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Nome: Mano Brown Data: 01/01/2020
Disciplina: Mtodos Matemticos
Escreva os () = || como uma srie de Fourier-Legendre no
intervalo [-1,1].
Com
() = ()
=0
e com os coeficientes da forma
=2 + 1
2 ()
1
1
1 Determinar os polinmios do Legendre, por srie de potncias.
Equao de Legendre. (1 2) 2 + ( 1) = 0
Soluo da forma:
=
=0
= 1
=1
= ( 1)2
=2
Substituindo na equao de Legendre temos:
(1 2) ( 1)2
=2
2 1
=1
+ ( 1)
=0
= 0
( 1)2
=2
( 1)
=2
2
=1
+ ( 1)
=0
= 0
Fazer a mudana de ndice do 1 somatrio, = 2 , usar como
ndice.
( + 1)( + 2)+2
=0
( 1)
=2
2
=1
+ ( 1)
=0
= 0
Iniciar todos os somatrios no mesmo ponto, Iniciar o 2 e o 3
somatrio em zero.
( + 1)( + 2)+2
=0
( 1)
=0
2
=0
+ ( 1)
=0
= 0
[+2( + 1)( + 2)
=0
( 1) 2 + ( 1)] = 0
+2( + 1)( + 2) ( 1) 2 + ( 1) = 0
-
Formula de recorrncia:
+2 = ( )( + + 1)
( + 1)( + 2)
Com = 0
0+2 = 0(0 )(0 + + 1)
(0 + 1)(0 + 2) 2 = 0
( + 1)
2!
Com = 1
1+2 = 1(1 )(1 + + 1)
(1 + 1)(1 + 2) 3 = 1
(1 )(2 + )
3!
Com = 2
2+2 = 2(2 )(2 + + 1)
(2 + 1)(2 + 2) 4 = 0
( + 1)( 2)(3 + )
4!
Com = 3
3+2 = 3(3 )(3 + + 1)
(3 + 1)(3 + 2) 5 = 1
(1 )(2 + )(3 )(4 + )
5!
Com = 4
4+2 = 4(4 )(4 + + 1)
(4 + 1)(4 + 2) 6 = 0
( + 1)( 2)(3 + )(4 )( + 5)
6!
Com = 5
5+2 = 5(5 )(5 + + 1)
(5 + 1)(5 + 2) 7 = 1
(1 )(2 + )(3 )(4 + )(5 )(6 + )
7!
Com = 6
6+2 = 6(6 )(6 + + 1)
(6 + 1)(6 + 2) 8 = 0
( + 1)( 2)(3 + )(4 )( + 5)(6 )( + 7)
8!
Com = 7
7+2 = 7(7 )(7 + + 1)
(7 + 1)(7 + 2) 9 = 1
(1 )(2 + )(3 )(4 + )(5 )(6 + )(7 )(8 + )
9!
=
=0
= 00 + 1
1 + 22 + 3
3 + 44 + 5
5 + 66 + 7
7 + 88 + 9
9 +
-
() = 0 (1 ( + 1)
2!2 +
( + 1)( 2)(3 + )
4!4
+( + 1)( 2)(3 + )(4 )( + 5)
6! 6
+( + 1)( 2)(3 + )(4 )( + 5)(6 )( + 7)
8! 8 + )
+ 1 ( +(1 )(2 + )
3! 3 +
(1 )(2 + )(3 )(4 + )
5! 5
+ (1 )(2 + )(3 )(4 + )(5 )(6 + )
7! 7
+(1 )(2 + )(3 )(4 + )(5 )(6 + )(7 )(8 + )
9!9+. . . )
Com = ( + 1) e = 0,1,2,3,4,5
= 0 0 = 0 1
= 1 1 = 1
= 2 2 = 0 (1 32)
= 3 3 = 1 ( 5
33)
= 4 4 = 0 (1 102 +
35
34)
= 5 5 = 1 ( 14
33 +
21
55)
= 6 6 = 0 (1 212 + 1264
462
56)
= 7 7 = 1 ( 93 +
27
55 +
117
77)
= 8 8 = 0 (1 362 + 1984
1716
56 +
1287
78)
= 9 9 = 1 ( 44
33 +
286
55 +
572
77 +
374
99)
com (1) = 1
0() = 1
1() =
2() =1
2(32 1)
3() =1
2(53 3)
-
4() =1
8(354 302 + 3)
5() =1
8(635 703 + 15)
6() =1
16(2316 3154 + 1052 + 5)
7() =1
16(4297 6935 + 3153 35)
8() =1
128(64358 120126 + 69304 + 12602 + 35)
9() =1
128(121559 257407 + 180185 + 46203 + 315)
2 Fazer a expanso dos Polinmios de Legendre pela serie
Fourier-Legendre.
Como () uma par e +1 = 0 para todo n, ento temos:
2 =2(2) + 1
2 ()2() = (4 + 1) ()2()
1
0
1
1
Ento para () = || = 0 1
2 = (4 + 1) 2()
1
0
Com = 0
0 = (0 + 1) 0()
1
0
= 1 () =1
2
1
0
Com = 1
2 = (4 + 1) 2()
1
0
= 5 1
2(33 ) =
5
8
1
0
Com = 2
4 = (8 + 1) 4()
1
0
= 9 1
8(355 303 + 3) =
9
8
1
0
-
Com = 3
6 = (12 + 1) 6()
1
0
= 13 1
16(2317 3155 + 1053 + 5) =
533
128
1
0
Com = 4
8 = (16 + 1) 8()
1
0
= 17 1
128(64359 120127 + 69305 + 12603 + 35) =
21403
256
1
0
A expanso fica:
() =1
20() +
5
82()
9
84() +
533
2126() +
21403
2568() +
() =1
2+
5
16(32 1)
9
64(354 302 + 3) +
533
3392(2316 3154 + 1052 + 5)
+21403
32768(64358 120126 + 69304 + 12602 + 35) +
