O. mas, continuam no-tendenciosos. Nesta situao, da mesma forma

que para a heterocedasticidade, melhor utilizar o mtodo de Mnimos Quadrados

Generalizados (M.Q.G.).

2.4.1 Investigao acerca da Matriz de Varincia e Covarincia dos resduos

A anlise da Matriz de Varincia e Covarincia dos resduos, doravante chamada de

Var-cov(), permite interpretar as pressuposies de presena de homocedasticidade dos

resduos e presena da no autocorrelao dos resduos numa mesma matriz.

Seja o vetor de resduos do tipo:

1

2

x 1n n

=

M


11

Ento, sua transposta ser: [ ]1 2 1 x n n' = L . Assim, a matriz var-cov() ser:

( ) ( )

( )

1

2

21 2 1

22 1 2

21 2

2

22

2

0 0

0 0

0 0

n

n

n

n n

Var Cov E E

E I E

= =

= =

L

L

M M O M

L

L

L

M M O M

L

Assim, ao escrever que var-cov() = 2.I, ao mesmo tempo se diz que as varincias so

homocedsticas iguais a 2 (diagonal principal tem todos os valores iguais a 2, i=j) e que as

autocorrelaes entre resduos de observaes distintas so nulas (valores nulos fora da

diagonal principal, ij).

2.5. Pressuposio 5: As variveis explicativas so no aleatrias (so fixas)

Neste caso, pressupem-se fixos os valores da varivel explicativa e observa-se o que

ocorre com a varivel dependente. Se o X aleatrio, mas independente do erro, pode-se

mostrar que os parmetros estimados sero no-tendenciosos.

Entretanto, se as variveis explicativas e os termos aleatrios forem correlacionados,

haver inconsistncia dos estimadores de mnimos quadrados ordinrios. Deve-se utilizar o

estimador de variveis instrumentais. O mtodo de Variveis instrumentais prev que

= (ZX)-1ZY , e Z uma matriz de instrumentos independentes dos erros aleatrios.

2.6. Pressuposio 6: O erro tem distribuio normal, com mdia zero e varincia constante:

Esta pressuposio pode ser especificada da forma:

i N (0, 2) , i = 1, 2, ..., n

As conseqncias associadas a no-normalidade dos resduos so parmetros

estimados no-normais e no ser possvel fazer os testes de hipteses com distribuies

baseadas na normal, como os usuais testes t e F para avaliar a qualidade dos


12

ajustamentos, e para construir intervalos de confiana para os parmetros conforme exposto

ao longo do curso.

Os estimadores continuam sendo os Melhores Estimadores Lineares No-

Tendenciosos (MELNT).

2.7. Pressuposio 7: Ausncia de relao linear exata entre as variveis explicativas (no multicolinearidade)

Considere a matriz de variveis explicativas como composta por colunas das variveis

X1, X2, ... , Xn e ainda uma coluna de 1 para incluir o intercepto.

A pressuposio prev a no existncia de qualquer relao linear, como por exemplo,

X1 = 2.X2

X1 + 3.X2 = X5

No mtodo de mnimos quadrados ordinrios, a existncia de uma relao linear entre

os Xs representa uma reduo no posto da matriz (X) e o determinante de XX ser prximo

de zero. No caso de uma relao linear exata, haver uma singularidade perfeita na matriz

XX e seu determinante ser prximo de zero.

Como o mtodo de mnimos quadrados ordinrios prev a inverso da matriz XX, o

determinante prximo de zero far com que os parmetros sejam indeterminados. A matriz

(XX)-1 no existir e no ser possvel estimar o modelo.

O problema da correlao entre as variveis explicativas pode ser visto da seguinte

maneira:

1) ausncia de correlao ou ausncia de multicolinearidade: a regresso mltipla d o mesmo

resultado que as regresses simples quando as correlaes parciais entre as variveis

explicativas forem nulas;

2) correlao perfeita ou multicolinearidade perfeita: a relao linear perfeita entre os Xs

causa a indeterminao de = (XX)-1XY pois (XX)-1 singular;

3) alto grau de correlao entre os Xs ou multicolinearidade imperfeita: multicolinearidade

Multicolinearidade: problema relacionado com fortes correlaes entre as variveis

explicativas no modelo de regresso


13

O enfoque diferente das outras pressuposies: um problema da amostra, enquanto

as outras pressuposies se referiam mais ao erro e populao, enquanto esta se refere mais

amostra. No se trata, portanto, de testar a pressuposio, mas sim de pensar como lidar com

o problema.

Conseqncias da multicolinearidade:

Tericas: conseqncias sobre as propriedades dos estimadores de M.Q.O.; a

multicolinearidade no afeta em nada as propriedades dos estimadores de M.Q.O.,

que continuam os melhores estimadores lineares no-tendenciosos (MELNT);

Prticas:

1. aumenta as varincias dos parmetros estimados:

aumenta V() = s2(XX)-1

(XX)-1 = (1/|XX|) . Adj(XX)

como |XX| 0 => (XX)-1 e V()

2. aumenta erro-padro

3. reduz t => induz no-significncia => estarei aceitando o fato de que ela

no importante no modelo em virtude da multicolinearidade

4. Estimativas muito sensveis: tirando uma ou duas observaes, as estimativas

alteram muito => melhor ter um modelo onde as alteraes no alteram

muito as estimativas, uma certa estabilidade do modelo em termos de

magnitudes e sinais

3 Estimao

A estimao dos parmetros do modelo linear pressupe a satisfao aos pressupostos

bsicos anteriormente mencionados. O princpio que norteia os clculos obter valores de

parmetros que minimizem a Soma do Quadrado dos Resduos - SQRes.

Ou seja, para o modelo

FORMA ALGBRICA: Min i2 = (Yi 0 1X1i 2X2i)

2

FORMA MATRICIAL: Min ou Min SQRes


14

O problema matemtico de otimizar, ou seja, minimizar um produto de um vetor

linha por um vetor coluna. Portanto, deriva-se e iguala a zero obtendo a soluo para o vetor

de parmetros. Segue abaixo:

( ) ( )

( ) 1

2 2 0

' Y X Y X

' Y Y Y X X Y X X

( ' ) X Y X X

X X X Y

X X X Y

=

= +

= + =

=

=

Portanto, o estimador dos parmetros pelo mtodo de Mnimos Quadrados Ordinrios

(MQO) :

( ) 1(k+1 x 1) X X X Y =

Assim, com as matrizes X e Y posso obter os parmetros estimados.

O estimador da varincia dos resduos ser s2, para os (n-p) Graus de Liberdade (GL =

nmero de observaes, n, menos o nmero de parmetros, p):

2 SQRes SQRese esn p n p G.L.

= = =

A matriz de varincia-covarincia dos parmetros ser:

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

1

1 1 1

1

1

1 1

1 1

Var Cov( ) E

mas

X X X Y

X X X X X X X X X X X

I . X X X

X X X

Var Cov( ) E X X X X X X

Var Cov( ) E X X X X X X

=

=

= + = +

= +

=

=

=

Mas como X so fixas, independentes dos resduos, o valor esperado se reduz a:

Sistema de equaes normais dos mnimos quadrados

Vlida para no multicolinearidade de X


15

( ) [ ] ( )( ) ( )

1 1

1 12

Var Cov( ) X X X E X X X

Var Cov( ) X X X IX X X

=

=

Ou seja,

( ) ( )

( )

( )

( )

1 12

12

12

12

Var Cov( ) X X X X X X

Var Cov( ) I X X

Var Cov( ) X X

ou

Var Cov( ) s X X

=

=

=

=

Desta forma, tem-se as equaes essenciais para a estimao. Segue quadro resumo

abaixo, com os estimadores de MQO.

Quadro 2. Estimadores de Mnimos Quadrados Ordinrios.

