EEA-02: AnálisedeCircuitosElétricosyukio/eea02/Aula9_EEA02_2018.pdf · AnálisedecircuitosusandoTransformadadeLaplace Deﬁnição Dadaumafunçãof(t),suatransformadadeLaplace,denotadaporF(s)

EEA-02: Análise de Circuitos ElétricosAula 9

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos desta aula

Análise de circuitos usando Transformada de LaplaceCircuitos elétricos no domínio s

Função de TransferênciaResposta ao impulsoEstabilidade BIBOTeorema do Valor InicialTeorema do Valor Final

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 30

Análise de circuitos usando Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que permiteconduzir análises poderosas tanto no âmbito de circuitos elétricos lineares,bem como no caso mais geral de sistemas lineares.Em geral, o seguinte procedimento é adotado:

1 Transformação do circuito linear para o domínio s

2 Análise do circuito no domínio s com uso das mesmas técnicas usadaspara circuitos no domínio do tempo

3 Obtenção da variável (tensão ou corrente) desejada no domínio s

4 Transformação inversa para o domínio do tempo



DefiniçãoDada uma função f (t), sua transformada de Laplace, denotada por F (s)ou Lf (t) é dada por

Lf (t) = F (s) =

∫ ∞0

f (t)e−stdt (1)



Observações:1 A Transformada de Laplace de uma função f (t) pode não existir, caso

em que a integral de (1) diverge.2 A Transformada de Laplace mapeia uma função no domínio do tempo

f (t) para uma função F (s) de variável complexa s no domínio s.3 A convergência da integral em (1) pode exigir certas condições, como

que a parte real da variável complexa s seja superior a uma abscissa deconvergência.



Algumas propriedades da Transformada de Laplace motivam o seu uso naanálise de circuitos:Linearidade: Sendo f (t) e g(t) duas constantes e α e β duas constantes,temos

Lαf (t) + βg(t) = αLf (t)+ βLg(t) (2)

supondo a existência das Transformadas de Laplace de f (t) e g(t).



Transformada de Derivada: Sendo f (n)(t) a derivada de ordem n def (t), temos

Lf (n)(t) = snLf (t) − sn−1f (0)− sn−2f (1)(0)− · · · − f (n−1)(0) (3)

supondo a existência da Transformada de Laplace de f (t).



Transformada de Integral: Sendo f (t) uma função no domínio dotempo, temos

L∫ t

0f (τ)dτ =

1sLf (t) (4)

supondo a existência da Transformada de Laplace de f (t).



Tabela de funções e suas transformadas: A tabela a seguir relaciona afunção no domínio do tempo f (t) à sua Transformada de Laplace F (s):

f (t) F (s)

δ(t) 1u(t) 1

s

exp(−αt)u(t) 1s+α

cos(ω0t)u(t) ss2+ω2

0

sin(ω0t)u(t) ω0s2+ω2

0

cos(ω0t + θ)u(t) s cos θ−ω0 sin θs2+ω2

0

cos(ω0t + θ) exp(−αt)u(t) (s+α) cos θ−ω0 sin θ(s+α)2+ω2

0

tu(t) 1s2

t exp(−αt)u(t) 1(s+α)2



Observação: Embora seja possível calcular a Transformada Inversa deLaplace através de uma integral de linha no plano complexo s, é maisconveniente, na análise de circuitos lineares, anti-transformar a variávelobtida no domínio s através do uso de tabelas como a apresentada no slideanterior, valendo-se da linearidade da Transformada de Laplace.


Transformação de elementos de circuitos

Na transformação do circuito do domínio do tempo para o domínio s,substituímos cada elemento do circuito por seu equivalente no domínio s.O equivalente no domínio s é obtido ao aplicar a Transformada de Laplacena relação v × i do elemento em questão.



Fontes de tensão ou corrente: Cada fonte v(t) (ou i(t)) é substituídapor sua transformada, dada por V (s) (ou I (s)).

Resistor: Como um resistor R tem tensão e corrente relacionados por

v(t) = Ri(t)

a tensão e a corrente no domínio s se relacionam por

V (s) = RI (s)

e então a resistência R se mantém mediante transformação para o domínios.



Indutor: Como a corrente e a tensão de um indutor se relacionam por

v(t) = Ldi

dt(t)


V (s) = sLI (s)− Li(0)

Capacitor: Como a corrente e a tensão de um capacitor se relacionam por

i(t) = Cdv

dt(t)


I (s) = sCV (s)− Cv(0)



Para o caso em que as condições iniciais explicitadas no slide anterior sejamnulas (i(0) = 0 para o indutor) e (v(0) = 0 para o capacitor), as relaçõesentre tensão e corrente no domínio s assumem formas mais simples:Para o indutor

V (s) = sLI (s) (5)

e para o capacitor

V (s) =1sC

I (s) (6)

Desta forma, para análise de circuitos com condições iniciais nulas, oindutor pode ser substituído por um elemento que apresenta umaimpedância complexa sL e o capacitor pode ser substituído por umelemento que apresenta uma impedância complexa 1

sC .O conceito de impedância complexa é uma extensão da ideia deresistência ao domínio s.



Figura: Transformação de capacitores e indutores para o domínio s. Em (a) éapresentada a notação relativa ao domínio do tempo, enquanto que em (b) éapresentada a notação relativa ao domínio s. Repare que em (b) a impedânciaapresentada estabelece uma proporção entre V (s) e I (s), do mesmo modo comoacontece com o resistor.



