Economia empresarial - 1 (Reparado).docx

7/25/2019 Economia empresarial - 1 (Reparado).docx

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ECONOMA EMPRESARIAL

1Matemtica aplicada a la

economa

DOCUMENTO REPRODUCIDO CON FINES DE CAPACITACIN PROFESIONAL

CONTENIDO

Competencias

1. TEORA DE CON!NTOS.

UNIVERSIDAD

NACIONALDE TRUJILLO


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". RELACIONES # $!NCIONES.

%. CON!NTOS N!M&RICOS. OPERACIONES CON N'MEROS # S!S PROPIEDADES.

(. POLINOMIOS # E)PRESIONES AL*E+RAICAS.

,. EC!ACIONES. SISTEMAS DE EC!ACIONES LINEALES.

-. INEC!ACIONES.

. MATRICES # DETERMINANTES.

/. ESPACIOS 0ECTORIALES.

. 0ALORES # 0ECTORES PROPIOS. DIA*ONALI2ACI3N.

14.$!NCIONES DE !NA 0ARIA+LE. *R5$ICAS DE $!NCIONES ELEMENTALES.

OPERACIONES CON $!NCIONES. $!NCI3N IN0ERSA # $!NCI3N COMP!ESTA.

11. LMITES # CONTIN!IDAD DE $!NCIONES.

1".DERI0ACI3N # DI$ERENCIACI3N. INTERPRETACI3N *EOM&TRICA DE LA

DERI0ADA.

REPRESENTACI3N *R5$ICA DE $!NCIONES. MONOTONA6 E)TREMOS #

CONCA0IDADES.

1%.ELASTICIDAD.

1(.PRIMITI0AS. INTE*RALES INDE$INIDAS.

1,. INTE*RALES DE$INIDAS. INTE*RALES IMPROPIAS.

1-.$!NCIONES DE 0ARIAS 0ARIA+LES. *R5$ICO. LMITES6 CONTIN!IDAD.

1.DERI0ADAS PARCIALES6 DI$ERENCIACI3N6 0ECTOR *RADIENTE.

1/.ELASTICIDAD PARCIAL.

1.CON!NTOS CON0E)OS. $!NCIONES CON0E)AS.

"4.E)TREMOS EN $!NCIONES DE 0ARIAS 0ARIA+LES.

IDECAP| Matemtica aplicada a la economa


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"1.OPTIMI2ACI3N CON RESTRICCIONES7 LA*RAN*E6 8!9N:T!C8ER.

"". INTE*RALES DE$INIDAS M'LTIPLES.

ANE)O:

- Examen

INTROD!CCI3N

Las notas que siguen an si!o "#e"a#a!as "a#a e$ P#o%eso# !e Matem&ti'a A"$i'a!a a $aE'onom(a)"a#a se# uti$i*a!as "o# $os 'u#si$$istas 'omo mate#ia$ !e 'onsu$ta a$te#nati+o !e$os textos #e'omen!a!os en $a ,i,$iog#a%(a Estas notas !i%ie#en !e$ 'onteni!o !e $os '$&si'ostextos !e Matem&ti'a "o#que no se o'u"an $os %un!amentos !e $a 'ien'ia ni !e su'onst#u''i.n me!iante m/to!os $.gi'o-!e!u'ti+os Como e$ 'u#so es !e matem&ti'aa"$i'a!a0 e$ mismo no se o'u"a !e !emost#a# "#o"ie!a!es 1 teo#emas0 sino !e a"$i'a# estos#esu$ta!os "a#a $a #eso$u'i.n !e "#o,$emas #e$e+antes !e $a 'ien'ia e'on.mi'a

Con ese o,2eto en estas notas se #e"asan !i+e#sos 'a"(tu$os !e$ an&$isis 1 !e$ &$ge,#a que$os 'u#si$$istas 'ono'ie#on en $a ense3an*a me!ia 1 en $as 'a##e#as uni+e#sita#ias !e g#a!oSe a'e es"e'ia$ in'a"i/ en e$ &$ge,#a mat#i'ia$0 e$ estu!io !e %un'iones0 $a inte#"#eta'i.n!e $a !e $a !e#i+a!a0 e$ '&$'u$o integ#a$0 $as %un'iones !e +a#ias +a#ia,$es 1 $os m/to!os !eo"timi*a'i.n

Ent#e $as a"$i'a'iones a $a E'onom(a que se "#esentan en e$ 'u#so 'a,e men'iona# $a mat#i*!e insumo "#o!u'to0 $a !ete#mina'i.n !e$ +a$o# !e $as 'uotas "a#a 'an'e$a# una !eu!a"a'ta!a a inte#/s 'om"uesto0 $a e$asti'i!a! !e $a !eman!a0 $a '$asi%i'a'i.n !e "#o!u'tos'omo 'om"$ementa#ios o 'om"etiti+os0 $a asigna'i.n ."tima !e$ "#esu"uesto ent#e $os

%a'to#es !e $a "#o!u''i.n0 $a minimi*a'i.n !e$ 'osto !e "#o!u''i.n0 $a maximi*a'i.n !e $auti$i!a! su2eta a #est#i''iones "#esu"uesta#ias0 ent#e ot#as



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Los e2e#'i'ios 1 'asos "#&'ti'os an si!o se$e''iona!os !e %o#ma !e 'ontem"$a# to!os $ostemas !e$ "#og#ama4 se an !e"u#a!o en o'asi.n !e $os su'esi+os 'u#sos 1 'om"$ementa!o'on $os e2e#'i'ios "#o"uestos en $as 5$timas "#ue,as !e examen Estos 'asos "#&'ti'ostienen e$ "#o".sito !e most#a# $as a"$i'a'iones a $a E'onom(a as( 'omo e2e#'ita# a $os

'u#si$$istas en e$ uso !e $os 'on'e"tos !e$ &$ge,#a 1 e$ an&$isis 1 sus #eg$as o"e#ato#ias

De esta %o#ma se es"e#a que $os a$umnos a!quie#an %ami$ia#i!a! 'on e$ inst#umenta$matem&ti'o "a#a $og#a# un ,uen a"#o+e'amiento en $as siguientes asignatu#as !e$ Di"$oma01 e+entua$mente !e $a Maest#(a0 ta$es 'omo Mi'#o 1 Ma'#oe'onom(a0 Esta!(sti'a 1E'onomet#(a



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51. TEORA DE CON!NTOS

Los 'on'e"tos !e 'on2unto 1 e$emento !e un 'on2unto "ue!en a'e"ta#se 'omo "#imiti+os0 ene$ senti!o que no #equie#en !e una !e%ini'i.n "#e'isa "a#a mane2a#$os 1 o"e#a# 'on e$$os

Con+iene s( #e'o#!a# a$gunas i!eas so,#e $os 'on2untos

Un 'on2unto que!a ,ien !e%ini!o 'uan!o se 'ono'e 'u&$es e$ementos $e "e#tene'enLa no'i.n !e "e#tenen'ia tam,i/n es "#imiti+a

Los e$ementos !e un 'on2unto "ue!en se# mu1 !i+e#sos 1 no ne'esa#iamente an !e tene#'a#a'te#(sti'as 'omunes0 'omo intuiti+amente "ue!e "ensa#se Sin em,a#go0 es %#e'uenteque $as 'ien'ias se #e%ie#an a 'on2untos !e e$ementos 'on 'a#a'te#(sti'as 'omunes: $aSo'io$og(a #e%ie#e a 'on2untos umanos o#gani*a!os en so'ie!a!0 $a 6ot&ni'a t#a,a2a 'on'on2untos !e "$antas0 $a Psi'o$og(a 'on in!i+i!uos o "eque3os g#u"os umanos 1 $aEsta!(sti'a estu!ia $as 'a#a'te#(sti'as !e 'ie#tas "o,$a'iones o uni+e#sos que no son ot#a

'osa que 'on2untos !e e$ementos que "oseen una o m&s 'a#a'te#(sti'as me!i,$es EnMatem&ti'a0 $os e$ementos que 'on%o#man un 'on2unto no tienen "o# qu/ tene#'a#a'te#(sti'as 'omunes Un 'on2unto "ue!e esta# %o#ma!o "o# $os siguientes t#ese$ementos: mi #e$o20 mi nom,#e 1 e$ "i*a##.n !e$ sa$.n !e '$ase O,s/#+ese que e$ 'on2untoque!a ,ien !e%ini!o a$ men'iona# to!os $os e$ementos que $o 'om"onen Pe#o $os 'on2untosm&s inte#esantes -so,#e to!o !es!e e$ "unto !e +ista esta!(sti'o- son $os que "e#mitenen'ont#a# #e$a'iones ent#e sus e$ementos0 %o#man!o '$ases o su,'on2untos

En Matem&ti'a $os 'on2untos no tienen e$ementos #e"eti!os Esta a'$a#a'i.n es #e$e+ante"o#que en Esta!(sti'a $os 'on2untos "ue!en 'ontene# e$ementos #e"eti!os

En Matem&ti'a e$ o#!en !e $os e$ementos !e un 'on2unto es i##e$e+ante Si !os 'on2untostienen $os mismos e$ementos0 enton'es am,os 'on2untos son igua$es0 sin im"o#ta# e$ o#!enen que se "#esentan sus e$ementos

En $a isto#ia !e $a Matem&ti'a0 $a %o#ma$i*a'i.n !e $a teo#(a !e 'on2untos es mu1 "oste#io#en e$ tiem"o a $a %o#ma$i*a'i.n !e$ 'on'e"to !e n5me#o La teo#(a !e 'on2untos es !e %ines!e$ sig$o 7I7 1 su "#in'i"a$ ex"onente %ue e$ a$em&n 8 Canto#9 La teo#(a !e n5me#os %ue!esa##o$$a!a "o# +a#ias !e $as antiguas 'u$tu#as g#iega0 'ina0 ma1a0 egi"'ia; a$gunos sig$osantes !e C#isto

E$ "asto# !e o+e2as en $a nosa,e 'onta#0 "ues no 'ono'e $os n5me#os?

Los 'on2untos sue$en !enomina#se en Matem&ti'a me!iante $as $et#as !e nuest#o a$%a,eto0en ma15s'u$a: A0 60 C0 et' Los e$ementos se sim,o$i*an 'on $as mismas $et#as0 "e#o enmin5s'u$a E$ s(m,o$o e in!i'a "e#tenen'ia As(0 @a e C in!i'a que e$ e$emento "e#tene'e a$'on2unto C0 mient#as que $a ex"#esi.n @, B A in!i'a que e$ e$emento @, no "e#tene'e a$'on2unto A

Se !enomina 'on2unto +a'(o a un 'on2unto que no tiene e$ementos0 1 se $o sim,o$i*a 'on $a$et#a ma15s'u$a g#iega



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Los e$ementos !e un 'on2unto "ue!en se# "e#sonas0 nom,#es0 n5me#os 1 tam,i/n'on2untos Po# e2em"$o0 sea e$ 'on2unto A %o#ma!o "o# t#es e$ementos: a0 ,0 '

A K Ja0 ,0 '

Consi!e#an!o ao#a e$ @'on2unto !e $as "a#tes !e$ 'on2unto A

PAK Ji Ja0 J,0 J'0 Ja0 ,0 Ja0 '0 J,0 '0 Ja0 ,0 '

Po# 'on+en'i.n0 e$ 'on2unto +a'(o es @"a#te !e 'ua$quie# 'on2unto Qu/ "#o"ie!a!es tienen$os e$ementos !e$ 'on2unto PA En "#ime# $uga#0 estos e$ementos son a su +e* 'on2untos0 1en segun!o $uga#0 est&n in'$ui!os o son una "a#te en senti!o am"$io; !e$ 'on2unto A Lanota'i.n "a#a $a in'$usi.n es e$ s(m,o$o 'K @in'$usi.n en senti!o am"$io0 im"$i'a quee+entua$mente $os !os 'on2untos "ue!en se# igua$es; La in'$usi.n #e$a'iona !os 'on2untos0mient#as que $a "e#tenen'ia #e$a'iona un e$emento 'on un 'on2unto

En #e$a'i.n 'on e$ e2em"$o ante#io#0 $a nota'i.n a"#o"ia!a se#(a:

Ja0 , A

Ja e PA

A PA

Ja A

La no'i.n !e @'on2unto !e 'on2untos es mu1 uti$i*a!a en Esta!(sti'a Po# e2em"$o0 'uan!o sequie#e se$e''iona# una muest#a !e "e#sonas0 "e#o no se tiene una $ista 'om"$eta !e$uni+e#so a in+estiga#0 "e#o s( una $ista !e $as +i+ien!as !on!e +i+en !i'as "e#sonas0enton'es se "ue!e se$e''iona# una muest#a !e +i+ien!as 1 $uego se$e''iona# a to!as o

a$gunas !e $as "e#sonas que a,itan en $as +i+ien!as e$egi!as E$ !ise3o !e $a muest#a'onsiste en se$e''iona# "#ime#o un 'on2unto !e 'on2untos +i+ien!as0 'omo 'on2untos !e"e#sonas; 1 en una segun!a eta"a se$e''iona# "e#sonas

De%ini'i.n: Se !i'e que e$ 'on2unto A est& in'$ui!o en ot#o 'on2unto 6 si se 'um"$e que to!oe$emento !e A es tam,i/n un e$emento !e 6

A6 V B6;

E$ s(m,o$o @ signi%i'a @"a#a to!o Si e$ 'on2unto A est& in'$ui!o en e$ 60 tam,i/n se !i'e

que A es un su,'on2unto !e 6



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De%ini'i.n: Si se 'um"$e a $a +e* que A6 1 que 6A0 enton'es A K 6 Esta es $a !e%ini'i.nmatem&ti'a !e igua$!a! !e 'on2untos Tam,i/n se "ue!e !e'i# que !os 'on2untos sonigua$es si tienen $os mismos e$ementos

Las Cien'ias So'ia$es tienen 'omo o,2eto !e estu!io a$ Wom,#e0 $as #e$a'iones ent#e e$Wom,#e 1 $a So'ie!a!0 $as #e$a'iones ent#e g#u"os so'ia$es0 et' O,s/#+ese que $a Psi'o$og(a1 $a so'io$og(a t#a,a2an 'on 'on2untos !e in!i+i!uos "eque3os g#u"os 1 g#an!es g#u"osumanos $$ama!os so'ie!a!es- 1 a$ ana$i*a# $os g#u"os0 estos se !e%inen en #e$a'i.n 'on e$

g#u"o m&s am"$io "osi,$e0 e$ 'ua$ se !enomina @"o,$a'i.n o @uni+e#so Si se a!o"ta $anota'i.n Q "a#a sim,o$i*a# a$ uni+e#so0 enton'es 'ua$quie# su,'on2unto A !e "e#sonas !eese uni+e#so !ete#mina una "a#ti'i.n !e$ uni+e#so en !os '$ases:

C)K 'on2unto !e in!i+i!uos !e Q que "e#tene'en a$ 'on2unto A

C9K 'on2unto !e in!i+i!uos !e X9 que no "e#tene'en a$ 'on2unto A

La '$ase C9 se !enomina @'on2unto 'om"$ementa#io !e A #es"e'to !e Y nota'i.n: A'; 1 se

"ue!e !e%ini# tam,i/n as(:

A'K Jx: x Y 1 x A

Las '$ases Ci 1 C9 !ete#minan una "a#ti'i.n !e Q si se 'um"$e que am,as son no +a'(as

M&s %o#ma$mente0 una "a#ti'i.n !e$ uni+e#so es una #eg$a que '$asi%i'a a $os e$ementos !e$uni+e#so en '$ases se"a#a!as 1 no +a'(as La "a#ti'i.n "ue!e !ete#mina# s.$o !os '$ases0'omo en e$ e2em"$o ante#io#0 o m&s !e !os '$ases0 in'$uso asta un n5me#o in%inito !e'$ases E2em"$os:

) E$ uni+e#so es e$ 'on2unto !e to!os $os in!i+i!uos #esi!entes !e un "a(s0 1 $as '$asesson !os: sexo %emenino 1 sexo mas'u$ino

9 E$ uni+e#so es e$ 'on2unto !e to!os $os in!i+i!uos #esi!entes !e $a In!ia 1 $as '$asesson !os: 'onsumi!o#es !e Cam"a-Co$a 1 no 'onsumi!o#es !e$ "#o!u'to



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9 E$ uni+e#so es e$ 'on2unto !e $os oga#es #esi!entes !e un "a(s 1 $as '$ases est&n

!e%ini!as "o# e$ n5me#o !e miem,#os !e$ oga#: oga#es uni"e#sona$es0 oga#es 'on9 "e#sonas0 et' Cu&ntas '$ases a1 en U#ugua1 Cu&$ es $a '$ase m&s %#e'uente

Y K N

CiK Jx: x N 1 i-); Z x Z i-) 'on iK)0 900

Cu&ntos e$ementos tienen 'a!a '$ase

Ent#e $os 'on2untos es "osi,$e !e%ini# 'ie#tas o"e#a'iones Una o"e#a'i.n "one en #e$a'i.n!os enti!a!es en este 'aso0 !os 'on2untos 1 'omo #esu$ta!o !e !i'a #e$a'i.n se o,tieneuna nue+a enti!a! en este 'aso0 un 'on2unto

De%ini'i.n: Da!os !os 'on2untos0 A 1 60 se $$ama uni.n !e A 'on 6 a ot#o 'on2unto que tieneto!os $os e$ementos !e A 1 to!os $os e$ementos !e 6

Nota'i.n: Uni.n !e A 'on 6 K A6

P;opiedades de la


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19 Aso'iati+a: A 6; C KA 6 C;

A 6 si 1 so$o si A6 K A

A K ; "a#a to!o 'on2unto A

AA' K ;

Si $a inte#se''i.n !e !os 'on2untos es +a'(a0 se !i'e que am,os 'on2untos: !is2untos omutuamente ex'$u1entes

P;opiedades ?