( )

( )

1

2

12

SQRes SQRes

X X X Y

e es

n p n p G.L.

Var Cov( ) s X X

=

= = =

=

O valor dos erros padres dos parmetros sero obtidos a partir da raiz da varincia

dos parmetros, ou seja, tirando-se a raiz da diagonal principal da var-cov().

Os parmetros devem ter anlise de significncia, por meio de um teste de hiptese do

tipo t-Student:

0

1

0

0

j

j

j

j

calculado n p

G.L.

H :

H : ( bilateral )

t ~ t

s

=

=

Os softwares economtricos em geral disponibilizam o valor da probabilidade (p-

value) associado ao valor de t calculado. Desta forma, pode-se comparar com nveis

predeterminados de significncia para rejeitar ou no a hiptese nula. Em geral, costuma-se

observar os p-values comparando a 10%, 5% ou 1% para concluir a respeito da hiptese nula.

Espera-se, para que a varivel X tenha efeito no-nulo sobre Y, que rejeite-se a hiptese nula

e que assim, os valores calculados dos parmetros permitam uma interpretao econmica

deste efeito.

Estimadores dos parmetros

Estimador da var-cov dos resduos

Estimador da var-cov dos parmetros


16

Para auxiliar o entendimento, possvel decompor a variao de Y como abaixo:

Variao total = variao explicada por X + variao no-explicada

: variao devida regresso

SQTot=SQReg + SQRes

Em que SQTot a soma dos quadrados totais (relativa variao total), SQRes a

soma do quadrado dos resduos (relativa variao no explicada) e SQReg a soma dos

quadrados da regresso (relativa variao explicada por X).

( )

( )

22 2 2 2

2

22 2

SQTot 2

SQRes

SQReg

SQTot SQReg + SQRes

i i i i i i

i

i i

y y y e e Y Y Y Y nY

e e' e Y Y X Y

y Y Y Y Y nY

= = + + = =

= = =

= = =

=

O coeficiente de determinao (R2 R-squared) utilizado para avaliar quanto da

variao total explicada. Define-se como:

Y

X

+ (reta estimada)


17

Seu intervalo de variao de zero a um em condies normais: 0 < R2 < 1.

Se SQRes=SQT ento R2=0.

Se SQRes 0 ento R2=1.

Ou seja, mede quanto da Variao de Y est sendo explicada por Variaes de X, ou

seja, mede a qualidade do ajustamento. Procura-se estimar um modelo com o maior R2

possvel. Em geral, acredita-se ter um modelo bem ajustado para valores maiores que 0,8, mas

sempre se deve ter cautela quanto a esses indicadores usualmente aceitos.

Na forma matricial, o clculo ser;

22

2 21

X Y nY Y Y X YR

Y Y nY Y Y nY

= =

Outro indicador til, principalmente para comparaes entre modelos o R2 ajustado

(adjusted R-squared). Ele recebe este nome, pois se faz um ajustamento de SQRes e de SQTot

quanto aos graus de liberdade da respectiva variao. Assim, tem-se:

( )

( )

2

SQResn-p

1SQTot

n-1

R =

Em gral, quanto maior o nmero de variveis X, maior o valor de R2, mas para o R2

ajustado esta regra no vale. Justamente para evitar a incluso equivocada de variveis

explicativas que se usa o R2 ajustado. Assim, a incluso de uma varivel irrelevante poder

elevar o valor de R2, mas no necessariamente elevar o valor de R2 ajustado.

Se n for grande e p pequeno em relao a n, a diferena entre 2R e

2R ser pequena.

Se n for pequeno e p grande em relao a n, a diferena entre ambos pode ser grande e o valor

ajustado ser mais importante.

Outro indicador o Teste F da regresso (F-statistic). Procura-se saber se o modelo

tem suporte estatstico. o Teste de significncia global da regresso: os Xs em conjunto

explicam Y de forma significativa. A hiptese nula de que todos os parmetros em conjunto

so nulos. A Hiptese alternativa prev pelo menos um parmetro no nulo.

0 1 2

1

0 0 0

0k

i

H : , ,...,

H : pelo menos um

= = =

Define-se a estatstica de teste como:


18

1

SQRegp-1

SQResn-p

p ,n p

G.L.

F ~ F =

Se Fcalculado > Ftabelado , ento rejeita-se H0 e concluo pela existncia de ao menos um X

explicando Y. Deseja-se um P-value (F de significao) menor que 10%, 5% ou 1%,

similarmente ao teste de t dos parmetros.

Esses indicadores em geral so obtidos em todos os softwares economtricos ou

estatsticos. Pode-se mencionar alguns: Excel, Eviews, Stata, SAS, SPSS, Gauss, MatLab,

TSP. Alguns sites podem auxiliar ao leitor:

http://www.oswego.edu/~economic/econsoftware.htm

http://www.economics.ltsn.ac.uk/software/econometrics.htm

http://emlab.berkeley.edu/eml/index.shtml

O anexo apresenta rotinas para execuo dos clculos usando matrizes no Excel. Um

software bastante interessante, plataforma livre e com verso em portugus o GRETL, no

link: http://gretl.sourceforge.net/gretl_portugues.html .


19

Anexo 1: Estimao utilizando matrizes no Excel:

1. Entrada dos dados:

a. Digitar matriz de dados X e Y no Excel i. Gujarati p.279 X(10x2) e Y(10x1)

2. Copiar X e colar especial selecionando transpor, fazendo X (2x10) 3. Fazer multiplicao X.X (2x10).(10x2) = XX(2x2)

a. Seleciona a rea de sada (2x2) b. Inserir frmula matemtica Matriz.mult

i. Matriz 1 = X ii. Matriz 2 = X

c. Teclar OK d. Teclar F2 e. Teclar Shift+Control+Enter todas ao mesmo tempo para aparecerem todos os

dados da matriz XX (2x2) i. Gujarati p.284

4. Fazer inversa de XX fazendo (XX)-1

a. Selecionar rea de sada (2x2) b. Inserir frmula matemtica Matriz.inverso c. Matriz = XX d. Teclar OK e. Teclar F2 f. Teclar Shift+Control+Enter todas ao mesmo tempo para aparecerem todos os

dados da matriz (XX)-1 (2x2) i. Gujarati p.285

5. Fazer XY (2x10).(10x1) = XY(2x1)

a. Selecionar rea de sada (2x1) b. Inserir frmula Matriz.mult

i. Matriz 1 = X ii. Matriz 2 = Y

c. Teclar OK d. Teclar F2 e. Teclar Shift+Control+Enter todas ao mesmo tempo para aparecerem todos os

dados da matriz (XY) (2x1) i. Gujarati p.285

6. Clculo de beta estimado

a. Betaest = (XX)-1(2x2) (XY)(2x1) = (XX)-1(XY)(2x1)

i. Selecionar sada 2x1 ii. Inserir frmula Matriz.mult

1. matriz 1 = (XX)-1 2. matriz 2 = (XY)

b. Teclar OK c. Teclar F2


20

d. Teclar Shift+Control+Enter todas ao mesmo tempo para aparecerem todos os dados da matriz (betaest) (2x1)

i. Gujarati p.285

7. Para obter Matriz de var-cov(betaest) fazer a. ' = YY betaest. XY

i. Calcular YY pela funo Matriz.mult ii. Calcular betaest. XY pela funo Matriz.mult

1. matriz 1 = betaest 2. matriz 2 = XY

iii. Fazer diferena i ii b. Calcular sigma quadrado: s2 = /(n-k)

i. n-k = graus de liberdade c. Calcular var-cov(betaest) = s2.(XX)-1 (2x2)

i. Fazer multiplicao de escalar por cada elemento de (XX)-1

8. Fazer a raiz quadrada dos elementos da diagonal, obtendo os erros padres dos parmetros estimados: utilizar a funo RAIZ() do Excel.

