Pgina 1 ELEMENTOS DE ESTATSTICA 1.0TABELA DE FREQNCIA
umatabelaemqueadistribuiodosdadosfeitaobservando-seosnmerosde
acontecimentos ocorridos.Por exemplo: se uma pessoa fez o pedido de
20 livros, sendo5 de lgebra, 8 de Geometria e os outros de
Aritmtica podemos construir a tabela abaixo: LivrosFreqncia
Absoluta (in ) Freqncia Relativa (if ) Porcentagem (%) lgebra55/ 20
0, 25 = 25 Geometria88/20 = 0,4040 Aritmtica77/20 = 0,3535 Total 20
1 100 A freqncia relativa if a razo entre a freqncia absoluta da
varivel ine o nmero total kde dados, isto , iinfk= e 1 21 1 11 11k
k kii k ii i inf f f f n kk k k= = == + + + = = = =
,ouseja,asomadetodasas freqncias relativas sempre igual a 1.
1.1CLASSES DE FREQNCIA
Considere20pedidos,dolivroMatemticaparavestibular,cadapedidode ix
livros, ix e]0, 50].Podemos agrupar esses pedidos em subintervalos
de 10 livros: ]0, 10],]10, 20],]20, 30],]30, 40]e]40, 50]que so
denominados classes de freqncia. TABELA 1 Nmero de Livros Nmeros
depedidos 6 5 4 4 1 K = 520 Pgina 2 O ponto mdio da classe ]a, b] o
elemento2ia bx+=e a amplitude desse intervalo b a. 1.2REPRESENTAO
GRFICA Polgono de freqncia a representaogrfica deuma srie de
dadosgrupados atravs de um polgono cujos vrtices so os pares
ordenados( , )i ix fdefinidos por:Abscissa ix= ponto mdio da
classeiOrdenada if= freqncia absoluta da classei . A figura abaixo
representa o polgono de freqncia da tabela - 1 dada acima.
Histogramaumgrficodebarrasverticaisemqueabasedecadabarraumaclasseea
altura a freqncia absoluta dessa classe. Afiguradada abaixo
representa o histograma da
Tabela-1.DeixamosnesseHistogramaosvrticesdoPolgonodeFreqnciaparamostrar
que so os pontos mdios das bases superiores dos retngulos.
Pgina 3 2.0MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL So valores que podem
descrever uma srie estatstica de forma objetiva dependendo apenas
dos valores da srie. 2.1MDIAS ARITMTICA, GEOMTRICA E HARMNICA Esto
definidas na pgina 67 do livro Matemtica para vestibular. 2.2MDIA
ARITMTICA DE DADOS GRUPADOS EM CLASSES
umamdiaaritmticaponderada.Secadavalor ix
opontomdiodeumaclassedefreqncia absoluta if , ento a mdia aritmtica
desses dados : i iix fxf= A mdia aritmtica dos valores da tabela -
1 :
5 6 15 5 25 4 35 4 45 119, 56 5 4 4 1x + + + + = =+ +++
2.3 MODA
oelementodoconjuntodevaloresqueocorrecommaiorfreqncia.Algunsdesses
conjuntos podem apresentar duas ou mais modas. Em um conjunto de
dados grupados a classe com maior freqncia absoluta denominada
classe modal. Na tabela - 1 a primeira classe modal porque 16 f = a
maior freqncia absoluta. 2.4 MEDIANA o valor que ocupa exatamente o
meio de uma srie, quando seus valores esto dispostos em ordem
crescente ou decrescente. Se a srie de dados tem um nmero1) mpar de
elementos, h um que ocupa a posio central, ento esse a mediana.