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11". RELACIONES # $!NCIONES

De%ini'i.n: Se $$ama "#o!u'to 'a#tesiano !e$ 'on2unto !e "a#ti!a A "o# e$ 'on2unto !e $$ega!a6 nota'i.n: Ax6; a un 'on2unto !e "a#es o#!ena!os 'u1o "#ime# 'om"onente es un e$emento

!e A 1 'u1o segun!o 'om"onente es un e$emento !e 6

E2em"$o:

A K Ja0 ,0 '

6 K J)0 90 0

Ax6 K Ja0 );0 a09;0 a0;0 a0;0 ,0);0 ,09;0 ,0;0 ,0;0 '0);0 '09;0 '0;0 '0;

O,s/#+ese que $os e$ementos !e Ax6 son ao#a "a#es o#!ena!os Po# e2em"$o0 e$ "a# a0 ;

"e#tene'e a$ "#o!u'to 'a#tesiano0 mient#as que e$ "a# 0 a; no "e#tene'e a$ "#o!u'to'a#tesiano Po# $o !i'o0 en gene#a$0 Ax6 [6xA

Si A 1 6 son %initos0 enton'es e$ n5me#o !e e$ementos !e Ax6 es e$ "#o!u'to !e$ n5me#o !ee$ementos !e A "o# e$ n5me#o !e e$ementos !e 6

E$ "#o!u'to Ax6 "ue!e +isua$i*a#se en un !iag#ama !e enn0 !on!e sus e$ementos $os "a#eso#!ena!os; est&n !a!os "o# e$ o#igen 1 $a "unta !e 'a!a %$e'a

De%ini'i.n: Se $$ama #e$a'i.n !e A en 6 a un tema o#!ena!a \A0 60


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A$gunas #e$a'iones "ue!en !e%ini#se me!iante $a #eg$a !e %o#ma'i.n !e $os "a#es0 "o#'om"#ensi.n Po# e2em"$o0 en e$ g#&%i'o


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14'om"onente !e$ g#&%i'o "o# no tene# mega 'iu!a!es 6o$i+ia es un e2em"$o !e este ti"o; De

U#ugua1 "a#ti#(a una 5ni'a %$e'a en e$ g#&%i'o !e R9 "ues Monte+i!eo es $a 5ni'a mega'iu!a!;0 mient#as que !e 6#asi$0 A#gentina0 M/xi'o 1 EEUU "a#ti#(an +a#ias %$e'as en e$

g#&%i'o !e R9tantas 'omo 'iu!a!es que "asan !e$ mi$$.n !e a,itantes en !i'os "a(ses;

De%ini'i.n: Se $$ama %un'i.n !e A en 6 a to!a @#e$a'i.n !e A en 6 que 'um"$e 'on !os'on!i'iones:

a To!o e$emento !e A tiene su 'o##es"on!iente en 6 en e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n

, Ca!a e$emento !e A tiene un 5ni'o 'o##es"on!iente en 6 en !i'o g#&%i'o

Nota'i.n: \A0 60 %] !on!e A es e$ !ominio o 'on2unto !e "a#ti!a0 6 es e$ 'o!o minio o 'on2unto!e $$ega!a 1 @%^ es e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n

Enton'es una %un'i.n no es m&s que una #e$a'i.n0 "e#o una #e$a'i.n "a#ti'u$a#0 que !e,e

'um"$i# $as !os 'on!i'iones men'iona!as en $a !e%ini'i.n e#emos a 'ontinua'i.n a$gunose2em"$os !e #e$a'iones "a#a i!enti%i'a# 'u&$es !e e$$as son tam,i/n %un'iones

R)0 R91 R son %un'iones Rno es %un'i.n "o#que %a$$a $a 'on!i'i.n a; 1 Rno es %un'i.n"o#que %a$$a $a 'on!i'i.n ,;

Ot#o e2em"$o: $a #e$a'i.n que a'e 'o##es"on!e# a 'a!a n5me#o natu#a$ A es e$ 'on2unto !e$os natu#a$es; su 'ua!#a!o 6 es tam,i/n e$ 'on2unto !e $os natu#a$es; es una %un'i.n0 "ues

to!o n5me#o natu#a$ tiene un 'ua!#a!o natu#a$0 1 /ste es 5ni'o Esta %un'i.n tiene0 a!em&s0una inte#"#eta'i.n geom/t#i'a: #e$a'iona e$ $a!o !e un 'ua!#a!o 'on e$ ea !e$ 'ua!#a!o

En e$ g#&%i'o !e una %un'i.n e$ "#ime# 'om"onente !e$ "a# se !enomina a#gumento !e $a%un'i.n 1 e$ segun!o 'om"onente es e$ +a$o# o imagen !e $a %un'i.n "a#a !i'o a#gumentoSi !ominio 1 'o!o minio !e $a %un'i.n son 'on2untos !e n5me#os0 enton'es e$ a#gumento 1+a$o# se !enominan tam,i/n a,s'isa 1 o#!ena!a #es"e'ti+amente

Nota'i.n: Si $os 'on2untos !e "a#ti!a 1 !e $$ega!a est&n so,#eenten!i!os "o# e2em"$o0"o#que am,os son e$ 'on2unto !e n5me#os natu#a$es;0 un a#gumento 'ua$quie#a se sim,o$i*a'on $a $et#a @x 1 a$ 'o##es"on!iente !e x seg5n $a %un'i.n % se $o sim,o$i*a 'on $a ex"#esi.n

@%x;0 enton'es $as nota'iones m&s a,itua$es "a#a $a %un'i.n !e$ 5$timo e2em"$o son:



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En 'aso que !ominio 1 'o!o minio !e $a %un'i.n sean 'on2untos !e n5me#os0 #esu$ta mu1 5ti$$a #e "#esta'i.n !e$ g#&%i'o en un "a# !e e2es 'a#tesianoso#togona$es

En e$ g#&%i'o "#e'e!ente se #e"#esentan0 en $a inte#se''i.n !e $as $(neas "untea!as0 'uat#oe$ementos !e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n %: %x; K x90 $os "a#es )0);0 90;0 0G; 1 0); Los e2esse !i'en @o#togona$es "o#que son "e#"en!i'u$a#es

Ren/ Des'a#tes )G-); %i$.so%o0 %(si'o 1 matem&ti'o %#an'/s Es e$ '#ea!o# !e $a

geomet#(a ana$(ti'a

E$ 'on2unto !e +a$o#es !e % e$ementos !e$ 'o!o minio a $os que $$egan %$e'as0 se !enomina'on2unto imagen !e %-

Imagen !e%K J*: * "e#tene'e a 6 1 existe x en A ta$ que %x; K *K %A;

De%ini'i.n: % es una %un'i.n in1e'ti+a !e A en 6 si !os e$ementos !istintos !e A tienenim&genes !istintas en 6

% es in1e'ti+a _-` \x 1 bc %x; H % 1;]

E2em"$o: $a %un'i.n %: %x; K x9es in1e'ti+a si e$ !ominio es e$ 'on2unto N "ues a !osnatu#a$es !i%e#entes 'o##es"on!en 'ua!#a!os !i%e#entes; "e#o no es in1e'ti+a si !ominio ese$ 'on2unto !e $os ente#os0 "ues "o# e2em"$o d- 1 sin em,a#go d; 9K-;9

De%ini'i.n: % es una %un'i.n so,#e1e'ti+a si e$ 'on2unto imagen !e % 'oin'i!e 'on e$ 'o!ominio

% es so,#e1e'ti+a %A; K 6

E2em"$o: $a %un'i.n %: %x; K x d 90 !on!e A 1 6 son $os n5me#os ente#os0 es so,#e1e'ti+a0"ues to!o n5me#o ente#o !e 6 es imagen !e a$g5n e$emento en A En 'am,io0 $a %un'i.n %:



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16%x; K x90 'on !ominio 1 'o!o minio ente#o0 no es so,#e1e'ti+a "o#que "o# e2em"$o e$ ente#od en 6 no es imagen !e ning5n n5me#o ente#o !e A

De%ini'i.n: Se !i'e que una %un'i.n es ,i1e'ti+a si es a $a +e* in1e'ti+a 1 so,#e1e'ti+a

De%ini'i.n: Sea % una %un'i.n !e A en 6 Se !enomina %un'i.n in+e#sa !e % nota'i.n: % ^; aot#a %un'i.n ta$ que a 'a!a imagen $e a'e 'o##es"on!e# su "#e imagen: \60 A0 %

O,se#+a'i.n: no siem"#e existe $a %un'i.n in+e#sa Pa#a que exista $a %un'i.n in+e#sa !e % setiene que 'um"$i# que to!o e$emento !e 6 sea imagen0 1 que 'a!a e$emento !e 6 seaimagen !e un 5ni'o a#gumento En ot#as "a$a,#as0 "a#a que exista %^^ se tiene que 'um"$i#que % sea ,i1e'ti+a

De%ini'i.n: Sean !os %un'iones \A0 60 %] 1 \60 C0 g] Se !i'e que es $a %un'i.n 'om"uesta !e% 1 g si e$ 'on2unto !e "a#ti!a !e es e$ 'on2unto !e "a#ti!a !e %0 e$ 'on2unto !e $$ega!a !e es e$ 'on2unto !e $$ega!a !e g0 1 $a imagen !e un a#gumento x "o# g se o,tiene !e a"$i'a# a x$a %un'i.n % 1 a$ +a$o# %x; $a %un'i.n g

\A0 C0 ] %un'i.n 'om"uesta !e \A0 60 %] 1 \60 C0 g] x; K g\%x;]

%. CON!NTOS N!M&RICOS. OPERACIONES CON N'MEROS

amos a su"one# que U! 1a 'ono'e $os n5me#os0 $as o"e#a'iones que "ue!en #ea$i*a#se'on e$$os 1 sus "#o"ie!a!es m&s im"o#tantes Si esto no es 'ie#to0 a$gunas !e $as!i%i'u$ta!es que se $e a,#&n !e "#esenta#0 U! "o!#& #eso$+e#$as 'on $a a1u!a !e una'om"uta!o#a "e#sona$ o 'on una 'a$'u$a!o#a !e ,o$si$$o Pe#o a$gunos "#o,$emas que!a#&nsin #eso$+e#0 1 ot#os #esu$ta#&n !emasia!o 'om"$i'a!os si se !es'ono'en $os m/to!os "a#asim"$i%i'a#$os Es 'on ese o,2eto e$ #eso$+e# o sim"$i%i'a# a$gunos "#o,$emas que se es'#i,enestas $(neas

Em"e'emos 'on $os n5me#os natu#a$es nota'i.n: N; E$$os son:



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170 )0 90 0 0 0

Los "untos sus"ensi+os in!i'an que se t#ata !e un 'on2unto in%inito Pa#a un natu#a$ !a!otan g#an!e 'omo se quie#a;0 siem"#e es "osi,$e en'ont#a# un natu#a$ m&s g#an!e Sinem,a#go0 ent#e !os natu#a$es no siem"#e es "osi,$e en'ont#a# ot#o natu#a$ ent#e e$ 1 e$

no a1 ning5n natu#a$;

E$ #esu$ta!o !e suma# o mu$ti"$i'a# !os natu#a$es es siem"#e ot#o n5me#o natu#a$ Pe#o $a#esta !e natu#a$es o $a !i+isi.n no tienen0 siem"#e0 un #esu$ta!o natu#a$ Po# e2em"$o0 - K-90 que no es un n5me#o natu#a$0 1 : K K 00 que tam"o'o es un n5me#o natu#a$Ot#o tanto o'u##e 'on $a #a!i'a'i.n: f K90 f )9 K 0 "e#o f +(io tiene un #esu$ta!o@exa'to ex"#esa,$e en n5me#os natu#a$es ni siquie#a en n5me#os !e'ima$es; Estas$imita'iones 'on!u'en a $a am"$ia'i.n !e $os 'on2untos !e n5me#os

Pe#o +o$+ien!o a $os n5me#os natu#a$es 1 sus o"e#a'iones0 es ne'esa#io %i2a# a$gunas #eg$asSi se tiene $a ex"#esi.n:

d 9 x

Es ne'esa#io esta,$e'e# en qu/ o#!en !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones0 "o#que seg5n 'ua$sea e$ o#!en0 e$ #esu$ta!o es !i%e#ente Su"ongamos que e$ o#!en 'onsiste en #ea$i*a# $aso"e#a'iones en e$ o#!en en que a"a#e'en en $a ex"#esi.n Enton'es $a "#ime#a o"e#a'i.n a#ea$i*a# se#(a d 9 K La segun!a0 $a mu$ti"$i'a'i.n !e este #esu$ta!o "o# 0 x K )

> $a te#'e#a0 'onsisti#(a en e$e+a# este #esu$ta!o a $a 'ua#ta "oten'ia: )K )x$x$x ) K9

Sin em,a#go0 sa,emos que /ste es un #esu$ta!o @equi+o'a!o0 "o#que en matem&ti'a $aso"e#a'iones no se #ea$i*an en e$ o#!en en que a"a#e'en0 sino siguien!o unas #eg$as !e"#io#i!a! En este senti!o0 $as #eg$as esta,$e'en que:

En "#ime# $uga#0 !e,en #ea$i*a#se $as o"e#a'iones !e "oten'ia'i.n 1 #a!i'a'i.nam,as tienen $a misma "#io#i!a!;

En segun!o $uga#0 $as o"e#a'iones !e mu$ti"$i'a'i.n 1 !e !i+isi.n am,as tienen $amisma "#io#i!a!;

En te#'e# $uga#0 $as o"e#a'iones !e suma 1 #esta am,as tienen $a misma "#io#i!a!;

En 'onse'uen'ia0 siguien!o 'on e$ e2em"$o ante#io#0 $a "#ime#a o"e#a'i.n a #ea$i*a# es K) La ex"#esi.n #esu$ta ao#a as(:

d 9 x )

Las #eg$as !e "#io#i!a! esta,$e'en que a 'ontinua'i.n se !e,e #ea$i*a# $a mu$ti"$i'a'i.n0o,teni/n!ose: 9 x ) K )9 La 5$tima !e $as o"e#a'iones es $a suma0 d )9 K )0#esu$ta!o %ina$ !e $a ex"#esi.n o#igina$

Pa#a #ea$i*a# $as o"e#a'iones 'om,ina!as emos a"$i'a!o0 ent#e ot#as0 $a #eg$a que !i'e que$os signos @d 1 @menos se"a#an t/#minos O,s/#+ese que esta #eg$a esta,$e'e que "#ime#o!e,en e%e'tua#se $as @ot#as o"e#a'iones0 1 %ina$mente $as !e suma 1 #esta Este es un 'aso"a#ti'u$a# !e $as #eg$as !e "#io#i!a! que enun'iamos m&s a##i,a



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18

> si en #ea$i!a! $as o"e#a'iones que que#(amos #ea$i*a# en $a ex"#esi.n !e$ e2em"$o e#an$as !e$ o#!en !e a"a#i'i.n En este 'aso a,#(a que 'am,ia# e$ o#!en !e "#io#i!a! E$inst#umento "a#a a'e#$o es e$ "a#/ntesis\ d 9; x ]

Los "a#/ntesis "e#miten 'am,ia# $as #eg$as !e "#io#i!a! int#o!u'ien!o $as siguientes #eg$asa!i'iona$es

En "#ime# $uga#0 !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones in!i'a!as !ent#o !e$ "a#/ntesis'u#+o

En segun!o $uga#0 !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones in!i'a!as !ent#o !e$ "a#/ntesis#e'to

En te#'e# $uga#0 !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones in!i'a!as !ent#o !e $as $$a+es

$uego +e#emos un e2em"$o;

A$ inte#io# !e 'a!a "a#/ntesis 1 %ue#a !e e$$os se siguen a"$i'an!o $as #eg$as !e"#io#i!a! antes enun'ia!as

En $a 5$tima ex"#esi.n0 e$ "a#/ntesis 'u#+o in!i'a que $a "#ime#a o"e#a'i.n a e%e'tua# esd9; E$ "a#/ntesis #e'to0 que $a segun!a o"e#a'i.n 'onsiste en mu$ti"$i'a# "o# e$#esu$ta!o !e d9;0 d9; xK)0 1 %ina$mente )K 9

Ot#o e2em"$o: 9x J: \ - 9; x] K 9x J: \x] K 9x J:)9 K 9x J09 K 0

A$gunas 'om"uta!o#as 1 'a$'u$a!o#as !e ,o$si$$o no #e'ono'en $os "a#/ntesis #e'tos o $as$$a+es0 1 t#a,a2an 'om,inan!o $os "a#/ntesis 'u#+os En e$ mismo e2em"$o ante#io#0 $aso"e#a'iones a e%e'tua# se in!i'a#(an as(:

9x :-9; x;;

La #eg$a !e "#io#i!a! en este 'aso es que se !e,en e%e'tua# $as o"e#a'iones 'onteni!as en$os "a#/ntesis en e$ o#!en !e @a!ent#o a'ia %ue#a En e$ e2em"$o0 "#ime#o se 'a$'u$a -9;0a$ #esu$ta!o se $o mu$ti"$i'a "o# 0 et'

Ot#a %o#ma !e a$te#a# $as #eg$as !e "#io#i!a! 'onsiste en exten!e# $os signos !e !i+isi.n o !e

#a!i'a'i.n0 'omo a 'ontinua'i.n se ex"$i'a Si que#emos e%e'tua# $a o"e#a'i.n :0 /statam,i/n "ue!e es'#i,i#se .