9. Calcular o valor de t fazendo t = betaest/erropbeta . O valor da probabilidade do teste

pode ser obtido pela funo estatstica do Excel, fazendo DISTT(t;n-p;2) que retornar o valor da probabilidade para P(t> t) para o valor t, para n-p graus de liberdade e 2 caudas (bicaudal).

10. Calcular R2

a. R2 = SQE/SQT = (betaest.XY n.Y 2)/(YY - n.Y 2) i. Y = mdia de Y

b.

1n

SQTpn

sReSQ

1

1n

SQT1p

SQE

R 2

=

=

c. )GL(pn,1pF~

pn

sReSQ1p

SQE

F

=

Anexo 2: Exerccios:

1. De acordo com a metodologia economtrica, responda verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) A heterocedasticidade um problema no modelo de regresso clssico pois altera os

erros-padres dos parmetros.

( ) A expresso ( ) YXXX ''1= permite o clculo dos parmetros por MQO.

( ) A existncia de resduos autocorrelacionados implica em interdependncia entre os mesmos.

( ) A aceitao da hiptese nula do teste t-Student dos parmetros implica na existncia de efeitos da varivel X sobre Y no modelo Y = f(X) +


21

( ) sempre desejvel acrescentar variveis ao modelo de regresso at o limite de dez regressores.

( ) A expresso para obteno dos parmetros por Mnimos Quadrados Ordinrios,

( ) YXXX '' 1= pode ser utilizada para um modelo logaritmizado linear. ( ) A pressuposio de no-autocorrelao dos resduos implica em covarincias nulas

entre os mesmos. ( ) A estimao realizada pela Ferramenta de Anlise de Dados de Regresso no Excel

fornece os mesmos parmetros estimados que em ( ) YXXX ''1= .

( ) A idia bsica da estimao economtrica obter os parmetros de tal forma que a soma dos erros seja, na mdia, nula, e a soma de seus quadrados seja mnima.

( ) A expresso para obteno dos parmetros por Mnimos Quadrados Ordinrios,

( ) YXXX '' 1= refere-se a um modelo linearizado qualquer. ( ) A heterocedasticidade dos resduos implica em varincias constantes dos resduos ao

longo da amostra. ( ) A estimao realizada pelas operaes matriciais no Excel fornecem os mesmos

parmetros estimados que a Ferramenta de Anlise de Dados de Regresso do referido software.

( ) A especificao do modelo no precisa ser feita antes da estimao, pois as vezes ser necessrio excluir alguma varivel do modelo.

( ) A fase de estimao do modelo consiste em determinar os parmetros da equao estimada.

( ) Todo modelo estimado pode ser utilizado para fazer previses da varivel explicada. ( ) A econometria pode favorecer todas as reas da economia, pois sempre possvel

explicar tudo que se quer com a econometria. ( ) O modelo de regresso linear simples um caso especfico do modelo de regresso

linear mltiplo, podendo estimar os parmetros matricialmente nos dois casos. 2. Cite e comente a pressuposio de linearidade do modelo de regresso clssico. 3. O mtodo de estimao de Mnimos Quadrados Ordinrios um dos mais utilizados para estimar parmetros economtricos. Explique o que significa e o raciocnio por trs desse mtodo. 4. Cite e comente a pressuposio de presena de homocedasticidade dos resduos do modelo de regresso clssico. 5. Suponha que se tem dados municipais para o modelo lnQi = o + 1.lnJUROSi1 + 2.lnRDi2 + i, em que Q a quantidade demandada de moeda no municpio i, em milhares de reais; JUROS a taxa de juros interbancria (CDI) em valores nominais; RD a renda disponvel per capita em reais; s so parmetros do modelo e o erro aleatrio tal que ~ N(0,s2). Pergunta-se: a) Como voc faria para obter os valores dos s num ambiente computacional do Microsoft

Excel? Quais os passos necessrios para execuo da estimao? b) possvel fazer por meio matricial? Quais os passos necessrios para execuo da

estimao? 6. Seja um exemplo da verso modificada da Curva de Phillips macroeconmica, relacionando o ndice de salrios como varivel dependente (W) como funo dos preos (IGP), da taxa de desemprego (U) e do produto nacional bruto (PNB) como variveis independentes. O modelo ser do tipo: tt3t2t10t UPNBIGPW ++++= . Interprete os resultados abaixo e avalie comparativamente os dois resultados. Fonte: dados mensais


22

de W, U e IGP-DI, coletados no www.ipeadata.gov.br e realizaram-se mdias anuais. O PIB per capita anual foi obtido diretamente do mesmo site. Dependent Variable: LOG(W) Method: Least Squares Date: 03/22/06 Time: 11:05 Sample: 1980 2004 Included observations: 25

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -17.74151 3.737840 -4.746459 0.0001 LOG(IGP) -0.020270 0.002273 -8.918010 0.0000 LOG(PIB) 2.450833 0.407685 6.011589 0.0000 LOG(U) 0.425183 0.068249 6.229885 0.0000

R-squared 0.818600 Mean dependent var 5.414171 Adjusted R-squared 0.792686 S.D. dependent var 0.181513 S.E. of regression 0.082646 Akaike info criterion -2.002847 Sum squared resid 0.143439 Schwarz criterion -1.807827 Log likelihood 29.03559 F-statistic 31.58878 Durbin-Watson stat 1.724283 Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: W Method: Least Squares Date: 03/22/06 Time: 11:10 Sample: 1980 2004 Included observations: 25


C -290.8117 327.1702 -0.888870 0.3841 IGP -0.326847 0.193898 -1.685664 0.1067 PIB 0.046182 0.034176 1.351321 0.1910 U 21.07782 8.048040 2.619000 0.0160

R-squared 0.255609 Mean dependent var 228.0943 Adjusted R-squared 0.149268 S.D. dependent var 40.64528 S.E. of regression 37.48923 Akaike info criterion 10.23163 Sum squared resid 29514.30 Schwarz criterion 10.42665 Log likelihood -123.8954 F-statistic 2.403666 Durbin-Watson stat 0.607152 Prob(F-statistic) 0.096187

7. Seja um exemplo do PIB Real (REALGDP) como funo do Consumo Real (REALCONS), Investimento Real (REALINVS), Gastos Reais do Governo (REALGOVT), e Transaes Lquidas Reais com o Exterior (REALINT), OBS a varivel de tendncia. Encontre o R2, R2 ajustado, os coeficientes, erros-padres e valores de t para completar os resultados e analise-os a seguir:


23

Dependent Variable: REALGDP Method: Least Squares Date: 03/09/06 Time: 08:29 Sample: 1950:1 2000:4 Included observations: 204


REALCONS 1.123936 44.48754 0.0000 REALINVS 0.516396 0.044046 11.72401 0.0000 REALGOVT 0.538837 0.056164 9.594029 0.0000

REALINT 1.089732 -1.558385 0.1207 OBS 1.928942 0.370999 0.0000

C 121.9011 24.04763 5.069154 0.0000

R-squared Mean dependent var 4562.646 Adjusted R-squared S.D. dependent var 2113.962 S.E. of regression 40.65281 Akaike info criterion 10.27698 Sum squared resid 327224.9 Schwarz criterion 10.37458 Log likelihood -1042.252 F-statistic 109744.5 Durbin-Watson stat 0.246057 Prob(F-statistic) 0.000000


24

4 Violaes nas Pressuposies Clssicas do Modelo de Regresso Linear

O modelo clssico de anlise de regresso construdo com base numa srie de pressuposies

referentes ao comportamento da populao. Estas pressuposies foram descritas nas sees

anteriores e aqui se discute principalmente a forma de testar a hiptese e a operacionalizao da

soluo.