2)pardetermoshdoisqueocupamaposiocentral,nessecasoamedianaamdia
aritmtica desses dois valores. Por exemplo: considere duas turmas
com as notas dos alunos correspondentes aos seus nomes em ordem
alfabtica. Turma A: 10, 8, 9, 6, 10, 6 e 6 Turma B: 8, 10, 7, 7, 5,
4, 8 e 9 Pgina 4
Primeiramentecolocamosemordem,quepodesercrescente,edepoisobtemosamediana
eM . A 6 6 6 8 9 10 10 s s sss s8eM =que o elemento central. B 4 5
7 7 8 8 9 10 ss s s s ss 7 87, 52eM+= =Observe que para determinar
a moda oMno necessrio ordenar os elementos do conjunto. Na turma
A,6oM =e na B,7 8OM e =porque esses valores ocorrem duas vezes. 2.5
MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS EM CLASSES o valor eMque apresenta 50%
dos dados abaixo dele. Esse valor divide o histograma, dos dados,
em duas reas iguais, conforme sugere a figura abaixo.
Por exemplo, a mediana dos dados da Tabela - 1 pode ser
calculada do seguinte modo:
50%dosdadosantesdamedianacorrespondemreaazul;assim,podemosescrevera
seguinte equao: rea antes da mediana = rea depois da mediana Pgina
5 10 6 ( 10) 5 (20 ) 5 20 4 10 1e eM M + = + + ( 10) 5 (20 ) 5 30e
eM M = + 5 50 100 5 30 10 180 18e e e eM M M M = + = = 3.0MEDIDAS
DE DISPERSO
Osvaloresmdios,porsis,nososuficientesparacaracterizardistribuiesestatsticas.
Podemocorrerdistribuiesqueapresentamamesmamdiaecomnaturezasmuito
diferentes. o que ocorre com as sries seguintes: 1) 25, 25, 50, 60,
80 2) 35, 35, 50, 60, 60
Asduastmamesmamdiaetambmamesmamediana,porma(2)maishomognea que a
(1), os valores da 2 esto mais prximos e agrupados em torno da
mdia. 3.1 DESVIODenomina-sedesvio id
,afastamentooudiscrepnciaadiferenaentrecadaumdosvalores dados ixe a
mdia aritmticaxde todos esses valores.
i id x x = Observe que: 1 2 1 21... ( ) ( ) ... ( )ni n nid d d
d x x x x x x== + + + = + + + reorganizandoaltimaexpresso temos: 1
21( ... )ni nid x x x n x== + + + =1 21 2...( ... ) 0nnx x xx x x
nn+ + ++ + + = ,isto,asomados desvios igual a
zero.Paradadosagrupadosemclassesdefreqnciasodesvioentreospontosmdios
ix das classes e a mdia aritmtica de todos os dadosx . i id x x =
3.2 DESVIO MDIO ( )mD a mdia aritmtica dos desvios tomados em
valores absolutos.
imdDn= Pgina 6 O Desvio Mdio de dados agrupados em classes uma
mdia ponderada:i imid fDf= NaTabela-1amdiaaritmticafoi19, 5 x =
eodesviomdiopodesercalculadodo seguinte modo:
21910, 9520mD = = 3.3 DESVIO PADRO ( ) o
tambmchamadoafastamentoquadrticomdioedefinidopelaraizquadradadamdia
aritmtica dos quadrados dos desvios. Considereosdesvios ix x
eamdiadosquadradosdessesdesviosquedenominada Varincia e
representada por 2o : 22 2 22 1 1 2( )( ) ( ) ... ( )nii nx xx x x
x x xn no= + + + = = a Varincia. O Desvio Padro a raiz quadrada da
Varincia:21( )niix xno==
Simplificao do clculo do Desvio Padro: 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) 2i i i
i ix x x x x x x x x x = + = +
Nmero de Livros
ifixi id x x = idi id f 6 5 4 4 1 5 15 25 35 45 14,5 4,5 5,5
15,5 25,5 14,5 4,5 5,5 15,5 25,5 87 22,5 22 62 25,5 20if = 219i id
f = Pgina 7 Porm os somatrios ix e x so iguais a: 1 21 21......nni
nix x xx x x x n n xn=+ + += + + + = = 2 2 2 2 21...nix x x x n x==
+ + = Portanto, o somatrio dos quadrados dos desvios pode ser
reduzido a: 2 2 2 2 2( ) 2i i ix x x x n x n x x n x = + =
e o Desvio Padro pode ser escrito 2 2 22i ix n x xxn no o = =
Por exemplo, vamos calcular o Desvio Padro dos valores: 4, 6, 8, 9
e 10. ix2ix 4 16 6 36 8 64 9 81 10100 37297 377, 45x = =2297(7, 4)
59, 4 54, 76 4, 64 2,155o = = = ~ O Desvio Padro de dados agrupados
em classes, calculado em conformidade com a tabela abaixo: classes
ifix i ix f i i Pd x M = 2( )id2( )i id f D A D O S if n = i ix f
2( )i id f Pgina 8 Nessa tabela, PMrepresenta a mdia ponderada dos
pontos mdios, das classes, cujos pesos so as respectivas freqncias.