6

3 Si $a o"e#a'i.n a e%e'tua# es :d9;0 /sta tam,i/n

"ue!e ex"#esa#se d9;6

3+2 En 'onse'uen'ia0 $a @#a1a $a#ga !e !i+isi.n o"e#a !e $a

misma %o#ma que un "a#/ntesis0 in!i'an!o que tiene "#ime#a "#io#i!a! $a suma d9;0 1 que$uego !e,e e%e'tua#se $a !i+isi.n

Ot#o tanto o'u##e 'on $a #a!i'a'i.n d in!i'a que "#ime#o !e,e #ea$i*a#se $a suma0 1$uego $a #a(* 'ua!#a!a En 'am,io0 en $a ex"#esi.n i d 0 "#ime#o !e,e e%e'tua#se $a #a(*'ua!#a!a 1 $uego $a suma



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19En uno !e $os e2em"$os ante#io#es int#o!u2imos $os n5me#os 09 1 0 que no sonn5me#os natu#a$es eamos "o# qu/ se a'e ne'esa#io int#o!u'i# nue+as 'atego#(as !en5me#os

En "#ime# $uga#0 $a #esta !e !os n5me#os natu#a$es no siem"#e !a 'omo #esu$ta!o un n5me#o

natu#a$ Po# e2em"$o0 - no es natu#a$ 10 en 'onse'uen'ia0 si se quie#e gene#a$i*a# $a #esta0es ne'esa#io !e%ini# un 'on2unto !e n5me#os que in'$u1a0 ent#e ot#os0 e$ #esu$ta!o !e - Ta$'on2unto es e$ !e $os n5me#os ente#os E$$os son $os natu#a$es a'om"a3a!os !e un signo@m&s o @menos:

....,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,....

Los n5me#os ente#os se #e"#esentan 'on $a $et#a E 1 %o#man un 'on2unto in%inito0 1 "a#aao##a# es%ue#*o0 $os n5me#os @"ositi+os se es'#i,en sin e$ signo d Este que!aso,#eenten!i!o Po#que en $a "#&'ti'a0 $os ente#os "ositi+os %un'ionan 'omo $os n5me#osnatu#a$es Esto es0 se "ue!en #ea$i*a# $as mismas o"e#a'iones 1 go*an !e $as mismas

"#o"ie!a!es

En qu/ se !i%e#en'ian $os ente#os !e $os natu#a$es Ent#e $os ente#os siem"#e es "osi,$e#ea$i*a# $a sust#a''i.n0 es !e'i#0 $a #esta !e !os ente#os es un n5me#o ente#o Como'onse'uen'ia !e e$$o0 "a#a 'a!a ente#o0 siem"#e existe un ente#o @o"uesto E$ o"uesto !ed es -0 e$ o"uesto !e - es d0 et' Fo#ma$i'emos esta "#o"ie!a! 2unto 'on ot#as !einte#/s gene#a$

P;opiedades de la s


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2In!i'a que a1 !os %o#mas !e #ea$i*a# $a o"e#a'i.n 'om,ina!a: en una !e e$$as "#ime#o sesuma , d '; 1 a$ #esu$ta!o se $o mu$ti"$i'a "o# a4 en $a ot#a0 "#ime#o se mu$ti"$i'an a 'on , 1a 'on '0 1 $uego am,os #esu$ta!os se suman

Cuan!o en un 'on2unto C se !e%inen !os o"e#a'iones @d 1 @; que 'um"$en am,as 'on $as

"#o"ie!a!es )0 90 1 0 m&s $a !ist#i,uti+a0 enton'es se !i'e que C0 d0; tiene est#u'tu#a !e'ue#"o

Est& '$a#o que JE0 d0 no tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o0 ex'$usi+amente "o#que no se 'um"$e $a"#o"ie!a! "a#a e$ "#o!u'to: en ente#os no se +e#i%i'a $a existen'ia !e in+e#so En gene#a$0!a!o un ente#o a0 no existe ot#o ente#o a^ ta$ que a x a^ K ) !on!e ) es e$ neut#o !e$"#o!u'to; Po# e2em"$o0 e$ in+e#so !e -; se#(a -); "o#que -; x -$; K ) Pe#o -); noes un n5me#o ente#o

Esta $imita'i.n !e $os ente#os se $e+anta 'on $a int#o!u''i.n !e $os n5me#os #a'iona$estam,i/n 'ono'i!os 'omo @%#a''iones o n5me#os @!e'ima$es; Po# !e%ini'i.n $os n5me#os#a'iona$es son 'o'ientes !e $a %o#ma a,0 !on!e a 1 , son ente#os 1 , j

E$ 'on2unto !e $os n5me#os #a'iona$es Q; es un 'on2unto 'on in%initos e$ementos0 "e#o 'onuna "#o"ie!a! que no tienen $os natu#a$es ni $os ente#os: ent#e !os #a'iona$es !i%e#entes0siem"#e a1 ot#o #a'iona$ P#o,emos esta a%i#ma'i.n0 'ono'i!a 'on e$ nom,#e !e @!ensi!a!

Sean a 1 , !os #a'iona$es !i%e#entes0 sea a _ , Si a es negati+o 1 , "ositi+o0 enton'es ent#eam,os est& e$ #a'iona$ 'e#o P#o,emos que ent#e !os #a'iona$es "ositi+os siem"#e a1 ot#o#a'iona$ $a "#ue,a es simi$a# si am,os son negati+os; Sean $os #a'iona$es "ositi+os "q 1#s P#o,a#emos que "d#; qds; es ot#o #a'iona$ que est& ent#e aque$$os !os "d#; qds;es un #a'iona$ "o#que "d#; es un ente#o 1 qds; tam,i/n $o es0 1 a!em&s es qds; "o#que am,os son "ositi+os; Se t#ata !e un 'o'iente !e ente#os que0 "o# !e%ini'i.n0 es unn5me#o #a'iona$

"d#; qds; _ #s0 si se 'um"$e que "d#;s _ qds;#0 o tam,i/n0 a"$i'an!o $a"#o"ie!a! !ist#i,uti+a:

"s d #s _ q# d s#

Po# $a "#o"ie!a! 'onmutati+a !e$ "#o!u'to #esu$ta #s K s# Si #estamos a am,os miem,#os!e $a !esigua$!a! $a 'anti!a! #s0 enton'es $a !esigua$!a! se mantiene Resu$ta: "s _ q#0que es equi+a$ente !e "q _ #s0 que es $a i".tesis !e "a#ti!a La 'a!ena !e si$ogismos+a$e tam,i/n en e$ senti!o 'ont#a#io0 1 'on e$$o que!a !emost#a!o que si "q _ #s0enton'es "d#; qds; _ #s La "#ue,a se 'om"$eta !emost#an!o en %o#ma an&$oga que "q

_ "d#; qds;



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21Cuan!o un 'on2unto num/#i'o tiene $a "#o"ie!a! que ent#e !os e$ementos !e$ 'on2untosiem"#e a1 ot#o0 se !i'e que e$ 'on2unto es !enso Como e$ 'on2unto Q es !enso0 "a#e'e#a*ona,$e que "o!amos esta,$e'e# una 'o##es"on!en'ia una %un'i.n; ent#e $os e$ementos!e Q 1 $os "untos !e una #e'ta So,#e una #e'ta !amos un senti!o en $a !i#e''i.n !e $a%$e'a;0 un o#igen e$ "unto ; 1 una uni!a! !e me!i!a e$ segmento OA tiene me!i!a @); E$

senti!o !e $a #e'ta nos in!i'a $a !i#e''i.n en $a 'ua$ '#e'en $os n5me#os

Cua$quie# n5me#o !e Q tiene un 'o##es"on!iente "unto so,#e $a #e'ta Pa#a u,i'a# e$'o##es"on!iente !e 9 se "#o'e!e 'omo sigue: se !i+i!e e$ segmento O A en t#es "a#tesigua$es0 1 $uego se toma e$ !o,$e !e una !e esas "a#tes E$ segmento #esu$tante se mi!e a"a#ti# !e O en e$ senti!o !e $a %$e'a0 1 e$ segun!o ext#emo in!i'a e$ "unto 'o##es"on!iente a9 Pa#a u,i'a# e$ 'o##es"on!iente !e$ n5me#o - en $a #e'ta0 se !i+i!e OA en t#es "a#tesigua$es 1 $uego se toma un segmento 'uat#o +e'es m&s g#an!e que e$ te#'io a$$a!o E$

segmento #esu$tante se mi!e a "a#ti# !e O en e$ senti!o 'ont#a#io a$ !e $a %$e'a E$ segun!oext#emo !e$ segmento !ete#mina e$ "unto 'o##es"on!iente a -

Ca,e "#egunta#se si tam,i/n se 'um"$e e$ #e'("#o'o: a to!o "unto so,#e $a #e'ta $e'o##es"on!e un n5me#o #a'iona$ La #es"uesta es negati+a Como e2em"$o0 "ue!e toma#see$ #esu$ta!o !e $a #a!i'a'i.n0 una !e $as o"e#a'iones in+e#sas !e $a "oten'ia'i.n

9 K "o#que 9K 9

son #a'iona$es Pe#o 9 no tiene #es"uesta en e$ 'on2unto!e $os #a'iona$es Po# e$ a,su#!o: si 1=9 %ue#a #a'iona$0 enton'es se "o!#(a es'#i,i# 'omo'o'iente !e !os ente#os: 9 K a,0 !on!e a 1 , son ente#os sin %a'to#es 'omunes%#a''i.n #e!u'i!a; Po# !e%ini'i.n0 #esu$ta 9 K a,;9 Se !e!u'e: 9,9K a9 Como e$%a'to# 9 a"a#e'e a $a i*quie#!a en $a igua$!a!0 a9tam,i/n !e,e 'ontene# e$ %a'to# 9Enton'es e$ n5me#o a "ue!e es'#i,i#se !e $a %onna a K 9' Enton'es: a 9K 9';9K '9 9 99 9 Enton'es: 9, K ' 0 o $o que es $o mismo0 , K 9' Con e$ mismo #a*onamiento0 ,'ontiene e$ %a'to# 90 $o 'ua$ es a,su#!o "o#que a 1 , e#an !os ente#os sin %a'to#es'omunes Con'$usi.n: 9 no es un n5me#o #a'iona$ Lo mismo o'u##e 'on mu'os ot#os#esu$ta!os !e $a #a!i'a'i.n0 1 tam,i/n 'on $os !e $a ot#a o"e#a'i.n in+e#sa !e $a

"oten'ia'i.n0 $a $oga#itma'i.nSi se quie#e u,i'a# e$ "unto so,#e $a #e'ta 'o##es"on!iente a 90 a$'an*a 'on 'onst#ui# un

'ua!#a!o !e $a!o ) Po# Pit&go#as0 $as !iagona$es !e$ 'ua!#a!o mi!en 9 Toman!o $a!iagona$ !e$ 'ua!#a!o0 'on o#igen en O 1 en e$ senti!o !e $a %$e'a0 e$ segun!o ext#emo !e $a!iagona$ "#o1e'ta!a in!i'a e$ "unto !e $a #e'ta 'oiTes"on!iente ak9

o ) 9To!os $os "untos so,#e $a #e'ta que no se 'o##es"on!en 'on un n5me#o #a'iona$0 se

!enominan i##a'iona$es Se !e%ine e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es R; 'omo $a uni.n !e Q'on e$ 'on2unto !e $os i##a'iona$es



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22

Enton'es 9 1 s2O,s e$e+a'ionesa; E$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es 'om"$eta $a #e'ta A 'a!a n5me#o !e R $e 'o##es"on!e

un "unto so,#e $a #e'ta 1 +i'e+e#sa La #e$a'i.n ent#e R 1 $os "untos !e $a #e'ta es una%un'i.n ,i1e'ti+a

,; E$ 'on2unto R es in%inito 1 !enso'; To!os $os #esu$ta!os !e $a #a!i'a'i.n son n5me#os #ea$es La #es"uesta esnegati+a -"o# e2em"$o -l no es un n5me#o #ea$- 1 este es e$ o#igen !e una nue+a 'atego#(a!e n5me#os0 $os n5me#os 'om"$e2os0 que nosot#os no estu!ia#emos

Los n5me#os #ea$es son0 !e $os que emos "#esenta!o0 e$ 'on2unto m&s am"$io en e$que se "ue!en !e%ini# $as o"e#a'iones #a'iona$es -suma0 #esta0 mu$ti"$i'a'i.n 1 !i+isi.n- sin#est#i''iones ex'e"to $a !i+isi.n ent#e 'e#o;0 "e#o tam,i/n $a "oten'ia'i.n - 'on a$gunas#est#i''iones- 1 tam,i/n sus o"e#a'iones in+e#sas: #a!i'a'i.n 1 $oga#itma'i.n De!i'a#emosestas 5$timas notas a "#esenta# estas o"e#a'iones 1 sus "#in'i"a$es "#o"ie!a!esPoten'ia'i.nlaaaa "#o!u'to !e n %a'to#es a0 si n es natu#a$;De%ini'i.n: a^)Kl-------------------- laK )O,se#+a'ionesa; ono est& !e%ini!o0 no es un n5me#o,; Si n no es natu#a$0 $a !e%ini'i.n !e a))es un "o'o m&s 'om"$i'a!a 1 no noso'u"a#emos !e e$$a Digamos que "o!emos #eso$+e# $os "#o,$emas que se nos "#esentenusan!o $a %un'i.n x1que tienen to!as $as m&quinas 'ient(%i'as As(0 "a#a 'a$'u$a# )00se"#o'e!e !e $a siguiente mane#a:- se int#o!u'e en $a m&quina e$ n5me#o )0

- se a"#ieta $a te'$a @x1- se int#o!u'e 0- se a"#ieta $a te'$a @K- se o,tiene )0)9)9