Como encontrar um equivalente circuital para capacitores eindutores sem condição inicial nula?Considerando as relação encontrada para o indutor

V (s) = sLI (s)− Li(0)

e para o capacitor

I (s) = sCV (s)− Cv(0)

e observando os termos constantes dados em função das condições iniciais,concluímos que podemos usar os equivalentes obtidos para o caso decondições inicias nulas associados à fontes de tensão ou corrente, em sérieou paralelo.


Indutor no domínio s com corrente inicial não nula

Figura: Transformação de indutor para o domínio s com corrente inicial não nula.Em (a) é apresentada a notação relativa ao domínio do tempo, enquanto que em(b) são apresentadas duas representações possíveis para o indutor no domínio s.


Capacitor no domínio s com tensão inicial não nula

Figura: Transformação de capacitor para o domínio s com tensão inicial não nula.Em (a) é apresentada a notação relativa ao domínio do tempo, enquanto que em(b) são apresentadas duas representações possíveis para o capacitor no domínio s.


Exemplo de análise de circuito com Transformada de Laplace

Determinar a tensão no capacitor para t > 0, considerando que C = 0, 1 F ,L = 5 H e R = 10

3 Ω, a corrente inicial no indutor é i(0) = −1 A, tensãoinicial no capacitor é v1(0) = 5V e vs(t) = 10u(t) V , em que u(t) é afunção degrau.



No circuito ao lado, um equivalenteem domínio s pode ser obtido atravésda substituição de cada elemento porseu modelo no domínio s.



Aplicando a Lei das Correntes no nó superior(V1), temos

V1 − 10s

103

+V1

5s+

i(0)

s+

V1 − v1(0)s

10,1s

= 0 (7)

Colocando os valores de v1(0) e de i(0) esimplificando a expressão acima,

V1(s) =40 + 5s

s2 + 3s + 2(8)



Decompondo a expressão anterior por meio de frações parciais, temos

V1(s) =35

s + 1− 30

s + 2(9)

Portanto, usando a tabela de transformadas de Laplace, temos

v1(t) = (35e−t − 30e−2t)u(t) V (10)


Função de Transferência

Em um circuito elétrico, a razão entre as Transformadas de Laplace dasaída (variável de interesse do circuito) e da entrada (fonte de tensão ecorrente), no caso em que as condições iniciais são nulas, é chamada deFunção de Transferência.Essa relação é importante pois permite analisar no domínio s os efeitos nasaída devidos à entrada. É utilizada em Processamento de Sinais paraavaliar como um sinal é afetado ao passar por uma rede contendoresistores, capacitores e indutores e é útil para a análise de estabilidade decircuitos ativos.



Exemplo:Para o circuito do exemplo anterior, considerando condições iniciais nulas,temos



Exemplo:A função de transferência é dada por

H(s) =Vout(s)

Vin(s)=

3ss2 + 3s + 2

(11)

Como a transformada de Laplace da função impulso unitário δ(t) é igual a1, percebemos que H(s) é a resposta ao impulso unitário, sendoh(t) = L−1H(s) sua representação no domínio do tempo.

h(t) = (−3e−t + 6e−2t)u(t) (12)


Estabilidade BIBO

A inspeção da função de transferência de um circuito permite obterinformações a respeito da estabilidade de um circuito no sentido BIBO(entrada-saída). Isto é, podemos determinar se, dada uma entradalimitada, a saída também será limitada.Como no caso de sistemas de controle, essa inspeção é feita através dospolos da função de transferência.O circuito é estável se e somente se sua função de transferência tem ospolos situados no semiplano esquerdo do plano s, o que corresponde aexponenciais com coeficientes negativos na resposta ao impulso h(t).Circuitos compostos por componentes passivos são sempre estáveis nosentido BIBO.


Teorema do Valor Inicial

EnunciadoSendo f (t) uma função com Transformada de Laplace F (s), temos

f (0) = lims→∞

sF (s) (13)


Teorema do Valor Final

EnunciadoSendo f (t) uma função com Transformada de Laplace F (s). Se todos ospolos de F (s) estiverem no semiplano esquerdo, temos

f (∞) = lims→0

sF (s) (14)


Exemplo

Considerando a Transformada de Laplace V1(s) da tensão do capacitor doprimeiro exemplo,

V1(s) =40 + 5s

s2 + 3s + 2temos

v1(0) = lims→∞

sV1(s) = lims→∞

40s + 5s2

s2 + 3s + 2= 5 (15)

e

v1(∞) = lims→0

sV1(s) = lims→0

40s + 5s2

s2 + 3s + 2= 0 (16)

O valor obtido para v1(0) é compatível com a condição inicial do capacitore o valor obtido para v1(∞) é coerente com uma inspeção direta docircuito.


Bibliografia

Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,2006 (Capítulo 12);Alexander, C., M. Sadiku, and M. Sadiku. "Fundamentals of ElectricCircuits, 2000."(Capítulos 15 e 16).


Documents

EEA-02: AnálisedeCircuitosElétricosyukio/eea02/Aula9_EEA02_2018.pdf · AnálisedecircuitosusandoTransformadadeLaplace Deﬁnição Dadaumafunçãof(t),suatransformadadeLaplace,denotadaporF(s)