4.1. Pressuposio 1: A relao entre Y e X linear

Deteco do problema:

Entre outros estes, o teste RESET de Ramsey (1969)2 um dos mais aplicados na literatura.

O nome vem do pesquisador Ramsey para o Regression Specification Error Test ou teste de erro de

especificao da regresso (No Eviews, ver na janela da equao o teste de estabilidade (Stability

Tests) e definir o nmero de termos estimados).

O teste baseado na regresso aumentada

Y = X + Z +

em que X so as variveis explicativas e Z so variveis dependentes estimadas e elevadas a uma

potncia

Z = [ Yest2 Yest3 Yest4] exemplo para trs fitted terms (termos acrescentados na regresso

aumentada).

A idia olhar a significncia dos para ver se os termos acrescentados so relevantes no

modelo, indicando erro de especificao.

Procedimento do teste:

1) estima-se Y = X +

2) obtm-se os valores previstos de Y e gera-se Yest2 Yest3 ou mais se

desejar. Recomenda-se no mximo at 3 termos, ou seja, at Yest4.

3) Ajusta-se a regresso aumentada, colocando-se os X e as variveis do item 2 :

Y = f ( X, Yest2, Yest3 )

4) Com as regresses de 1 e de 3, observam-se os valores de R2 novo (de 3) e R2

velho (de 1) e calcula-se a estatstica de teste:

2Ramsey, J. B. (1969) Tests for Specification Errors in Classical Linear Least Squares Regression Analysis, Journal

of the Royal Statistical Society, Series B, 31, 350371.


255) Estatstica de Teste;

(p) mod

1

)( 2

22

elonovonoparametrosnmeron

R

msregressorenovosdenmero

RR

Fnovo

velhonovo

=

F ~ Fm,n-p m o nmero de novos regressores

n-p o nmero de observaes menos o nmero de parmetros no

novo modelo

6) Comparar o F do item 5 com o F da tabela, para o nvel de significncia,

numerador m e denominador n-p. Como a hiptese nula de que no h

erro de especificao, espera-se que a hiptese nula no seja rejeitada, ou

seja, que F seja muito pequeno.

O teste RESET indica apenas se o modelo est especificado incorretamente, mas no diz

qual seria a soluo. A soluo para um problema seria incluir outras variveis relevantes no

modelo, retirar as irrelevantes, ou mudar a forma funcional. Portanto, o bom senso indica que

melhor incluir variveis do que excluir, pois a excluso pode causar vis, enquanto a incluso tende

a melhorar o modelo, a no ser pela possibilidade de no-significncia dos parmetros.

Implementao no Eviews:

No Eviews, aps a estimao dos parmetros, abre-se a janela da equao e depois clica-se

em View, e posteriormente em Stability Tests. A opo do teste RESET aparecer em outra janela

perguntando quantos termos ajustados sero includos (fitted terms). O aluno deve estabelecer

quantos termos (sugere-se at 3) e clica-se em ok. O programa gerar a estatstica de teste RESET

de Ramsey, mas aqui a hiptese nula um pouco diferente do teste calculado anterior, pois o

programa testa se todos os parmetros so zeros, o que indicar que no h erro. Portanto, se a

probabilidade de F do Eviews for abaixo do nvel de significncia (por exemplo, 10%) (F alto),

pode-se dizer que rejeita-se a hiptese nula e existe um erro de especificao. Se o F for baixo,

aceita-se que =0 e, portanto, no h erro de especificao.

No exemplo, mostra-se que existe erro de especificao.

Tabela 1. Exemplo de sada do Eviews para o Ramsey RESET Test.

Ramsey RESET Test:

F-statistic 5.281559 Probability 0.001932 Log likelihood ratio 15.74446 Probability 0.001279


26

Test Equation: Dependent Variable: QSOJA Method: Least Squares Date: 06/06/03 Time: 14:57 Sample: 1988:09 1998:05 Included observations: 117


FERTILIZANTE 304.1298 135.0469 2.252031 0.0263 TRATOR 18591.29 8231.767 2.258481 0.0259

MO 115237.7 51069.36 2.256493 0.0260 C -230604.7 101861.3 -2.263908 0.0255

FITTED^2 2.664804 1.165269 2.286857 0.0241 FITTED^3 -0.005642 0.002453 -2.300025 0.0233 FITTED^4 4.43E-06 1.92E-06 2.302617 0.0232


Outra forma olhar os diferentes modelos e comparar o R2 ajustado. Quanto mais prximo

de 1 melhor ser a estimao. deficiente para o caso de varivel omitida.

Outras opes so observar os coeficientes do critrio de Akaike e Schwarz, fornecidos na

sada da estimao do Eviews. Menores coeficientes AIC e SIC indicam melhores ajustamentos da

regresso, mas s podem ser comparados se as unidades das variveis das diferentes regresses

forem as mesmas (por exemplo, no se aplica numa comparao entre Y e outra com LogY). Deve-

se olhar todos os critrios para melhor anlise dos resultados.

O Critrio de Informao de Akaike (ou AIC de Akaikes Information Criterion) ou o

Critrio de Informao de Schwarz ou Bayesiano (ou SIC de Schwarzs Information Criterion ou

em alguns livros BIC de Bayesian Information Criterion) so expressos no Eviews da forma j

logaritmizada como:

em que k o nmero de regressores incluindo-se o intercepto; n o nmero de observaes; l o

log Verossimilhana da regresso; e so os resduos estimados do modelo.


27No formato mais simplificado exposto por Greene (2002), tem-se:


28Anexo

Fazendo o teste RESET para investigar se existe erro de especificao:

1) fazer a estimao original a ser testada


292) na janela Equation, entrar em View, Stability Tests, Ramsey Reset Test como na figura a seguir:

3) na janela RESET Specification, colocar o nmero de variveis a serem adicionadas no teste (nmero de variveis dos valores previstos de Y)

entesucessivamassim

3 digitar ento (FITTED^4)Ye (FITTED^3) Ye (FITTED^2) Yapenas inserirse

2 digitar ento (FITTED^3)Ye (FITTED^2) Yapenas inserirse

1 digitar ento (FITTED^2) Yapenas inserirse

432

32

2

O RESULTADO SAIR CONFORME A LTIMA IMAGEM A SEGUIR


30


31

4.2. Pressuposio 2: O erro aleatrio tem mdia zero

A maior dificuldade que no existe teste formal para essa pressuposio. similar a um

erro de especificao do modelo, como por exemplo, com variveis relevantes omitidas do modelo.

O modelo com uma correta especificao provavelmente no ter problemas com mdia dos

resduos no nula.

Normalmente se faz o teste simples de H0: mdia igual a zero para investigar a violao

ou no da pressuposio. Valores elevados para a probabilidade indicaro a aceitao da hiptese

nula e confirmao da pressuposio.