A$gunas m&quinas exigen que en e$ "#ime# "aso se int#o!u*'a 0 1 en e$ te#'e# "aso e$n5me#o )0 A$gunas m&quinas tienen un +iso# m&s "eque3o 'on menos !(gitos; 1 $a#es"uesta "o!#(a se# )0)9) En am,os 'asos se t#ata !e a"#oxima'iones !e un n5me#o#ea$0 'u1a ex"#esi.n !e'ima$ 'ontiene in%initas 'i%#as )00"ue!e inte#"#eta#se 'omo e$monto que gene#a un 'a"ita$ !e ) 'o$o'a!o a inte#/s 'om"uesto0 a $a tasa !e$ anua$!u#ante 0 a3os O,s/#+ese que )0)G es una a"#oxima'i.n su%i'iente "a#a este 5$timo"#o,$ema0 !a!o que s.$o existe $a "osi,i$i!a! !e 'o,#a# o "aga# 'on %#a''iones que $$egan

asta $os 'ent/simosP#o"ie!a!es !e =a "oten'ia'i.n

Sean: a0 ,0 n 1 m n5me#os natu#a$es0 a 1 , ) anamK andm"#o!u'to !e "oten'ias !e igua$ ,ase;QHH

9 b K ankm'o'iente !e "oten'ias !e igua$ ,ase; an,nK a,;n"#o!u'to !e "oten'ias !e igua$ ex"onente; k 2 'o'iente !e "oten'ias !e igua$ ex"onente; an;mK an m"oten'ia !e "oten'ia;E2em"$o: uti$i*a# $as "#o"ie!a!es ante#io#es "a#a sim"$i%i'a#H o

9 Ho



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239; 9-H-S 9-Hp K 9p xxp K)9;H9HH9HH

Ra!i'a'i.nDe%ini'i.n: 1\a K , _K` a K ,n

E2em"$o:

+(kK 9 "o#que K 9

La %o#ma m&s %&'i$ !e #eso$+e# $os "#o,$emas !e#a!i'a'i.n0 'onsiste en t#ans%o#ma#$os en "#o,$emas !e "oten'ia'i.n0 a!o"tan!o $a siguiente!e%ini'i.n 'om"$ementa#ia:^a Kan

1 uti$i*an!o $a m&quina !e 'a$'u$a# 'on $as te'$as @x 1 o @x)1Cuan!o se tienen +a#ios #a!i'a$es0 #esu$tan 5ti$es $os siguientes #esu$ta!os

P#o"ie!a!es !e $a #a!i'a'i.n

La ex"#esi.n 1%a est& !e%ini!a en e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es si:- n Qs im"a# 1 a un #ea$ 'ua$quie#a0 o- n es "a# 1 a es un #ea$ no negati+o

Que $a ex"#esi.n est& !e%ini!a signi%i'a que "ue!e 'a$'u$a#se exa'tamente o 'on unaa"#oxima'i.n !e'ima$ $as m&s !e $as +e'es; "o# e2em"$o0 'on $a a1u!a !e una 'a$'u$a!o#aQue no existe $a ex"#esi.n "a#a un #a!i'an!o negati+o 1 un (n!i'e "a#0 signi%i'a que se t#ata!e una o"e#a'i.n no "e#miti!a !ent#o !e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$esLoga#itma'i.n

De%ini'i.n: $og, x K a _K` x K ,aPa#a que tenga senti!o "a#a que sea un n5me#o #ea$; $a ex"#esi.n !e$ $oga#itmo0 se

#equie#en t#es 'on!i'iones a sa,e#:x`0 ,` 1 , )

De $a !e%ini'i.n se !e!u'e que $a $oga#itma'i.n es una !e $as o"e#a'iones in+e#sas !e $a"oten'ia'i.n: se 'ono'e $a "oten'ia !e $a ,ase ,; 1 e$ #esu$ta!o !e $a "oten'ia x;0 1 $ain'.gnita es e$ ex"onente a; a$ 'ua$ !e,e e$e+a#se $a ,ase "a#a o,tene# aque$ #esu$ta!o x;De $a "#o"ia !e%ini'i.n se !e!u'e que:

) $og, , K )9 $og, ) K $og, ,nK n $og, ,

Con un "o'o !e t#a,a2o a!i'iona$ se !emuest#an $as siguientes "#o"ie!a!es $og, a d $og, ' K $og, a'; $og, a - $og, ' - $og, a'; i $o'a

$og, a K --------$og',P#o,$ema

Un 'a"ita$ !e ) se 'o$o'a a$ mensua$ e%e'ti+o !e inte#/s 'om"uestoSe "i!e 'a$'u$a# $os inte#eses a'umu$a!os $uego !e: a; meses0 1 ,; meses 1 ) !(as

La %.#mu$a !e$ monto gene#a!o "o# un 'a"ita$ C; 'o$o'a!o a inte#/s 'om"uesto a $a tasai !u#ante t "e#(o!os es:

M K C$ di;)



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24La %.#mu$a es +&$i!a siem"#e que $a tasa !e inte#/s 1 e$ "e#(o!o !e $a 'o$o'a'i.n se

mi!an en $a misma uni!a! !e tiem"o "o# e2em"$o0 en meses; La %.#mu$a "a#a 'a$'u$a# e$inte#/s es:I K M - C

Ao#a es "osi,$e #eso$+e# $os !os "#o,$emas antes "$antea!os

a; Inte#/s gene#a!o en meses: M - C K )$d0;

- ) K )G90H,; En meses 1 ) !(as: M-C K ))d0;d);- ) K )0Ex"#esiones !e'ima$es 1 nota'i.n 'ient(%i'a

Las 'a$'u$a!o#as 'ient(%i'as0 sa$+o ex'e"'iones0 no !e+ue$+en $os #esu$ta!os !e $aso"e#a'iones en %o#ma %#a''iona#ia0 sino que $o a'en 'on nota'i.n !e'ima$ Los siguientesson a$gunos e2em"$os:) K09 K )0)9) $og 9 K 0) L9 K 0G)H

Pa#a a"#o+e'a# me2o# e$ es"a'io !e$ +iso#0 $a 'a$'u$a!o#a uti$i*a0 'uan!o $o ne'esita0 $anota'i.n 'ient(%i'a 'on "oten'ias !e ) E2em"$os:0 K x )rH

K 0 x )1

E2em"$os !e o"e#a'iones "#oi,i!as en e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$eso 9-l=b a 'on a ` $og2 a $oga $og ;-O#igen !e $os n5me#os e 1 n

H) es $a 'onstante "o# $a que se !e,e mu$ti"$i'a# e$ !i&met#o !e una 'i#'un%e#en'ia "a#aa$$a# e$ "e#(met#o !e !i'a 'i#'un%e#en'ia Los antiguos g#iegos '#e(an que !i'a 'onstantee#a igua$ a$ 'o'iente 99 ent#e H) que es una ex'e$ente a"#oxima'i.n; Resu$ta que Hi esun n5me#o #ea$0 no #a'iona$0 que ni siquie#a "ue!e es'#i,i#se usan!o #a!i'a$es Se !i'e quen es un n5me#o @t#as'en!ente0 $o que signi%i'a que !i'o n5me#o no "ue!e se# #a(* !eninguna e'ua'i.n "o$in.mi'a !e 'oe%i'ientes ente#os

E$ n5me#o e en ono# !e$ matem&ti'o Eu$e#; es ot#o #ea$ t#as'en!ente Se $o uti$i*a

'omo ,ase !e $os $oga#itmos @natu#a$es o @ne"e#ianos Pue!e o,tene#se una a"#oxima'i.n!e !i'o n5me#o toman!o a$gunos t/#minos !e $a suma in%inita:))))) W ) i ) ,)? 9? ? ?o toman!o n g#an!e en $a ex"#esi.n )d b; Po# e2em"$o: e K )d0OI; )s 90HnUna me2o# a"#oxima'i.n !e$ n5me#o e es 90H)9)9Una a"$i'a'i.n !e $oga#itmos

En e$ "#o,$ema !e $a 'o$o'a'i.n %inan'ie#a ten(amos un 'a"ita$ !e ) 'o$o'a!o a$ !e inte#/s mensua$ e%e'ti+o Nos "#eguntamos ao#a "o# 'u&nto tiem"o !e,e#&"e#mane'e# 'o$o'a!o e$ 'a"ita$ "a#a gene#a# 9 !e inte#/s Leona#!o Eu$e# )HH-)H; matem&ti'o sui*o que a!em&s in+estig. en e$ 'am"o !e $a%(si'a0 $a qu(mi'a0 $a meta%(si'a 1 $a ast#onom(a

So$u'i.n: gene#a# 9 !e inte#/s es $o mismo que gene#a# un monto !e )9 E$"$anteo es enton'es as(:)9 K ))d0;)

!on!e $a in'.gnita a en'ont#a# es @t0 e$ tiem"o que !e,e "e#mane'e# 'o$o'a!o e$ 'a"ita$"a#a gene#a# 9 !e inte#/s O"e#an!o en $a e'ua'i.n #esu$ta:$0$K )09

Pasan!o a $oga#itmos: $og$0t; K $og )09 1 uti$i*an!o una !e $as "#o"ie!a!es !e$oga#itmos se o,tiene:t x $og$0 K $og )09tK$og$ $og )09



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25En'ont#amos que e$ 'a"ita$ !e,e 'o$o'a#se "o# a"#oxima!amente meses 1 !(as "a#a

gene#a# 9 !e inte#/sCotas 1 ext#emos !e un 'on2unto

Los 'on2untos !e n5me#os "ue!en se# %initos o in%initos N0 E0 Q 1 R son e2em"$os !e'on2untos in%initos En +i#tu! !e $a !ensi!a! !e $os #a'iona$es 1 !e $os #ea$es0 sa,emos que

ent#e !os #a'iona$es #ea$es; a1 tam,i/n in%initos #a'iona$es #ea$es;Se !i'e que un 'on2unto es in%inito nume#a,$e si sus e$ementos se "ue!en a'e#'o##es"on!e# ,iun(+o'amente 'on e$ 'on2unto !e $os natu#a$es Aunque "a#e*'a una"a#a!o2a0 e$ 'on2unto !e $os n5me#os natu#a$es "a#es P; se "ue!e "one# en 'o##es"on!en'ia,iun(+o'a 'on N4 en 'onse'uen'ia0 P es un 'on2unto in%inito nume#a,$eP NA j AU 9_

"t U )

W j 9

O j _

i D

-

_)

v i?

No es %&'i$0 "e#o se "ue!e !emost#a# que Q es un 'on2unto in%inito nume#a,$e En'am,io0 R es un 'on2unto in%inito no nume#a,$e tam"o'o es %&'i$ $a !emost#a'i.n;0 1 tam,i/nes un 'on2unto in%inito no nume#a,$e 'ua$quie# inte#+a$o !e n5me#os #ea$es

Cu&$es son $os 'on2untos !e n5me#os m&s usua$es en Matem&ti'a La #es"uesta es: e$

'on2unto N0 e$ 'on2unto R 1 'ie#tos su,'on2untos !e R que se !e%inen a 'ontinua'i.nInte#+a$o 'e##a!o !e ext#emos a 1 ,: \a0 ,] K Jx: x 7 R0 a _ x _ ,Inte#+a$o a,ie#to !e ext#emos a 1 ,: a0 ,; K Jx: x 7 R0 a _ x _ ,Inte#+a$o semia,ie#to "o# i*quie#!a: a0 ,] K Jx: x 7 R0 a _ x _ ,Inte#+a$o semia,ie#to "o# !e#e'a: \a0 ,; K Jx: x 7 R0 a _ x _ ,Semi-#e'ta !e $os "untos a $a !e#e'a !e w0 'on w in'$ui!o K Jx: x 7 R0 x ` wCuan!o w es @g#an!e0 este 'on2unto tam,i/n se 'ono'e 'omo @ento#no !e d in%inito Semi-#e'ta !e $os "untos a $a i*quie#!a !e W0 'on W ex'$ui!o KJx:x7R0x_WSi W es negati+o 1 @g#an!e0 este 'on2unto se !enomina @ento#no !e - in%inito;Ento#no !e 'ent#o @a 1 #a!io @#: Ua #K Jx: x 7 R0 a - # _ x _ a d #Ento#no #e!u'i!o !e 'ent#o @a 1 #a!io @#: Uja #K Jx: x 7 R0 x a0 a - # _ x _ a d #

De%ini'i.n: Se !i'e que un 'on2unto A !e n5me#os est& a'ota!o si se 'um"$en a $a +e*$as !os 'on!i'iones siguientes:a; un n5me#o w ta$ que x _ w x 7A,; un n5me#o W ta$ que x W x 7ANo a1 No a1e$ementos !e A Con2unto A e$ementos !e AW w

Se !i'e que e$ 'on2unto A est& a'ota!o su"e#io#mente si se 'um"$e $a 'on!i'i.n a; Se!i'e que e$ 'on2unto A est& a'ota!o in%e#io#mente si se 'um"$e $a 'on!i'i.n ,; Se !i'e quew es una 'ota su"e#io# !e$ 'on2unto A0 1 que W es una 'ota in%e#io# !e$ 'on2unto AO,s emo'iones



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26) Si e$ 'on2unto A es %inito0 enton'es est& a'ota!o A$'an*a 'on o#!ena# $os e$ementos !e

A !e meno# a ma1o#0 1 enton'es e$ meno# es una 'ota in%e#io# mient#as que e$ ma1o#+a$o# !e A es una 'ota su"e#io#

9 Si w es una 'ota su"e#io# !e$ 'on2unto A0 enton'es to!o n5me#o ma1o# que w tam,i/n es'ota su"e#io# !e A Si W es una 'ota in%e#io# !e$ 'on2unto A0 enton'es to!o n5me#o meno#

que W tam,i/n $o es Si e$ 'on2unto A es in%inito0 enton'es "ue!e o no esta# a'ota!o E2em"$os:N est& a'ota!o in%e#io#mente "e#o no su"e#io#mente es una 'ota in%e#io#

No es "osi,$e en'ont#a# un w: n _ w n 7N Enton'es0 N no est& a'ota!o - E$ 'on2unto Eno est& a'ota!o in%e#io# ni su"e#io#mente\a0 ,] es un 'on2unto a'ota!o Po# e2em"$o0 , 1 ,d); son 'otas su"e#io#es0 mient#as que a 1a-; son 'otas in%e#io#es- 12a ses un 'on2unto a'ota!o0 a-#; 1 ad#; son una 'ota in%e#io# 1 ot#a su"e#io#

Si un 'on2unto A a!mite 'otas su"e#io#es0 $a meno# !e $as 'otas su"e#io#es se $$amasu"#emo !e$ 'on2unto A Si e$ su"#emo0 a!em&s0 "e#tene'e a$ 'on2unto A0 enton'es e$su"#emo se $$ama m&ximo o ext#emo su"e#io# !e$ 'on2unto A An&$ogamente0 si e$ 'on2unto A

a!mite 'otas in%e#io#es0 $a ma1o# !e $as 'otas in%e#io#es se $$ama (n%imo !e$ 'on2unto A0 1 sie$ (n%imo "e#tene'e a$ 'on2unto A0 enton'es se $$ama m(nimo o ext#emo in%e#io# !e$ 'on2untoAP#o,$ema

En $a E!a! Me!ia una +ie2ita 'uenta sus ga$$inas Si 'uenta !e 9 en 9 $e so,#a una0 si'uenta !e en $e so,#a una0 si 'uenta !e en $e so,#a una 1 si 'uenta !e en $eso,#a una Wa$$a# 'u&ntas ga$$inas tiene $a +ie2ita a; Wa$$a# e$ 'on2unto !e so$u'iones"osi,$es !e$ "#o,$ema0 ,; Wa$$a# e$ m(nimo !e !i'o 'on2untoE$ s(m,o$o sumato#ia

Los e$ementos !e un 'on2unto0 a +e'es0 se "ue!en es'#i,i# me!iante una %.#mu$a0 $o que"e#mite sim"$i%i'a# nota,$emente $a nota'i.n Po# e2em"$o0 e$ 'on2unto !e $os n5me#os

natu#a$es "a#es "ue!e sim,o$i*a#se "o# @9n !on!e n 7N An&$ogamente0 $a ex"#esi.n @9n d) sim,o$i*a un n5me#o natu#a$ im"a# 'ua$quie#a0 1 n9#e"#esenta a $os n5me#os natu#a$esque son 'ua!#a!os "e#%e'tos

