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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA

Exercıcios sobre EDO de 1a Ordem - Professor Raposo

www.carlosraposo.com.br

Seja I um intervalo da reta. Uma solucao de uma equacao diferencial da funcao incognita y e na

variavel independente x ∈ I ⊂ R, e uma funcao y = y(x) que verifica identicamente a equacao. Por

exemplo, y = ex + e−x e solucao da EDO y′ + y = 2ex.

Uma EDO de 1a ordem pode ser apresentada:

• na forma normal y′ = f(x, y),

• ou na forma diferencial M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0.

Quando f(x, y) = −p(x)y + q(x) dizemos que a EDO e Linear.

Quando para t ∈ R, f(t x, t y) = f(x, y), dizemos que a EDO e Homogenea.

Quando∂ M

∂ y=∂ N

∂ x, dizemos que a EDO e Exata.

I - Exercıcios sobre EDO Homogenea.

Resolva :

1.

y′ =y + x

x

2.

y′ =2y4 + x4

xy3

3.

y′ =2xy

x2 − y2

4.

y′ =x2 + y2

xy

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II - Exercıcios sobre EDO Exata.

Verifique se a EDO e Exata, e se sim, resolva.

1. 2xy dx+ (1 + x2) dy = 0

2. (x+ seny) dx+ (−2y + x cosy) dy = 0

3. (xy + x2) dx+ (−1) dy = 0

4. (2 + y exy) dx+ (x exy − 2y) dy = 0

III - Exercıcios sobre Fator Integrante.

Em geral, uma EDO M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 nao e exata, entretanto, quando existe uma funcao

I(x, y) tal que

I(x, y) [M(x, y) dx+N(x, y) dy] = 0

torna-se uma EDO exata, dizemos que I(x, y) e um fator integrante.

1. verifique se I = −1/x2 e um fator integrante para y dx− x dy = 0

2. verifique se I = −1/xy e um fator integrante para y dx− x dy = 0

3. Resolva (−2xy + x) dx+ dy = 0.

Sugestao: Quando1

N

(∂ M

∂ y− ∂ N

∂ x

)= g(x) funcao apenas de x

entao

I = e∫

g(x) dx

e um fator integrante para M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0.

4. Resolva y2 dx+ xy dy = 0.

Sugestao: Quando1

M

(∂ M

∂ y− ∂ N

∂ x

)= h(y) funcao apenas de y

entao

I = e−∫

h(y) dy

e um fator integrante para M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0.

5. Prove que

I = e∫

p(x) dx

e um fator integrante para y′ + p(x) y = q(x).

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IV - Exercıcios sobre EDO Linear.

Resolva.

1. y′ − 3 y = 6

2. y′ − 2x y = x

3. y′ + y = sen x

4. y′ + y = sen x, y(π) = 1.

5. y′ − 7 y = ex

V - Aplicacoes das EDO de 1a Ordem.

1. Colaca-se uma barra de metal, a temperatura de 1000C em um ambiente com temperatura

constante de 00C. Se apos 20 minutos a temperatura da barra e de 500C, determine o tempo

necessario para a barra chegar a temperatura de 250C e a temperatura da barra apos 10 minutos.

2. Um corpo com a temperatura inicial de 250C e colocado ao ar livre, onde a temperatura e de

1000C. Se apos 5 minutos a temperatura do corpo e de 600C, determine o tempo necessario

para a temperatura do corpo atingir 750C e a temperatura do corpo apos 20 minutos.

3. Sabe-se que uma certa substancia radioativa diminuea uma taxa proporcional a quantidade

presente. Se inicialmente, a quantidade do material e 50 miligramas, e se se observa que, apos

duas horas, perderam-se 10 por cento da massa original, determine a expressao para a massa

de substancia restante em um tempo arbitrario t, a massa restante apos 4 horas e o tempo

necessario para que a massa fique reduzida a metade.

4. Sabe-se que uma cultura de bacterias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente.

Apos 1 hora, observa-se 1000 nucleos de bacterias na cultura, e apos 4 horas, 3000 nucleos.

Determine uma expressao para o numero de nucleos presente na cultura no tempo arbitrario t

e o numero de nucleos inicialmente existentes na cultura.

5. Sabe-se que a populacao de um determinado Estado cresce a uma taxa prporcional ao numero

de habitantes existentes. Se apos 2 anos a populacao e o dobro da inicial, e apos 3 anos e de

20.000 habitantes, determine a populacao inicial.

6. Deixa-se cair um objeto de 5 kilos de uma altura de 100 metros com velocidade inicial zero.

Supondo que nao haja resistencia do ar, determine a expressao da velocidade do corpo em um

instante t, a expressao da posicao do corpo no instante t e o tempo necessario para o corpo

atingir o solo.

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7. Lanca-se um objeto de massa m verticalmente para cima, com velocidade inicial v0. Se a

resistencia de ar e proporcional a velocidade, determine a equacao do movimento ( supondo

sentido positivo para cima ), a velocidade em um instante t qualquer e o instante em que o

objeto atinge a altura maxima.

8. Considere um objeto de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e

pela resistencia do ar proporcional a velocidade. Admita que tanto a gravidade quanto a massa

permanecam constantes e escolha o sentido positivo como sendo o sentido para baixo. Obtenha

a equacao do movimento do objeto.

9. Deixa-se cair um objeto de peso w = 64 libras de peso, ( note que w = mg) de uma altura de

100 pes, com velocidade inicial de 10 pes por segundo. Supondo a resistencia do ar proporcional

a velocidade ( constante de proporcionalidade indicada po k ), e sabendo que a velocidade limite

v` =mg

k

e 128 pes por segundo, determine a expressao para a velocidade do corpo em um instante t e

a expressao para a posicao do corpo em um instante t. ( usar g = 32 ).

10. Um objeto de 2 libras de massa e solto no espaco sem velocidade inicial e encontra uma

resistencia do ar proporcional ao quadrado da velocidade de queda. Determine a expressao da

velocidade em um instante t. ( usar g = 32 )

11. Considere um tanque com um volume inicial v0 litros de uma salmoura com q0 kilos de sal.

Despeja-se no tanque mais salmoura, isto e, q1 kilos de sal na razao de g litros por minutos.

Suponha que a salmoura, bem misturada, se escoa por uma torneira, simultaneamente a razao

de f litros por minutos. Determine a quantidade de sal no tanque a cada instante t.

12. Um tanque contem inicialmente 100 litros de salmoura com 20 kilos de sal. No instante t = 0,

comeca-se a jogar agua pura no tanque a razao de 5 litros por minuto, enquanto que a mistura

resultante se escoa no tanque a mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no

instante t.

13. A equacao basica que rege a quantidade de correnteI ( em amperes ) em um circuito simples

do tipo RL consistindo de uma resistencia R ( em ohms ), um indutor L ( em henries ) e uma

forca elotromotriz E ( dada em volts ) e

d I

dt+R

LI =

E

L.

Considere entao um circuito RL que tem fen de 5 volts, resistencia de 50 ohms e indutancia de

1 henry. Se a corrente inicial e zero, determine a corrente no circuito no instante t.