32Anexo:

Roteiro para testar mdia dos resduos nula:


33Tabela dos resduos

observao observado previsto resduos obs Actual Fitted Residual

1971Q3 11484.0 10943.9 540.083 1971Q4 9348.00 9417.85 -69.8452 1972Q1 8429.00 9502.75 -1073.75 1972Q2 10079.0 9184.43 894.568 1972Q3 9240.00 8884.84 355.164 1972Q4 8862.00 9288.01 -426.006 1973Q1 6216.00 7311.47 -1095.47 1973Q2 8253.00 7595.20 657.800 1973Q3 8038.00 8297.50 -259.501 1973Q4 7476.00 7559.49 -83.4900 1974Q1 5911.00 5955.55 -44.5506 1974Q2 7950.00 6004.86 1945.14 1974Q3 6134.00 6802.14 -668.142 1974Q4 5868.00 6544.46 -676.458 1975Q1 3160.00 3992.40 -832.395 1975Q2 5872.00 5035.14 836.855


34Na janela do Workfile, na serie Resid, possvel fazer o teste t para a mdia dos erros igual a

zero:


35

Na janela View da Series: Resid, escolher a opo Tests for Description Stats, Simple

Hypothesis Tests:

A janela do simple Hypothesis tests permitir especificar se a mdia igual a zero,

especificando zero e teclando ok:


36

Hypothesis Testing for RESID Date: 03/16/06 Time: 17:12 Sample: 1971Q3 1975Q2 Included observations: 16 Test of Hypothesis: Mean = 0.000000

Sample Mean = -4.16e-16

Sample Std. Dev. = 0.144606 Method Value Probability t-statistic -1.15E-14 1.0000

Como o valor da probabilidade implica na aceitao da hiptese nula, ou seja,

H0: mdia = 0


37

4.3. Pressuposio 3: O erro aleatrio tem varincia constante (presena de homocedasticidade)

A presena de heterocedasticidade no gera vis ou tendenciosidade nos parmetros

angulares. Entretanto, os parmetros de M.Q.O. no sero os mais eficientes (pois o M.Q. O.

superestimar o verdadeiro erro-padro e presena de heterocedasticidade) e a estimao

dever ser feita por Mnimos Quadrados Generalizados (M.Q.G.), que consiste em um

M.Q.O. para variveis transformadas que satisfazem as hipteses usuais de mnimos

quadrados. A mecnica passa pela diviso de todas as variveis, por exemplo, pelo respectivo

desvio-padro do resduo, ou caso o desconhea, pela varivel explicativa correlacionada ao

resduo.

Procede-se da seguinte forma. Primeiro realiza-se o teste de Glejser, que entre outros

como o de Goldfeld-Quandt, apresenta-se mais eficiente e auxilia na implementao da

correo do problema. Esse teste permite que se indique a exata relao existente entre a

varivel X e os resduos (Diaz, 2000)3.

Passos:

1. estimar o modelo inicial: Y = X +

2. com os resduos de 1, estimar as regresses auxiliares:

a. |ei| = 0 + 1Xi

b. |ei| = 0 + 1Xi2

c. |ei| = 0 + 1(1/Xi)

d. |ei| = 0 + 1(Xi)

e. |ei| = 0 + 1Xih

em que h denota uma potncia.

Se o 1 for diferente de zero em alguma das regresses auxiliares (pelo teste

usual de t), ento rejeita-se a hiptese nula de que no h heterocedasticidade.

Portanto, existe heterocedasticidade. Caso todas as regresses tenham 1= 0,

ento no existe heterocedasticidade.

3 DIAZ, M.D.M. Problemas economtricos no modelo linear geral. In: VASCONCELLOS, M.A.S.; ALVES, D. (Coords.) Manual de econometria. So Paulo:Atlas, 2000. p.105-137.


38

Conhecido o resultado do teste de Glejser, utiliza-se a varivel da regresso auxiliar

que acusou o problema para ponderar as variveis, transformando-as, e procedendo a

estimao de M.Q.G., ou seja, M.Q.O. nas variveis transformadas.

Este problema de presena de heterocedasticidade tambm pode ser detectado por

meio de anlise grfica. Pode-se estimar a funo e fazer o grfico dos resduos ao longo da

amostra:

ei x Xi

ei x Yi ou Yi,estimado

A estimao por M.Q.G. ser para o modelo:

P.Y = PX + P

e o vetor de parmetros estimados ser

= (XPPX)-1XPPY

que o mesmo que estimar o M.Q.O. para Y* = X* + *.

Os resduos podem ser obtidos no Eviews fazendo, na janela de uma equao,

Procs/make residual series. O programa pergunta o nome da srie a conter os resduos e uma

vez feito isso s especificar a srie como varivel.

O mtodo como descrito acima uma alternativa apresentada em vrios livros de

econometria, mas como a transformao fazendo Y/Xi pode gerar uma correlao espria,

indicando uma correlao entre Y/X que na realidade no ocorreria entre Y e X caso no

fosse feita a transformao, sugere-se ento o teste e a correo de White4.

Por exemplo, para uma regresso da forma

Yi = 1 + 2 X2i + 3X3i + i

o teste de White implementado manualmente da seguinte forma:

a) estima-se a regresso inicial e obtm-se os resduos ei;

b) faz-se uma regresso auxiliar do tipo

ei2= 1 + 2 X2i + 3X3i + 4 X2i

2+ 5X3i2 + 6 X2i.X3i + i

ou seja, o quadrado dos resduos estimados como funo das variveis explicativas, dos

quadrados das variveis explicativas e do produto cruzado das variveis explicativas. Deve-se

incluir o termo do intercepto (1) mesmo que na regresso original no o tenha.

4 White, Halbert (1980) A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a Direct Test for

Heteroskedasticity, Econometrica, 48, 817838.


39

c) Analisa-se o R2 da regresso auxiliar multiplicado pelo tamanho da amostra (n)

comparando com o valor da tabela qui-quadrado para graus de liberdade iguais ao nmero

total de regressores da equao auxiliar. No nosso exemplo,

n. R2 ~ 2 com gl = 5 (X2i, X3i , X2i2, X3i

2 , X2i.X3i)

Se n.R2

> 2 tabelado, ento existe heterocedasticidade.

Se n.R2

< 2 tabelado, ento 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 0 , e no existe

heterocedasticidade.

Deve-se tomar cuidado com este teste, pois ele prev a incluso de termos adicionais

que, em presena de muitas variveis X, poder comprometer o modelo com relao aos seus

graus de liberdade.

A correo do modelo neste caso pode ser feita utilizando os estimadores de matrizes

de covarincias heterocedstico-consistentes de White, que podem ser obtidos rapidamente

pelo software Eviews.

A operacionalizao no Eviews bastante simples. Primeiro o estudante deve estimar

o modelo e, na janela da equao estimada, selecionar View/Residual Tests e depois clicar em

White Heteroskedasticity (no cross terms ou cross terms). A diferena das duas opes que

na primeira no inclui termos multiplicativos das variveis Xi.Xj. Na primeira opo, se

economizam graus de liberdade mas representa uma distoro do teste original. Na segunda

opo, no rigor cientfico, incluem-se termos cruzados e, em presena de muitos regressores,

pode causar problemas de reduzidos graus de liberdade.

Sugere-se utilizar a primeira opo quando tiver mais de 5 regressores Xi, e a segunda

quando tiver menos de 5, pois com os termos cruzados, ocorreria uma incluso de mais outros

5 termos.

Para a mesma regresso da Tabela 1, mostram-se os resultados do teste de White para

termos cruzados e sem termos cruzados. Procure distinguir as diferenas nos resultados.

A hiptese nula do teste que no h heterocedasticidade, ou seja, de que os erros

so homocedsticos e independentes dos regressores, e que a especificao do modelo

correta. Assim, desejvel ter a aceitao da hiptese nula, com probabilidade acima de

10%, e baixo valor de n.R2.