En mu'as a"$i'a'iones es ne'esa#io #ea$i*a# o"e#a'iones ta$es 'omo $a suma o e$"#o!u'to !e n5me#os que tienen @$a misma %o#ma "o#que "e#tene'en a 'on2untos 'u1ose$ementos est&n #e$a'iona!os me!iante una %.#mu$a gene#a$ En estos 'asos0 $a suma !e!i'os n5me#os "ue!e es'#i,i#se uti$i*an!o $a $et#a sigma ma15s'u$a n; La ex"#esi.n:> Fo#mu$a!;4K]in!i'a que se !e,en suma# suman!os $os 'ua$es #esu$tan !e sustitui# e$ (n!i'e @i en $a@F.#mu$ai; "o# $os n5me#os natu#a$es )0 90 0 0 0 0 H 1 Enton'es:9 -i K 9) d 99 d 9 d 9 d 9 d 9 d 9H d 9Ki*9K )9d 99d9d 9d9

%KiB9-$; K d H d G d $$HK

C.mo "ue!e es'#i,i#se $a suma )H d 9) d 9 d 9G d d H d ); me!iante e$s(m,o$o sumato#ia Es ne'esa#io ex"$i'ita# $a @F.#mu$ai; 1 !ete#mina# e$ #e'o##i!o !e$ (n!i'e@i Pa#a en'ont#a# $a %.#mu$a0 "ue!e o,se#+a#se que se t#ata !e suman!os im"a#es0 que +an

sa$tan!o !e en Enton'es0 una %.#mu$a a"#o"ia!a es i d ); 'on i K 0 0 0H0 0 G 1 )



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27)H d 9) d9 d 9G d d H d ) K )HK

O,s/#+ese que i - ; tam,i/n si#+e 'omo %.#mu$a "a#a #eso$+e# e$ "#o,$ema En ta$'aso0 qu/ +a$o#es !e,e#(a toma# e$ (n!i'e i

Sea e$ 'on2unto A 'on n n5me#os0 'a!a uno !e $os 'ua$es se sim,o$i*a 'on x=

A K Jxi0 x90 x00 xnnLa suma !e to!os $os e$ementos !e A es: Tx0 1 e$ "#ome!io !e $os e$ementos

HK)!e A es:72 d x9d xdd x#I-

Su"ongamos ao#a que $os e$ementos !e$ 'on2unto se "ue!en !is"one# en un 'ua!#o !e!o,$e ent#a!a 'ua!#o !e %i$as 1 'o$umnas;0 !is"osi'i.n que se 'ono'e 'on e$ nom,#e !e@mat#i*C0

C9'CnFi xn 7$9 7$ 7$n%9 x9i 799 x9 x9n% 7) 79 7 7n

Fm 7m$ xm9 7m 7mnEsta mat#i* tiene m %i$as F20 F90 0 Fm; 1 n 'o$umnas Ci0 C90 0 Cn; La

nsuma !e $os e$ementos !e $a "#ime#a %i$a es 72 La suma !e $os e$ementos !e $a te#'e#a

HK)m'o$umna es x4 Pa#a %a'i$ita# $a nota'i.n en este 'aso #esu$ta 'on+eniente uti$i*a#HK)(n!i'es !istintos "a#a %i$as 1 'o$umnas Enton'es0 $a suma !e $os e$ementos !e $a te#'e#am'o$umna se "ue!e ex"#esa# tam,i/n as(:2K )

Si se t#ata ao#a !e suma# to!os $os e$ementos !e $a mat#i*0 enton'es se "ue!e uti$i*a#una @!o,$e sumato#ia:

Suma !e to!os $os e$ementos !e $a mat#i*: ESj0

M =KiP#o"ie!a!es !e =a sumato#ia) Constante mu$ti"$i'ati+a: wx0; K w 9`09 Sumato#ia !e una suma: d 10 ;K^x:dpB1$ Inte#+e#si.n !e$ s(m,o$o: y :)

p 2 iSi en $uga# !e suma# $os e$ementos x= se t#ata !e mu$ti"$i'a#$os0 enton'es se uti$i*a $a

ex"#esi.n"#o!u'to#ia me!iante e$ s(m,o$o "i ma15s'u$a:n7$7977nK >\7iK )

Po# e2em"$o0 "a#a #e"#esenta# e$ "#o!u'to !e Ix9xxxx9 me!iante e$s(m,o$o "#o!u'to#ia0 se tiene:9



28/80

28Ix9xxxx9 KK]

Se #e'ue#!a que "a#a este "#o!u'to "a#ti'u$a# - e$ "#o!u'to !e un n5me#o natu#a$ "o#to!os $os menos que /$ asta $$ega# a$ uno o tam,i/n @%a'to#ia$ !e$ n5me#o- existe unanota'i.n a5n m&s sim"$e usan!o e$ signo %ina$ !e a!mi#a'i.n:

Ix9xxxx9 K 9?Re"a#ti!o P#&'ti'o ): O"e#a'iones 'on n5me#os Uso !e $a 'a$'u$a!o#aE2e#'i'io )

Uti$i*an!o $as "#o"ie!a!es !e $as o"e#a'iones #a'iona$es0 in!i'a# si $as siguientesa%i#ma'iones son +e#!a!e#as ; o %a$sas F;

Fa; axd; K axd)a a0x z z

,; 9 - x; d 1 K 9 d 1 - x; x01 z z

'; -9;x - 1; K -9x - 91 x01 z z

!; d K z z

xx d 9; d x x d 9; d x ve; b)

------------------------------K--------------------- xz z

xx d ); x d )xx d 9; d x 2'd x z zxx d ); 7 d )g; -$;-9;--; K - ) z z; -) ;-9;- - ; K - ) z zi; 9oK ) z z 2; 9)K z z {; K z z i; (Ki z z

m; 1=9 K 9 z z

z z9E2e#'i'io 9Ca$'u$a# 'on $a 'a$'u$a!o#a0 a"#oximan!o 'on !os !e'ima$es0a; S K^ 9 9o;P;

-9;-^g;wX-S K

i; 9 KX 8;X{; ) d 0;90K); ) d 09;9K m; )) d 09;9K n; $og 9 Ko; $og 9 d $og K "; $og9-$og9 K q; $og ) K #; 90 9^KRe"a#ti!o P#&'ti'o 9: Sumato#ia0 'otas 1 ext#emos !e un 'on2unto E2e#'i'io )!atos Una 'anasta !e 'onsumo a$imenti'io se 'om"one !e a#t('u$os0 'on $os siguientesARTICULOi; CANTIDADqi; PRECIO"i; COSTOCX;

Le'e 9 ino )9 9 )



29/80

29Ca#ne ) 9Pan 'i'o 9 )Queso >e#,a 9 9SE PIDE:

) Ca$'u$a# e$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e +enta "#esu"uesto mensua$;9 Ca$'u$a# e$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e 'osto Ca$'u$a# e$ ma#gen 'ome#'ia$ tota$ Ca$'u$a# e$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n "o# "#o!u'to !e $a 'anasta Ca$'u$a# e$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n #e$ati+o "o# "#o!u'to !e $a 'anastaE2e#'i'io 9

Una 'anasta !e 'onsumo a$imenti'io se 'om"one !e { a#t('u$os { ` );0 'on $ossiguientes !atosARTICULO CANTIDAD PRECIO COSTO) 0 Pi Ci9 : P9 C9

P6 Cb b b b{ {O P{ C{SE PIDE:P$antea# uti$i*an!o e$ s(m,o$o !e sumato#ia) E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e +enta9 E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e 'osto E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e +enta !e $os "#ime#os 9 a#t('u$os E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e 'osto !e $os 5$timos ) a#t('u$os E$ ma#gen 'ome#'ia$ tota$ E$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n #e$ati+o "#ome!io0 "on!e#an!o 'on e$ +a$o# !e 'a!a "#o!u'to

en e$ "#esu"uesto mensua$H Ca$'u$a# e$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n #e$ati+o "#ome!io0 as( "on!e#a!o0 'on $os !atos !e$

E2e#'i'io )E2e#'i'io

Ca$'u$a# $as siguientes sumas)9;Bj K,;X=9KHK)'; 9Hb); KHK

E2e#'i'io Es'#i,i# uti$i*an!o e$ s(m,o$o !e sumato#ia:

a; 9 d d d d d) K,; ) d d d H d dH K'; ) d9 d d d ) d d )9 K!; )H d 9) d9 d9G d d H d ) d d G Ke; ) -9 d - d ) - d )9 K%; ) d -dbd -d Wbb KL8 9 9g; )d) d H d ? d ccc -; $ d d d J d d K

i; ) d 9 di d= d d|L d KE2e#'i'io



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3Wa$$a#0 si existen0 una 'ota in%e#io# 1 una 'ota su"e#io# !e $os siguientes 'on2untos

A KJ)000H00))6 K Jx: x K ) d )n0 'on n e N dCKJ7:7


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31Los "o$inomios "ue!en !e"en!e# !e una o m&s in!ete#mina!as una o m&s $et#as;

E$ g#a!o !e un "o$inomio es e$ ma1o# !e $os g#a!os !e sus monomiosE2em"$os: g#9x9 1; K g#9x]; K ) g#xj d 1)d *); K )g#9x d x)d x9- xd x; K g#xd x9d x; K

De%ini'i.n: Un "o$inomio en +a#ias in!ete#mina!as es omog/neo !e g#a!o n si to!os

sus monomios son !e g#a!o nE2em"$os:xd 1es omog/neo !e g#a!o x9d 9x1 d 19es omog/neo !e g#a!o 9ox es omog/neo !e g#a!o x d 91 no es un "o$inomio omog/neo

Consi!e#emos ao#a "o$inomios en una so$a in!ete#mina!a s.$o $a $et#a x; A$gunassim"$i%i'a'iones en $a nota'i.n Cuan!o un monomio tiene 'oe%i'iente 'e#o0 enton'es se $oe$imina !e$ "o$inomio Cuan!o e$ g#a!o !e un monomio es )0 enton'es no se es'#i,e e$ex"onente ) x)se es'#i,e x; E$ monomio xse es'#i,e sim"$emente

Se !i'e que un "o$inomio en una so$a in!ete#mina!a; est& #e!u'i!o si to!os sus

monomios son !e !istinto g#a!oE2em"$os:-xd x- 9x es un "o$inomio #e!u'i!o9xd x9- xno es un "o$inomio #e!u'i!o

Pa#a o,tene# un "o$inomio #e!u'i!o en e$ segun!o e2em"$o0 a$'an*a 'on #ea$i*a# $ac p O C O O )

o"e#a'ion 9x -x K9-;x K-xSe !i'e que un "o$inomio est& o#!ena!o si $os monomios a"a#e'en en o#!en '#e'iente

o !e'#e'iente !e sus g#a!osE2em"$os:9

9 d x d x -x d x es un "o$inomio o#!ena!o 9 i c c9x d x - x no es un "o$inomio o#!ena!o

Se !i'e que un "o$inomio !e g#a!o n es 'om"$eto si en su !esa##o$$o %igu#an to!os $osmonomios !e g#a!o meno# o igua$ que n0 'on 'oe%i'ientes !i%e#entes !e 'e#o

E2em"$os:9 d x d x9- xd xes un "o$inomio 'om"$eto-xd x- 9x no es un "o$inomio 'om"$eto $os monomios !eg#a!o 9 1 !e g#a!o tienen 'oe%i'iente ;9

E$ "o$inomio 9 d x d x -x d x es un "o$inomio #e!u'i!o0 o#!ena!o 1 'om"$etoLos "o$inomios son enti!a!es matem&ti'as -'omo $o son $os n5me#os 1 $os 'on2untos-

Se a'ostum,#a !enomina#$os 'on $et#as ma15s'u$as !e nuest#o a$%a,eto -'omo a $os'on2untos- 1 'uan!o es ne'esa#io se ex"$i'ita e$ nom,#e !e $a in!etennina!aPK 9 d x d x9-xd xPx; K 9 d x d x9- xd x

De%ini'i.n: Dos "o$inomios son igua$es si tienen e$ mismo g#a!o 10 una +e* #e!u'i!os 1o#!ena!os0 tienen igua$es to!os $os 'oe%i'ientes #es"e'ti+os

E2em"$o: Los "o$inomios P K 9 d x d x9- xd x1 Q K 9 d x d x9- xd axd,x0 !on!e a 1 , son n5me#os0 son igua$es s.$o si a K 1 , K

Si $os 'oe%i'ientes !e$ "o$inomio se #est#ingen a $os n5me#os !(gitos \0 $0 90 0 00 0 H0 0 G] enton'es un "o$inomio no es ot#a 'osa que e$ !esa##o$$o !e $a ex"#esi.n !e unn5me#o en ,ase @x:x$d x$9d x)p d Gx) K G)xd 9xd $xd x9d xr K 9)En e$ segun!o e2em"$o $os 'oe%i'ientes se #est#ingen a$ 'on2unto \0 )0 90 0 ]0 que son $os5ni'os s(m,o$os ne'esa#ios "a#a t#a,a2a# en ,ase Mu'as 'i+i$i*a'iones "#imiti+as



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32t#a,a2a,an en ,ase Los ma1as usa,an $a ,ase 9 Los a,es %ue#on $os "#ime#os ena!o"ta# $a ,ase )O"e#a'iones 'on "o$inomios

Con $os "o$inomios es "osi,$e !e%ini# o"e#a'iones De e'o0 se "ue!en #ea$i*a# 'one$$os to!as $as o"e#a'iones a$ge,#ai'as > 'omo un "o$inomio no es ot#a 'osa que $a suma0

#esta 1 "#o!u'to !e n5me#os 1 $et#as -que0 'omo 1a !i2imos0 #e"#esentan n5me#os- enton'es0to!as $as "#o"ie!a!es !e $os n5me#os son t#as$a!a,$es a $os "o$inomiosAs(0 e$ 'on2unto !e $os "o$inomios tiene est#u'tu#a !e g#u"o #es"e'to !e $a suma Se

'um"$en $as "#o"ie!a!es !e $a suma: 'onmutati+a0 aso'iati+a0 existen'ia !e neut#o 1existen'ia !e o"uesto Pa#a a$$a# e$ o"uesto !e un "o$inomio a$'an*a 'on 'am,ia# to!os $ossignos !e sus 'oe%i'ientes

E2em"$o: Pa#a suma# $os "o$inomios T K x- 9x d 1 R K x9d x - se "#o'e!e'omo en e$ esquema que sigue $uego !e o#!ena# 1 #e!u'i# $os suman!os0 si %ue#ane'esa#io;xdx9b 9x d d x9d x-

xdx9d x d 9

E$ "#o!u'to !e "o$inomios es una o"e#a'i.n que +e#i%i'a $as "#o"ie!a!es 'onmutati+a0aso'iati+a 1 existen'ia !e neut#o -e$ neut#o !e$ "#o!u'to es e$ "o$inomio )-"e#o no se 'um"$e$a existen'ia !e in+e#so Po# este moti+o0 e$ 'on2unto !e $os "o$inomios notiene est#u'tu#a !e 'ue#"o E$ in+e#so !e$ "o$inomio x d ); es $a ex"#esi.n a$ge,#ai'a------------0x d $que no es un "o$inomio no se "ue!e es'#i,i# 'omo suma o #esta !e monomios;

Pa#a mu$ti"$i'a# !os "o$inomios se "ue!e a"$i'a# $a "#o"ie!a! !ist#i,uti+ac c i c c 9

gene#a$i*a!a E2em"$o: "a#a mu$ti"$i'a# x d 9x - ); "o# x - 9x - ; es ne'esa#io mu$ti"$i'a#'a!a monomio !e$ "#ime# %a'to# "o# 'a!a monomio !e$ segun!o %a'to#0 $uego suma# to!os$os "#o!u'tos 1 #e!u'i# e$ #esu$ta!o

x

9

d 9x- ) 7 x

-9x-xd 9x- x

- x- x9d9x- Gx9- x d xd 9x- Hx- )x9- x d Fun'i.n "o$in.mi'a

A "a#ti# !e $a enti!a! "o$inomio es "osi,$e !e%ini# %un'iones !e !ominio 1 'o!ominio#ea$es0 a'ien!o 'o##es"on!e# a 'a!a n5me#o #ea$ @x e$ +a$o# que #esu$ta !e sustitui# !i'on5me#o en Px;

A estas %un'iones se $as 'ono'e 'omo "o$in.mi'as 1 su g#&%i'o sue$e se# ,astante %&'i$!e #e"#esenta# en un "a# !e e2es 'a#tesianos o#togona$es 'uan!o e$ g#a!o !e$ "o$inomio es,a2o En "a#ti'u$a#0 'uan!o e$ "o$inomio es !e g#a!o . ) e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n "o$in.mi'aes una #e'ta0 1 'uan!o e$ g#a!o es 9 e$ g#&%i'o es una "a#&,o$aA; 6; C;