A mdia ponderada :i iPix fMf=
O Desvio Padro : 2( )i id fno= Vamos calcular o Desvio Padro dos
dados Tabela 1.
39019, 520PM= = O Desvio Padro : 309512, 420o = ~ Nmero
deLivros
ifix i ix f i i Pd x M = 2( )id2( )i id f
6 5 4 4 1 5 15 25 35 45 30 75 100 140 45 -14,5 -4,5 5,5 15,5
25,5 210,25 20,25 30,25 240,25 650,25 1261,5 101,25 121 961 650,25
=20 =390 =3095 Pgina 9 Exerccios SUPORTE PARA AS QUESTES 1 E 2. O
Departamento de Comrcio Exterior do Banco Central possui 30
funcionrios com a seguinte distribuio salarial em reais. 1) A moda
dessa distribuio, em reais, igual a: a) 2800,00b) 4900c) 3600,00d)
2000,00e) 6000,00 2)Quantos
funcionriosquerecebemR$3.600,00devemserdemitidosparaquea mediana
desta distribuio de salrios seja de R$2.800,00? a) 8 b) 11 c) 9 d)
10 e) 7 3)Asnotasde umcandidatoemsuasprovasde umconcurso foram:8,4;
9,1; 7,2;
6,8;8,7e7,2.Anotamdia,anotamedianaeanotamodaldessealuno,so
respectivamente: a) 7,9; 7,8; 7,2 b) 7,2; 7,8; 7,9 c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9 e) 7,8; 7,9; 7,2 4) O grfico dado ao lado informa
a distribuiodo nmero de filhos de 80 professores. a) Quantos
professores tm apenas exatamentequatro filhos? b) Qual a moda e a
mediana do nmero de filhos?
5)Quatroamigoscalcularamamdiaeamedianadesuasalturas,tendo
encontradocomoresultado1,72me1,70m,respectivamente.Amdiaentreas
alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, igual a a) 1,70b)
1,71 c) 1,72d) 1,73 e) 1,74
Pgina 10 6) A idade de uma rvore pode ser avaliada pela medida
do dimetro de seu tronco. Aconstruode diagramasindicando
adistribuio emintervalosdeclassepara o dimetro uma forma de
analisar a estrutura etria de uma populao de rvores. O
grficoaseguirmostraadistribuiodasclassesdedimetroparaaespcie arbrea
Xylopia aromtica. Calcule o dimetro que corresponde a mediana desse
conjunto de dados. 7) O histograma a seguir apresenta a distribuio
de freqncia das faixas salariais numa pequena empresa.
Comosdadosdisponveis,pode-seconcluirqueamdiadessessalrios,
aproximadamente: a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 562,00 d) R$
640,00 e) R$ 708,00 Pgina 11
8)Umconjuntodedadosnumricostemvarinciaigualazero.Podemosconcluir
que: a) a mdia tambm vale zero. b) a mediana tambm vale zero. c) a
moda tambm vale zero. d) o desvio padro tambm vale zero. e) todos
os valores desse conjunto so iguais a zero. 9)Dadostrsnmerosreais 2
1, x x e 3x calculeovalordemqueminimizaa expresso:
10) O grfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos.
Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 4 kg cada, sabe-se que
a mdia no
sealtera,masodesviopadrosereduzmetadedoqueera.Assim,correto afirmar
que n igual a a) 18b) 15 c) 12 d) 9 e) 8 11)Considereaseqncia) 2 ,
... , 2 , 2 , 2 , 2 (21 3 2 1 n n n n nemquen representaum nmero
natural. Se a mediana dos elementos dessa seqncia 1536, calcule: a)
o valor den . b) a mdia geomtrica dos elementos dessa seqncia.
Pgina 12 12) Uma universidade usa a nota do ENEM para compor a nota
final do vestibular,
aplicandoaseguintefrmula:anotafinalamdiaponderadadeumaprova
elaboradapelauniversidadecomadoENEM,sendoospesosrespectivamente
iguaisa4e1.Mas,seessamdiaforinferioraoresultadodaprovafeitapela
universidade, fica valendo apenas essa e a nota do ENEM no levada
em conta.Observe o quadro abaixo: CandidatosAB Nota da
universidade6060 Nota do ENEM7050 Nota final do vestibular Calcule
a mdia das notas finais dos candidatos A e B. 13) Seja f uma funo
de IN em Q, dada por s s + < s =12 5 , 125 1 , 1 2) (x se xx se
xx fSabendo-sequeafunofdeterminaonmerodevezesqueumequipamentofoi
utilizadoemcadaumdos12mesesdeumano,corretoafirmarqueamediana
(estatstica) dos 12 registros igual a a) 3 b) 3,5c) 11/3d) 4e) 5,5
Oenunciadoaseguirrefere-sesquestesdenos14a15.Osdadosabaixo
representamadistribuiode1200domicliosresidenciais,porclassedeconsumo
deenergiaeltricamensal,emumareadeconcessodaCERON,medidosem 2006. No
existem observaes coincidentes com os extremos das classes. Faixas
de ConsumoFrequncia Relativa 0 - 50 kWh 8% 50 - 100 kWh12% 100 -
150 kWh 32% 150 - 300 kWh40% 300 - 500 kWh8% 16) O consumo mdio
mensal, em kWh, pode ser estimado, aproximadamente, em:(A) 108(B)
124(C) 147(D) 173(E) 236 Pgina 13 17) O consumo mediano mensal, em
kWh, pode ser estimado, aproximadamente, em:(A) 108(B) 124(C)
147(D) 173(E) 236 18) Um conjunto de dados tem n valores (n >
3), dos quais trs so iguais a 2 e os demais iguais a 5. Determine o
maior valor inteiro de n para o qual a varincia desse conjunto de
valores seja maior que 2. 19) Calcule o desvio padro das taxas de
rendimento em 8 meses nos seguintes casos: a) Se em cada um desses
8 meses consecutivos um fundo de investimentos render 1% ao ms. b)
Se em cada um de 6 meses consecutivos o fundo render 1% ao ms e
render 5% aomsemcadaumdosdoismesesseguintes.
20)Ogrficorepresentaoconsumomensaldeguaemumadeterminada residncia
no perodo de um ano. As tarifas de gua para essa residncia so dadas
a seguir. Assim, por exemplo, o gasto no ms de maro, que
corresponde ao consumo de 34 m, em reais, : 10 0,50 + 10 1,00 + 10
1,50 + 4 2,00 = 38,00.
Vamossuporqueessastarifastenhamsemantidonoanotodo.Notequenos meses
de janeiro e fevereiro, juntos, foram consumidos 56 m de gua e para
pagar essas duas contas foram gastos X reais. O mesmo consumo
ocorreu nos meses de
julhoeagosto,juntos,masparapagaressasduascontasforamgastosYreais.
Determine a diferena X - Y.