Tabela 2. Teste de White no cross terms

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 2.956033 Probability 0.010300 Obs*R-squared 16.24547 Probability 0.012495


40

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 06/06/03 Time: 17:59 Sample: 1988:09 1998:05 Included observations: 117


C 9515.997 6550.445 1.452725 0.1491 FERTILIZANTE -810.4509 551.7908 -1.468765 0.1448

FERTILIZANTE^2 18.85117 15.37210 1.226324 0.2227 TRATOR -2061.748 2106.302 -0.978848 0.3298

TRATOR^2 245.7209 236.7449 1.037914 0.3016 MO 76907.49 29850.12 2.576455 0.0113

MO^2 -230942.8 103719.0 -2.226620 0.0280

R-squared 0.138850 Mean dependent var 1663.833 Adjusted R-squared 0.091878 S.D. dependent var 2943.689 S.E. of regression 2805.201 Akaike info criterion 18.77430 Sum squared resid 8.66E+08 Schwarz criterion 18.93956 Log likelihood -1091.297 F-statistic 2.956033 Durbin-Watson stat 1.307013 Prob(F-statistic) 0.010300


41

Tabela 3. Teste de White cross terms



Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 06/06/03 Time: 18:01 Sample: 1988:09 1998:05 Included observations: 117


C -20557.49 9888.589 -2.078910 0.0400 FERTILIZANTE 445.3517 600.7180 0.741366 0.4601

FERTILIZANTE^2 25.26911 15.80557 1.598748 0.1128 FERTILIZANTE*TRA

TOR -120.1672 87.69892 -1.370224 0.1735

FERTILIZANTE*MO -13077.63 3137.312 -4.168419 0.0001 TRATOR 864.9398 3116.365 0.277548 0.7819

TRATOR^2 309.3549 253.6114 1.219799 0.2252 TRATOR*MO -22449.97 12081.31 -1.858240 0.0659

MO 426444.0 90390.39 4.717802 0.0000 MO^2 -365960.5 130236.2 -2.809975 0.0059


Observe que no exemplo dado, existem indcios de que h heterocedasticidade.

Sabendo anteriormente que ocorre erro de especificao e que os dados originais so de srie

temporal, conclui-se pela existncia de erro de especificao, mas deve-se analisar com maior

detalhe a questo da homocedasticidade, pois esta geralmente no ocorre em sries temporais,

mas sim em seo cruzada. Talvez o resultado do teste possa estar mais ligado dependncia

dos resultados em relao aos regressores.

Num outro exemplo, com os dados de Gujarati (2000:p.388), para gastos com P&D

em relao as vendas, obteve-se o teste de White com cross terms e os resultados a seguir.

Primeiro apresenta-se os resultados da estimao sem a correo para heterocedasticidade,

faz-se o teste de White e depois re-estima-se o modelo com a correo de White.


42

Tabela 4. Resultados da estimao inicial.

Dependent Variable: RD Method: Least Squares Date: 06/06/03 Time: 18:38 Sample: 1 18 Included observations: 18


SALES 0.031900 0.008329 3.830033 0.0015 C 192.9931 990.9858 0.194749 0.8480


Tabela 5. Teste de White para o exemplo de Gujarati, p.388.



Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 06/06/03 Time: 18:32 Sample: 1 18 Included observations: 18


C -6219665. 6459809. -0.962825 0.3509 SALES 229.3508 126.2197 1.817077 0.0892

SALES^2 -0.000537 0.000449 -1.194952 0.2507

R-squared 0.289583 Mean dependent var 6767046. Adjusted R-squared 0.194861 S.D. dependent var 14706011 S.E. of regression 13195639 Akaike info criterion 35.77968 Sum squared resid 2.61E+15 Schwarz criterion 35.92808 Log likelihood -319.0171 F-statistic 3.057178 Durbin-Watson stat 1.694567 Prob(F-statistic) 0.076975

Neste caso, com os dados em seo cruzada (indstrias dos EUA), no foi possvel

deixar de rejeitar a hiptese nula de homocedasticidade ao nvel de 10% de significncia,

como observado pelo valor da probabilidade de Obs*R-squared = 0,073811, menor que 0,10.

Existe problema de heterocedasticidade nos resduos.

Mostram-se agora os resultados com a correo de White, obtidos no Eviews fazendo

alterao na janela da estimao, clicando em Options e selecionando a caixa

heteroskedasticity, e clicando em White. Os resultados so:


43

Tabela 6. Resultados da estimao com a correo de White para heterocedasticidade.

Dependent Variable: RD Method: Least Squares Date: 06/06/03 Time: 18:42 Sample: 1 18 Included observations: 18 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance


SALES 0.031900 0.010147 3.143815 0.0063 C 192.9931 533.9317 0.361457 0.7225


Observe que agora na sada do Eviews, indica-se que foi utilizada a opo White

Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance, e pode-se comparar os

resultados com os da Tabela 4, sem essa opo de White. De modo geral, nesse exemplo, os

erros-padres estavam subestimados. Pode-se observar que o modelo com heterocedasticidade

apresenta vis nos erros padres, podendo ser negativo ou positivo, dependendo do estudo.

Quanto aos parmetros, no ocorrem alteraes.

Aps a correo de White no cabe mais a nova realizao do teste, pois os resultados

j foram obtidos com os resduos alterados pelo critrio de White.


44

Anexo Roteiro para estimao no Eviews Heterocedasticidade Gujarati, Tabela 11.5 (Table11-5.wf1), p. 388 Teste de Glejser 1. estimar modelo normalmente:

Estimation Command: ===================== LS (PD) (VENDAS) C Estimation Equation: ===================== PD = C(1)*VENDAS + C(2) Substituted Coefficients: ===================== PD = 0.03190033243*VENDAS + 192.9931098 Dependent Variable: PD Method: Least Squares Date: 03/04/05 Time: 16:00 Sample: 1 18 Included observations: 18


VENDAS 0.031900 0.008329 3.830033 0.0015 C 192.9931 990.9858 0.194749 0.8480



45

Gerar sries de resduos em Procs/Make residual series:


46

Fazer srie de resduos absolutos: me=@abs(e)

Estimar me em funo de Vendas: ou seja, mdulo dos resduos em funo de vendas:


47

Dependent Variable: ME Method: Least Squares Date: 03/04/05 Time: 18:18 Sample: 1 18 Included observations: 18


VENDAS 0.011939 0.005704 2.093059 0.0526 C 578.5710 678.6950 0.852476 0.4065

R-squared 0.214951 Mean dependent var 1650.432 Adjusted R-squared 0.165886 S.D. dependent var 2069.046 S.E. of regression 1889.657 Akaike info criterion 18.03062 Sum squared resid 57132868 Schwarz criterion 18.12955 Log likelihood -160.2756 F-statistic 4.380896 Durbin-Watson stat 1.743294 Prob(F-statistic) 0.052633


48

Me em funo da raiz de vendas:



SQR(VENDAS) 7.971957 3.363146 2.370387 0.0307 C -507.0202 1007.684 -0.503154 0.6217



49

Me em funo de 1/vendas:



1/(VENDAS) -19924566 12318138 -1.617498 0.1253 C 2273.702 604.6990 3.760056 0.0017


Correo: Fazer PD/(SQR(Vendas)) em funo de 1/(SQR(Vendas)) e de (SQR(Vendas))


50

Dependent Variable: PD/SQR(VENDAS) Method: Least Squares Date: 03/04/05 Time: 18:23 Sample: 1 18 Included observations: 18


1/SQR(VENDAS) -246.6769 381.1285 -0.647228 0.5267 SQR(VENDAS) 0.036798 0.007114 5.172315 0.0001



51

Mtodo de White: TESTE



Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 03/04/05 Time: 18:32 Sample: 1 18 Included observations: 18


C -6219665. 6459809. -0.962825 0.3509 VENDAS 229.3508 126.2197 1.817077 0.0892

VENDAS^2 -0.000537 0.000449 -1.194952 0.2507

R-squared 0.289583 Mean dependent var 6767046. Adjusted R-squared 0.194861 S.D. dependent var 14706011 S.E. of regression 13195639 Akaike info criterion 35.77968 Sum squared resid 2.61E+15 Schwarz criterion 35.92808 Log likelihood -319.0171 F-statistic 3.057178 Durbin-Watson stat 1.694567 Prob(F-statistic) 0.076975

Rejeita-se a hiptese nula , portanto temos presena de erros heterocedsticos a 10% de significncia. No teramos se fosse considerado 5%!!!!