Ra('es !e$ "o$inomio

Se !enomina #a(* !e $a %un'i.n "o$in.mi'a a$ +a$o# !e $a in!ete#mina!a



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33en e$ $engua2e !e %un'iones se $e $$ama @+a#ia,$e; que a'e que e$ +a$o# !e $a %un'i.n"o$in.mi'a sea nu$oa es #a(* !e P _-` Pa; K


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34

E$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e g#a!o 9 'um"$e un "a"e$ #e$e+ante en $a %o#ma !e$ g#&%i'o:si a ` enton'es $a "a#&,o$a @mi#a a'ia a##i,a0 1 si a _ enton'es $os 'ue#nos !e $a"a#&,o$a mi#an a'ia a,a2o

De a'ue#!o 'on e$ Teo#ema !e Des'om"osi'i.n Fa'to#ia$0 si ai 1 a9son $as #a('es !e$"o$inomio Px; K ax9d ,x d '0 enton'es e$ "o$inomio tam,i/n se "ue!e ex"#esa# as(:

Px; K ax - ai;x - a9;M&s en gene#a$0 si e$ "o$inomio es !e g#a!o n 1 a!mite $as #a('es ))0)90)0 a n1 anes e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e ma1o# g#a!o0 enton'es e$ "o$inomio "ue!e ex"#esa#se'omo "#o!u'to as(:Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - an;

Si e$ "o$inomio P es !e g#a!o n 1 a!mite s.$o { #a('es #ea$es { _ n;0 enton'es to!a+(a Pse "ue!e %a'to#i*a# as(:Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - a{; Qx;!on!e Q es un "o$inomio !e g#a!o n - {; Se "ue!e !emost#a# que e$ "o$inomio Q es !eg#a!o "a# 1 que sus #a('es son "a#es !e n5me#os 'om"$e2os 'on2uga!os;

E2em"$o: E$ "o$inomio Px; es !e g#a!o 0 e$ monomio !e og#a!o es -; 1 a!mite $as

#a('es )0 90 90 0 -) 1 -9 Ex"#esa# e$ "o$inomio en %o#ma %a'to#ia$Px; K -x - $;x - 9;x - 9;x - ;x--$;;x --9;;Px; K -x - $;x - 9;9x - ;x d$;x d9;Signo !e$ "o$inomio

C.mo es a"#oxima!amente e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n "o$in.mi'a



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35

Las #a('es !e P son "untos !e 'o#te !e$ g#&%i'o 'on e$ e2e Ox Las #a('es 'onse'uti+as!ete#minan inte#+a$os: -oo0 -9;0 -90 -);0 -)0 );0 )0 9;0 90 ; 1 0 doo; O,s/#+ese que enesos inte#+a$os e$ signo !e P es o ,ien "ositi+o o ,ien negati+o no a1 'am,ios !e signo!ent#o !e esos inte#+a$os; De a'ue#!o 'on e$ g#&%i'o "#e'e!ente0 e$ esquema !e$ signo !e Pes:- d - dd

SgnP -------------------------------)-----------)------------------------)-----------)-----------)--------------------------9-) )9

En e$ esquema se 'o$o'an to!as $as #a('es 1 en $os inte#+a$os que /stas !ete#minan sese3a$a e$ signo !e$ g#&%i'o d . - seg5n 'o##es"on!a; Existe a$guna #eg$a gene#a$ "a#a a$$a#e$ signo !e un "o$inomio !e g#a!o 'ua$quie#a La #es"uesta es a%i#mati+a si se 'ono'ento!as $as #a('es 1 e$ signo !e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e m&s a$to g#a!o a n; En este 'asoe$ "o$inomio se "ue!e %a'to#i*a# 1 a$$a# e$ signo en 'a!a inte#+a$o me!iante $a #eg$a !e$"#o!u'to !e n5me#os Si se t#a,a2a !e !e#e'a a i*quie#!a0 e$ "#ime# inte#+a$o tiene e$ signo!e an A$ "asa# !e un inte#+a$o a$ siguiente -siem"#e !e !e#e'a a i*quie#!a- si $a #a(* es9sim"$e o !e mu$ti"$i'i!a! im"a#0 enton'es se "#o!u'e un 'am,io !e signo a$ "asa# a$ nue+ointe#+a$o Si $a #a(* es !e mu$ti"$i'i!a! "a#0 enton'es e$ nue+o inte#+a$o mantiene e$ signo !e$'ontiguo a $a !e#e'aF#a''iones a$ge,#ai'as

E$ 'o'iente !e "o$inomios !a o#igen a una nue+a enti!a! matem&ti'a !enomina!a%#a''i.n a$ge,#ai'aDe%ini'i.n e$ "o$inomio nu$oE2em"$os:

E$ 'on2unto !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o "ues e$ 'o'iente !e%#a''iones a$ge,#ai'as es ot#a %#a''i.n a$ge,#ai'a0 a 'on!i'i.n que e$ !enomina!o# no sea $a%#a''i.n nu$a

La suma0 #esta0 "#o!u'to 1 'o'iente !e %#a''iones a$ge,#ai'as siguen $as mismas #eg$aso"e#ato#ias !e $as %#a''iones num/#i'as

E2em"$os:: F K b es una %#a''i.n a$ge,#ai'a si P 1 Q son !os "o$inomios 1 Q no es9x d ) ) x- x-9x9d x-) x9-) ^ x d 9 ^ 9 ^ x9-x-G9 Se !enomina @mu$ti"$i'i!a! a $a 'anti!a! !e +e'es que se #e"ite $a misma #a(* en e$"o$inomio En e$ e2em"$o "#e'e!ente $a #a(* 9 es !e mu$ti"$i'i!a! 90 mient#as que $as#estantes #a('es son !e mu$ti"$i'i!a! )

9x x d 9 9xx d $; d x d 9;x-$; x 9d x-9a; -----------------H d-------H K---------------------------------------------- K-------------------------- -



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36,;

x-) x d ) x-);x d ); x-)9x x d 9 9xx d $;-x d 9;x-$; x9dx d 9x-) x d ) x-);x d ); x -)

9x x d 9 9xx d 9; 9x9d x

# b ) b x-) x d ) x-);x d ); x9-$9x x d 9 9x x d ) 9xx d $; 9x9d 9x

!; --------------------------------K-----------x------------K-----------------------K b---------------------x-) x d ) x-) x d 9 x b$;x d 9; x dx-9

Es "osi,$e !e%ini# nue+as %un'iones a "a#ti# !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as Po# e2em"$o0'onsi!e#emos $a #e$a'i.n que a 'a!a +a$o# !e @x $e asigna e$ +a$o# !e 9xx-$; Si e$ !ominio1 e$ 'o!ominio son $os n5me#os #ea$es0 enton'es esta #e$a'i.n no es una %un'i.n "o#que e$+a$o# x K ) !e$ !ominio no tiene 'o##es"on!iente en e$ 'o!ominio "ues "a#a x K ) se anu$ae$ !enomina!o#; Pa#a que $a #e$a'i.n x by 9xx-$; sea una %un'i.n0 es ne'esa#io #est#ingi#e$ !ominio e$iminan!o e$ o $os +a$o#es !e x que a'en que $a %#a''i.n tenga !enomina!o#

nu$o En este e2em"$o0 x K ) es e$ 5ni'o +a$o# que !e,e se# ex'$ui!o !e$ !ominio !e $a%un'i.n:Dominio !e F K DF; K Jx:x7R1x$

C.mo es e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n %#a''i.n a$ge,#ai'a E$ g#&%i'o es un "o'o m&s'om"$i'a!o que e$ !e $as %un'iones "o$in.mi'as0 1 este "#o,$ema $o a,o#!a#emos m&sa!e$ante Pe#o s( "o!emos a$$a# e$ esquema !e$ signo !e F Si F K PQ0 enton'es #esu$taque Sgn F K Sgn PxQ;0 ex'e"to en $os "untos ta$es que Qx; K En ta$es "untos no existee$ signo !e $a %#a''i.n #e'o#!a# que ta$es "untos que!an ex'$ui!os !e$ !ominio !e $a%un'i.n;x9- 9x d 9

E2em"$o: Wa$$a# e$ esquema !e$ signo !e F K b-------------------bb--------

E$ "o$inomio !e$ nume#a!o# tiene #a('es al K 9 1 a9 K E$ "o$inomio !e$ !enomina!o#tiene #a('es |i K9 1 P9 k -9 E$ "o$inomio PxQ tiene $as #a('es -90 90 9 1 1 su "#ime#'oe%i'iente es d En 'onse'uen'ia:Sgn PxQSgn Fd d-97o d77 - odP#o!u'tos nota,$es

Sean P 1 Q !os "o$inomios Se !enomina ,inomio a $as ex"#esiones PdQ; 1 P-Q; Se!enominan "#o!u'tos nota,$es a $as siguientes ex"#esionesPdQ;9K P9d 9PQ d Q9P-Q;9K P9- 9PQ d Q9PdQ;P-Q; K P9- Q9PdQ;K Pd P9Q dPQ9d Q

> si %ue#a ne'esa#io e$e+a# e$ ,inomio a un ex"onente m&s a$to0 "o# e2em"$o0 PdQ; HPa#a #eso$+e# este "#o,$ema existe un #esu$ta!o gene#a$0 'ono'i!o 'omo e$ !esa##o$$o !e$,inomio !e Nevton Re'o#!an!o e$ signi%i'a!o !e $a ex"#esi.n @n %a'to#ia$0nln?0 1 a!o"tan!o $a nota'i.n C K bb :---------- que se $ee @'om,ina'iones !e n en i; se tiene e$

iln-i;lsiguiente #esu$ta!o:



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37"dQ;nK q"rQHK

E2em"$os:) x9d x;9K x9;9d 9x9;x; d x;9K xd xd Gx9

9 x9dx;

x9

d x;

KC

x9

;x;

dCi

x9

;0

x;

d C

979

;9

7> dCx9;x;9dC$x9;lix;p dCx9;x; KK 9xd xd 9HxHd Gxd )xGd x) Isaa' Nevton )9-)H9H; %(si'o0 ast#.nomo 1 matem&ti'o ing$/s0 %amoso "o# su!es'u,#imiento !e $as$e1es !eg#a+e!a!pRe"a#ti!o P#&'ti'o : Po$inomios 1 ex"#esiones a$ge,#ai'as E2e#'i'io )Sean $os "o$inomios: Px; K 9x - x dx-$ 1 Sx; K x d9x-a; Ca$'u$a# P d S,; Ca$'u$a# -9S 1 9S'; Ca$'u$a# P-S

!; Ca$'u$a# P-9x;Se; Ca$'u$a# PSE2e#'i'io 9Wa$$a# e$ !esa##o$$o !e:a; x9- 9x;9

,; 9x- x;9

'; x9d ix;

!; x9- 9x; x9d 9x;E2e#'i'io Rea$i*a# $as siguientes o"e#a'iones0 ) )

a; - d bK7 7,;I-)

x x b)x b)C; -------H d7 d ) 7!; b d Kx -) 7 d )E2e#'i'io a; Wa$$a# #a('es 1 signo !e$ "o$inomio Sx; K x9d 9x - 9 9,; Wa$$a# #a('es 1 signo !e Tx; K x - 9x; 9x b x b )'; Wa$$a# #a('es 1 signo !e Mx; K b--------d------------x -) xd)E2e#'i'io Es'#i,i# $as siguientes ex"#esiones 'omo "o$inomios #e!u'i!os 1 o#!ena!osa; 9xd$;

,; x9- 9x;



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38

ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESE'ua'iones

Sean % 1 g !os %un'iones 'u1os !ominios son 'on2untos !e n5me#os 'uan!o !e"en!en!e una so$a +a#ia,$e; o 'u1os !ominios son 'on2untos !e "a#es0 temas0 et' 'uan!o $as

%un'iones !e"en!en !e !os0 t#es o m&s +a#ia,$es; En to!os $os 'asos0 $os 'o!ominios !e$as %un'iones son 'on2untos !e n5me#osConsi!/#ese una nue+a enti!a! matem&ti'a $$ama!a e'ua'i.n que tiene $a %o#ma

% KgSi $as %un'iones !e"en!en !e una so$a +a#ia,$e0 enton'es %x; K gx; es una e'ua'i.n @en

x Si $as %un'iones !e"en!en !e !e !os +a#ia,$es0 enton'es %x0 1; K gx0 1; es una e'ua'i.n@en x e 14 en t#es +a#ia,$es se tiene $a e'ua'i.n %x0 10 *; K gx0 10 *;

En "o$inomios $as $et#as se 'ono'en 'omo @in!etemiina!as0 en %un'iones se $as!enomina @+a#ia,$es0 mient#as que en e'ua'iones se $es $$ama @in!ete#mina!as

De%ini'i.n: Reso$+e# $a e'ua'i.n % K g 'onsiste en en'ont#a# to!os $os e$ementos'omunes !e $os !ominios !e % 1 g que a'en que $os +a$o#es !e $as %un'iones $as im&genes;

'oin'i!an E$ 'on2unto !e e$ementos que satis%a'en $a igua$!a! %x; K gx;0 o ,ien $asigua$!a!es %x0 1; K gx0 1; . %x0 10 *; K gx0 10 *;0 se !enomina 'on2unto so$u'i.n !e $ae'ua'i.n 1 'a!a e$emento !e$ 'on2unto so$u'i.n se $$ama #a(* !e $a e'ua'i.n

E2em"$o ): Si %x; K 9x d) 1 gx; K -x d H0 es %&'i$ !emost#a# que $a e'ua'i.n 9x d) K -x d H tiene "o# 5ni'a #a(* x K 9 E$ 'on2unto so$u'i.n es S K Jx: x K 9

E2em"$o 9: Si %x0 1; K x d 1 1 gx0 1; K x d 1 d 90 enton'es $a e'ua'i.n x d1 K x d 1 d 9 tiene 'omo 'on2unto so$u'i.n S K Jx0 1;: 1 K -x d )0 e$ 'ua$ 'ontiene in%initos"a#es !e #ea$es

Des!e e$ "unto !e +ista geom/t#i'o0 e$ 'on2unto so$u'i.n !e una e'ua'i.n es e$ 'on2unto!e "untos !e $a #e'ta0 !e$ "$ano0 !e$ es"a'io !e !imensiones o !e un i"e#es"a'io; !on!ese inte#se'tan $os g#&%i'os !e $as %un'iones % 1 g

As(0 en e$ E2em"$o )0 $a 5ni'a #a(* x K 9; es $a a,'isa !e$ "unto !on!e se inte#se'tan $as%un'iones %x; K 9x d) 1 gx; K -x dH0 'u1os g#&%i'os se #e"#esentan "o# !os #e'tas en un "a#!e e2es 'a#tesianos o#togona$es

En e$ E2em"$o 90 $os g#&%i'os !e $as %un'iones %x0 1; K x d 1 1 gx0 1; K x d 1 d 9 se

#e"#esentan "o# !os "$anos en e$ es"a'io t#i!imensiona$ E$ 'on2unto so$u'i.n S K Jx0 1;: 1 K-x d ) es e$ 'on2unto !e $os "untos !e una #e'ta en e$ "$ano ,i!imensiona$Consi!e#emos ao#a0 en "a#ti'u$a#0 $as %un'iones !e una so$a +a#ia,$e0 $as que !an

o#igen a e'ua'iones !e $a %onna %x; K gx; Reso$+e# $a e'ua'i.n es en'ont#a# $os +a$o#es !e$a in'.gnita que satis%a'en $a igua$!a! !e $as !os %un'iones

Si % es un "o$inomio 1 gx; K 0 enton'es #eso$+e# $a e'ua'i.n %x; K gx; equi+a$e a$"#o,$ema !e en'ont#a# $as #a('es !e un "o$inomio Pa#a #eso$+e# e'ua'iones m&s gene#a$eses ne'esa#io enun'ia# a$gunas "#o"ie!a!es

De%ini'i.n: Dos e'ua'iones son equi+a$entes si sus 'on2untos so$u'i.n son igua$esO,se#+a'i.n: si !os e'ua'iones no tienen #a('es0 enton'es son equi+a$entes0 "ues en

am,os 'asos0 e$ 'on2unto so$u'i.n es e$ 'on2unto +a'(oP#o"ie!a!es !e =as e'ua'iones) Las e'ua'iones %x; K gx; 1 %x; d w K gx; d w son equi+a$entes "a#a to!o w 7 R9 Las e'ua'iones %x; K gx; 1 %x; - gx; K son equi+a$entes



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39 Las e'ua'iones %x; K gx; 1 w%x; K wgx; son equi+a$entes "a#a to!o wO Las e'ua'iones %x; K gx; 1 %x;x; K gx;x; son equi+a$entes si x; 1 se 'um"$eque \D%; Dg;] T D; La e'ua'i.n %x;x; K gx;x; tiene to!as $as #a('es !e $a e'ua'i.n %x; K gx; a 'on!i'i.nque \D%; Dg;] T D;

La e'ua'i.n \%x;]9

K \gx;]9

tiene to!as $as #a('es !e $a e'ua'i.n %x; K gx;Las #eg$as 1 se a"$i'an 'uan!o $as e'ua'iones %x;x; K gx;x; o \%x;] 9K \gx;]9

son m&s %&'i$es !e #eso$+e# que $a e'ua'i.n %x; K gx;0 Pe#o en estos 'asos a,#& que tene#un 'ui!a!o es"e'ia$ "o#que $as e'ua'iones no son equi+a$entes 1 $as "#ime#as "ue!en tene##a('es que no son #a('es !e %x; K gx; se "ue!en int#o!u'i# @#a('es ext#a3as; O,teni!as $as#a('es !e %x;x; K gx;x; o \%x;]9K \gx;]90 "a#a #eso$+e# $a e'ua'i.n %x; K gx; a$'an*a#&'on +e#i%i'a# 'u&$es !e aque$$as son tam,i/n #a('es !e esta 5$tima

A"$i'an!o estas #eg$as0 $as e'ua'iones en $as que inte#+ienen s.$o "o$inomios0 #esu$tanequi+a$entes a e'ua'iones !e $a %onna Px; K

Como 'asos "a#ti'u$a#es tenemos:ax d , K ax9d ,x d ' K

'u1a #eso$u'i.n 1a emos +isto En e$ segun!o 'aso0 $as #a('es se o,tienen uti$i*an!o#a!i'a$es

Los 'asos axd ,x9d 'x d ! K 1 axd ,xd 'x9d !x d e K tam,i/n se "ue!en#eso$+e# "o# #a!i'a$es !e (n!i'es 1 ;0 #esu$ta!os o,teni!os "#in'i"a$mente "o# $a es'ue$amatem&ti'a ita$iana#e'i/n en e$ sig$o 7I $a e'ua'i.n "o$in.mi'a !e segun!o g#a!o 1a $aa,(an #esue$to $os g#iegos !e $a antig~e!a!;

Qu/ "ue!e !e'i#se !e $as e'ua'iones "o$in.mi'as !e quinto g#a!o o m&s0 "o# 9e2em"$o0 ax d ,x d 'x d !x d ex d % K Tam,i/n se "ue!en #eso$+e# "o# #a!i'a$esRe'i/n en $a te#'e#a !/'a!a !e$ sig$o 7I7 !os matem&ti'os mu1 2.+enes0 Ni$s A,e$ 1 E+a#iste


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4Un sistema !e e'ua'iones es $inea$ 'uan!o to!as $as %un'iones que inte#+ienen en $as

e'ua'iones son %un'iones "o$in.mi'as !e asta g#a!o ) Los siguientes son e2em"$os !esistemas !e e'ua'iones no $inea$es T#a,a2a#on en $a so$u'i.n !e estos "#o,$emas 8e#.nimo Ca#!ano ))-)H; ita$iano0Ni'o$&s Ta#tag$ia )GG-)H; ita$iano0 1 F#an'is'o ieta )-); %#an'/s

Ni$s A,e$ )9-)9G; matem&ti'o no#uego E+a#iste


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41A 'ontinua'i.n0 +amos a gene#a# un 'e#o en e$ "#ime# 'oe%i'iente !e $a segun!a

e'ua'i.n0 sum&n!o$e a $a segun!a e'ua'i.n $a "#ime#a mu$ti"$i'a!a "o# -9;x d 91 d * K H

- 1-* K -) x- 1 b * K -)En e$ siguiente "aso0 gene#amos un 'e#o en e$ "#ime# 'oe%i'iente !e $a te#'e#a e'ua'i.n0

sum&n!o$e a /sta $a "#ime#a mu$ti"$i'a!a "o# -;x d 91 d * -)b 1 b * K b) -)1-* K -99

Se "ue!e suma# a $a te#'e#a e'ua'i.n $a segun!a mu$ti"$i'a!a "o# -); "a#a gene#a# un'e#o en e$ 'oe%i'iente !e @1 en $a te#'e#a e'ua'i.n0 1 enton'es se o,tiene:d 9 1 d * b Hb 1 - * K b) *K)Ao#a "ue!e +e#se e$ sistema 'om"$etamente es'a$e#i*a!o En +i#tu! !e $as "#o"ie!a!esenun'ia!as m&s a##i,a0 este sistema es equi+a$ente !e$ "#ime#o0 es !e'i#0 tiene e$ mismo'on2unto so$u'i.n En e$ 5$timo "e$!a3o !e $a es'a$e#a se "ue!e !es"e2a# e$ +a$o# !e $ain'.gnita *: * K ) - Si se su,e un "e$!a3o 1 se sustitu1e $a * "o# e$ +a$o# 'a$'u$a!o0

enton'es se o,tiene: - 1 - K - )0 1 !es"e2an!o $a 1 #esu$ta: 1 K ) Fina$mente0 su,ien!oun "e$!a3o m&s se tiene: x d 9) d K H0 1 !es"e2an!o $a x #esu$ta: x K 9 En'ont#amos una5ni'a #a(* x0 10 *; K 90 )0 ; Po# tanto0 e$ sistema es 'om"ati,$e !ete#mina!o

En e$ 'a"(tu$o so,#e Mat#i'es +o$+e#emos so,#e e$ m/to!o !e


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42E HE d) ! b D ! K DB d )9 9

!on!e: ! K !osis "a#a e$ ni3o DK !osis "a#a e$ a!u$to EK e!a! !e$ ni3oa; Si un ni3o tiene a3os 1 $a !osis "a#a e$ a!u$to es !e 'om"#imi!os "o# !(a0 'u&$ es $a

!osis "a#a e$ ni3o seg5n $as #eg$as !e >oung 1 Cov$ing

,; Si un ni3o tiene )9 a3os 1 $a !osis "a#a e$ a!u$to es !e 9 'om"#imi!os "o# !(a0 'u&$ es$a !osis "a#a e$ ni3o seg5n $as #eg$as !e >oung 1 Cov$ing'; Pa#a qu/ e!a!es !e$ ni3o 'oin'i!en $as !osis "a#a am,as #eg$as Re!on!ea# a$ a3o

m&s 'e#'ano;Re"a#ti!o P#&'ti'o : E'ua'iones 1 Sistemas !e E'ua'iones E2e#'i'io H

Reso$+e# $a e'ua'i.n b W----------------------K b #e!on!ean!o $a so$u'i.n 'on un !e'ima$x )9-x 9E2e#'i'io

Un o,2eto es $an*a!o a'ia a##i,a asta que 'ae a$ "iso La a$tu#a en met#os; que!es'#i,e e$ o,2eto !es!e que es $an*a!o asta que 'ae a$ "iso es K t - 9t 90 !on!e t ese$ tiem"o en segun!os que t#ans'u##e !es!e e$ momento !e$ $an*amiento

a; Cu&nto ta#!a e$ o,2eto en to'a# e$ "iso,; En qu/ momento a$'an*a e$ o,2eto su a$tu#a m&xima'; En qu/ momento0 'uan!o est& 'a1en!o0 se en'uent#a a )0H met#os !e$ "isoE2e#'i'io G

Un 'a"ita$ !e ) %ue 'o$o'a!o !u#ante a3os a inte#/s 'om"uesto a una tasae%e'ti+a anua$ !e$ 9 A$ ini'io !e$ "e#(o!o e$ !.$a# 'osta,a ) 1 $a tasa !e !e+a$ua'i.n en'a!a a3o %ue !e$ )90 ) 1 ) #es"e'ti+amentea; Cu&$ %ue $a #enta,i$i!a! en !.$a#es en 'a!a a3o,; Cu&$ %ue $a #enta,i$i!a! anua$ en !.$a#es !e $a 'o$o'a'i.nE2e#'i'io )

La 'anasta !e 'onsumo !e un g#u"o !e t#a,a2a!o#es aument. en e$ a3o )GG un ) 1

en )GGG un 9 En !i'iem,#e !e )GGH e$ sa$a#io me!io !e$ g#u"o !e t#a,a2a!o#es e#a !e0 que 'oin'i!(a 'on e$ 'osto !e una 'anasta !e 'onsumo En )GG 1 )GGG u,o $ossiguientes aumentos !e sa$a#ios:MES AUMENTOEne#oG 8unioG Ene#oGG H8unioGG HCu&ntas 'anastas !e 'onsumo se "u!ie#on 'om"#a# 'on $os sa$a#ios me!ios !e!i'iem,#eG 1 !e !i'iem,#eGGE2e#'i'io ))

Un $o'a$ !e Po$i'$(ni'a %un'iona 'on $os siguientes 'ostos: - E$ a$qui$e# !e ) "o#mes E$ sa$a#io !e un a!minist#ati+o "o# Sa$a#ios m/!i'os:c 9 !e sue$!os %i2os !e m/!i'osc a!i'iona$ "o# 'a!a "a'iente "o# en'ima !e $os "#ime#os "a'ientes aten!i!os

"o# 'a!a m/!i'oSi $a o#!en a 'onsu$to#io 'uesta ) 1 /ste es e$ 5ni'o ing#eso !e$ $o'a$0 'u&ntos

"a'ientes !e,e#&n aten!e# $os m/!i'os "a#a 'u,#i# to!os $os 'ostos !e $a Po$i'$(ni'aRe"a#ti!o P#&'ti'o : E'ua'iones 1 Sistemas !e E'ua'iones E2e#'i'io )9

Un te##eno #e'tangu$a#0 !e mts "o# mts0 se#& !estina!o 'omo 2a#!(n #e't&ngu$oexte#io#; Se !e'i!e "one# una +e#e!a en $a o#i$$a inte#io# !e$ #e't&ngu$o0 !e mo!o que $as%$o#es !e$ 2a#!(n o'u"en )9 mt9 #e't&ngu$o inte#io#; De qu/ an'o !e,e 'onst#ui#se $a

+e#e!aE2e#'i'io )



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43Una %&,#i'a !e 'a'ao e$a,o#a 'o'o$ate en ,a##as !e )xx9 'm A #a(* !e $os aumentos

en $os 'ostos0 1 'on e$ &nimo !e no in'#ementa# $os "#e'ios0 $a %&,#i'a !e'i!e a'i'a# e$an'o 1 e$ $a#go !e $as ,a##as en $a misma $ongitu!0 mantenien!o e$ g#oso# 9 'm; !e %o#maque e$ +o$umen !e $a ,a##a se #e!u*'a un ) Cu&$ se#& e$ an'o 1 e$ $a#go !e $a nue+a,a##a A"#oxima# 'on !os !e'ima$es en 'm;

E2e#'i'io )Un 'ome#'iante 'om"#. en $a %e#ia 9 wg !e na#an2as a )9 e$ wg M&s ta#!e en'ont#.en ot#o "uesto na#an2as a ) e$ wg Cu&ntos wg !e,e 'om"#a# a ) "a#a que e$ 'osto"#ome!io !e to!as $as na#an2as 'om"#a!as en $a %e#ia sea !e )0E2e#'i'io )

E$ 'osto !e aten!e# 9 'amas !ia#ias !e Sanato#io es !e 0 mient#as que e$'osto !e aten!e# 'amas !ia#ias en e$ mismo Sanato#io es )) Cu&$ es e$ 'osto%i2o !ia#io 1 'u&$ es e$ 'osto +a#ia,$e unita#io "o# !(a-'amaE2e#'i'io )

E$ wg !e e$a!o !e '#ema se +en!e a 1 e$ !e 'o'o$ate a Se sa,e que "o# 'a!a9 wg !e '#ema se +en!en wg !e 'o'o$ate Cu&ntos wg !e '#ema 1 !e 'o'o$ate a1 que

+en!e# "a#a #e'au!a# )E2e#'i'io )HUna en'uesta !i#igi!a a 9 "e#sonas se #ea$i*. "a#a 'ono'e# sus "#e%e#en'ias ent#e

Co'a 1 Pe"si Ent#e $as que 'ontesta#on0 e$ "#e%i#i. Co'a Si $os que "#e%i#ie#on Pe"si%ue#on G0 'u&ntos no 'ontesta#on a $a en'uestaE2e#'i'io )

Un +en!e!o# 'o,#a "o# mes un sue$!o %i2o m&s una 'omisi.n 'omo "o#'enta2e !e $as+entas que #ea$i*a En un mes +en!i. ) 1 'o,#. un sa$a#io tota$ !e H A$ messiguiente +en!i. ) 1 o,tu+o un sa$a#io !e Cu&$ es e$ sue$!o %i2o 1 'u&$ e$"o#'enta2e !e $a 'omisi.n so,#e $as +entasE2e#'i'io )G

Demost#a# que si un 'a"ita$ w se "#esta a inte#/s 'om"uesto en n 'uotas igua$es0mensua$es 1 'onse'uti+as0 1 $a tasa !e inte#/s e%e'ti+a mensua$ es *0 enton'es0 $a 'uotamensua$ a "aga# se o,tiene me!iante $a %.#mu$a:



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44 INECUACIONES

Consi!e#emos s.$o e$ 'aso !e %un'iones 'on una +a#ia,$e Sean % 1 g !os %un'iones'u1os !ominios 1 'o!ominios son 'on2untos !e n5me#os Consi!/#ese una nue+a enti!a!matem&ti'a $$ama!a ine'ua'i.n que tiene a$guna !e $as %o#mas siguientes:%_g %_g %`g %`g

De%ini'i.n: Reso$+e# $a ine'ua'i.n % _ g o a$te#nati+amente a$guna !e $as ot#as; 'onsisteen en'ont#a# to!os $os e$ementos 'omunes !e $os !ominios !e % 1 g que satis%a'en $a!esigua$!a! en $os +a$o#es !e $as %un'iones E$ 'on2unto !e e$ementos que satis%a'en $a!esigua$!a! se !enomina 'on2unto so$u'i.n !e $a ine'ua'i.n 1 'a!a e$emento !e$ 'on2untoso$u'i.n se !enomina #a(* !e $a ine'ua'i.nS K Jx: %x; _ gx;Si a es ta$ que %a; _ ga;0 enton'es a es una #a(* !e $a ine'ua'i.n

Si en "a#ti'u$a# % es un "o$inomio 1 g es $a %un'i.n nu$a0 enton'es0 #eso$+e# $a ine'ua'i.n% _ g o 'ua$quie#a !e $as ot#as; es e$ "#o,$ema !e a$$a# e$ signo !e % 1 !ete#mina# $os"untos e inte#+a$os so,#e $a #e'ta !on!e e$ signo !e % es meno# o igua$ que

Pa#a #eso$+e# ine'ua'iones en gene#a$ #esu$tan 5ti$es $a siguiente !e%ini'i.n 1

"#o"ie!a!es aso'ia!asDe%ini'i.n: Dos ine'ua'iones son equi+a$entes si sus 'on2untos so$u'i.n son igua$esP#o"ie!a!es !e $as ine'ua'ionesAunque se uti$i*a e$ s(m,o$o _0 $as "#o"ie!a!es son +&$i!as tam,i/n en $os ot#os 'asos;) Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x; d w _ gx; d w] son equi+a$entes "a#a to!o w9 Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x; - gx; _ ] son equi+a$entes Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \w%x; _ wgx;] son equi+a$entes "a#a to!o w` Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x;x; K gx;x;] son equi+a$entes si x; ` 1 se'um"$e que \D%; Dg;] T D; Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \w%x; ` wgx;] son equi+a$entes "a#a to!o w _

E2em"$o: Reso$+e# $a ine'ua'i.n bb d) ` - dp

x b ) x d )Como "#ime#a o,se#+a'i.n0 $o que no "ue!e a'e#se es @"asa# mu$ti"$i'an!o $os!enomina!o#es a$ ot#o miem,#o Esto es +&$i!o en e'ua'iones0 seg5n 1a emos +isto0 a#iesgo !e int#o!u'i# #a('es ext#a3as Pe#o no es +&$i!o en ine'ua'iones0 "o#que se "o!#(aesta# mu$ti"$i'an!o "o# ex"#esiones negati+as0 1 en ta$ 'aso0 se "ie#!e $a equi+a$en'iao,se#+a# '.mo %un'iona $a equi+a$en'ia en $a "#o"ie!a! ;