52

Correo de heterocedasticidade pelo mtodo de White:

Dependent Variable: PD Method: Least Squares Date: 03/04/05 Time: 18:29 Sample: 1 18 Included observations: 18 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance


C 192.9931 533.9317 0.361457 0.7225 VENDAS 0.031900 0.010147 3.143815 0.0063


Observar que os erros-padres entre a regresso principal e a regresso com correo de White se alteraram, ou seja, a correo de White retirou os vieses nos erros-padres estimados.


53

4.4. Pressuposio 4: Os erros aleatrios so independentes (ou no autocorrelacionados)

A principal conseqncia da violao desta pressuposio a ineficincia dos

estimadores de M.Q.O. mas, continuam no-tendenciosos. Nesta situao, da mesma forma

que para a heterocedasticidade, melhor utilizar o mtodo de Mnimos Quadrados

Generalizados (M.Q.G.).

Imagine um modelo mais comum, com autocorrelao de 1. Ordem:

t1tt +=

em que o parmetro de autocorrelao e um termo de erro bem comportado, ou seja,

no autocorrelacionado normal de mdia zero e varincia 2, ou tambm chamado de rudo

branco (white noise).

O coeficiente de autocorrelao pode ser obtido pela expresso

2/11t

2/1t

1tt

)](Var[)](Var[

),(Cov

=

O teste mais comum para detectar a presena de erros autocorrelacionados o Teste de

Durbin-Watson. A hiptese nula a ser testada que

Ho: = 0 => no h autocorrelao

Contra a hiptese alternativa H1: 0 => > 0 autocorrelao positiva => < 0 autocorrelao negativa

A estatstica de teste o chamado DW, calculado como:

( )( )=

=

=

=

12

DWT

1t

2t

T

2t

21tt

em que

= 0 DW = 2 => ausncia de autocorrelao

= +1 DW = 0 => autocorrelao positiva e perfeita

= -1 DW = 4 => autocorrelao negativa e perfeita

Portanto, deseja-se DW prximo de 2, ou seja, ausncia de autocorrelao.


54

A anlise requer a comparao dos valores de DW com valores tabelados, que

prevem duas distribuies de probabilidade entrelaadas: uma distribuio inferior e outra

superior. Elas determinam reas de aceitao e rejeio da hiptese nula, como na figura a

seguir:

em que

dL = limite inferior => vem da tabela para n observaes e k variveis explanatrias

dU = limite superior => vem da tabela para n observaes e k variveis explanatrias


55

Exemplo:

Para k = 3 (referente a um modelo com X1, X2 e X3), para n = 30 observaes, a tabela de

DW para 5% de significncia nos fornece dL = 1,21 e dU=1,65, e portanto,

4-dL = 4 1,21 = 2,79

4 dU = 4 1,65 = 2,35

Para 0


56

H0: no autocorrelao dos resduos

H1: t = AR(P) ou t = MA(P)

Por exemplo, suponha o seguinte processo autoregressivo:

tptp3t32t21t1t +++++= K

A hiptese nula ser de que todos os coeficientes de autocorrelao so

simultaneamente nulos, ou seja, todos os i = 0 e no h autocorrelao de qualquer ordem.

A estatstica de teste ser um multiplicador de Lagrange do tipo

2p

'0

10

'002

0 ~e'eeX)XX(X'e

)pn(R)pn(LM

==

O procedimento ser:

1. estimar o modelo de regresso pelo mtodo usual de MQO e obter resduos t;

2. estimar o modelo de t como funo das demais variveis X do modelo a e

tambm de variveis t defasadas (t-1 t-2 ... etc), utilizando para estas defasagens

os resduos obtidos em a;

3. obter o valor de R2 desta regresso b;

4. A estatstica de teste ser LMBG = (n-p).R2 ~ 2p graus de liberdade. P o nmero

de defasagens includas na regresso b.

Se a estatstica de teste LMBG > valor crtico de 2

p ento se rejeita a hiptese nula e

existe autocorrelao serial de ordem P, ou seja, pelo menos um i 0. Neste teste, pode-se

ter variveis X ou mesmo Y defasadas, o que representa uma vantagem sobre o teste DW.

Estimao solucionando o problema de autocorrelao:

Estima-se o modelo inicial por M.Q.O. e depois segue um procedimento iterativo at

alcanar a convergncia nos parmetros. Abaixo esto os passos da estimao de Cochrane-

Orcutt:

1) Estima-se modelo inicial por MQO e obtm DW

2) Calcula-se = 1 0,5.DW

3) Estima equao transformada:

( ) ( ) t1tt211tt XX1YY ++=


57

ou

Y* = 1* + 2.X1* + t*

4) Recalcula-se (2) e verifica-se a convergncia para .

5) Repetem-se os passos (2) a (4) at que a convergncia seja menor que 0,01.

A implementao no Eviews prev a insero de um termo AR(1) na especificao das

variveis da equao. O programa far a estimao considerando a correo para o

autoregressivo de primeira ordem.


58

Anexo Autocorrelao Para a equao da taxa de retorno RR em funo do crescimento (Growth) e da inflao (Inflation): Dependent Variable: RR Method: Least Squares Date: 03/07/05 Time: 20:19 Sample: 1954 1981 Included observations: 28


GROWTH 3.943315 1.293445 3.048693 0.0054 INFLATION -2.499426 1.082101 -2.309789 0.0294

C 3.531812 8.111369 0.435415 0.6670


DW = 1,8965 Teste de Breusch-Godfrey: SERIAL CORRELATION LM TEST


59

Especificar nmero de variveis a adicionar em Xo, ou seja, se 1 (AR(1)), se 2 (AR(2)):

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:


Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Date: 03/07/05 Time: 20:23


GROWTH -0.371429 1.426117 -0.260448 0.7968 INFLATION -0.131592 1.125693 -0.116898 0.9080

C 1.737633 8.657860 0.200700 0.8427 RESID(-1) -0.014931 0.211928 -0.070455 0.9444 RESID(-2) -0.177451 0.222006 -0.799306 0.4323

R-squared 0.027070 Mean dependent var -3.68E-15 Adjusted R-squared -0.142136 S.D. dependent var 13.66610 S.E. of regression 14.60506 Akaike info criterion 8.361046 Sum squared resid 4906.081 Schwarz criterion 8.598940 Log likelihood -112.0546 F-statistic 0.159981 Durbin-Watson stat 1.787912 Prob(F-statistic) 0.956406

No h evidencias de autocorrelao no modelo, pois Obs*R-squared=0.75 com Probabilidade de 0.68, indicando aceitao de Ho: no-autocorrelao


60

Exercicio Gujarati, p.447-448: Dependent Variable: LOG(PCDOM) Method: Least Squares Date: 03/07/05 Time: 21:10 Sample: 1951 1980 Included observations: 30


LOG(IPI) 0.467509 0.165987 2.816541 0.0093 LOG(PCBOLSA) 0.279443 0.114726 2.435745 0.0223

LOG(CONST) -0.005152 0.142947 -0.036038 0.9715 LOG(PALU) 0.441449 0.106508 4.144737 0.0003

C -1.500441 1.003020 -1.495923 0.1472


Neste caso, DW=0.9549 Para gl=30, k=4, dl=1,143 e du=1,739, portanto, DW rejeita Ho, tenho indicao de autocorrelao positiva Teste LM para AR(1): Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:




LOG(IPI) -0.104877 0.146079 -0.717946 0.4797 LOG(PCBOLSA) 0.089288 0.102299 0.872811 0.3914

LOG(CONST) 0.045395 0.123362 0.367981 0.7161 LOG(PALU) -0.009785 0.091346 -0.107125 0.9156

C -0.368385 0.867570 -0.424617 0.6749 RESID(-1) 0.567066 0.179076 3.166620 0.0042

R-squared 0.294688 Mean dependent var 8.14E-17 Adjusted R-squared 0.147748 S.D. dependent var 0.113041 S.E. of regression 0.104357 Akaike info criterion -1.505141 Sum squared resid 0.261370 Schwarz criterion -1.224901 Log likelihood 28.57711 F-statistic 2.005497 Durbin-Watson stat 1.521486 Prob(F-statistic) 0.114145