Po# $a "#o"ie!a! 9 $a siguiente ine'ua'i.n es equi+a$ente !e $a "#ime#ax d)9Bd?x-) x d )

O"e#an!o 'on $as ex"#esiones a$ge,#ai'as se o,tiene:xx d); d x - $;x d); - 9x d $;x -); x b $;x d );9x9dx x - $;x d);9xx d 9; Qx b $;x d );`

Como $a 5$tima ine'ua'i.n es equi+a$ente !e $a "#ime#a0 $a so$u'i.n !e /sta "ue!eo,tene#se #eso$+ien!o $a 5$tima E$ esquema !e signo !e $a 5$tima ine'ua'i.n es 'omo sigued - J d - 7 #

) ) ) ) @-9-) )

En 'onse'uen'ia0 e$ 'on2unto so$u'i.n !e $a "#ime#a ine'ua'i.n es:S K Jx: x _ -9; . -) _ x _ ; . x ` );

Re"a#ti!o P#&'ti'o : Ine'ua'ionesE2e#'i'io )



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45Sea $a "a#&,o$a !e e'ua'i.n 1 K x - )x d) En'ont#a# $os +a$o#es !e x que a'en que

$a "a#&,o$a se !i,u2e "o# en'ima !e$ e2e !e $as a,'isasE2e#'i'io 9

Un "#esu"uesto mensua$ !e !e,e asigna#se a una 'anasta !e !os "#o!u'tos: "an1 $e'e E$ "#e'io !e$ "an es e$ wg 1 e$ "#e'io !e $a $e'e es e$ $it#o P$antea# $a

#est#i''i.n "#esu"uesta#ia0 g#a%i'a#$a e in!i'a# 'u&ntos wg !e "an se "ue!en 'om"#a# si:a; $a 'anasta !e,e in'$ui# $it#os !e $e'e,; $a 'anasta !e,e in'$ui# H $it#os !e $e'e'; ese mes no se 'onsume $e'e

E2e#'i'io 9

Reso$+e# $a ine'ua'i.n: x d $;x x - ); _E2e#'i'io

9 9 Reso$+e# $a ine'ua'i.n: x - ;G - x`E2e#'i'io

x9-x d 9

Reso$+e# $a ine'ua'i.n: b--------------------------------` 879-97 d )E2e#'i'io

x)-9x-9) nReso$+e# $a ine'ua'i.n: b------- -------------------------_ )x d 9x d)

E2e#'i'io HReso$+e# $a ine'ua'i.n: ex` x d )

POLINOMIOS > E7PRESIONES AL


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46) }$ge,#a "#o+iene !e$ a,e a$gia,#; 1 se uti$i*a "a#a !enomina# e$ estu!io !e o"e#a'iones 1"#o"ie!a!es !e'ie#tos entes #e"#esenta!os "o# s(m,o$os0 gene#a$mente $et#as E$ o#igen !e$ &$ge,#a "a#e'eque !e,e situa#se enIn!ia 1 Pe#sia Existen ante'e!entes ent#e $os g#iegos Dio%anto0 sig$o III;0 aunque %ue#on $os

a,es quienes $aint#o!u2e#on en Eu#o"a en e$ sig$o I7Po$inomiosDe%ini'i.n: Se $$ama "o$inomio a $a suma o #esta !e monomios Son e2em"$os !e "o$inomios:9x9 1

9x)

x)d 1)d *)

9xd x)d x9- xd xxd x9d xLos "o$inomios "ue!en !e"en!e# !e una o m&s in!ete#mina!as una o m&s $et#as;

E$ g#a!o !e un "o$inomio es e$ ma1o# !e $os g#a!os !e sus monomiosE2em"$os: g#9x9 1; K g#9x]; K ) g#x]d 1)d *); K )

g#9x d x)

d x9

- x

d x

; K g#x

d x9

d x; K De%ini'i.n: Un "o$inomio en +a#ias in!ete#mina!as es omog/neo !e g#a!o n si to!ossus monomios son !e g#a!o n

E2em"$os:xd 1es omog/neo !e g#a!o x9d 9x1 d 19es omog/neo !e g#a!o 9xes omog/neo !e g#a!o x9d 91 no es un "o$inomio omog/neo

Consi!e#emos ao#a "o$inomios en una so$a in!ete#mina!a s.$o $a $et#a x; A$gunassim"$i%i'a'iones en $a nota'i.n Cuan!o un monomio tiene 'oe%i'iente 'e#o0 enton'es se $oe$imina !e$ "o$inomio Cuan!o e$ g#a!o !e un monomio es )0 enton'es no se es'#i,e e$

ex"onente ) x

)

se es'#i,e x; E$ monomio x se es'#i,e sim"$emente Se !i'e que un "o$inomio en una so$a in!ete#mina!a; est& #e!u'i!o si to!os susmonomios son !e !istinto g#a!o

E2em"$os:# O-x d x - 9x es un "o$inomio #e!u'i!o9xd x9- xno es un "o$inomio #e!u'i!o

Pa#a o,tene# un "o$inomio #e!u'i!o en e$ segun!o e2em"$o0 a$'an*a 'on #ea$i*a# $ao"e#a'i.n 9x- xK 9 - ;xK -x

Se !i'e que un "o$inomio est& o#!ena!o si $os monomios a"a#e'en en o#!en '#e'ienteo !e'#e'iente !e sus g#a!osE2em"$os:9 d x d x9- xd xes un "o$inomio o#!ena!oA G 9x d x -x no es un "o$inomio o#!ena!o

Se !i'e que un "o$inomio !e g#a!o n es 'om"$eto si en su !esa##o$$o %igu#an to!os $osmonomios !e g#a!o meno# o igua$ que n0 'on 'oe%i'ientes !i%e#entes !e 'e#o

E2em"$os:9 d x d x9- xd xes un "o$inomio 'om"$eto-xd x- 9x no es un "o$inomio 'om"$eto $os monomios !eg#a!o 9 1 !e g#a!o tienen 'oe%i'iente ;

E$ "o$inomio 9 d x d x9- xd xes un "o$inomio #e!u'i!o0 o#!ena!o 1 'om"$etoLos "o$inomios son enti!a!es matem&ti'as -'omo $o son $os n5me#os 1 $os 'on2untos- Se

a'ostum,#a !enomina#$os 'on $et#as ma15s'u$as !e nuest#o a$%a,eto -'omo a $os 'on2untos-1 'uan!o es ne'esa#io se ex"$i'ita e$ nom,#e !e $a in!ete#mina!a



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48A;6;C;

Px;-ib+7Ra('es !e$ "o$inomioSe !enomina #a(* !e $a %un'i.n "o$in.mi'a a$ +a$o# !e $a in!ete#mina!aen e$ $engua2e !e %un'iones se $e $$ama @+a#ia,$e; que a'e que e$ +a$o# !e $a %un'i.n"o$in.mi'a sea nu$oaes #a(* !e P Pa; K


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E$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e g#a!o 9 'um"$e un "a"e$ #e$e+ante en $a %o#ma !e$ g#&%i'o:si a ` enton'es $a "a#&,o$a @mi#a a'ia a##i,a0 1 si a _ enton'es $os 'ue#nos !e $a"a#&,o$a mi#an a'ia a,a2o

De a'ue#!o 'on e$ Teo#ema !e Des'om"osi'i.n Fa'to#ia$0 si ai 1 a9son $as #a('es

9 !e$ "o$inomio Px; K ax d ,x d '0 enton'es e$ "o$inomio tam,i/n se "ue!e ex"#esa# as(:Px; K ax - ai;x - a9;M&s en gene#a$0 si e$ "o$inomio es !e g#a!o n 1 a!mite $as #a('es al0 a 90 ot0 an1 anes

e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e ma1o# g#a!o0 enton'es e$ "o$inomio "ue!e ex"#esa#se 'omo"#o!u'to as(:Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - an;

Si e$ "o$inomio P es !e g#a!o n 1 a!mite s.$o { #a('es #ea$es { _ n;0 enton'es to!a+(a Pse "ue!e %a'to#i*a# as(:Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - a{; Qx;!on!e Q es un "o$inomio !e g#a!o n - {; Se "ue!e !emost#a# que e$ "o$inomio Q es !eg#a!o "a# 1 que sus #a('es son "a#es !e n5me#os 'om"$e2os 'on2uga!os;

E2em"$o: E$ "o$inomio Px; es !e g#a!o 0 e$ monomio !e og#a!o es -; 1 a!mite $as#a('es )0 90 90 0 -) 1 -9 Ex"#esa# e$ "o$inomio en %o#ma %a'to#ia$Px; K -x - ) ;x - 9;x - 9;x - ;x--$;;x --9;;



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5Px; K -x - $;x - 9;97- ;x d$;x d9;Signo !e$ "o$inomio

C.mo es a"#oxima!amente e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n "o$in.mi'a

Las #a('es !e P son "untos !e 'o#te !e$ g#&%i'o 'on e$ e2e Ox Las #a('es 'onse'uti+as!ete#minan inte#+a$os: -oo0 -9;0 -90 -);0 -)0 );0 )0 9;0 90 ; 1 0 doo; O,s/#+ese que enesos inte#+a$os e$ signo !e P es o ,ien "ositi+o o ,ien negati+o no a1 'am,ios !e signo!ent#o !e esos inte#+a$os; De a'ue#!o 'on e$ g#&%i'o "#e'e!ente0 e$ esquema !e$ signo !e Pes:- d - dd

SgnP --------------------------------)-----------l-------------------------|-------------)-----------l-------------------------c-9-) )9

En e$ esquema se 'o$o'an to!as $as #a('es 1 en $os inte#+a$os que /stas !ete#minan sese3a$a e$ signo !e$ g#&%i'o d . - seg5n 'o##es"on!a; Existe a$guna #eg$a gene#a$ "a#a a$$a#e$ signo !e un "o$inomio !e g#a!o 'ua$quie#a La #es"uesta es a%i#mati+a si se 'ono'ento!as $as #a('es 1 e$ signo !e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e m&s a$to g#a!o a n; En este 'asoe$ "o$inomio se "ue!e %a'to#i*a# 1 a$$a# e$ signo en 'a!a inte#+a$o me!iante $a #eg$a !e$"#o!u'to !e n5me#os Si se t#a,a2a !e !e#e'a a i*quie#!a0 e$ "#ime# inte#+a$o tiene e$ signo!e an A$ "asa# !e un inte#+a$o a$ siguiente -siem"#e !e !e#e'a a i*quie#!a- si $a #a(* essim"$e o !e mu$ti"$i'i!a! im"a#0 enton'es se "#o!u'e un 'am,io !e signo a$ "asa# a$ nue+ointe#+a$o Si $a #a(* es !e mu$ti"$i'i!a! "a#0 enton'es e$ nue+o inte#+a$o mantiene e$ signo !e$'ontiguo a $a !e#e'aF#a''iones a$ge,#ai'as

E$ 'o'iente !e "o$inomios !a o#igen a una nue+a enti!a! matem&ti'a !enomina!a%#a''i.n a$ge,#ai'a

PDe%ini'i.n: F K b es una %#a''i.n a$ge,#ai'a si P 1 Q son !os "o$inomios 1 Q no es

e$ "o$inomio nu$ot9xd ) ) x b x- 9x9d x-)

E2em"$os: b-------------------4 ------------- 4 -------------4 ------------------------------------------x b ) x d 9 9 x bx bG

E$ 'on2unto !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o "ues e$ 'o'iente !e%#a''iones a$ge,#ai'as es ot#a %#a''i.n a$ge,#ai'a0 a 'on!i'i.n que e$ !enomina!o# no sea $a%#a''i.n nu$a

La suma0 #esta0 "#o!u'to 1 'o'iente !e %#a''iones a$ge,#ai'as siguen $as mismas #eg$aso"e#ato#ias !e $as %#a''iones num/#i'as

E2em"$os:



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519 Se !enomina @mu$ti"$i'i!a! a $a 'anti!a! !e +e'es que se #e"ite $a misma #a(* en e$"o$inomio En e$ e2em"$o "#e'e!ente $a #a(* 9 es !e mu$ti"$i'i!a! 90 mient#as que $as#estantes #a('es son !e mu$ti"$i'i!a! )9x x d 9 9xx d $; d x d 9;x-$; x9d7-9x-) x d ) x-);x d ); x9-$

9x x d 9 9xx d $;-x d 9;x-$; x9

dx d 9x b) x d ) x-);x d ); x9-$9x x d 9 9xx d 9; 9x9d x

Q l 7 b b -----------------x-) x d ) x b $;x d $; x9-$9x x d 9 9x x d ) 9xx d $; 9x9d 9x

!; -------------------------------K-----------x------------K----------------------------K b----------------x-) x d ) x-) x d 9 x-$;x d 9; x dx-9

Es "osi,$e !e%ini# nue+as %un'iones a "a#ti# !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as Po# e2em"$o0'onsi!e#emos $a #e$a'i.n que a 'a!a +a$o# !e @x $e asigna e$ +a$o# !e 9xx-$; Si e$ !ominio1 e$ 'o!ominio son $os n5me#os #ea$es0 enton'es esta #e$a'i.n no es una %un'i.n "o#que e$

+a$o# x K ) !e$ !ominio no tiene 'o##es"on!iente en e$ 'o!ominio "ues "a#a x K ) se anu$ae$ !enomina!o#; Pa#a que $a #e$a'i.n x b` 9xx-$; sea una %un'i.n0 es ne'esa#io #est#ingi#e$ !ominio e$iminan!o e$ o $os +a$o#es !e x que a'en que $a %#a''i.n tenga !enomina!o#nu$o En este e2em"$o0 x K ) es e$ 5ni'o +a$o# que !e,e se# ex'$ui!o !e$ !ominio !e $a%un'i.n:Dominio !e F K DF; K Jx:x7R1x$

C.mo es e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n %#a''i.n a$ge,#ai'a E$ g#&%i'o es un "o'o m&s'om"$i'a!o que e$ !e $as %un'iones "o$in.mi'as0 1 este "#o,$ema $o a,o#!a#emos m&sa!e$ante Pe#o s( "o!emos a$$a# e$ esquema !e$ signo !e F Si F K PQ0 enton'es #esu$taque Sgn F K Sgn PxQ;0 ex'e"to en $os "untos ta$es que Qx; K En ta$es "untos no existee$ signo !e $a %#a''i.n #e'o#!a# que ta$es "untos que!an ex'$ui!os !e$ !ominio !e $a

%un'i.n;x9- 9x d 9E2em"$o: Wa$$a# e$ esquema !e$ signo !e F K b----------------bb------- E$ "o$inomio !e$ nume#a!o# tiene #a('es al K 9 1 a 9K E$ "o$inomio !e$ !enomina!o#

tiene #a('es "i K9 1 K -9 E$ "o$inomio PxQ tiene $as #a('es -90 90 9 1 1 su "#ime# 'oe%i'ientees d En 'onse'uen'ia:d - - dSgn PxQ -----------------------------------------------------)-------------------------------)----------)--------------c-9 9 xd - - o dSgn F -----------)-------------------------------)-----------)------------c-9 9 xP#o!u'tos nota,$es

Sean P 1 Q !os "o$inomios Se !enomina ,inomio a $as ex"#esiones PdQ; 1 P-Q; Se!enominan "#o!u'tos nota,$es a $as siguientes ex"#esionesPdQ;9K P9d 9PQ d Q9P-Q;9K P9- 9PQ d Q9PdQ; P-Q; K P9- Q9PdQ;K Pd P9Q dPQ9d Q

> si %ue#a ne'esa#io e$e+a# e$ ,inomio a un ex"onente m&s a$to0 "o# e2em"$o0nPdQ; Pa#a #eso$+e# este "#o,$ema existe un #esu$ta!o gene#a$0 'ono'i!o 'omo e$ !esa##o$$o!e$ ,inomio !e Nevton Re'o#!an!o e$ signi%i'a!o !e $a ex"#esi.n @n %a'to#ia$0njn?0 1 a!o"tan!o $a nota'i.n C K--------------------- que se $ee @'om,ina'iones !e n en i; se tiene e$

iln-i;lsiguiente #esu$ta!o:



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52PdQ;K >8CPpQ-riK

E2em"$os:) x9d x;9K x9;9d 979;7; d x;9K xd xd Gx9

9 79d7;

x9

dx% KC=79

;p0

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Economia empresarial - 1 (Reparado).docx