Existe problema pois rejeita-se Ho a 1%. Existe AR(1)


61

Para AR(2): Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:






C -0.552588 0.785758 -0.703255 0.4890 RESID(-1) 0.795135 0.184599 4.307363 0.0003 RESID(-2) -0.489015 0.191703 -2.550900 0.0179


Tambm existe problema para AR(2). Ficou mais expressivo o problema de autocorrelao. Para AR(3): Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:






C -0.512105 0.802317 -0.638283 0.5299 RESID(-1) 0.854409 0.219535 3.891895 0.0008 RESID(-2) -0.592317 0.278293 -2.128395 0.0447 RESID(-3) 0.126950 0.244219 0.519819 0.6084


Ainda tem, mas menos que para AR(2). Observe que o termo de RESID(-3) j no significativo. Optar por corrigir para AR(2).


62

Estimao com AR(1) e AR(2):

Dependent Variable: LOG(PCDOM) Method: Least Squares Date: 03/07/05 Time: 21:31 Sample(adjusted): 1953 1980 Included observations: 28 after adjusting endpoints Convergence achieved after 9 iterations


LOG(IPI) 0.440700 0.165083 2.669563 0.0143 LOG(PCBOLSA) 0.291534 0.103733 2.810420 0.0105

LOG(CONST) 0.102063 0.175677 0.580969 0.5674 LOG(PALU) 0.429664 0.118912 3.613298 0.0016

C -2.197667 1.211239 -1.814395 0.0839 AR(1) 0.773165 0.187424 4.125212 0.0005 AR(2) -0.531683 0.192075 -2.768097 0.0115


Inverted AR Roots .39+.62i .39 -.62i

Comparar com resultados da primeira regresso! Melhores indicadores!


63

Anexo: Tabela de Durbin-Watson para 5% de significncia, reproduzida a partir de Gujarati,

Damodar. Basic Econometrics. McGraw-Hill, 2004.


64

Exemplo: Se n = 40 e k = 4, dL = 1,285 e dU = 1,721. Se o valor de DW calculado menor

que 1,285, existe evidncia de autocorrelao serial de primeira ordem e positiva; se DW for

maior que 1,721 e menor que 4-dU = 2,279, ento no existe evidncia de autocorrelao de

primeira ordem, mas se DW estiver entre os limites dL e DU, ou entre 4-dU e 4-dL ento

existe uma rea inconclusiva sobre autocorrelao.


65

4.5. Pressuposio 5: As variveis explicativas so no aleatrias (so fixas)

Se as variveis explicativas e os termos aleatrios forem correlacionados, haver

inconsistncia dos estimadores de mnimos quadrados ordinrios. Deve-se utilizar o estimador

de variveis instrumentais. O mtodo de Variveis instrumentais prev que

= (ZX)-1ZY , e Z uma matriz de instrumentos independentes dos erros aleatrios.

No se tem testes formais para investigar esta pressuposio. O que feito em geral

investigar as correlaes entre as variveis explicativas e os termos aleatrios via matriz de

correlaes entre eles.

Outra alternativa fazer o Teste de exogeneidade das variveis utilizando o

procedimento de Hausmann.

4.6. Pressuposio 6: O erro tem distribuio normal, com mdia zero e varincia constante:

O teste para deteco mais usual o Bera-Jarque, ou teste BJ, o qual testa a simetria e

a curtose da distribuio dos resduos em relao curva normal.

A curtose est associada ao achatamento da distribuio, quanto mais chata menor o

valor da curtose (K). Exemplo: K>3 (distribuio mais em p), K


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( ) ( )[ ] 2 22412 361

=+= gl~KSpnBJ

Se rejeitar H0:erros normais, tenho que descobrir qual a distribuio real dos

resduos e fazer nova deduo do estimador dos parmetros.

Em geral, para amostras grandes, aplica-se o Teorema do Limite Central

argumentando que no limite tem-se a normalidade da distribuio dos resduos.

Roteiro para testar no Eviews:

1) estimar a regresso

2) no menu equation, acionar View/Residual Tests/histogram

3) a anlise fornece o histograma com uma tabela de estatsticas descritivas da serie de

resduos, contendo o skewness (simetria) e a kurtosis (curtose). Se K for prximo de 3,

ento prxima da normal.

Exemplo 1: se K=2,95 e 2tab = 1,76 e o p-value=0,41, para H0: erro normal, ento p-value

maior que 0,10 indica a aceitao de H0, ou seja, os erros so normais.

Exemplo 2:

Ex12_22, Gujarati (p.447):

Std. Dev = 0,085542

Skewness = 0,047155

Kurtosis = 2,367936

BJ = 0,47 e p-value = 0,78 => aceita H0: erros normais


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Anexo Erros Normais: Equation/View/Residual Tests/Histogram Normality Test


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4.7. Pressuposio 7: Ausncia de relao linear exata entre as variveis explicativas (no multicolinearidade)

A deteco do problema passa por diversas anlises:

1. Ocorrncia de R2 alto e ts no-significativos;

2. Altas correlaes simples entre as variveis explicativas, por exemplo, acima de 0,8;

3. Altas correlaes parciais entre os Xs: verificar o coeficiente de correlao parcial quando

algumas variveis so consideradas constantes;

4. Regresses auxiliares: fazer a regresso considerando o Xi como varivel dependente das

demais variveis Xj

X1 = f(X2, X3, X4, ... , Xn)

X2 = g(X1, X3, X4, ... , Xn)

X3 = h(X1, X2, X4, ... , Xn)

Etc

Esta alternativa permite identificar quais variveis esto mais relacionadas. Se o R2 da

regresso auxiliar for alto, ento se tem a indicao de multicolinearidade;

5. Regra de Klein: a multicolinearidade no prejudicial se

R2Y X1, X2, ... , Xk > R2

Xi X2, ... , Xk

6. Verificar a estabilidade das estimativas

Y = f(X1)

Y = f(X1,X2)

Y = f(X1, X2, X3)

As solues para a presena de multicolinearidade passam pela retirada de variveis

problemticas, ou omisso de variveis, deixando aquela mais relevante para a pesquisa. As

regresses auxiliares auxiliaro na escolha entre as variveis para decidir qual ser retirada do

modelo. O problema com a omisso de variveis a insero de erro de especificao. Outra

opo aumentar o tamanho da amostra, caso possvel. O aumento da amostra o mesmo que

reduzir a micronumerosidade e com isto ganha-se observaes que tendem a no estar

observando uma perfeita relao com outras variveis. Uma terceira opo transformar as

variveis problemticas, fazendo razes entre elas (Xi/Xj), como os preos relativos. A


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limitao com este procedimento que se perde a relao direta, ficando apenas com

parmetros que refletem relaes para a razo.

O clculo das correlaes parciais no direto nem simples quando se tratar de

regresso mltipla. Uma alternativa usar pacotes que j contm a rotina, como por exemplo

o Stata, fazendo uso de comandos como a seguir, para o exemplo dado em Greene

(2002:p.30): . pcorr y year g interest p

Partial correlation of y with

Variable | Corr. Sig.

-------------+------------------

year | -0.9385 0.000

g | 0.9693 0.000

interest | -0.5410 0.069

p | 0.0153 0.962

Ou seja, retorna as correlaes parciais de y com respeito a cada varivel da lista (year,

g, interest, p).

Outro mtodo a anlise do Fator de varincia inflacionria (FVI

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Econometria - Adriano Figueiredo